Teoremas de Circuitos Electricos

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Teorema de Circuitos Electricos

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  • Circuitos Eltricos e Eletrnicos

    INSTITUTO SUPERIOR DE CINCIA E TECNOLOGIADE MOAMBIQUE

    Licenciatura em Engenharia Informtica

    TEOREMAS DE CIRCUITOS ELTRICOS

    Eng. Adlio Francisco Tembe, MSc.

  • Sumrio

    Teorema de Kennelly

    Mtodo das leis de Kirchoff

    Princpio de Superposio

    Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas

    2

    Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas

    Regra de Cramer

    Teorema de Thevenin e de Norton

  • Teorema de Kennelly

    Transformao Estrela-Tringulo

    3A

    CBCABABC R

    RRRRRRR ++=

    B

    CBCABAAC R

    RRRRRRR ++=

    C

    CBCABAAB R

    RRRRRRR ++=

  • Teorema de Kennelly

    Transformao Tringulo-Estrela

    4

    BCACAB

    ACABA RRR

    RRR++

    =

    BCACAB

    BCABB RRR

    RRR++

    =

    BCACAB

    BCACC RRR

    RRR++

    =

  • Transformaes estrela-tringulo e vice-versa

    Exemplo: Calcular as correntes do circuito dadoaplicando o mtodo de transformao.

    1 passo: Transformando o tringuloconstitudo pelas resistncias R2 , R3e R5, obtemos :

    J = 1A; R1

    = 1; R2

    = 1; R3

    =1; R

    4= 4; R

    5= 1, R

    6=

    2.

    ;33,0532

    5225 =++

    =

    RRRRRR

    ;33,0532

    3223 =

    ++=

    RRRRRR

    .33,0532

    5335 =++

    =

    RRRRRR 5

  • 25R

    1R

    35R

    RJ

    23R

    6R

    a d

    c

    2 passo: Depois da transformao pode-serepresentar o circuito do seguinte modo:

    3 passo: Com o circuito simplificadopode-se proceder ao clculo domesmo:

    Transformaes estrela-tringulo e vice-versa

    1

    4RJ 6

    b

    1I 4I 6I;33,2635356 =+= RRR ;33,4423234 =+= RRR

    ;51,1234356

    234356 =+

    =

    RRRRRp ;84,12525 =+= RRR pp

    ;65,0125

    251 ARR

    RJI

    p

    p=

    += ;35,0125 AIJI == ;12,0

    234356

    356254 ARR

    RII =+

    =

    ;23,04256 AIII == ;19,03562525 VRIRIU ad =+= ;19,05

    5 ARUI ad ==

    ;16,0512 AIIJI == .04,0423 AIII == 6

  • Fazendo o equilbrio de potncias, obtm-se:

    WIRIRIRIRIRIRP ac 65,0649,0266255244233222211arg =+++++=

    WJRIJUP 65,0===

    Transformaes estrela-tringulo e vice-versa

    WJRIJUP abFonte 65,011 ===

    7

  • Consideremos que r seja o nmero total de ramos num circuito,rc o nmero de ramos contendo fontes de corrente e N onmero de ns. Supondo conhecidas as correntes nos ramoscom fontes de correntes, ento o nmero de equaes deKirchoff obtido como se segue:

    MTODO DAS LEIS DE KIRCHOFF

    8

    Kirchoff obtido como se segue:

    Assinala-se no esquema com uma seta, o sentido positivo daCorrente em cada ramo;

    Fixa-se o sentido positivo de circulao em cada malha;

  • Mtodo das leis de Kirchoff

    Para que as equaes sejam independentes, as equaes da 1 lei de Kirchoffdevem ser tantas, quantos so os ns menos uma, ou N -1. As que traduzem a 2lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos sem fontes de corrente,menos o nmero de equaes da 1 lei de Kirchoff:

    1)1()( +== NrrNrrN cceq

    9

    1)1()( +== NrrNrrN cceq

    A ttulo de exemplo, consideremos o circuito dado.

    4R3R

    1E

    1R 2E2R

  • O circuito dado tem 2 ns,identificados pelas letras a, e b.

    De acordo com a 1 lei de Kirchoffdevem ser escrita 1 equao, que

    O nmero de ramos 3 e no temosnenhuma fonte de corrente.

    4R3R

    1E

    1R 2E2Ra

    Mtodo das leis de Kirchoff

    devem ser escrita 1 equao, queFica:

    De acordo com a 2 lei de Kirchoff devem ser escritas 2 equaesdas malhas indicadas a tracejado:

    0321 =+ III

    13311 EIRIR =+ 233242 )( EIRIRR =++

    b

    10

  • Considerando os seguintes dados:

    E1

    = 12 V; E2

    = 12 V; R1

    = 4 ; R2

    = 5 ; R3

    = 5 ; R4

    = 5

    A soluo ser: I1

    = 1,09 A; I2

    = 0,44 A; I3

    = 1,53 A

    Fazendo o equilbrio de potncias:

    Mtodo das leis de Kirchoff

    Fazendo o equilbrio de potncias:

    WIEIEPFonte 36,18)44,009,1(122211 =+=+=

    WxxxIRRIRIRP ac

    39,1844,01053,1509,14)( 2222242233211arg

    =

    ++=+++=

    11

  • Princpio da Superposio

    Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontesindependentes, qualquer tenso (ou corrente) do circuito pode ser calculadacomo a soma algbrica de todas as tenses (ou correntes) individuais causadaspelas atuao isolada de cada fonte independente, isto , com todas as outrasfontes independentes mortas.

