Resoluci³n de Circuitos El©ctricos

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Solucionario

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  • EJERCICIOS DE RESOLUCIN DE CIRCUITOS ELCTRICOS MEDIANTE LOS TEOREMAS GENERALES.

    EJERCICIO 1.- En el circuito de la figura, hallar la corriente que circula por la impedancia 3 + j 4 .

    RESOLUCIN:

    MTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Dado que se trata de un circuito de tres mallas, se establecen las tres corrientes de malla indicadas en la figura.

    Para dichas corrientes se establece el siguiente sistema de ecuaciones:

    0

    V

    V

    =

    I

    I

    I

    =

    4j + 33 10 20 -

    10 2,5j + 10 0

    20 - 0 5j + 20

    3

    2

    1

    La corriente buscada, I3 se obtendr como:

  • 4j + 33 10 20 -

    10 2,5j + 10 0

    20 - 0 5j + 20

    0 10 20 -

    10 2,5j + 10 0

    10 0 5j + 20

    = I 3

    Debido a que:

    0 =

    0 10 20 -

    10 2,5j + 10 0

    10 0 5j + 20

    se verifica que: 0 = I 3

    MTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS

    Al utilizar el mtodo de las tensiones en los nudos, para calcular la corriente por la impedancia 3 + j 4 , se observa

    que el generador de tensin es ideal y por tanto hay que transformarlo. Para ello se insertan en uno de los nudos de

    conexin del generador de tensin, tres generadores de tensin de igual valor eficaz dispuestos en la forma indicada

    en la figura.

    Tomando como nudo de referencia el #3, el sistema de ecuaciones, en forma matricial es el siguiente:

  • 20 0 10 -

    20 0 10

    = V

    V

    52j 1 +

    5j 1 +

    101 +

    201

    5j 1 -

    201 -

    5j 1 -

    201 -

    5j 1 +

    201 +

    4j + 31

    2 #

    1 #

    El valor de la tensin en el nudo #1, se obtiene de:

    52j 1 +

    5j 1 +

    101 +

    201

    5j 1 -

    201 -

    5j 1 -

    201 -

    5j 1 +

    201 +

    4j + 31

    52j 1 +

    5j 1 +

    101 +

    201

    10 0 10 -

    20 0 10 -

    5j 1 -

    201 -

    20 0 10

    = V 1 #

    Planteando la tensin en el nudo #1 recorriendo, a travs de la impedancia 3 + j 4 , se llega a:

    A 0 = I ; 4j + 3V = I ; I . ) 4j + 3 ( + V - 4j + 31 #4j + 34j + 31 #

    SIMPLIFICACIN MEDIANTE TRANSFORMACIONES

    A la vista del resultado obtenido al resuelto la indeterminacin, se realiza una simplificacin Thevenin-Norton de

    ambos generadores de tensin, establecindose el circuito de la figura.

    Asociando las impedancias conectadas en paralelo con los generadores de corriente, y efectuando una transforma-

    cin Norton-Thevenin se obtiene el siguiente circuito.

  • Agrupando los generadores de tensin se llega a la simplificacin mxima del circuito, mostrada en la figura.

    De este ltimo circuito se tiene que: 0 = 5j + 20 90 50 -

    2,5j + 10 90 25

    con lo que: 0 = I 4j + 3

    EJERCICIO 2.- Obtener la condicin de equilibrio de un circuito puente de corriente alterna.

    En circuito como el del enunciado, denominado genricamente circuito puente y cuya representacin es el de la

    siguiente figura,

  • la corriente por la impedancia Z ( normalmente un galvanmetro) es nula cuando el puente se encuentre en equilibrio

    es decir cuando se verifique que:

    0 =

    0 Z Z -

    V Z+ Z 0

    V 0 Z + Z

    43

    42

    31

    es decir: ZZ =

    ZZ : oequilibrad Puente

    4

    3

    2

    1

    EJERCICIO 3.- Para el circuito de la figura se pide calcular, el valor de la impedancia que conectada en paralelo con

    el generador de corriente transfiere la mxima potencia y valor de dicha potencia.

    RESOLUCIN:

    La impedancia de Thevenin se calcula mediante el circuito de la figura siguiente, resultado de simplificar el circuito

    original anulando los generadores.

  • Por composicin de impedancias se obtiene: 2572 =

    3j + 43j x 4 +

    3j - 43j - x 4 = Z th

    por tanto, la impedancia que conectada en paralelo con el generador de corriente proporciona la transferencia de la

    mxima potencia ser: 2572 = R

    El clculo de la potencia disipada por dicha resistencia se va a obtener mediante el circuito Thevenin equivalente. Para

    ello, se ha de obtener Vth, es decir VAB. Este computo se har aplicando el Teorema de Superposicin.

    PARA EL GENERADOR DE TENSIN.- Se anula el generador de corriente (se deja en circuito abierto). El circuito

    resultante es el mostrado en la figura. Se resuelve el circuito por el mtodo de las corrientes de malla, utilizando las

    corrientes indicadas en la figura.

