CURSO: CIRCUITOS ELECTRICOS IICDIGO: IEL-214

Ing. Antonio Alfaro

Universidad Tcnica Nacional

Q2-2014

UNIDAD TEMTICA II

NUMEROS COMPLEJOS

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Ing. A Alfaro UTN, Q2 2014

SEAL SENOIDALES DE VOLTAJE Y CORRIENTE

donde Vm , Im es la amplitud de la seal senoidal es la frecuencia angular en radianes/s es el ngulo de fase en grados del voltaje es el ngulo de fase en grados de la corriente(t + ) es el argumento de la seal voltaje(t +) es el argumento de la seal corriente

)()( tsenVtv m

2

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)()( tsenIti m

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NMEROS COMPLEJOSEn el anlisis de las redes de cd (que se estudiaron en el curso CircuitosElctricos I ) , como en el anlisis de las redes ac que estudiaremos eneste curso, nos encontramos con la necesidad de sumar algebraicamentevoltajes y corrientes. La pregunta que surge es:

Como determinaremos la suma algebraica de dos o mas seales devoltaje o corriente que varan en forma senoidal?

El propsito de esta Unidad Temtica es estudiar y aprender el sistema denmeros complejos, su operacin y las reglas que los rigen; quepermitirn la operaciones algebraicas de las seales senoidales en formadirecta, simple y precisa.

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IGUALDAD DE EULER

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IGUALDAD DE EULER

0 es la identidad aditiva, como la adicin a otro nmero de resultados en el nmero original. 1 es la identidad multiplicativa por la misma razn como 0. Pi () es una de las constantes matemticas ms importantes en la historia de las matemticas que es omnipresente en la geometra euclidiana y la trigonometra. El nmero de Euler (e) es la base de los logaritmos naturales y se utiliza ampliamente en el anlisis matemtico y cientfico. i (-1) es la unidad imaginaria de los nmeros complejos, un campo de nmeros imaginarios que no son "reales", lo que permite el clculo de todas las races de polinomios.

La identidad de Euler resume a la perfeccin la relacin entre estos cinco nmeros que son tan cruciales en el campo de las matemticas. Tambin es interesante observar que estos cinco nmeros fueron descubiertos en diferentes momentos de la historia que abarca ms de 3000 aos.

6Una corriente o una tensin senoidal con una frecuencia dada est caracterizada por slo dos parmetros:

Su amplitud Im o Vm Su ngulo de fase

CONCEPTO DE FASOR

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)()( tsenVtv m)()( tsenIti m

La representacin compleja de la corriente o de la tensin sinoidal esta tambin caracterizada por los mismos dos parmetros.

)()( tjmm eItsenIUsando identidad de Euler

jtjm eeI

jmeI jmeV

Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud yfase de una seal senoidal.

MATERIAL COMPLEMENTARIO

* Identidad de Euler:

* Aplicacion en Fasor :

)(Ae Re)tAcos()tjAsin()tAcos( Ae

sinjA cosA Aesin jcose complejo lexponencia

)tj(

)tj(

j

j

)tcos(A Afasorial forma lapor esimplement o )Re(Aepor darepresenta esta )tcos(A

, que tenemosresultado Comocircuito. elen invariable mantiene se este que ya Ae terminoel eliminando

Ae forma la a simplifica se Ae AC, circuitos para aplicacion laEn

j

jwt

j)tj(

A7

8MATERIAL COMPLEMENTARIOFasor vs. Senoidal

m

mm

V:como define se v(t)paraFasor El

VcosV v(0)0,en t and )(

Re:rotante vector del real parte la justamente Es

cos:mostrado como senoidal voltajeel osConsiderem

V

tVeVeVtv

tVtv

mtj

m

tjm

m

)(Ae Re)tAcos()tjAsin()tAcos( Ae

sinjA cosA Aesin jcose complejo lexponencia

)tj(

)tj(

j

j

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Los nmeros complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadrticas sin solucin en el conjunto de los nmeros reales.

