Tugas Fisika Statistik (1)

of 23 /23
NAMA : WIDIARTI NIM : JID107030 TUGAS : FISIKA STATISTIK BAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN 1. Distribusi Energi Suatu asembel (misalnya gas ideal) terdiri dari N sistem (molekul gas). Energi asembel terdistribusi kedalam i energi, dengan i = l,2,3,...,N. Suatu rentang energi antara dua nilai energi tertentu (sangat sempit) disebut tingkatan energi . Misalnya di dalam asembel terdapat r tingkatan, dengan r = 1,2,3,...r. Nilai rentang energi pada setiap tingkatan sangat sempit, sehingga energi tingkatan ditulis r . Di lain piliak tingkatan energi cukup lebar, karena dapat mengandung sejumlah keadaan energi. Banyaknya keadaan energi dalam suatu tingkatan energi disebut degenerasi tingkatan (g r ). Populasi tingkatan merupakan jumlah sistem dalam suatu tingkatan N r . Jumlah sistem dalam suatu tingkatan dapat besar, kecil atau nol. Energi total yang terkandung pada suatu tingkatan adalah r , N r . Jadi dapat disimpulkan mengenai tingkatan energi dalam suatu asembel adalah sebagai berikut :

Embed Size (px)

Transcript of Tugas Fisika Statistik (1)

