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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Diagramas de Bode
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Introdução
Função de transferência
É a relação, dependente da frequência, entre uma função de
saída Y(ω) e uma função de excitação X(ω).
YH
X
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Introdução
Existem quatro possíveis combinações de entrada/saída:
Ganho de tensão
Ganho de corrente
Impedância de transferência
Admitância de transferência
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Zeros e Pólos
H(ω) pode ser expresso como a razão entre os polinômios do
numerador N(ω) e denominador D(ω).
Zeros: os valores da variável, s, da transformada de Laplace
que fazem com que a função de transferência se torne igual a
zero.
Pólos: valores da variável, s, da transformada de Laplace que
fazem com que a função de transferência se torne infinita.
Eles podem estar relacionados às raízes de N (ω) e D (ω)
NH
D
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Diagramas de Bode
Os diagramas de Bode são baseados em escalas logarítmicas.
O ganho expresso em escala logarítmica é tipicamente
expresso em bels, ou mais comumente em decibéis.
210
1
10logdB
PG
P
𝐺𝑑𝐵 = 20 log10
𝑉2
𝑉1
𝐺𝑑𝐵 = 20 log10
𝐼2
𝐼1
𝐺𝑑𝐵 = 20 log10K
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Diagramas de Bode
Obter a resposta em frequência de uma função de
transferência é uma tarefa árdua.
No geral a resposta em frequência precisa cobrir um grande
intervalo de frequência. Portanto, é conveniente o uso de
uma escala logarítmica para o eixo das frequências.
Esses gráficos são chamados de diagramas Bode.
Os diagramas de Bode mostram a magnitude (em decibéis)
ou a fase (em graus) como uma função da frequência.
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Diagramas de Bode
A função de transferência pode ser escrita em termos de
fatores com partes reais e imaginárias. Por exemplo:
A forma padrão pode incluir os seguintes sete fatores em
várias combinações:
Um ganho K
Um pólo (jω)-1 ou um zero (jω) na origem
Um pólo simples 1/(1+jω/p1) ou um zero simples (1+jω/ z1)
Um polo quadrático 1/[1+j22ω/ ωn+ (jω/ ωn)2] ou um zero
quadrático 1/[1+j21ω/ ωn+ (jω/ ωk)2]
1 2
1 1
2
1 2
1 / 1 2 / /
1 / 1 2 / /
k k
n n
K j j z j jH
j p j j
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Ganho K
No diagrama de bode, cada um desses fatores é plotado
separadamente e, em seguida, adicionado graficamente.
Ganho, K: a magnitude é 20 log10 |K| e a fase é 0 °. Se K
for negativo a magnitude permanece a mesma, porém, a fase
é ±180°
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Zero/Pólo na origem
Para o zero (jω), a inclinação
em magnitude é de
20 dB/década e a fase é de
90°.
Para o pólo (jω)-1, a
inclinação em magnitude é de
-20 dB/década e a fase é de
-90°
Zero na origem
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Diagrama de Bode de 𝑓𝑛
Funções que variam em múltiplos de 𝑓𝑛 são linhas retas, isto é: A magnitude em dB é Inclinação é 20n dB/década para 𝑓 = 𝑓𝑜, sua magnitude é 1 ou 0dB.
𝐺 =𝜔
𝜔0
𝑛
=𝑓
𝑓0
𝑛
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Resposta para o caso de um único pólo
Função de transferência ou que coincide com a forma padronizada com
Circuito RC
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𝐺 𝑗𝜔 𝑒 𝐺(𝑗𝜔)
Considerando 𝑠 = 𝑗𝜔 Sua magnitude é Magnitude em dB
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Assíntota: baixa frequência
Para baixas frequências Então, tem-se que Ou em dB Esta é a assíntota de baixa frequência de
𝜔 ≪ 𝜔𝑜 portanto 𝑓 ≪ 𝑓𝑜
𝐺(𝑗𝜔)
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Assíntota: alta frequência
Para altas frequências Então, tem-se que A assíntota de alta frequência varia como 𝑓−1. Então (n=-1), tem-se uma linha reta com -20dB/década de inclinação. A assíntota tem o valor de 1 ou 0dB para 𝑓 = 𝑓𝑜 .