NMEROS COMPLEJOS

25,135 2 xxTomemos como ejemplo la ecuacin:

Aplicando la formula resolvente:

5.2

25,1.5.433 2 x

10163 x ????16

NMEROS COMPLEJOS

Como la raz cuadrada de un nmero negativo no existe en los reales, esta ecuacin no tiene solucin en este conjunto, es decir que no existe ningn nmero real que resuelva este problema.

(Sin solucin real)

25,135 2 xx

Para que la ecuacin anterior tenga solucin, los matemticos buscaron una ampliacin del conjunto de los nmeros reales.

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Inventaron un nmero cuyo cuadrado es -1 ( Euler lo denomin con la letra i ). En ingeniera elctrica / electrnica usaremos la letra j

12 i

NMEROS COMPLEJOS

Entonces volviendo a nuestra ecuacin:

i4

1.16

1.1616

El nmero i es solo un elemento del conjunto de los nmeros complejos

104310

163

ix

x

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NMEROS COMPLEJOS

Al nmero a se llama parte real de z (a=Re[z]) Al nmero b se llama parte imaginaria de z (b=Im[z])

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NMEROS COMPLEJOS

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REPRESENTACION EN EL PLANO

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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z4= 4-3j , z5=-6+2j , z6= -5j , z7= 4, z8= 6j , z9= -3-5j , z10= 8-3j

Eje Real

Eje Imaginario

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Determine la expresin matemtica para cada uno de los siguientesnmeros complejos representados en el plano complejo.

Eje Real

Eje Imaginario

1

5

2

6

3

8

9

1

4

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Determine el conjugado y la expresin matemtica para cada uno de los siguientes nmeros complejos representados en el plano complejo.

Eje Real

Eje Imaginario

1

6

5

4

3 2

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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z1= 4-3j , z2=-6+2j , z3= -5j , z4= 4, z5= 6j , z6= -3-5j , z7= 8-3j

Eje Real

Eje Imaginario

Dibuje en el plano complejo, el opuesto de cada uno de los siguientes nmeros complejos

NMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

NMEROS COMPLEJOS

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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NMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

NMEROS COMPLEJOS

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NMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES (SOLUCIN)

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES (SOLUCIN)

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REPRESENTACION EN EL PLANO

NMEROS COMPLEJOS

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22 yxr

xy1tan donde

jrez

NMEROS COMPLEJOS

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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(solucin)

a) 2600 b) 2300 c) 21350

d) 132920 e) 3900 f) 500

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Operaciones con nmeros complejos:

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicacion

4. Division

5. Inverso

6. Raiz cuadrada

7. Conjugado

NUMEROS COMPLEJOS

)()( 212121 yyjxxzz

)()( 212121 yyjxxzz

212121 rrzz

212

1

2

1 rr

zz

rz11

2 rz jrerjyxz

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Sean los nmeros complejos z1 = 460 y z2 = 3210.

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(solucin)

NUMEROS COMPLEJOS

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MATERIAL COMPLEMENTARIO UNIDAD TEMATICA

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DOMINIO FASORIAL Y NMEROS COMPLEJOS (REPASO)

Al resolver ecuaciones del tipo : x2 +1= 0 x = -1 que no tiene solucin en los nmeros reales. Los nmeros complejos nacen de la necesidad de dar validez a estas expresiones. Para ello es necesario admitir como nmero vlido a -1 y a todos los que se obtengan al operar con l como si se tratara de un nmero ms.

Unidad imaginaria: Se llama as al nuevo nmero -1 . Y se designa por la letra i ( matemticos) j ( ingeniera) j = -1 ; j2 = -1 (El nombre j viene de imaginario)

Nmeros complejos en forma Binomica: Son las expresiones: z = a + bj, donde a y b son nmeros reales.

La expresin a + bj, se llama forma binmica de un nmero complejo porque tiene dos componentes: a = Parte real; b = Parte imaginaria.

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DOMINIO FASORIAL Y NUMEROS COMPLEJOS (REPA