NAMA: WIDIARTINIM: JID107030TUGAS: FISIKA STATISTIKBAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN1. Distribusi EnergiSuatuasembel (misalnyagas ideal) terdiri dari Nsistem(molekul gas). Energi asembel terdistribusi kedalam i energi, dengan i = l,2,3,...,N. Suatu rentang energi antaraduanilai energi tertentu(sangat sempit) disebuttingkatanenergi. Misalnya di dalam asembel terdapat r tingkatan, dengan r = 1,2,3,...r. Nilai rentang energi pada setiap tingkatan sangat sempit, sehingga energi tingkatan ditulis r.Di lain piliak tingkatan energi cukup lebar, karena dapat mengandung sejumlah keadaanenergi.Banyaknyakeadaanenergi dalamsuatutingkatanenergi disebut degenerasi tingkatan (gr). Populasi tingkatan merupakan jumlah sistem dalam suatu tingkatan Nr. Jumlah sistem dalam suatu tingkatan dapat besar, kecil atau nol. Energi total yang terkandung pada suatu tingkatan adalah r, Nr. Jadi dapat disimpulkan mengenai tingkatan energi dalam suatu asembel adalah sebagai berikut :Suatu assemble terdiri dari N sistem, misalnya energi sistem yaitu : sistem ke 1 memiliki energi 1. sistem ke 2 memiliki energi 2..sistem ke i memiliki energi isistem ke N memiliki energi NEnergi sistem total dapat dirumuskan sebagai : i = ECaralainuntukmenyatakandistribusi energi adalahmenyalakanjumlah sistem yang memiliki energi dalam selang antara dan + d . Andaikan energi sistem dapat dibagi-bagi ke dalam (r) tingkatan energi (energi level) dan tingkatan energi memiliki semua keadaan energi (energi state) dalam selang antara r, dan r + dr. Energi efektif sistem adalah r. Jumlah keadaan energi di dalam tingkatan energi ke-r adalahgrdandisebutbobot tingkatanataudegenerasi tingkatan. Distribusi sistemdi dalamberbagai energi dinyatakanolehbilanganhuni.Jadi dapat disimpulkan,Asembel : N = jumlah sistem dalam asembel.Spektrum energi sistem dibagi kedalam r tingkatan.Degenerasi tingkatan : g1, g2, g3...,gr.Energi tingkatan : r, 2, , 3,..., r.Populasi tingkatan : n1, n2, n3, ...,nr. Jadi nr = N konstan.r.nr = E (energi asembel).Contoh 01 :3 sistem (partikel) diberi nama a, b, dan c, terdistribusi ke dalam 4 kotak. Masing-masing partikel dapat dibedakan satu dengan yang lain,dan dalam satu kotak dapat diisi lebihdarisatupartikel. Banyaknyacarapartikel dapat ditempatkandalam4 kotak adalah?Jawab:Kemungkinan 1: abc abc abc abcKemungkinan 2: ab c ab c ab c ab c ab c c abc ab c ab ab c c ab c ab c abac b ac b ac b ac b ac b b acb ac b ac ac b b ac b ac b acbc a bc a bc a bc a bc a a bca bc a bc bc a a bc a bc a bcKemungkinan 3: a b c a c b a b c a c b a b c a c bb a c b c a b a c b c a b a c b c a= 4 cara= 36 carac a b c ba c a b c b a c a b c b ca b c a c b b a c b c a c a b c b aMaka banyaknya cara 3 partikel menempati 4 kotak (4 keadaan) adalah = 4 + 36 + 24 = 64 caraJika kita menghitung secara lengkap dengan anggapan partikel klasik, terdapat 64 konfigurasi yang mungkin. Dengan mempelajari konfigurasi yang mungkiri seperti di atas, dapat diambil suatu asumsi yang mendasar bagi fisika statistik, yaitu :Setiapkonfigurasi sistemdi dalamasembel memiliki peluangyangsama untuk terjadi. 2. Bobot KonfignrasiJika sistem-sistem di dalam asembel terdistribusi rnenjadi n, sistern ke dalam r tingkatan, maka bobot pada konfigurasiini merupakan banyaknya cara untukmenghasilkankonfigurasi Nsistemdi dalamasembel.Jumlahcarauntuk memilih n1 sistem pada tingkatan energi pertama dari N sistem adalah :NCn1 = ! n )! n N (! N1 1..............2.1Jika n2sistem pada tingkatan kedua dipilih dari (N n1) sistem, jumlah cara untuk memilih ada :(N n1)Cn2 = ! n )! n n N ()! n N (2 2 11 ....2.2Total jumlah cara untuk memilih sistem pada tingkatan pertama dan kedua adalah hasil kali persamaan 2.1 dan 2.2 yaitu :! n )! n N (! N1 1.! n )! n n N ()! n N (2 2 11 = ! n ! n )! n n N (! N2 1 2 1 ...............2.3Jika hanya ada 3 tingkatan, maka jumlah sistem pada tingkatan ke 3 adalah n3 = (N - n1 - n2) dan persamaan 3 menjadi := 24 cara= ! n ! n ! n! N3 2 1.........................2.4Dengan cara yang sama jika ada r tingkatan, maka jumlah cara untuk memilih sistem pada berbagai lingkatan adalah= ! n . . . ! n ! n ! n! Nr 3 2 1 ..2.5Jumlah cara untuk menyusun sistem di dalam asembel yang telah di bahas di atas, belummelibatkankeadaanenergi, padahal kitatahubahwamasing-masing tingkatan energi terdiri dari keadaan energi. Andaikan di dalam tingkatan r terdapat gr, keadaan energi, maka jumlah cara untuk menyusun nrsistem pada tingkatan ini seluruhnya terdapat nrgcara.Jumlah cara total untuk menyusun semua sistem di dalam semua tingkatan dansemuakeadaandisebutbobotkonfigurasiataudisebutjugabobotkeadaan makro dan dirumuskan sebagai :W=! n . . . ! n ! n ! n! Nr 3 2 1.1nrg .2nrg .3nrg . rnrg .........2.6BobotkonfigurasiadalahJumlahcarauntukmenyusunan sistem-sistem yang berbeda tingkatan dan keadaan energi.Penulisanpersamaan6akanlebihsederhanabiladigunakansimbol perkalian. Persamaan 2.6 dapat ditulis menjadiW = N!

