Eletrotecnica - Aula 6 Circuitos RLC

Eletrotcnica - 2008 CEFET de Ouro Preto

N1aut1 Anlise de Circuitos em Corrente Alternada Paulo Oshiro - 1/11

5 - Analise de Circuitos em Corrente Alternada

Caractersticas de uma Tenso Senoidal - Circuito Resistivo em CA

Tenso senoidal uma tenso que segue uma lei senoidal como a expresso matemtica:

v( t ) = VP.sen( t + o )

Onde VP ( em V ) o valor da tenso de pico, (em rd/s) a freqncia angular e 0 (rd/s)

o angulo de fase inicial. Observao: = 0 +.t

Figura 1: Representao grfica de uma tenso senoidal temporal e angular

Na Figura 1, VP (em V) a tenso de pico, VPP (em V) chamado de tenso pico a pico e T (em segundos) o perodo.

Pelo grfico da Figura 1, tiramos as seguintes concluses:

Como = .t se =2 , t = T logo: 2. = .T ou = 2 /T

Ao numero de ciclos completados por segundos chamamos de freqncia ( f ) sendo que a freqncia ento pode ser calculada por : f =1/T ( Hz ) logo podemos tambm escrever

que = 2.. f

Para uma tenso senoidal definimos o seu valor eficaz ( VRMS ou VEF ) como sendo igual ao valor de uma tenso contnua que produzir a mesma dissipao de potncia que a tenso alternada em questo. No caso de uma tenso senoidal o seu valor eficaz calculado por:



2

PefRMS

VVV ==

Para a tenso representada na Figura 1 os seus parmetros sero :

VP = 10V VPP =20V VRMS =7,07V

T = 0,017s = 17ms f = 1/0,017 = 60 ciclos/s = 60Hz

= 2 .60 = 120. rd/s 0 =0

Exerccios:

1) Determinar os parmetros e representar as seguintes tenses senoidais.(Utilizar planilha eletrnica)

v1(t) = 15.sen(2. .103.t ) ( V )

v2(t) = 20.sen(2. .103.t + /2 ) ( V ).


v1( t ) = 5.sen ( .104.t + /2 ) ( V )

v2 ( t ) = 5.sen ( .104.t - /2 ) ( V )


V1(t) = 155.sen(120. .t - /4 ) ( V )

V2(t) =155.sen (120 .t) (V)



5.1 Capacitor e Capacitncia

Um capacitor ou condensador um componente

que armazena energia num campo eltrico, acumulando

um desequilbrio interno de carga eltrica.

Os formatos tpicos consistem em dois eletrodos ou

placas que armazenam cargas opostas. Estas duas

placas so condutoras e so separadas por um isolante

ou por um dieltrico. A carga armazenada na superfcie

das placas, no limite com o dieltrico. Devido ao fato de

cada placa armazenar cargas iguais, porm opostas, a

carga total no dispositivo sempre zero.

Capacitncia

A propriedade que estes dispositivos tm de armazenar energia

eltrica sob a forma de um campo eletrosttico chamada de

capacitncia ou capacidade (C) e medida pelo quociente da

quantidade de carga (Q) armazenada pela diferena de potencial ou tenso (V) que

existe entre as placas.

Pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), um capacitor tem a capacitncia

de um faraf (F) quando um Coulomb de carga causa uma diferena de potencial de

um volt (V) entre as placas. O farad uma unidade de medida considerada muito

grande para circuitos prticos, por isso, so utilizados valores de capacitncias

expressos em microfarads(F), nanofarads (nF) ou picofarads (pF).

A equao acima exata somente para valores de Q muito maiores que a carga

do eltron (e = 1,602 10-19 C). Por exemplo, se uma capacitncia de 1 pF fosse

carregada a uma tenso de 1 V, a equao perderia uma carga Q = 10-19 C, mas isto

seria impossvel j que seria menor do que a carga em um nico eltron. Entretanto,

as experincias e as teorias recentes sugerem a existncia de cargas fracionrias.

