Persamaan Motskow untuk Bottom Racks

Pernyataan yang berasal dari Motskow10 untuk profil permukaan air dengan berbagai macam variasi

aliran diatas bottom racks dengan membuat asumsi sebagai berikut:

1. Saluran berbentuk persegi panjang dan berbentuk prisma.

2. Energi Kinetik faktor koreksi α = 1.0.

3. Energi spesifik E dianggap konstan sepanjang bottom racks.

4. Bagian efektif dari racks menyebabkan aliran tergantung pada jenis rak, seperti (i) untuk raks yang

terbuat dari balok-balok sejajar, bagian efektifnya adalah sama dengan energi tertentu dan (ii) untuk

raks yang terbuat dari lingkaran lubang kecil, bagian efektifnya adalah sama dengan kedalaman aliran.

Cristianto Pascal (1221047)

Persamaan diferensial dari SVF dengan sisi aliran (Persamaan. (8.22)) di bawah asumsi (1), (2) dan

(3) akan menjadi

dydx

=Qy(−dQ

dx )g B2 y3−Q2

(8.34)

(a) SVF dengan Bottom Racks terbuat dari balok-balok sejajar.

Asumsi dibawah (4) aliran per satuan panjang dari rack, dengan mempertimbangkan sebagai sebuah

lubang,adalah (−dQdx )=C1 εB √2≥¿¿

(8.35)

Di mana C1 = koefisien debit untuk balok sejajar bottom racks dan ε = angka pori = rasio dari

pembukaan total wilayah rack. Karena energi spesifik E = konstan, debit Q di bagian manapun

ditentukan oleh

Q=By √2 g (E− y ) (8.36)

Mengganti pers. (8.35) dan (8.36) dalam persamaan. (8.34)

dydx

=2 ε C 1√ E ( E− y )

3 y−2 E(8.37)

Mengintegrasikan

x=−Eε C1

yE √1−

yE

+Const . (8.38)

Ganti y / E = η dan gunakan kondisi batas y = y1 dan x = 0, menjadi

x= EC1

¿ (8.39)

Yang dimana merupakan persamaan profil SVF. Seperti dalam kasus persamaan De Marchi (Bagian

8.3.3), tentang kedalaman kontrol untuk digunakan dalam Persamaan. (8.39) yang kompatibel dengan

asumsi adalah: (i) y1 = y0, jika aliran mendekat dan mengalir di atas rack dari jenis yang sama, yaitu

kondisi subkritis atau kondisi superkritis dan (ii) y1 = ye1, jika aliran mendekat merupakan kondisi

subkritis dan kondisi superkritis.

Cristianto Pascal (1221047)

Perhatikan bahwa dari Persamaan. (8.35), (dQdx ) konstan sepanjang rack. Maka total debit Qs

dialihkan keluar yaitu,

Qs=C 1 εBL√2≥¿¿ (8.40)

(b) Persamaan SVF untuk Bottom Racks yang terbuat dari Pelat Berlubang

Untuk bottom rack yang dari pelat, debit aliran per satuan panjang, dengan asumsi (4), adalah

(−dQdx )=C2 εB √2 gy (8.41)

Dimana C2 = koefisien debit untuk aliran pelat berlubang. Ganti pers. (8.41) dan (8.36) dalam

persamaan. (8.34), dan disederhanakan

dvdx

=2 ε C2√ y ( E− y )

3 y−2 E(8.42)

Mengintegrasikan dan gunakan kondisi batas y = y1 pada x = 0, menghasilkan profil SVF untuk pelat

berlubang bagian bawah menjadi

x= Eε C 2

¿ (8.43)

Di mana η = y / E dan akhiran 1 mengacu pada bagian 1.

Koefisien Mostkow C1 dan C2

Experimen pada bottom rack di saluran persegi panjang10.11 telah menunjukkan bahwa asumsi yang

dibuat oleh Motskow, terutama pers. (8.35) dan (8.41), untuk tingkat debit dalam dua jenis rack yang

layak. Subramanya dan Sengupta12 telah menunjukkan bahwa C1 pada dasarnya adalah fungsi dari

pintu masuk Froude nomor F1, rasio dari lebar balok untuk panjang rack L dan angka pori ε, yaitu

C1= f (F1,ε,a/L) (8.44)

Cristianto Pascal (1221047)

Parameter a / L = (1- ε) / N, dimana N = jumlah flat dalam rack dan merupakan ukuran dari jumlah

penyusutan akhir. Selanjutnya, hubungan fungsional dari persamaan. (8.44) berbeda dalam kondisi

subkritis dan kondisi superkritis. Dalam kondisi aliran subkritis berakhir di rack, C1 dapat dinyatakan

sebagai

C1/K1 = 1.03-0.20 F1 (8.45)

di kisaran 0,2 <F1 <0,85

dimana K1 = f (a / L, ε)

Variasi K1 ditunjukkan pada Gambar. 8.10. Ini dapat dilihat bahwa koefisien K1 pada dasarnya

adalah fungsi ε hanya untuk nilai-nilai yang tinggi dari α/ L, yaitu untuk α / L> 0,08.

Dalam kondisi aliran superkritis, variasi C1 dapat dinyatakan sebagai

C1 / K2 = f (F1) (8.46)

Dimana K2 = f (a / L, ε)

Cristianto Pascal (1221047)

Variasi C1/K2 dan K2 terlihat dalam gambar masing-masing 8,11 dan 8,12. Ketika aliran mendekat

kondisi subkritis dan aliran berakhir di raks menjadi superkritis, kondisi kritis dapat diasumsikan pada

saluran masuk, yaitu F1 = 1.0 yang dimana diberikan C1 / K2 = 1.0.

