Teoremas de Circuitos Electricos

Circuitos Eltricos e Eletrnicos

INSTITUTO SUPERIOR DE CINCIA E TECNOLOGIADE MOAMBIQUE

Licenciatura em Engenharia Informtica

TEOREMAS DE CIRCUITOS ELTRICOS

Eng. Adlio Francisco Tembe, MSc.

Sumrio

Teorema de Kennelly

Mtodo das leis de Kirchoff

Princpio de Superposio

Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas

2


Regra de Cramer

Teorema de Thevenin e de Norton

Teorema de Kennelly

Transformao Estrela-Tringulo

3A

CBCABABC R

RRRRRRR ++=

B

CBCABAAC R

RRRRRRR ++=

C

CBCABAAB R

RRRRRRR ++=

Teorema de Kennelly

Transformao Tringulo-Estrela

4

BCACAB

ACABA RRR

RRR++

=

BCACAB

BCABB RRR

RRR++

=

BCACAB

BCACC RRR

RRR++

=

Transformaes estrela-tringulo e vice-versa

Exemplo: Calcular as correntes do circuito dadoaplicando o mtodo de transformao.

1 passo: Transformando o tringuloconstitudo pelas resistncias R2 , R3e R5, obtemos :

J = 1A; R1

= 1; R2

= 1; R3

=1; R

4= 4; R

5= 1, R

6=

2.

;33,0532

5225 =++

=

RRRRRR

;33,0532

3223 =

++=

RRRRRR

.33,0532

5335 =++

=

RRRRRR 5

25R

1R

35R

RJ

23R

6R

a d

c

2 passo: Depois da transformao pode-serepresentar o circuito do seguinte modo:

3 passo: Com o circuito simplificadopode-se proceder ao clculo domesmo:


1

4RJ 6

b

1I 4I 6I;33,2635356 =+= RRR ;33,4423234 =+= RRR

;51,1234356

234356 =+

=

RRRRRp ;84,12525 =+= RRR pp

;65,0125

251 ARR

RJI

p

p=

+= ;35,0125 AIJI == ;12,0

234356

356254 ARR

RII =+

=

;23,04256 AIII == ;19,03562525 VRIRIU ad =+= ;19,05

5 ARUI ad ==

;16,0512 AIIJI == .04,0423 AIII == 6

Fazendo o equilbrio de potncias, obtm-se:

WIRIRIRIRIRIRP ac 65,0649,0266255244233222211arg =+++++=

WJRIJUP 65,0===


WJRIJUP abFonte 65,011 ===

7

Consideremos que r seja o nmero total de ramos num circuito,rc o nmero de ramos contendo fontes de corrente e N onmero de ns. Supondo conhecidas as correntes nos ramoscom fontes de correntes, ento o nmero de equaes deKirchoff obtido como se segue:

MTODO DAS LEIS DE KIRCHOFF

8

Kirchoff obtido como se segue:

Assinala-se no esquema com uma seta, o sentido positivo daCorrente em cada ramo;

Fixa-se o sentido positivo de circulao em cada malha;


Para que as equaes sejam independentes, as equaes da 1 lei de Kirchoffdevem ser tantas, quantos so os ns menos uma, ou N -1. As que traduzem a 2lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos sem fontes de corrente,menos o nmero de equaes da 1 lei de Kirchoff:

1)1()( +== NrrNrrN cceq

9

1)1()( +== NrrNrrN cceq

A ttulo de exemplo, consideremos o circuito dado.

4R3R

1E

1R 2E2R

O circuito dado tem 2 ns,identificados pelas letras a, e b.

De acordo com a 1 lei de Kirchoffdevem ser escrita 1 equao, que

O nmero de ramos 3 e no temosnenhuma fonte de corrente.

4R3R

1E

1R 2E2Ra


devem ser escrita 1 equao, queFica:

De acordo com a 2 lei de Kirchoff devem ser escritas 2 equaesdas malhas indicadas a tracejado:

0321 =+ III

13311 EIRIR =+ 233242 )( EIRIRR =++

b

10

Considerando os seguintes dados:

E1

= 12 V; E2

= 12 V; R1

= 4 ; R2

= 5 ; R3

= 5 ; R4

= 5

A soluo ser: I1

= 1,09 A; I2

= 0,44 A; I3

= 1,53 A

Fazendo o equilbrio de potncias:


Fazendo o equilbrio de potncias:

WIEIEPFonte 36,18)44,009,1(122211 =+=+=

WxxxIRRIRIRP ac

39,1844,01053,1509,14)( 2222242233211arg

=

++=+++=

11

Princpio da Superposio

Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontesindependentes, qualquer tenso (ou corrente) do circuito pode ser calculadacomo a soma algbrica de todas as tenses (ou correntes) individuais causadaspelas atuao isolada de cada fonte independente, isto , com todas as outrasfontes independentes mortas.