V

QC =



A capacitncia de uma capacitor de placas paralelas constitudo de dois

eletrodos planos idnticos de rea A separados distncia constante d

aproximadamente igual a:

onde

C a capacitncia em farads

0 a permissividade eletrosttica do vcuo ou espao livre

r a constante dieltrica ou permissividade relativa do isolante utilizado.

Energia Armazenada

A energia (no SI, medida em Joules) armazenada em um capacitor igual ao trabalho feito para carreg-lo.

armazenadacarregado ECVW ==2

2

1

5.2 Indutor e Indutncia

Um indutor um dispositivo eltrico passivo que armazena energia na forma de

campo magntica, normalmente combinando o efeito de vrios loops da corrente eltrica.

Um indutor geralmente construdo como uma bobina de material condutor, por

exemplo, fio de cobre. Um ncleo de material ferromagntico aumenta a indutncia

concentrando as linhas de fora de campo magntico que fluem pelo interior das espiras.

Indutores podem ser construdos em circuitos integrados utilizando o mesmo processo que

usados em chips de computador. Nesses casos, normalmente o alumnio utilizado como

material condutor.

A Indutncia a grandeza fsica associada aos indutores, simbolizada pela letra L,

medida em Henry (H), e representada graficamente por um fio helicoidal. Em outras palavras

um parmetro dos circuitos lineares que relaciona a tenso induzida por um campo

magntico varivel corrente responsvel pelo campo.

d

AC rO=



A energia (medida em joules, no SI)

armazenada num indutor igual quantidade de

trabalho necessria para estabelecer o fluxo de

corrente atravs do indutor e, conseqentemente, o

campo magntico. dada por:

2

2

1LIEarmazenada =

Um indutor resiste somente a mudanas de corrente. Um indutor ideal no oferece

resistncia para corrente eltrica, exceto quando a corrente ligada e desligada, caso em

que faz a mudana de modo mais gradual. Porm, todos os indutores do mundo real so

construdos a partir de materiais com resistncia eltrica finita, que se ope at mesmo

corrente direta.

Quando uma corrente eltrica (CA) senoidal flui por um indutor, uma tenso alternada senoidal (ou fora eletromotriz, Fem) induzida. A amplitude da Fem est relacionada com a amplitude da corrente e com a freqncia da senide pela seguinte equao:

LIU =

onde a freqncia angular da senide definida em termos da freqncia f por:

f..2 =

5.3 - Fasores - Diagrama Fasorial

uma outra forma de caracterizar uma tenso senoidal. A Fig02 mostra como construdo o diagrama fasorial.

Cada vetor ( neste caso chamado de fasor ), representa a tenso num determinado instante. Observe que o ngulo que o fasor faz com o eixo horizontal representa o ngulo da tenso naquele instante.

Figura 2: Diagrama fasorial



O diagrama da Figura 2 representa a tenso em funo do tempo:v(t) =VP.sen(wt) pois 0000 ( angulo de fase inicial ) vale zero. Caso a tenso tivesse um angulo inicial, a expresso seria dada por : v(t) =VP.sen(wt+0) se a tenso estiver adiantada e v(t) =VP.sen(wt - 0) se atrasada.

Figura 3: Diagrama fasorial com angulo de fase inicial

Circuitos Resistivos em CA

Em um circuito puramente resistivo ( s com resistncias) alimentado com uma tenso alternada (CA) a tenso e a corrente esto em fase, sendo a relao entre elas dada pela lei de ohm.

Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tenso e da corrente esto em fase. A Figura 4 mostra o diagrama fasorial da tenso e da corrente e o circuito.

Figura 4: Circuito puramente resistivo - Diagrama fasorial de um circuito puramente resistivo



Exercicio: Representar graficamente a tenso aplicada em cada resistor e tambm a corrente que o percorre no circuito, quando aplicado uma tenso alternada 12V/60Hz.