𝜔 ≫ 𝜔𝑜 portanto 𝑓 ≫ 𝑓𝑜
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Magnitude para 𝑓 = 𝑓𝑜
O valor exato para a magnitude: Quando
𝑓 = 𝑓𝑜
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Magnitude para 𝑓 = 0,5𝑓𝑜 e 𝑓 = 2𝑓𝑜
[uma oitava antes e uma oitava depois] Utilizando um procedimento similar ao caso anterior, pode-se verificar que a magnitude neste caso é 1 dB abaixo das assíntotas.
𝐺(𝑗𝜔 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔10 1 + 0,52 = −0,97 𝑑𝐵
𝐺(𝑗𝜔 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔10 1 + 22 = −6,99 𝑑𝐵
(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇 = 𝟎, 𝟓𝒇𝒐)
(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇 = 𝟐𝒇𝒐)
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Magnitude
18
Fase de 𝐺(𝑗𝜔)
19
Fase de 𝐺(𝑗𝜔)
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Assíntotas da fase
Baixa frequência : 0° Alta frequência: 90° As assíntotas de baixa e alta frequência não intersectam, portanto, é necessário uma assíntota na frequência intermediaria. Escolha duas frequências em torno da frequência de corte, de forma que a inclinação da assíntota na frequência de corte seja a mesma inclinação da reta tangente à curva da fase. Estas frequências são:
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Assíntotas da fase
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Assíntotas da fase: uma escolha simples
Uma década
antes, uma
década depois
da frequência de
corte.
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Resumo: Diagrama de Bode – pólo real
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Resposta para o caso de um único zero
Forma padronizada Magnitude Utilize os mesmos procedimentos adotados para o caso de um único pólo de forma a determinar as assíntotas:
0 dB para baixas frequências, 𝜔 ≪ 𝜔𝑜 +20 dB/década de inclinação para altas frequências, 𝜔 ≫ 𝜔𝑜
Fase:
(semelhante à fase de um único pólo, porém sem o sinal negativo)
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Resumo: Diagrama de Bode – zero
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Combinação de Respostas
A fase composta é a soma das fases individuais A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB
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Exemplo 1
Considere: A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB
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Exemplo 1 - continuação
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Resposta do pólo quadrático: ressonância
Por exemplo Denominador de segunda ordem, tem a forma: Com 𝑎1 = 𝐿/𝑅 e 𝑎2 = 𝐿𝐶 Como esboçar o diagrama de Bode?
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Método 1: Fatore o denominador
Pode-se fatorar o denominador utilizando a fórmula de Bhaskara, então esboce o diagrama de Bode de dois pólos reais. com • Se 4𝑎2 ≤ 𝑎1
2, as raízes são reais. Pode-se esboçar o diagrama de Bode como a combinação de dois pólos reais.
• Se 4𝑎2 > 𝑎12, as raízes são complexas, neste caso será
necessário um trabalho adicional para esboçar o diagrama de Bode.
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Método 2: Defina a forma padronizada
Defina a forma padronizada para o caso quadrático ou Quando os coeficientes de s são reais e positivos, então 𝛇, 𝜔𝑜 𝑒 𝑄 são também positivos e reais. • O parâmetro 𝜔𝑜 é a frequência de corte, e 𝑓𝑜 = 𝜔𝑜/(2𝜋). • O parâmetro 𝛇 é denominado fator de amortecimento. 𝛇
controla a forma exata da curva em torno de 𝑓 = 𝑓𝑜. As raízes são complexas quando 𝛇 < 𝟏.
• Na forma alternativa, o parâmetro Q é denominado fator de qualidade. 𝑄 também controla a forma exata da curva em torno de 𝑓 = 𝑓𝑜. As raízes são complexas quando 𝑸 > 𝟎, 𝟓.
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Expressões analíticas para 𝑓𝑜 e Q
No exemplo do filtro passa-baixa de dois pólos, tem-se que Considerando a forma padronizada Tem-se que:
𝜔𝑜 =1
𝐿𝐶
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Assíntotas para a Magnitude
Para a forma Se 𝒔 = 𝒋𝝎 encontre a magnitude As assíntotas são
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Magnitude para 𝜔 = 𝜔𝑜
Em 𝜔 = 𝜔𝑜, a magnitude exata é
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Resposta de dois pólos: curva exata
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Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. Erickson, R.W.; Fundamentals of power electronics, 2 Ed. Kluwer
Academic Publisher, 2001.
3. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,
Pearson, 2008.
4. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
5. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
6. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.