,`

.|r rnr! ngr...2.7dengan W = Bobot konfigurasi,gr = degenerai tingkatan rN = Jumlah sistem di dalam asembel nr= jumlah sistem pada tingkatan r.Dari contoh 01 jika kita hitung kembali a. 3 partikel berada dalam 1 kotak dari 4 kotak yang disediakan :W1 = 3!! 34 = 4 carab. 2 partikel berada dalam 1 kotak dan 1 partikel berada dalam 1 kotak dari 4 kotak yang disediakan :W2AB = 3!! 1 !. 24 = 12 cara,W2AC = 3!! 1 !. 24 = 12 cara dan W2BC = 3!! 1 !. 24 = 12 carac. 1 kotak terdapat 1 partikel dari dari 3 partikel dan 4 kotak yang disediakan :W3 = 3!! 1 !. 1 !. 14 = 24 caraMaka banyaknya cara 3 partikel menempati 4 kotak (4 keadaan) adalah : = 4 + 3(12) + 24 = 64 cara3. Konfigurasi Yang Paling MungkinDari persamaan2.7dapal dilihat bahwayangmerupakanvariabel bebas adalahnr. Jadi kitadapat merancangWyangmaksimumdenganjalanmengatur jumlah sistem pada setiap tingkatan. Dengan kata lain, berapa jumlah sistem pada setiap tingkatan yang dapat memaksimalkan W? Hal mi merupakan fungsi distribusi. W merupakan fungsi dari nr atauW = f(n1,n2, ........nr)........................................2.8 Selanjutnya akan dicari berapa nilai (n1,n2, ........nr), yang dapat memaksimalkanW. Caranyasamadenganmencari suatunilai maksimumsuatu fungsi, yaituturunanpertama fungsi itu sama dengan nol. Selanjutnya persamaan (II. 2.8) dideferensialkan terhadapat semua nilai (n1,n2, ........nr), yaitu1nfdn1 + 2nfdn2 + . . .+ rnfdnr = 0, ataudW =rnWdnr = 0..2.9Persamaan 2.9 dapat dicari penyelesaiannya dengan mengambil syarat batas bagi nilai-nilainr, dnr,, danenergitotal E dengan jumlah sistem total sama dengan N konstan. Keadaan ini disebut sebagai asembel tertutup.Syarat Batas:[1] r nr = N = konstan[2]r dnr = dN = 0[3] r nr.r = E = konstan.Metode sederhana untuk menyelesaikan persamaan 2.2 adalah menggunakan MetodeLagrange.Dengan menggunakan syarat batas (1), (2) dan (3), maka persamaan 2.2 dapat ditulis sebagai berikut :dW + a.dN + b.dE = 0...........................2.10dimana adanbmerupakanfaktor pengali yangakandicari. Bilasyarat batas dimasukan ke persamaan 2.10 diperoleh :rnWdnr+ ardnr+ brr.dnr= 0.2.11Oleh karena Bobot konfigurasi Wpersamaan 2.7 berbentuk perkalian berderet, maka sukar dicari turunannya. Agar mudah dicari, maka diambil logaritmanya. Persamaan 2.11 dapat ditulis sebagai :rnW lndnr + rdnr + r r.dnr = 0 ..............2.12dimana dan merupakan faktor pengali yang disebut faktor pengali Lagrange.Persamaan 2.12 dapat ditulis lagi menjadi :d(ln W) + dnr + dE = 0 .........................2.13Dengan mengambil tanda sigma untuk semua suku, akan diperoleh''+ +rrr nW lndnr = 0 .....2.14Oleh karena perkalian dua suku sama dengan nol, maka dapat diambil suku pertama sama dengan nol.rr nW ln+ += 0 .............2.15DenganmenggunakanpendekatanSterling, yaitulogN!