Dispositivos e Circuitos de RF

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DispositivoseCircuitosdeRF

Prof.DanielOrquizadeCarvalho

SJBV SJBV

Tópicos abordados:

(Capítulo 4 e 8 – pgs 173 e 399 a 402 do livro texto)

§  Propriedades ímpar e par de Γ e | Γ |2

§  Projeto de filtros pelo método da Perda de Inserção

Filtros de Micro-ondas

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Um filtro perfeito teria perda de inserção nula e resposta linear de fase

na banda de passagem e perda de inserção infinita na banda de rejeição.

Método da Perda de Inserção

FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

O Método dos Parâmetros Imagem não possui uma maneira metódica de

aprimorar um dado projeto.

O Método da Perda de Inserção permite ao projetista ter controle sobre

as características de fase e amplitude nas bandas de passagem e rejeição.

Ademais, é sempre possível aumentar a ordem do filtro para aumentar a

performance.

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No Método da Perda de Inserção, a resposta em frequência é

especificada em termos da Perda de Inserção (Power Loss Ratio):


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

PLR =Pot. dispon. fonte

Pot. entregue à carga=

PincPload

=1

1− Γ 2

Note que esta grandeza é o recíproco de |S21|2 se ambas a fonte e a carga

estiverem casadas.

A perda de inserção em dB é dada por:

IL =10logPLR

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No método da Perda de Inserção, PLR é especificado através de funções

matemáticas.


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

Não obstante, na expressão para PLR , | Γ |2 não pode ser especificado por

qualquer função por ser um parâmetro com um significado físico.

Para uma rede passiva, sabemos que: Γ ≤ 1

Considere a tensão V(t) na entrada de uma rede. A resposta em

frequência é: V ω( ) = V t( )e− jωt

t=−∞

∞

∫ dt

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É possível obter V(t) a partir da Transformada Inversa:


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

A integral pode ser dividida em duas fazendo:

Usando o fato de que:

V t( ) = 12π

V ω( )e jωtω=−∞

∞

∫ dω

V t( ) = 12π

V ω( )e jωtω=0

∞

∫ dω + V −ω( )e− jωtω=0

∞

∫ dω⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

Percebe-se que, se V*(ω) = V(-ω), o segundo termo é o complexo

conjugado do primeiro.

V ω( )+V * ω( ) = 2ℜe V ω( ){ }

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A integral fica


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

Do que se conclui que, se V(t) é real, entãoV*(ω) = V(-ω).

Tem-se:

V ω( ) = Z ω( ) I ω( ) = R ω( )+ jX ω( )⎡⎣

⎤⎦I ω( )

V t( ) = 22π

ℜe V ω( )e jωtω=0

∞

∫ dω⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪.

Dado que:

Z * ω( ) I * ω( ) = Z −ω( ) I −ω( )

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Como I(t) é real, sabemos que:


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

Portanto:

Ou seja,

I * ω( ) = I −ω( )

Z * ω( ) = Z −ω( )

R ω( ) = R −ω( ) é uma função par e

X ω( ) = −X −ω( ) é uma função ímpar.

Assim, podemos escrever a resposta em frequência do coef. de reflexão:

Γ ω( ) =R ω( )+ jX ω( )− Z0R ω( )+ jX ω( )+ Z0

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Pelo fato de R(ω) ser par e X(ω) ser ímpar:


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

O que mostra que as partes reais e imaginárias de Γ(ω) são par e ímpar,

respectivamente.

Deixando claro que |Γ(ω)|2 é uma função par (substitua por Γ(-ω)).

Γ −ω( ) =R ω( )− jX ω( )− Z0R ω( )− jX ω( )+ Z0

= Γ* ω( )

Γ ω( )2= Γ ω( )Γ* ω( ) = Γ ω( )Γ −ω( ).

Desta maneira,

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|Γ(ω)|2 sendo par, ela pode ser expressa na forma de um polinômio em

ω2.


FALA

RDEDUPLE

XER

EANTE

NA

Onde:

A perda de inserção pode ser expressa:

Γ ω( )2=R ω( )− Z0( )

2+ X 2 ω( )

R ω( )+ Z0( )2+ X 2 ω( )

=M ω 2( )

M ω 2( )+ N ω 2( )

são polinômios reais positivos em ω2.

