Circuitos de Segunda Ordem

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DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos ICaptulo 9Circuitos de Segunda OrdemDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.1 Circuitos com Dois Elementos ArmazenadoresCircuito com dois indutores, onde deseja-se obter a corrente de malha i2:gv i idtdi= +2 114 12 21 H 4 vg8 + i1 i22 H0 4 1 4221 = + + idtdii ||

\| + =221441idtdii ||

\|dtd|||

\|+ =dtdidti ddtdi22221441DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos Igv i idtdidtdidti d= ||

\| + +|||

\|+2 22 22224 4412442gv i idtdidtdidti d= + + +2 22 22224 12 3 221gv idtdidti d2 16 1022222= + +Equao diferencial de 2 ordemCircuitos de 2 ordem normalmente possuem 2 elementos armazenadores de energia.DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IExistem excees regra de que circuitos com 2 elementos armazenadores so representados por equaes de 2 ordem.Exemplo:Equaes nodais:Com o n de referncia escolhido, as tenses v1e v2resultam em duas equaes diferenciais de 1 ordem desacopladas.gv vdtdv= +11gv vdtdv2 222= +vg1 + v12 v21 F 1/4 F01111=+ gv vdtdv02 4122=+ gv vdtdvDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.2 Equaes de 2 OrdemEquao genrica de 2 ordem:onde os aiso constantes reais.Soluo: resposta completa igual a soma da resposta natural com a resposta forada, x = xn+ xf.x deve conter tambm duas constantes arbitrrias para satisfazer as duas condies impostas pela energia inicial armazenada em cada um dos elementos armazenadores. ( ) t f x adtdxadtx d= + +0 122DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IResposta natural xn:Resposta quando f(x) = 0, ou seja, a resposta deve satisfazer a equao:Como cada termo da equao contm xn, no mesmo grau, o membro da direita pode ser assumido como 0xn(equao homognea).Resposta forada xf:A resposta deve satisfazer a equao original:( ) t f x adtdxadtx dff f= + +0 12200 122= + + nn nx adtdxadtx dDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos ISomando as duas equaes e rearranjando os termos, obtemosA resposta natural contm duas constantes arbitrrias e a resposta forada no.resposta natural soluo complementarresposta forada soluo particular( ) ( ) ( ) ( ) t f x x a x xdtda x xdtdf n f n f n = + + + + +0 122DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IExemplo: Mostre que e so solues deSubstituindo na expresso acima resulta:0 6 522= + + xdtdxdtx d( ) t A x 2 exp1 1 = ( ) t A x 3 exp2 2 =( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 2 exp 10 2 exp 102 exp 6 2 exp 10 2 exp 42 exp 6 2 exp 10 2 exp 22 exp 6 2 exp 5 2 exp1 11 1 11 1 11 1 122= = + = + = + + t A t At A t A t At A t A tdtdAt A t Adtdt Adtd( ) t A x 2 exp1 1 =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos ISubstituindo na expresso anterior resulta:( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 3 exp 15 3 exp 153 exp 6 3 exp 15 3 exp 93 exp 6 3 exp 15 3 exp 33 exp 6 3 exp 5 3 exp2 22 2 22 2 22 2 222= = + = + = + + t A t At A t A t At A t A tdtdAt A t Adtdt Adtd( ) t A x 3 exp2 2 =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.3 Resposta NaturalA resposta natural xndeve satisfazer a equao homognea:Evidentemente a funo x = xndeve ser tal que esta no mude de forma quando diferenciada.Ou seja, a funo, sua 1 derivada e sua 2 derivada devem ter todas a mesma forma.Possvel soluo:A e s so constantes a serem determinadas.00 122= + + x adtdxadtx dstn Ae x =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos ISubstituindo na equao homognea, obtemosComo Aestno pode ser 0, pois isto faria xn= 0, entoSoluo:Portanto, temos duas solues naturais:stn Ae x =00 12= + + st st stAe a sAe a e As( ) 00 12= + + a s a s Aest00 12= + + a s a s equao caracterstica24021 1 a a as =t sn e A x11 1 =t sn e A x22 2 =A1e A2so arbitrriasDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos INote que a soma das duas solues tambm uma soluo, ou seja uma soluo geral da equao homognea, quando s1e s2so razes distintas da equao caracterstica.t s t sn n n e A e A x x x2 12 1 2 1 + = + =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IExemplo: equao homogneaEquao caracterstica:As razes so s1= -2 e s2= -8.E a soluo geral :Os nmeros s1= -2 e s2= -8 so denominadas de freqncias naturais do circuito.As constantes de tempo dos dois termos so 1= 1/2 e 2= 1/8.0 16 1022222= + + idtdidti d0 16 102= + + s st te A e A i8221 2 + =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.4 Tipos de Freqncias NaturaisAs freqncias naturais so as razes da equao caracterstica, portanto, elas podem ser reais, imaginrias ou complexas.A natureza das razes so determinadas pelo discriminante = a12 4a0.= = complexas razes 0idnticas e reais razes 0distintas e reais razes 04021 a aDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IvdtdiRi = +0414 = + +dtdviv v gExemplo: resposta a tenso v.N a: Equao da malha direita:vgR+b4 v1H1/4 Fa+-i||