=NlogN- N, maka persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai :ln W = N ln N N + r(nr ln gr nr ln nr + nr) = 0.2.16Diferensial parsialnya terhadap nr adalahrnW ln = ln gr ln nr rnW ln = ln rrng.....................................2.17Substitusi persamaan 2.17 ke persamaan 2.15 diperoleh :ln rrng + + .r = 0, ataunr = gr.r . e+ ........2.18Persamaan 2.18 merupakanjumlah sistem yang memaksimalkan bobotkonfigurasi. Persaamaan 2.17 nantinya merupakan cikal-bakal fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann, sedangkan(e) disebutfaktor Boltzmann. Langkah berikutnya adalah menentukan pengali Lagrange dan , agar fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dapat dirumuskan secara lengkap.3. Menentukan Pengali Banyak cara yang dapat diterapkan untuk menentukan pengali , diantaranya adalah menggunakan pertimbangan Termodinamika.Dari persamaan 2.18 dapat dilihat bahwa jumlah sistem yang berenergi tak hinggasamadengannol, dengankatalaintidakadasistemyangberenergi tak hingga. Jadi ungkapanini dapat dipakai sebagai syarat batas untukmenentukan pengali , yaitu nr = 0 untuk er = (lihat syarat batas [3]). Dengan demikian dapat diramalkan bahwa pengali bernilai negatip.Selanjutnya akan dipertimbangkan nilai dari titik pandang Termodinamika dan akan dilakukan melalui dua jalan :a. Andaikan kita memiliki dua asembel A dan B, masing-masing berisi N1dan N2 sistem. Apabila kedua asembel A dan B dilakukan kontak termal antara dinding-dindingnya, maka akan terjadi pertukaran energi termal antara asembel A dan B, tetapi jumlah sistem-sistemnya tidak mengalami pertukaran karena keduanya terisolasi.AsembelAAsembelBTcmperaturnya T1T2Perpindahanenergi antar asembel rnenyebabkanterjadinyakesetimbangan termal pada temperatur yang sama, yaitu T. Jumlah sistem dan energi total asembel E adalah konstan. Jadi :dN1 = 0;dN2 = 0;dandE = 0 .2.19 Selanjutnya energi dalam kedua asembel dibagi kedalam tingkatan-tingkatan energi. Misalnya tingkatan ke r energinya 1rdan 2r, sedangkan bilangan huni (jumlah sistem yang menempali tingkatan itu) adalah n1r dan n2r. Energi total kedua asembel itu adalah :E = r n1r.1r + r n2r.2r.2.20Dengan menggunakan syarat batas 2.19, maka diferensiasi persamaan 2.20 sama dengan nol.dE = 0..2.21Jika bobot konfigurasi W bagi masing-masing asembel adalah W1dan W2,maka bobot total adalah :WT = W1.W2.2.22Syarat untuk konfigurasi yang paling mungkin adalah :d ln Wr + 1 dN1 + 2.dN2 + dE = 0 .2.23 Syarat batas 2.19 dipakai untuk menentukan 1, 2, Dari persamaan 2.22, ln WT = ln W1 + ln W2. Karena W1 dan W2 hanya bergantung pada n1r, dan n2r, maka persamaan 2.23 dapat ditulis menjadi :r r 11nW lndn1r+r r 22nW lndn2r+1rdN1+2 rdN2 + (r 1r.dn1r + r 2r.dn2r) = 0 2.24Persamaan 2.25 dapat difaktorkan menjadi sebagai :''+ +rr 1 1r 11 nW lndn1r +''+ +rr 2 2r 22 nW lndn2r = 0.2.25Syarat bagi konfigurasi yang paling mungkin adalah suku pertama dan suku kedua samadengannol.Daridua suku pada persamaan 2.25 dapat dilihatbahwa hanya pengali yang merupakan konstanta yang dimiliki bersama oleh dua asembelA danB. Olehkarena hanyabesarantemperatur yangdimiliki bersama olehdua asembel pada keadaan setimbang termal, maka dapat diperkirakan bahwa pengali