Koefisien C2

Mirip dengan Persamaan. (8.44), variasi C2 untuk pelat berlubang bottom racks dapat diharapkan

akan menjadi

C2 = f(F1,ε, λ1, λ2) (8.47)

Dimana λ1 = parameter jarak lubang dan λ2 = parameter pengaturan lubang. Experimen lebih rinci

dengan C2 tidak tersedia. Hal ini diyakini bahwa nilai C2 akan lebih besar dari nilai yang sesuai dari

C1.

Cristianto Pascal (1221047)

Motskow Equation for Bottom Racks

Motskow10 derived expressions for the water-surface profile for spatially-varied flow over bottom racks by making the following assumptions:

1. The Channel is rectangular and prismatic.2. Kinetic energy correction factor α = 1.0.3. The specific energy E is considered constant along the length of the bottom rack.4. The effective head over the racks causing flow depends upon the type of rack, such as (i) for

racks made of parallel bars, the effective head is equal to the specific energy and (ii) for racks made of circular perforations, the effective head is equal to the depth of flow.

The differential equation of SVF with lateral outflow (Eq. (8.22)) under the assumptions (1),(2) and (3) would become

dydx

=Qy(−dQ

dx )g B2 y3−Q2

(8.34)

(a) SVF with the Bottom Racks Made of Parallel Bars

Under assumptions (4) the outflow per unit length of rack, by considering it as an orifice, is

Cristianto Pascal (1221047)

(−dQdx )=C1 εB √2≥¿¿ (8.35)

In witch C1 = coefficient of discharge for parallel bar bottom racks and ε = void ratio = ratio of the opening area to the total rack area. Since the specific energy E = constant, the discharge Q at any section is given by

Q=By √2 g (E− y ) (8.36)

Substituting Eqs. (8.35) and (8.36) in Eq. (8.34)

dydx

=2 ε C 1√ E ( E− y )

3 y−2 E(8.37)

On integrating

x=−Eε C1

yE √1−

yE

+Const . (8.38)

Putting y/E = η and using the boundary condition y=y1 and x=0, gives

x= EC1

¿ (8.39)

Which is the equation of the SVF profile. As in the case of the De Marchi equation (Section 8.3.3), the control depths for use in Eq. (8.39) which are compatible with the assumptions are: (i) y 1=y0, if the approach flow and flow over the rack are of the same kind, i.e. subcritical- subcritical or supercritical- supercritical and (ii) y1=ye1, if the approach flow is subcritical and the flow over the rack is

supercritical. Note that from Eq. (8.35), ( dQdx ) is constant along the rack. Hence the total discharge Qs

diverted out is,

Qs=C 1 εBL√2≥¿¿ (8.40)

(b) SVF Equation for Bottom Racks Made of Perforated Plates

For perforated plate bottom racks the outflow discharge per unit length, under assumption (4), is

(−dQdx )=C2 εB √2 gy (8.41)

Where C2 = discharge coefficient for perforated plate flow. Substituting Eqs. (8.41) and (8.36) in

Eq. (8.34), and simplifying dvdx

=2 ε C2√ y ( E− y )

3 y−2 E(8.42)

Cristianto Pascal (1221047)

Integrating and using the boundary condition y=y1 at x = 0, yields the SVF profile for perforated bottom plate as

x= Eε C 2

¿ (8.43)

In which η = y/E and suffix 1 refers to sections 1.

Motskow Coefficients C1 and C2

Experimental studies on bottom racks in rectangular channels10.11 have shown that assumptions made by Motskow, especially Eqs. (8.35) and (8.41), for the discharge rate in the two types of racks are reasonable. Subramanya and Sengupta12 have shown that C1 is essentially a function of the inlet Froude number F1, the ratio of the width of bars a to the rack length L and the void ratio ε, i.e.

C1= f (F1,ε,a/L) (8.44)

The parameter a/L = (1- ε)/N where N= number of flats in the rack and is a measure of the number of end contractions. Further, the functional relationship of Eq. (8.44) is different in subcritical and supercritical flow regimes. In subcritical flow over the rack, C 1 can be expressed as

C1/K1 = 1.03-0.20 F1 (8.45)

in the range 0.2 < F1 < 0.85where K1 = f(a/L,ε)The variation of K1 is shown in Fig. 8.10. It may be seen that the coefficient K1 is essentially a function of ε only for high values of a/L, i.e. for a/L > 0.08.

Cristianto Pascal (1221047)

In the supercritical flow regime, the variation of C1 can be expressed as

C1 / K2 = f (F1) (8.46)

Where K2 = f(a/L,ε)

The variation of C1/K2 and K2 are shown Figs. 8.11 and 8.12 respectively. When the approach flow is subcritical and the flow over the rack us supercritical, critical conditions can be assumed at the inlet, i.e. F1 = 1.0 which gives C1/K2 = 1.0.

Coefficient C2

Similar to Eq. (8.44), the variation of C2 for perforated plate bottom racks can be expected to be given by

C2 = f(F1,ε, λ1, λ2) (8.47)

Where λ1 = a hole spacing parameter and λ2 = a hole arrangement parameter. Detailed experimental studie of C2 are not available. It is believed that the value of C2 will be larger than the corresponding value of C1.

Cristianto Pascal (1221047)

Cristianto Pascal (1221047)