Soluciones del trabajo para el 5to Examen parcial de formas diferenciales

Demostrar los siguientes resultados:Teorema 1. Sea ω una p-forma en U ⊂ Rn. Entonces d(dω) = 0

Demostracion. Es suficiente demostrar que la formula vale para la 0-formas en U, en tal caso

ϕ =∑

gi1i2...ipdxi1dxi2...dxip

se tiene entonces que

d(ϕ) = d(∑

gi1i2...ipdxi1dxi2...dxip

)=∑

d(gi1i2...ip)dxi1dxi2...dxip

Siendo las funciones g´s 0-formas en U, basta probar que la diferencial exterior de la diferencial exterior de estas es iguala cero.Sea entonces g : U ⊂ Rn → R una 0-forma en U. Se tiene

d(dg) = d

(∂g

∂x1dx1 +

∂g

∂x2dx2 + ...+

∂g

∂xndxn

)= d

n∑i=1

∂g

∂xidxi =

n∑i=1

d

(∂g

∂xi

)dxi =

n∑i=1

n∑j=1

∂

∂xj

(∂g

∂xi

)dxj

dxi

=

n∑i=1

n∑j=1

∂2g

∂xj∂xidxjdxi =

∑i<j

∂2g

∂xj∂xidxjdxi +

∑i>j

∂2g

∂xj∂xidxjdxi =

∑i<j

∂2g

∂xj∂xidxjdxi +

∑i<j

∂2g

∂xi∂xjdxidxj

=∑i<j

(∂2g

∂xj∂xidxjdxi −

∂2g

∂xi∂xjdxjdxi

)= 0

Esta ultima igualdad se da pues g es de clase C2 por lo que las derivadas parciales mixtas son iguales.

Teorema 2. Sea ω una p-forma en U ⊂ Rn. Sea ϕ : V → U una funcion de clase C2 definida en el conjunto abiertoV ⊂ Rm, y ψ : W → V una funcion de clase C2 definida en el conjunto abierto W ⊂ Rk. Entonces

(ϕ ◦ ψ)∗ω = ψ∗(ϕ∗ω)

Demostracion. Llamemos xs a las coordenadas en U, ys a las coordenadas en V y zs a las coordenadas en W. Tenemosque:ϕ = (ϕ1, ϕ2, ..., ϕm) y ψ = (ψ1, ψ2, ..., ψm) ∴ ϕ ◦ ψ = (ϕ1 ◦ ψ,ϕ2 ◦ ψ, ..., ϕm ◦ ψ)Vamos a checar primero con una 0-forma ω = f : U ⊂ Rn → R

(ϕ ◦ ψ)∗ω = (ϕ ◦ ψ)∗f = f ◦ (ϕ ◦ ψ) = (f ◦ ϕ) ◦ ψ = ψ∗(f ◦ ϕ) = ψ∗(ϕ∗f) = ψ∗(ϕ∗ω)

Ahora checaremos con una 1-forma ω = dxi con i ∈ [1, n]

(ϕ ◦ ψ)∗ω = (ϕ ◦ ψ)∗(dxi) =∂

∂z1(ϕi ◦ ψ)dz1 +

∂

∂z2(ϕi ◦ ψ)dz2 + ...+

∂

∂zk(ϕi ◦ ψ)dzk =

k∑j=1

∂

∂zj(ϕi ◦ ψ)dzj =

Por la regla de la cadena

∂

∂zj(ϕi ◦ ψ)(z) =

∂ϕi

∂y1(ψ(z))

∂ψ1

∂zj(z) + ...+

∂ϕi

∂ym(ψm(z))

∂ψm

∂zj(z) =

m∑t=1

∂ϕi

∂yt(ψ(z))

∂ψt

∂zj(z) =

m∑t=1

∂ϕi

∂yt◦ (ψ)

∂ψt

∂zj

∴

k∑j=1

∂

∂zj(ϕi◦ψ)dzj =

k∑j=1

m∑t=1

∂ϕi

∂yt◦(ψ)

∂ψt

∂zj=

m∑t=1

∂ϕi

∂yt◦ψ

k∑j=1

∂ψt

∂zjdzj =

m∑t=1

ψ∗(∂ϕi

∂yt

)ψ∗(dyt) = ψ∗

m∑t=1

∂ϕi

∂ytdyt = ψ∗ (ϕ∗(dxi))

Sea ahora ω una p-forma cualquiera en U, digamos

ω =∑

gi1i2...ipdxi1dxi2 ...dxip

Usando lo antarior se tiene que

(ϕ ◦ ψ)∗ω =∑

(ϕ ◦ ψ)∗(gi1i2...ip)(ϕ ◦ ψ)∗(dxi1)(ϕ ◦ ψ)∗(dxi2)...(ϕ ◦ ψ)∗(dxip) =∑ψ∗(ϕ∗(gi1i2...ip))ψ∗(ϕ∗(dxi1))ψ∗(ϕ∗(dxi2))..., ψ∗(ϕ∗(dxip)) = ψ∗

(∑ϕ∗(gi1i2...ip)ϕ∗(dxi1)ϕ∗(dxi2)ϕ∗(dxip)

)= ψ∗(ϕ∗ω)

1

Teorema 3. Sea ω una p-forma en U ⊂ Rn. Sea ϕ : V → U una funcion de clase C2 definida en el conjunto abiertoV ⊂ Rm. Entonces

d(ϕ∗ω) = ϕ∗(dω)

Demostracion. Para ver esto se considera primero la 0-forma ω = f : Rn → R por lo que

d(ϕ∗ω) = d(f ◦ ϕ) =

m∑j=1

∂(f ◦ ϕ)

dyjdyj =

m∑j=1

(n∑

i=1

∂f

∂xi(ϕ)

∂ϕi

dyj

)dyj =

n∑i=1

∂f

∂xi(ϕ)

m∑j=1

∂ϕi

dyjdyj =

n∑i=1

ϕ∗(∂f

∂xi

)ϕ∗(dxi)

= ϕ∗n∑

i=1

∂f

∂xidxi = ϕ∗(dw)

Consideremos ahora la 1-forma ω = dxk con k ∈ [1, n]Por un lado tenemos

ϕ∗(dw) = ϕ∗(d(dxk)) = ϕ∗(0) = 0

Por otro lado se tiene

d(ϕ∗ω) = d(ϕ∗(dxk)) = d

m∑j=1

∂ϕk

∂jidyj

=

m∑j=1

d

(∂ϕk

∂ji

)dyj =

m∑j=1

(m∑i=1

∂

∂yi

(∂ϕk

∂yj

)dyi

)dyj =

m∑i,j=1

∂2ϕk

∂yi∂yjdyidyj

=∑i<j

∂2ϕk

∂yi∂yjdyidyj +

∑i>j

∂2ϕk

∂yi∂yjdyidyj =

∑i<j

∂2ϕk

∂yi∂yjdyidyj +

∑i<j

∂2ϕk

∂yj∂yidyjdyi =

∑i<j

(∂2ϕk

∂yi∂yj− ∂2ϕk

∂yj∂yi

)dyidyj = 0

Esto ultimo por la continuidad de las parciales de ϕConsiderando ahora el caso de una p-forma ω = fdx1...dxp tenemos que

ϕ∗(dw) = ϕ∗(dfdx1...dxp) = ϕ∗(df)ϕ∗(dx1)...ϕ∗(dxp) = d(ϕ∗(f))ϕ∗(dx1)...ϕ∗(dxp) = d (ϕ∗ω)

2