adalah fungsi dari temperatur, yaitu = f(T) ..........................2.26dengan T adalah temperatur asembel. b. Selanjutnya pengali dipandang dari titik pandang yang dikaitkan dengan dE.Andaikanasembel diberikanenergi panassebesardQ danasembel mengalami pemuaian sebesardV.Asembel melakukan kerja sebesarP.dV,dengan P adalah tekanan yang diberikan asembel terhadap dinding sekitarnya. Pertambahan energi asembel akibat panas yang diberikan, ditunjukkan olehHukum I Termodinamika, yaitu sebagai :dE = dQ P.dV ........2.27 Perubahan energi ini juga dapat diberikan dalam bentuk :dE = dnr.rdE =rdnr+nrdnr.......2.28Kedua suku pada persamaan 2.27dan 2.28 sama-sama menyatakan energi asembel, sehingga dapat dikatakanbahwaperubahanenergi sistem-sistemdpadaenergitingkatanrakan ditimbulkan oleh perubahan volume asembel dV, sehinggasukukeduapersamaan2.28yaitunr.drdikaitkandengankerjayang dilakukan oleh asembel.Penyusunan kembali sistem-sistem atas tingkatan-tingkatan energi diberikan olehsukupertama persamaan 2.28, yaitur.dnrdikaitkan dengan panas yang diserapolehasembel. Jadi antarapersamaan2.27dan2.28dapat dihubungkan sebagai nr.dr = P.dV .....2.29r dnr = dQ .....2.30Jikapersamaanpersamaan 2.30dipakaiuntuk menyatakan persamaan 2.15 dan diambil untuk kasus isovolum(tidak ada perubahan volume dV),maka persamaan 2.13 pada keadaan setimbang dapat ditulis menjadidln W + dN + dQ = 0 .2.31Olehkarenasetiappenambahanenergi dalamharusditimbulkanolehperubahan energipanasdQ,dengankatalain dQ diberikan keasembel.Oleh karena jumlah sistemkonstan(dN=0), maka akanterjadi perubahanbobot konfigurasi pada asembel yang memenuhidlnW = dQ ..........2.32Kita telah mengetahui dalam termodinamika, bahwa perkalian antara 1/T dengan dQ merupakan perubahan entropi, yaitu :dS =TdQ...................2.33Perubahanentropiyangdikaitkan denganbobot konfigurasi dinyatakan oleh persamaan dS = k.dln W. JadidS= k.( ) dQ=TdQ .2.34Dari persamaan 2.34 dapat diperoleh pengali , yaitu : = T . k1....................2.35dengan k = konstanta boltzmann.4. Menentukan pengali Di dalam menentukan pengali , kita berpijak pada persainaan 2.18 dengan membuat substitusi A = e, sehingga persamaan 2.18 dapat ditulis dalam bentuk :nr= A.gr.r . e.............2.36Jumlah sistem total adalah :N = r nr = A.r gr.r . e .2.37Dari persamaan 2.37, maka diperoleh :A =rrre gN..............2.38AgarAdapat dicari secara lengkap, maka kita harus mencarigrdan grini dicari dengan bantuan elemen ruang fase.Degenerasi tingkatan gr yang dikaitkandenganelemen volumeruang fase (ruang- ) dirumuskan sebagai berikut :gr= B. .2.39dengan = elemen volume ruang- dalam selang energi antara r, dan r+ dr,yangditunjukkanolehpersamaan1.21danB=rapat keadaanataujumlah keadaan persatuan volume. Oleh karena nilai energi tingkatan dapat bemilai antara 0< r < maka kita peroleh :A =0 d e ) m 2 ( 2 . V . BN2323..2.40Jika integral persamaan 2.40 diselesaikan dan dengan menggunakan pengali , akan diperoleh pengali sebagai berikut := ln A = ln]]]]