5.4 Circuito RC srie

Circuito Puramente Capacitivo em CA

Se um capacitor ideal ( no tem resistncia de perdas ) for ligado uma tenso alternadas senoidal, a corrente estar 90 adiantada em relao tenso. A Figura 1 mostra o circuito, o diagrama fasorial e as formas de onda.

Figura 1: Circuito Capacitivo puro em Corrente Alternada - Diagrama fasorial ( o fasor em azul

representa a corrente adiantada de 90 em relao tenso, fasor vermelho ) - Formas de onda.



Reatncia capacitiva

a medida da oposio oferecida pelo capacitor passagem da corrente alternada calculada por :

CCfX C

.

1

...2

1

==

com C em Farads ( F ) , f em Hertz ( Hz ) e XC em Ohms ( )

Para calcularmos o mdulo da corrente no circuito poderemos usar a lei de Ohm, isto :

C

C

X

VI =

, com VC em volts, XC em Ohms e I em ampres.

Exerccio: Calcule a intensidade da corrente no circuito em seguida desenhe o diagrama fasorial.

Circuito RC Srie

Como visto, em um circuito puramente resistivo a tenso e a corrente esto em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90 adiantada em relao tenso. Num circuito como o da Figura 1 a corrente continua na frente da tenso mas de um angulo menor do que 90. O diagrama fasorial resultante est representado na Figura 2.

Figura 1: Circuito RC srie

Definimos a impedncia (Z) do circuito como sendo: I

VZ =



A impedncia a soma dos efeitos da resistncia ( I

VR R=

) e da reatncia

capacitiva ( I

VX CC = ) na oposio passagem da corrente.

Figura 2: Diagrama fasorial do circuito RC srie.

O ngulo de defasagem entre a corrente (I) e a tenso aplicada (V) .

Com relao ao diagrama fasorial da Fig13b devemos frisar o seguinte:

A corrente no capacitor continua adiantada em relao tenso no capacitor ( VC ) .

A corrente na resistncia ( I ) est em fase com a tenso na resistncia( VR ).

Observe que para obter a tenso total do circuito somamos VR com VC mas no algebricamente e sim vetorialmente.

Do diagrama fasorial obtemos as relaes bsicas deste circuito:

222

RC VVV += ou 22

RC VVV +=

se dividirmos por I2 a primeira igualdade obteremos a expresso que calcula a impedncia do circuito

22

CXRZ +=

O angulo de defasagem , , tambm pode ser calculado a partir do diagrama fasorial sendo dado por :

Z

RCos =)( logo = arccos(R/Z)



Exerccio: Para o circuito da figura, calcule:

a) Impedncia ( Z)

b) b) corrente ( I ) c) c) tenso em C e em R d) d) Defasagem entre I e V.

Resposta: 48K, 2,5mA, 66,25V, 100V e 33o.

Exerccio : Dado a forma de onda, determinar:

a) Tenso pico a pico;

b) Tenso eficaz;

c) Perodo da onda;

d) Freqncia em Hz;

e) Freqncia angular em rd/s;

f) Expresso da tenso em funo do tempo.

5.5 - Circuito RC Paralelo

No circuito da Figura 1 continuam vlidas algumas consideraes j feitas nos circuitos

anteriores , tais como a defasagem entre tenso e corrente em um capacitor 90, e etc.

Figura 1: Circuito RC paralelo e diagrama fasorial

Para este circuito valem as expresses :

22 RX

RXZ

C

C

+

=

R

Z=)cos(



Exercicio1: Para o circuito, calcule :

a) Impedncia b) Valor de todas as correntes c) Angulo de defasagem entre a

tenso total e a corrente total.

Resposta: 21,8K, 5,5mA, 3mA, 4,6mA e 57o.

Nota:

e

e

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