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1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentao, Automao e Robtica

Circuitos Eltricos II

Jos Azcue, Prof. Dr.

Diagramas de Bode

2

Introduo

Funo de transferncia

a relao, dependente da frequncia, entre uma funo de

sada Y() e uma funo de excitao X().

YH

X

3

Introduo

Existem quatro possveis combinaes de entrada/sada:

Ganho de tenso

Ganho de corrente

Impedncia de transferncia

Admitncia de transferncia

4

Zeros e Plos

H() pode ser expresso como a razo entre os polinmios do

numerador N() e denominador D().

Zeros: os valores da varivel, s, da transformada de Laplace

que fazem com que a funo de transferncia se torne igual a

zero.

Plos: valores da varivel, s, da transformada de Laplace que

fazem com que a funo de transferncia se torne infinita.

Eles podem estar relacionados s razes de N () e D ()

NH

D

5

Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode so baseados em escalas logartmicas.

O ganho expresso em escala logartmica tipicamente

expresso em bels, ou mais comumente em decibis.

210

1

10logdBP

GP

= 20 log1021

= 20 log1021

= 20 log10K

6

Diagramas de Bode

Obter a resposta em frequncia de uma funo de

transferncia uma tarefa rdua.

No geral a resposta em frequncia precisa cobrir um grande

intervalo de frequncia. Portanto, conveniente o uso de

uma escala logartmica para o eixo das frequncias.

Esses grficos so chamados de diagramas Bode.

Os diagramas de Bode mostram a magnitude (em decibis)

ou a fase (em graus) como uma funo da frequncia.

7

Diagramas de Bode

A funo de transferncia pode ser escrita em termos de

fatores com partes reais e imaginrias. Por exemplo:

A forma padro pode incluir os seguintes sete fatores em

vrias combinaes:

Um ganho K

Um plo (j)-1 ou um zero (j) na origem

Um plo simples 1/(1+j/p1) ou um zero simples (1+j/ z1)

Um polo quadrtico 1/[1+j22/ n+ (j/ n)2] ou um zero

quadrtico 1/[1+j21/ n+ (j/ k)2]

1 2

1 1

2

1 2

1 / 1 2 / /

1 / 1 2 / /

k k

n n

K j j z j jH

j p j j

8

Ganho K

No diagrama de bode, cada um desses fatores plotado

separadamente e, em seguida, adicionado graficamente.

Ganho, K: a magnitude 20 log10 |K| e a fase 0 . Se K

for negativo a magnitude permanece a mesma, porm, a fase

180

9

Zero/Plo na origem

Para o zero (j), a inclinao

em magnitude de

20 dB/dcada e a fase de

90.

Para o plo (j)-1, a

inclinao em magnitude de

-20 dB/dcada e a fase de

-90

Zero na origem

10

Diagrama de Bode de

Funes que variam em mltiplos de so linhas retas, isto : A magnitude em dB Inclinao 20n dB/dcada para = , sua magnitude 1 ou 0dB.

=

0

=

0

11

Resposta para o caso de um nico plo

Funo de transferncia ou que coincide com a forma padronizada com

Circuito RC

12

()

Considerando = Sua magnitude Magnitude em dB

13

Assntota: baixa frequncia

Para baixas frequncias Ento, tem-se que Ou em dB Esta a assntota de baixa frequncia de

portanto

()

14

Assntota: alta frequncia

Para altas frequncias Ento, tem-se que A assntota de alta frequncia varia como 1. Ento (n=-1), tem-se uma linha reta com -20dB/dcada de inclinao. A assntota tem o valor de 1 ou 0dB para = .

portanto

15

Magnitude para =

O valor exato para a magnitude: Quando

=

16

Magnitude para = 0,5 e = 2

[uma oitava antes e uma oitava depois] Utilizando um procedimento similar ao caso anterior, pode-se verificar que a magnitude neste caso 1 dB abaixo das assntotas.

( = 2010 1 + 0,52 = 0,97

( = 2010 1 + 22 = 6,99

( = , )

( = )

17

Magnitude

18

Fase de ()

19

Fase de ()

20

Assntotas da fase

Baixa frequncia : 0 Alta frequncia: 90 As assntotas de baixa e alta frequncia no intersectam, portanto, necessrio uma assntota na frequncia intermediaria. Escolha duas frequncias em torno da frequncia de corte, de forma que a inclinao da assntota na frequncia de corte seja a mesma inclinao da reta tangente curva da fase. Estas frequncias so:

21

Assntotas da fase

22

Assntotas da fase: uma escolha simples

Uma dcada

antes, uma

dcada depois

da frequncia de

corte.

23

Resumo: Diagrama de Bode plo real

24

Resposta para o caso de um nico zero

Forma padronizada Magnitude Utilize os mesmos procedimentos adotados para o caso de um nico plo de forma a determinar as assntotas:

0 dB para baixas frequncias, +20 dB/dcada de inclinao para altas frequncias,

Fase:

(semelhante fase de um nico plo, porm sem o sinal negativo)

25

Resumo: Diagrama de Bode zero

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Combinao de Respostas

A fase composta a soma das fases individuais A magnitude composta a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB

27

Exemplo 1

Considere: A magnitude composta a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB

28

Exemplo 1 - continuao

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Resposta do plo quadrtico: ressonncia

Por exemplo Denominador de segunda ordem, tem a forma: Com 1 = / e 2 = Como esboar o diagrama de Bode?

30

Mtodo 1: Fatore o denominador

Pode-se fatorar o denominador utilizando a frmula de Bhaskara, ento esboce o diagrama de Bode de dois plos reais. com Se 42 1

2, as razes so reais. Pode-se esboar o diagrama de Bode como a combinao de dois plos reais.

Se 42 > 12, as razes so complexas, neste caso ser

necessrio um trabalho adicional para esboar o diagrama de Bode.

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Mtodo 2: Defina a forma padronizada

Defina a forma padronizada para o caso quadrtico ou Quando os coeficientes de s so reais e positivos, ento , so tambm positivos e reais. O parmetro a frequncia de corte, e = /(2). O parmetro denominado fator de amortecimento.

controla a forma exata da curva em torno de = . As razes so complexas quando < .

Na forma alternativa, o parmetro Q denominado fator de qualidade. tambm controla a forma exata da curva em torno de = . As razes so complexas quando > , .

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Expresses analticas para e Q

No exemplo do filtro passa-baixa de dois plos, tem-se que Considerando a forma padronizada Tem-se que:

=1

33

Assntotas para a Magnitude

Para a forma Se = encontre a magnitude As assntotas so

34

Magnitude para =

Em = , a magnitude exata

35

Resposta de dois plos: curva exata

36

Referncias

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de

Circuitos Eltricos, 5 edio, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Erickson, R.W.; Fundamentals of power electronics, 2 Ed. Kluwer

Academic Publisher, 2001.

3. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; Circuitos Eltricos, 8th Ed.,

Pearson, 2008.

4. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

5. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Eltricos, Vol.

1( 2 Ed. 2002 ), Ed. Blcher, So Paulo.

6. CONSONNI, D. Transparncias de Circuitos Eltricos I, EPUSP.

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulashttps://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-denise/aulas