    12

  • Princpio da Superposio

    Este principio dita que ao se considerar o circuito em partes, montar-se-ocircuitos de numero igual ao numero das fontes independente no circuito.E ao consideramos a ao de uma nica fonte, sero curto circuitadas todasfontes de tenso restantes e mantidas em aberto as fontes de corrente.

    13=

    6'

    1gVI

    Considerando apenas afonte de tenso

  • Princpio da Superposio

    Considerando apenas a fonte de corrente

    3''

    2gII =

    14

    3''I =

    A corrente I resultante da ao das duas fontes ser:

    36"'

    21 gg IVIII +=+=

  • Exemplo: Considerando o circuito dado, calcular todas as correntesusando o mtodo de sobreposio:

    E1

    = 2 V; E2

    = 4 V; R1

    = 4 ; R2

    = 5 ; R3

    = 10 .

    Princpio da Superposio

    1E

    1R 2R

    3R2E

    1E

    1R 2R

    3R2E

    1I 2I3I

    15

  • Correntes da fonte 1:

    1E

    1R 2R

    3R

    I

    2I

    3I AIIIRR

    RIIAI

    RRRRRR

    REI eqeq

    18,0

    09,0155

    .27,0;27,033,72

    33,715504.

    32

    2131

    23

    2311

    ==

    ==

    +===

    =+=+

    +==

    Princpio da Superposio

    1I 3I AIII 18,0312 ==

    Correntes da fonte 2:

    2E

    1R 2R

    3R1I 2I

    3I AIII

    RRR

    IIAI

    RRRR

    RRRE

    I eqeq

    36,0

    15,0144

    .51,0;51,086,74

    86,714405.

    321

    31

    1232

    13

    132

    22

    ==

    ==

    +===

    =+=+

    +==

    16

  • Finalmente calculamos as correntes totais:

    E

    1R 2R

    R2E

    AIIIAIII

    33,009,0

    222

    111

    ==

    ==

    Princpio da Superposio

    1E 3R

    1I 2I3I

    AIIIAIII

    24,033,0

    333

    222

    =+=

    ==

    17

  • Princpio da Superposio

    Exerccio: Dado o circuito da figura seguinte, determinar a quedade tenso entre os terminais da resistncia de 3 e a correnteque a atravessa.

    18

  • Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas

    Quando o circuito constitudo por uma ou mais malhas fechadas, comgeradores em varias delas, mais fcil analisa-lo utilizando o mtodo dasMALHAS que uma forma especial de aplicar as leis de Kirchoff.Baseia-se nos seguintes pontos:

    19

    1. Definir para cada malha o nome e o sentido de uma corrente.2. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, obter a equao de cada malha, tendo

    em conta que, se alguns ramos que compem a malha pertencerem a maisde uma malha, ao calcular as quedas de tenso nas resistncias dessesramos consideram-se que a intensidade que neles circulam so o resultadoda soma ou da diferena de todas as intensidades que nela passam.

  • Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas

    O numero das equaes que sero obtidas ou das correntes demalha dado por:

    1= NNequacoes

    20

    1= NNequacoesN o nmero de ns.

  • Tal como foi visto na aplicao do mtodo das leis de Kirchoff, paraque as equaes sejam independentes, as equaes que traduzema 2 lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos semfontes de corrente, menos o nmero de equaes da 1 lei deKirchoff:

    Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas Independentes

    Kirchoff:

    1)1()( +== NrrNrrN cceqSendo r o nmero de ramos do circuito, rc o nmero de ramos comfontes de corrente e N o nmero de ns.

    21

  • Regra de Cramer

    Para se aplicar a regra de Cramer necessrio que as equaes a resolver

    estejam ordenadas de igual forma, quer dizer, os termos independentes de

    um lado e as incgnitas do outro, mas colocadas na mesma ordem.

    22

    =+

    =

    =+

    75801513150181712

    50852

    321

    321

    321

    IIIIII

    III

    =

    11

    II

    =

    22

    II

    =

    33

    II

    Delta () o determinante formado pelos coeficientes das incgnitas.

  • E1

    = 100 V; J = 6 A; R1

    = 2,5 ; R2

    = 10 ; R3

    = 40 ; R

    4= 20 .

    Exemplo:

    O circuito tem 6 ramos, 4 ns e um

    Mtodo das Malhas Independentes

    21416 =+=eqN

    O circuito tem 6 ramos, 4 ns e umramo com fonte de corrente, isto , r= 6, N = 4 e rc=1. Assim:

    O nmero de equaes de malhas independentes ento de 2, o que significaque devemos identificar duas malhas independentes. 23

  • 1E

    1R

    J

    2R

    3R

    4R

    As malhas identificadas esto assinaladas nocircuito pelas setas a azul. Assim temos as malhas Ae B e as respectivas equaes esto escritas nosistema abaixo.

    =++

    Mtodo das Malhas Independentes

    =++

    =++

    14433

    23321

    )(0)(

    EJRRRIRIJRRIRRRI

    BA

    BA

    =+

    =

    220604060405,52

    BA

    BA

    IIII

    =+

    =

    22646425,5

    BA

    BA

    IIII

    =

    =

    A 9A 8

    B

    A

    II 24

  • 1E

    1R

    J

    2R

    3R

    4R

    1I 2I

    3I

    4II

    a

    ==

    ==

    ==

    ==

    AIIIAJII

    IIII

    A

    B

    A

    12A 9A 8

    2

    1

    Mtodo das Malhas Independentes

    b

    ====

    AJIIAIII

    B