12


Este principio dita que ao se considerar o circuito em partes, montar-se-ocircuitos de numero igual ao numero das fontes independente no circuito.E ao consideramos a ao de uma nica fonte, sero curto circuitadas todasfontes de tenso restantes e mantidas em aberto as fontes de corrente.

13=

6'

1gVI

Considerando apenas afonte de tenso


Considerando apenas a fonte de corrente

3''

2gII =

14

3''I =

A corrente I resultante da ao das duas fontes ser:

36"'

21 gg IVIII +=+=

Exemplo: Considerando o circuito dado, calcular todas as correntesusando o mtodo de sobreposio:

E1

= 2 V; E2

= 4 V; R1

= 4 ; R2

= 5 ; R3

= 10 .


1E

1R 2R

3R2E

1E

1R 2R

3R2E

1I 2I3I

15

Correntes da fonte 1:

1E

1R 2R

3R

I

2I

3I AIIIRR

RIIAI

RRRRRR

REI eqeq

18,0

09,0155

.27,0;27,033,72

33,715504.

32

2131

23

2311

==

==

+===

=+=+

+==


1I 3I AIII 18,0312 ==

Correntes da fonte 2:

2E

1R 2R

3R1I 2I

3I AIII

RRR

IIAI

RRRR

RRRE

I eqeq

36,0

15,0144

.51,0;51,086,74

86,714405.

321

31

1232

13

132

22

==

==

+===

=+=+

+==

16

Finalmente calculamos as correntes totais:

E

1R 2R

R2E

AIIIAIII

33,009,0

222

111

==

==


1E 3R

1I 2I3I

AIIIAIII

24,033,0

333

222

=+=

==

17


Exerccio: Dado o circuito da figura seguinte, determinar a quedade tenso entre os terminais da resistncia de 3 e a correnteque a atravessa.

18


Quando o circuito constitudo por uma ou mais malhas fechadas, comgeradores em varias delas, mais fcil analisa-lo utilizando o mtodo dasMALHAS que uma forma especial de aplicar as leis de Kirchoff.Baseia-se nos seguintes pontos:

19

1. Definir para cada malha o nome e o sentido de uma corrente.2. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, obter a equao de cada malha, tendo

em conta que, se alguns ramos que compem a malha pertencerem a maisde uma malha, ao calcular as quedas de tenso nas resistncias dessesramos consideram-se que a intensidade que neles circulam so o resultadoda soma ou da diferena de todas as intensidades que nela passam.


O numero das equaes que sero obtidas ou das correntes demalha dado por:

1= NNequacoes

20

1= NNequacoesN o nmero de ns.

Tal como foi visto na aplicao do mtodo das leis de Kirchoff, paraque as equaes sejam independentes, as equaes que traduzema 2 lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos semfontes de corrente, menos o nmero de equaes da 1 lei deKirchoff:

Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas Independentes

Kirchoff:

1)1()( +== NrrNrrN cceqSendo r o nmero de ramos do circuito, rc o nmero de ramos comfontes de corrente e N o nmero de ns.

21

Regra de Cramer

Para se aplicar a regra de Cramer necessrio que as equaes a resolver

estejam ordenadas de igual forma, quer dizer, os termos independentes de

um lado e as incgnitas do outro, mas colocadas na mesma ordem.

22

=+

=

=+

75801513150181712

50852

321

321

321

IIIIII

III

=

11

II

=

22

II

=

33

II

Delta () o determinante formado pelos coeficientes das incgnitas.

E1

= 100 V; J = 6 A; R1

= 2,5 ; R2

= 10 ; R3

= 40 ; R

4= 20 .

Exemplo:

O circuito tem 6 ramos, 4 ns e um

Mtodo das Malhas Independentes

21416 =+=eqN

O circuito tem 6 ramos, 4 ns e umramo com fonte de corrente, isto , r= 6, N = 4 e rc=1. Assim:

O nmero de equaes de malhas independentes ento de 2, o que significaque devemos identificar duas malhas independentes. 23

1E

1R

J

2R

3R

4R

As malhas identificadas esto assinaladas nocircuito pelas setas a azul. Assim temos as malhas Ae B e as respectivas equaes esto escritas nosistema abaixo.

=++


=++

=++

14433

23321

)(0)(

EJRRRIRIJRRIRRRI

BA

BA

=+

=

220604060405,52

BA

BA

IIII

=+

=

22646425,5

BA

BA

IIII

=

=

A 9A 8

B

A

II 24

1E

1R

J

2R

3R

4R

1I 2I

3I

4II

a

==

==

==

==

AIIIAJII

IIII

A

B

A

12A 9A 8

2

1


b

====

AJIIAIII

B

AB31

4

3

=+=

=+++=

WEIJUPWIRIRIRIRP

baFonte

aC

420420244

233

222

211arg

VUUVRIRIU abbaab 80;804422 ===+=

25

Malhas Independentes

Exemplo: Calcular as correntes em todos os ramos do circuito abaixo.