23) mkT 2 ( 2 . V . BN.2.415. Fungsi PartisiFungsi partisi memengangperananpentingdalamperhitungan-perhitungan selanjutnya. Fungsi partisi diberi nama khusus :Z = r.e .................2.42Besaran ini nilainya masih bergantung pada parameter dan struktur status energi. 6. Distribusi Maxwell-BoltzmannOlehkarena dan telahdiketahui sebagai parameter asembel, makadapat ditulis distribusi asembel, sebagaimana diberikan oleh persamaan 2.18. Distribusi ini selalu diungkapkan dalam bentuk distribusi diferensial.Contoh:Jika dn diambil sebagai jumlah sistem yang mempunyai koordinat di dalam volume ruang fase d ,maka distribusi deferensial boleh ditulis dengan mengganti jumlah keadaan gr dalam persamaan 2.18 oleh B.d , sehingga diperoleh :dn = + .e .B.d ...2.43Caralainadalahmenyatakang( ) d sebagai jumlahkeadaanenergi dengan energi antara dan + d , maka peraamaan 2.18 dapat ditulis menjadi :n( ) d = + .e .g( ).d ...2.44Untukjumlahsistemyangmemilikiselang energi antara dan + d , dengan mensubstitusikannilai-nilai , dang( ),akandiperolehdistribusi Maxwell-Boltzmann sebagai :n( ) d= 23) kT (N 2kTe21d .........2.45Persamaan 2.44 ini disebut Distribusi Maxwell-Boltzmann. Persamaan ini mengandung arti jumlah sistem yang merniliki energi antara dan + d . 7. Sifat Rata-Rata SistemAndaikan sifat suatu sistem dinyatakan secara matematts Y(X,P) merupakan fungsi koordinal 6yangdigambarkanolehX=x,y,zdanP=px,py,pz.Distribusi energi sistem dapat dipakai untuk menentukan nilai rata-rata Y(X,P). Jika terdapat dn sistem yang berada di dalam elemen ruang fase d= dx dy dz dpx dpy dpz yang berada dalam koordinat (X,P), maka peluang untuk menemukan sistem di dalam elemen ruang fase ini dapat ditulis sebagai berikut :f(X, P)d =Ndn...........2.46dengan Nadalah jumlah sistemtotal dan f(X, P) adalah fungsi probabilitas, sedangkandn ditunjukkan oleh persamaan 2.43. Persamaan 2.46 dapat ditulis sebagai :f(X, P)d =Nd . B e. + ...2.47Nilai rata-ratadari suatu besaran sistem Y(X, P) dapat dicari dengan menggunakan nilai rata-rata berdasarkan statistik yang berbentuk : =d ) P , X ( fd ) P , X ( f ) P , X ( Y.2.48dengan mengambil integral terhadap semua daerah ruang fase. Substitiisi persamaan 2.47 ke persamaan 2.48 akan diperoleh : = d ed e ) P , X ( YkTkT.2.49Adakalanya penyebut persamaan 2.49 dinormalisasi ke nilai 1. 8. Distribusi Kecepatan Sistem Gas IdealDistribusi energi sistem(partikel) gas ideal dapat dirumuskan seperti persamaan 2.45 n( )d mengandung arti jumlah sistem (partikel) yang memiliki energi dalam selang antara dan + d .Andaikan distribusinya dinyatakan dalam bentuk momentum, menulisnya adalah n(p)dp, persamaannya dapat ditulis menjadi :n(p) dp =23) kT m 2 (N 4mkT 2 / p2ep2dp.2.50yang mengandungarti"jumlah sistemyangmemiliki momentumdalamselang antara p dan p + dp.Dengancarayangsamakitadapat menyatakandistribusi kecepatansistem, secara matermatis ditulis n(v) dv. Dengan menggunakan hubungan p = mv dan dp = mdv, kita dapat memperoleh distribusi kecepatan sistem, yaitu berbentuk:n(v) dv = 4 N23kT 2m