    El sistema de ecuaciones para las corrientes de malla ser:

    0 = I ) 3j + 4 ( + 0 6 - 2

    0 = I ) 3j - 4 ( + 0 6 - 1

    y la diferencia de potencial entre A y B: 0 = I 4 - I 3j + V - 12BA

    sustituyendo valores se tiene que: ) 3j - 4 0 6 ( 4 - )

    3j + 4 0 6 ( 3j = V BA

    V 180 1,68 = V BA

  • PARA EL GENERADOR DE CORRIENTE.- Se anula el generador de tensin (se cortocircuita). El clculo de la

    tensin entre A y B se realiza fcilmente despus de efectuar un agrupamiento de impedancias, tal como se muestra

    en la figura.

    Para el circuito resultante se tiene que: V 90 - 2 x 2572 = V BA

    V 90 - 5,76 = V BA

    POR SUPERPOSICIN La tensin equivalente de Thevenin vendr dada por: V 106,26 - 6,0 = V + V = V BABATh

    El circuito equivalente de Thevening ser el de la figura.

    El valor de la potencia disipada por la resistencia de transferencia de mxima potencia se obtiene:

    W 3 =

    2572 4

    6 = P2

    R

    Clculo de la tensin del generador equivalente de Thevenin por el Mtodo de las Corrientes de Malla. Para ello se

    establecen las corrientes de malla mostradas en la figura.

  • El sistema de ecuaciones correspondientes, en forma matricial, es el siguiente:

    V

    0 6

    0 6

    =

    I

    I

    I

    3j - 44 -3j -

    4 -3j + 40

    3j -0 3j - 4

    AB

    2

    1

    operando se tiene que: ) ( 72 = 3 ) V ( 0 42 + V 25 = 2AB3

    Por tanto, como: 3 = I

    se obtiene: V 06261 - 6 = 25

    0 4 - 90 - 2 . 72 = V = V ABI

    El circuito Thevenin equivalente es el mostrado en la figura,

    del que se calcula: W 3 =

    2572 4

    6 = P2

    R

    Clculo de la tensin del generador equivalente de Thevenin por el Mtodo de las Tensiones en los nudos. Para

    ello se ha de resolver la indeterminacin que presenta el generador ideal de tensin. Su resolucin se muestra en la

    figura adjunta, en la que adems se muestran y numeran los nudos del circuito.

  • El sistema de ecuaciones correspondiente, en forma matricial, es el siguiente:

    4 0 6 +

    3j 0 6

    3j 0 6 - 90 - 2

    = V

    V

    ) 3j

    1 - 3j

    1 + 41 +

    41 ()

    3j 1 +

    41 ( -

    ) 3j

    1 + 41 ( - )

    3j 1 +

    41 (

    2 #

    1 #

    Resolviendo se obtiene: V 0631 - 6 = )

    3j 1 +

    41 ( -

    21

    ) 3j

    1 + 41 ( . 0 6

    = V 1 #

    El circuito Thevenin equivalente ser el mostrado en la figura,

    del que se calcula: W 3 =

    2572 4

    6 = P2

    R

    EJERCICIO 4.- Para el circuito de la figura, calcular el valor instantneo de la diferencia de potencial entre los puntos A y B, siendo: Hz 400 = f ; A ) t ( sen14 + 15 = (t) i

  • RESOLUCIN:

    Como la corriente instantnea suministrada por el generador de corriente est formada por una funcin compuesta de

    dos frecuencias, se habr de aplicar el teorema de superposicin. Es decir, habr que resolver el problema para

    corriente continua y posteriormente para corriente alterna. La solucin ser la suma de las respuestas a ambos tipos

    de corriente.

    RESOLUCIN POR EL MTODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS

    CORRIENTE CONTINUA. Dado que la fuente es de corriente continua, el condensador se comporta como un circuito

    abierto. La resistencia en serie con la fuente de corriente puede suprimirse ya que su presencia no altera la diferencia

    de potencial entre los puntos A y B.

    Resolviendo por nudos el circuito propuesto una vez simplificado, tal como se muestra en la figura, se tiene que:

    V 600 = V ; 15 = 1201 +

    601 V 1 #1 #

    por tanto: V 300 = V AB

    CORRIENTE ALTERNA. En primer lugar, se calcula la reactancia capacitiva que presenta el condensador de 19 F a

    la frecuencia de 400 Hz. As se tiene que: 21 = 19 x 400 x x 2

    10 = X6

    C

    Se resolver el circuito propuesto utilizando, como ya se ha indicado, el mtodo de las tensiones en los nudos

    haciendo la eleccin de los nudos indicada en la figura adjunta.

  • El sistema que se obtiene es el siguiente:

    0

    10

    0

    =

    V

    V

    V

    21j -1 +

    602

    21j -1 -

    601 -

    21j -1 -

    21j -1 +

    601

    601 -

    601 -

    601 -

    603

    3

    2

    1

    resolviendo para la tenson V3, que es precisamente igual a VAB, resulta: V 5 355 = V = V AB3

    SUPERPOSICIN. Sumando las respuestas para ambas frecuencias se concluye con:

    V ) 5 + t ( sen355 . 2 + 300 = (t) vab

    RESOLUCIN POR EL MTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA

    CORRIENTE CONTINUA. En la figura adjunta se muestra el circuito una vez simplificado. As mismo, se muestran las

    corrientes de malla elegidas para la resolucin del problema.

    Para dichas corrientes de malla se establece el sistema