\| + =dtdvv v i g41vdtdvv vdtddtdvv vRg g =||

\| + ||

\| + 414vdtv ddtdvvdtddtdv RvRvR gg = + + 224141414 4 4DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I( ) ( )dtdvRv v RdtdvRdtv d gg + = + + + + 4 122Equao homognea:Equao caracterstica:Assim,( ) ( ) 0 4 122= + + + + nn nv RdtdvRdtv d( ) ( ) 0 4 12= + + + + R s R s( ) ( ) ( ) ( )215 2 121 4 1 12 22 , 1 + =+ + + = R R R R R Rs = + = = = = ==2 1 , 2 1 13 55 , 2 62 12 12 1j s j ss ss sR1 = jDECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IRazes Reais e Distintas: Caso SuperamortecidoNeste caso a resposta natural dada por:Exemplo: se R = 6 no exemplo anterior, temost s t sn e A e A x2 12 1 + =t tn e A e A v5221 + =Razes Complexas: Caso SubamortecidoAs freqncias naturais so complexas do tipo:Neste caso a resposta natural dada por:( ) ( )t j t jn e A e A x ++ =2 1 j s =2 , 1DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IForma mais conveniente:Frmula de Euler: ouonde sen cos j ej+ = sen cos j e j =( ) ( )( )( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] t A A j t A A et j t A t j t A ee A e A ee A e A xttt j t j tt j t jn sen cossen cos sen cos2 1 2 12 12 12 1 + + = + + =+ =+ = +( ) t B t B e x tn sen cos2 1 + =2 1 1 A A B + = ( )2 1 2 A A j B =Para circuitos reais, < 0, a resposta amortecida com o tempo.DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IExemplo: Se R = 1 no exemplo anterior, temosonde B1e B2so arbitrrios.Razes Reais e Iguais: Caso de Amortecimento CrticoAs freqncias naturais so reais do tipo:Neste caso a resposta natural dada por:Ento, existe somente uma constante arbitrria independente.( ) ( ) [ ] t B t B e v tn2 sen 2 cos2 1 + = k s s = =2 1ktn Ae x =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IPara se ter freqncias naturais idnticas, a equao caracterstica deve sere portanto, a equao homognea deve serComo sabemos que uma soluo para A arbitrrio, vamos tentarsubstituindo na expresso acima e simplificando obtemos( ) 0 22 2 2= + = k ks s k s0 2222= + nn nx kdtdxkdtx dktAe( ) ktn e t h x =022=ktedth dtdth d = 022DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IIsto verdade se h(t) tiver a forma de um polinmio do 1 grau:onde A1e A2so constantes arbitrrias. A soluo geral no caso de razes idnticas ento:Exemplo: se R = 5 no exemplo anterior, temos( ) t A A t h2 1+ =( ) ktn e t A A x2 1+ =( ) tn e t A A v32 1 + =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.5 A Resposta ForadaA resposta forada xfde um circuito genrico de 2 ordem deve satisfazer:e no conter constantes arbitrrias.Exemplo: vg= 16 V( ) t f x adtdxadtx dff f= + +0 1221 H 4 vg8 + i1 i22 Hgv idtdidti d2 16 1022222= + +DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IFazendo i2= x, temosResposta natural:Para a resposta forada vamos tentar xf= A, onde A uma constante a ser determinada:ou seja, xf= A = 2.Portanto, a soluo geral :32 16 1022= + + xdtdxdtx dt tn e A e A x8221 + =32 16 1022= + + AdtdAdtA d32 16 = A28221 + + = t te A e A xA1e A2so obtidas a partir da energia inicial armazenada nos indutores.DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos INo caso de funes de excitao constantes, pode-se obter xfdo prprio circuito:Em regime permanente, o circuito se reduz a:Note que a resposta forada xf= i2= 2 A4 16 V8 + i2DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IExemplo: vg= 20cos(4t) e x = i2Resposta natural:Resposta forada:tentativa:1 H 4 vg8 + i1 i22 H( ) t xdtdxdtx d4 cos 40 16 1022= + +t tn e A e A x8221 + =( ) ( ) t B t A xf4 sen 4 cos + =DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos ISubstituindo em e rearranjando os termos, obtemos Assim, 40B = 40 e 40A = 0, logo( ) ( ) t B t A xf4 sen 4 cos + =( ) ( ) t B t Adtdxf4 cos 4 4 sen 4 + =( ) ( ) ( ) t t A t B 4 cos 40 4 sen 40 4 cos 40 = ( ) t xdtdxdtx d4 cos 40 16 1022= + +( ) ( ) t B t Adtx d f4 sen 16 4 cos 1622 =1 = B 0 = ADECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos IAssim,Portanto a soluo geral dada por:Tentativas de respostas foradas:( ) t xf4 sen =( ) t e A e A x t t4 sen8221 + + = AAt + BAt 2+ Bt + CAeatAsen(bt) + Bcos(bt)eat[Asen(bt) + Bcos(bt)]ktt 2eatsen(bt), cos(bt)eatsen(bt), eatcos(bt)xf f(t)DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I9.6 Excitao na Freqncia NaturalSuponha que a equao do circuito a ser resolvido dada por:onde a b so constantes.Equao caracterstica:Portanto, s1= a e s2= b.Resposta natural: A1e A2so arbitrriasSupor que a funo de excitao contm uma freqncia natural, p. ex.,Procedimento usual para obter a resposta forada: e determinar