,`

.|kT 2 / mv2ev2dv .2.51Persamaan 2.51disebutDistribusi KecepatanMaxwell, yang mengandungarti "jumlah sistem yang memiliki kecepatan dalam selang antara v dan v + dv". Bentuk kurva distribusi kecepatan Maxwell adalah sebagai berikut:Gambar 1. Distribusi Kecepatan Maxwell-BoltzmannDistribusi kecepatan di atas dapat ditulis dalam suku-suku ketiga komponen vx,vy, dan vz dengan menggunakan hubungan bahwa px = m.vx, kita perolehn(vx,vy,vz) dvx dvy dvz = N23kT 2m

,`

.|exp]]]]

+ + kT 2) v v v ( m2z2y2x dvx dvy dvz.2.52Persamaan 2.51 mengandung arti jumlah sistem yang memiliki tiga komponen kecepalan dalam selang antara vx, dan vx+ dvx, vydan vy + dvy, vz dan vz+ dvz.Dari persamaan2.52dapat dicari jumlahsistemyangmemiliki komponen kecepatan dalamselang antara vxdan vx+ dvxdengan cara mengintegralkan persamaan 2.52 terhadap semua komponen y dan z. Jika anda melakukan integrasi akan diperoleh persamaan sebagai :n(vx) dvx = N21kT 2m

,`

.|exp]]]]

kT 2mv2x dvx .2.53Persamaan ini mengandung arti jumlah sistem yang memiliki komponen kecepatan dalamselangantaravxdanvx+dvx. Fungsi distribusi probabilitassistemyang memiliki komponen kecepatan antara vx dan vx + dvx adalah fx(vx) = N1[n(vx)dvx].Bentuk lengkapnya adalah sebagai :fx(vx) dvx = 21kT 2m

,`

.|exp]]]]

kT 2mv2x dvx .2.549. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan yang Paling Mungkin Untuk menentukan kecepatan rata-rata sistem, terlebih dahulu kita tentukan fungsidistribusiprobabilitasnya. Dengancarayangsamadenganpersamaan2.54, kitadapat menuliskan fungsi distribusi probabilitas kecepatan sistem yang memiliki kecepatan dalam selang antara v dan v + dv, yaitu :fv(v) dv = Ndv ) v ( n = 421kT 2m

,`

.|exp]]]]

kT 2mv2 v2 dv .2.55Dengan menggunakan fungsi distribusi probabilitas ini, dapat ditentukan kecepatan rata-rata sistem dengan menggunakan persamaan sebagai berikut : = 0vdv ) v ( f . vJika dilakukanintegrasidengan bantuanintegral-diperoleh kecepatan rata-rata sebagai berikut : = mkT 8.............................................2.56Dengan cara yang sama, anda tentu dapat menentukan kecepatan kuadrat rata-rata, dengan menggunakan fungsi distribusi probabilitas kecepatan yaitu sebagai berikut : = 0v2dv ) v ( f . vBila dilakukan integrasi secara lengkap, diperoleh hasil sebagai : = mkT 3..............2.57Hal ini sama dengan apa yang diperoleh dalam teori kinetik gas, bahwa energi rata-rata 21m. sama dengan 23k.TSelanjutnyaakankitacari kecepatansistemyangpalingmungkin. Yang dimaksud kecepatan yang paling mungkin adalah kecepatan yang dimiliki oleh sebagian besar sistem-sistem. Untuk keperluan itu kita harus memaksimumkan fungsi probability kecepatan fv(v).Andaikan kecepatan sistem yang paling mungkin adalah vmhal inidipenuhi dengansyarat fv(v)maksimum. Jadi untukmendapatkanfv(v)maksimum, maka deferensial fv(v)terhadap v harus sama dengan nol.dv) V ( dfv = 421kT 2m

,`

.|''kTmvv 23exp(mv2/2kT) = 0, atau 2vm kTmv3m = 0Oleh karena kecepatan v = 0 tidak mungkin terjadi pada sistem, maka :vm = mkT 2 ................2.58Dari persamaan2.58dapat disimpulkanbahwasebagianbesar sistem(partikel) memiliki kecepatan vm.