26

Equivalentes de Thevenin e

Norton

vv==ii++ ou ii = = v v + +

27

Um bipolo equivalente aoutro quando a relao entretenso e corrente em seusterminais exatamente amesma.

Teorema de Thevenin

Um circuito linear qualquer visto por quaisquer dois terminais onde a relaoentre tenso e corrente determinada por uma funo linear algbrica equivalente a um bipolo constitudo por uma fonte de tenso (Vth) em SRIEcom um resistor (Rth).

28

Teorema de Thevenin Regra de Aplicao

Para o clculo da resistncia de Thevenin deve-se medir a resistncia entre osterminais do bipolo quando se retira a carga que se deseja alimentar com oequivalente de Thevenin, quando todas as fontes de tenso so substitudaspor curto-circuitos e as fontes de corrente substitudas por circuitos abertos.

29

A tenso de Thevenin a diferena de potencial nos terminais em aberto docircuito equivalente que alimentara a carga.

Bipolo Equivalente - Teorema de

TheveninExemplo Exemplo -- RthRth

30

Bipolo Equivalente - Teorema de

Thevenin

Exemplo Exemplo -- RthRth

R43

+

R34R15

+

Rth

+Vth +

R43

88 iziziziz

R510

+

-

V210V

I13A

R220

+

-

V125V

+

-

Vth +

-

V210V

R510

R34

I13A

R220

R15

+

-

V125V

32V32V

V1V1 == 00 I1I1 == 00 Rth =Rth = ==

R1R1

11

R2R2++

11= 8 = 8

11R1//R2R1//R2 ++ R3R3ReqReq

++ R3R3

iziziziz

31

Bipolo Equivalente - Teorema

de TheveninDeterminando VthDeterminando Vth

32

Bipolo Equivalente - Teorema

de Thevenin

Exemplo Determinar o circuito equivalente que pode serconectado entre os terminais AB para calcular de modo simplesa corrente na carga para valores de resistncia de carga iguais a:1K3, 1K8, 6K3.1K3, 1K8, 6K3.

33

Teorema de Norton

Um circuitocircuito linearlinear qualquer vistovisto porpor quaisquerquaisquer

doisdois terminaisterminais onde a relao entre tenso e

corrente determinada por uma funo linear

algbrica equivalente a um bipolobipolo constitudoconstitudo

por uma fontefonte dede CorrenteCorrente (IN)(IN) emem PARALELOPARALELO

comcom umum resistorresistor (RN)(RN).

IN a corrente quecircula entre A e Bem curto circuito,no circuito inicial.

34

Relao entre teorema de Thevenin e de Norton

35


Como sabemos, para determinar o circuito equivalente Theveninou Norton devemos encontrar: A tenso de circuito aberto voc entre os terminais a e b A corrente de curto circuito isc nos terminais a e b A resistncia de entrada ou resistncia equivalente Rin nos

36

A resistncia de entrada ou resistncia equivalente Rin nosterminais a e b quando todas as fontes independentes estiverem

anuladas.


Exerccio:Dado o circuito, determinar os equivalentes de Thevenin e deNorton, e verificar se existe relao entre eles.

37

Em situaes prticas, como na rea de comunicao, um circuito projetado para fornecer potncia para carga.

Como entregar a mxima potncia uma carga quando um dadocircuito possui perdas internas?

Mxima Transferncia de Potncia

circuito possui perdas internas?

38

Assumindo que podemos ajustar a resistncia da carga (RL), oTeorema de Thevenin til para determinar a potncia mximaque um circuito linear pode entregar a uma carga.

Mxima Transferncia de Potncia

Para um dado circuito, VTh e RTh so fixos. Variando a resistncia RL,a potncia entregue a carga varia de acordo com a equacao e acurva dadas a seguir.

39

Aplicao Dos Teoremas de Thevenine de Norton

Na pratica, atravs os teoremas de Thevenin ou de Norton, dadoum circuito complexo possvel determinar a potencia mximaque uma carga pode consumir, olhando para o alimentadorapenas como um gerador com sua resistncia interna (Rg=Rth).

40

LLg

gLR RRR

VRiP

L

+==

2

2

A mxima transferncia de potenciaocorre quando Rg=RL, dai que:

L

g

g

gMaxR R

VR

VP

L 44

22

==

MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA

A mxima transferncia de potncia ocorre quando:

A mxima potncia transferida a carga pode entao ser calculada

41

A mxima potncia transferida a carga pode entao ser calculadacomo:

MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA

Exerccio:Dado o circuito, determinar o valor da Potncia mximatransferida a carga RL.

42

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