M ω 2( ) = R ω( )− Z0( )2+ X 2 ω( ) e N ω 2( ) =M ω 2( )+ 4R ω( )Z0 ,

PLR =1

1− Γ ω( ) 2=1 +

M ω 2( )N ω 2( )

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Estudaremos três importantes implementações de filtros usando o

Método da Perda de Inserção especificando o PLR como descrito.


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XER

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NA

Resposta plana (Butterworth)

Ondulações iguais (Chebyshev)

Fase linear

(Função elíptica)

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NA

Este implementação da função de razão de perda de potência fornece a

resposta mais plana na banda de passagem para uma dada ordem de filtro.

onde N é a ordem do filtro, ωc é a frequência de corte e k é uma constante

que especifica a perda de inserção em ω = ωc.

PLR =1 +k 2 ωωc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2N

,

A resposta é também conhecida como binomial e, para um filtro passa

baixas, é

A faixa de passagem correponde a 0 ≤ ω ≤ ωc.

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NA

A perda de inserção em ω = ωc é

Para ω > ωc, a atenuação aumenta monotonicamente com a frequência.

Para ω > ωc:

Lembrando que PLR é a razão entre a potência na fonte e na carga.

Assim, para k = 1 temos um ponto de ~ -3dB em ω = ωc.

PLR =1 +k 2 .

PLR ≅ k2 ωωc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2N

⇒ PLR(dB) ≅ 20N dB / década

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Resposta Butterworth de um filtro passa-baixa:

𝑘=1 𝑘=2

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Resposta Butterworth de um filtro passa-baixa:𝑘=5 𝑘=10

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Ondulações iguais (Chebyshev)


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NA

Esta implementação da função de razão de perda de potência fornece

uma transição mais abrupta entre a faixa de passagem e a de rejeição.

onde TN é o N-ésimo polinômio de Chebyshev de primeira ordem.

PLR =1 +k 2 TN2 ωωc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟,

Isto vem à custa de ondulações na banda de passagem do filtro.

A resposta de um filtro passa baixas é especificada por

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O Polinômio de Chebyshev é expresso matematicamente na forma:

Note que no caso de PLR, x = ω/ωc.

T0 x( ) =1T1 x( ) = xTN x( ) = 2xTN−1 x( ) − TN−2 x( ) ( para N ≥ 2)

TN x( ) = cos N acos x( )( ) (0 < x <1)

TN x( ) = cosh N acosh x( )( ) (x ≥1)

Alternativamente:

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Polinômio de Chebyshev:

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Resposta Chebyshev de um filtro passa-baixa:

𝑘=1 𝑘=2

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Resposta Chebyshev de um filtro passa-baixa:𝑘=5 𝑘=10

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Butterworth x Chebyshev :𝑘=1 𝑘=2

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NA

Butterworth x Chebyshev :𝑘=5 𝑘=10

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Filtro de fase linear


FALA

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NA

Os filtros descritos anteriormente especificam a resposta em frequência

em termos de sua amplitude

Em certas aplicações é importante ter uma resposta de fase linear na

banda de passagem.

Uma vez que fase linear é incompatível com uma transição abrupta

entre as faixas de rejeição/passagem, é necessário sacrificar esta última.

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Filtro de fase linear


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A abordagem utilizada é realizar a síntese da fase diretamente:

φ ω( ) = Aω 1+ p ωωc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2N⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Onde φ(ω) é a fase da função de transferência de tensão e A e p são

constantes.

O atraso de grupo é definido:

τ d =dφ ω( )dω

= A 1+ p 2N +1( ) ωωc

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2N⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

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NA

A expressão anterior mostra que o atraso de grupo para um filtro de fase

linear é uma função de resposta plana.

Se diferentes componentes de frequência tiverem diferentes atrasos

(ou velocidades) de grupo, haverá distorção do sinal.

Isto garante que τd seja plano na região da banda passante, o que é

desejável.

Isto é evitado com o filtro de fase linear.

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Filtro Chebyshev

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