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1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Diagramas de Bode

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Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Diagramas de Bode

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Introdução

Função de transferência

É a relação, dependente da frequência, entre uma função de

saída Y(ω) e uma função de excitação X(ω).

YH

X

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Introdução

Existem quatro possíveis combinações de entrada/saída:

Ganho de tensão

Ganho de corrente

Impedância de transferência

Admitância de transferência

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Zeros e Pólos

H(ω) pode ser expresso como a razão entre os polinômios do

numerador N(ω) e denominador D(ω).

Zeros: os valores da variável, s, da transformada de Laplace

que fazem com que a função de transferência se torne igual a

zero.

Pólos: valores da variável, s, da transformada de Laplace que

fazem com que a função de transferência se torne infinita.

Eles podem estar relacionados às raízes de N (ω) e D (ω)

NH

D

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Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode são baseados em escalas logarítmicas.

O ganho expresso em escala logarítmica é tipicamente

expresso em bels, ou mais comumente em decibéis.

210

1

10logdB

PG

P

𝐺𝑑𝐵 = 20 log10

𝑉2

𝑉1

𝐺𝑑𝐵 = 20 log10

𝐼2

𝐼1

𝐺𝑑𝐵 = 20 log10K

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Diagramas de Bode

Obter a resposta em frequência de uma função de

transferência é uma tarefa árdua.

No geral a resposta em frequência precisa cobrir um grande

intervalo de frequência. Portanto, é conveniente o uso de

uma escala logarítmica para o eixo das frequências.

Esses gráficos são chamados de diagramas Bode.

Os diagramas de Bode mostram a magnitude (em decibéis)

ou a fase (em graus) como uma função da frequência.

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Diagramas de Bode

A função de transferência pode ser escrita em termos de

fatores com partes reais e imaginárias. Por exemplo:

A forma padrão pode incluir os seguintes sete fatores em

várias combinações:

Um ganho K

Um pólo (jω)-1 ou um zero (jω) na origem

Um pólo simples 1/(1+jω/p1) ou um zero simples (1+jω/ z1)

Um polo quadrático 1/[1+j22ω/ ωn+ (jω/ ωn)2] ou um zero

quadrático 1/[1+j21ω/ ωn+ (jω/ ωk)2]

1 2

1 1

2

1 2

1 / 1 2 / /

1 / 1 2 / /

k k

n n

K j j z j jH

j p j j

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Ganho K

No diagrama de bode, cada um desses fatores é plotado

separadamente e, em seguida, adicionado graficamente.

Ganho, K: a magnitude é 20 log10 |K| e a fase é 0 °. Se K

for negativo a magnitude permanece a mesma, porém, a fase

é ±180°

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Zero/Pólo na origem

Para o zero (jω), a inclinação

em magnitude é de

20 dB/década e a fase é de

90°.

Para o pólo (jω)-1, a

inclinação em magnitude é de

-20 dB/década e a fase é de

-90°

Zero na origem

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Diagrama de Bode de 𝑓𝑛

Funções que variam em múltiplos de 𝑓𝑛 são linhas retas, isto é: A magnitude em dB é Inclinação é 20n dB/década para 𝑓 = 𝑓𝑜, sua magnitude é 1 ou 0dB.

𝐺 =𝜔

𝜔0

𝑛

=𝑓

𝑓0

𝑛

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Resposta para o caso de um único pólo

Função de transferência ou que coincide com a forma padronizada com

Circuito RC

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𝐺 𝑗𝜔 𝑒 𝐺(𝑗𝜔)

Considerando 𝑠 = 𝑗𝜔 Sua magnitude é Magnitude em dB

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Assíntota: baixa frequência

Para baixas frequências Então, tem-se que Ou em dB Esta é a assíntota de baixa frequência de

𝜔 ≪ 𝜔𝑜 portanto 𝑓 ≪ 𝑓𝑜

𝐺(𝑗𝜔)

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Assíntota: alta frequência

Para altas frequências Então, tem-se que A assíntota de alta frequência varia como 𝑓−1. Então (n=-1), tem-se uma linha reta com -20dB/década de inclinação. A assíntota tem o valor de 1 ou 0dB para 𝑓 = 𝑓𝑜 .

𝜔 ≫ 𝜔𝑜 portanto 𝑓 ≫ 𝑓𝑜

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Magnitude para 𝑓 = 𝑓𝑜

O valor exato para a magnitude: Quando

𝑓 = 𝑓𝑜

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Magnitude para 𝑓 = 0,5𝑓𝑜 e 𝑓 = 2𝑓𝑜

[uma oitava antes e uma oitava depois] Utilizando um procedimento similar ao caso anterior, pode-se verificar que a magnitude neste caso é 1 dB abaixo das assíntotas.

𝐺(𝑗𝜔 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔10 1 + 0,52 = −0,97 𝑑𝐵

𝐺(𝑗𝜔 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔10 1 + 22 = −6,99 𝑑𝐵

(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇 = 𝟎, 𝟓𝒇𝒐)

(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇 = 𝟐𝒇𝒐)

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Magnitude

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Fase de 𝐺(𝑗𝜔)

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Fase de 𝐺(𝑗𝜔)

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Assíntotas da fase

Baixa frequência : 0° Alta frequência: 90° As assíntotas de baixa e alta frequência não intersectam, portanto, é necessário uma assíntota na frequência intermediaria. Escolha duas frequências em torno da frequência de corte, de forma que a inclinação da assíntota na frequência de corte seja a mesma inclinação da reta tangente à curva da fase. Estas frequências são:

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Assíntotas da fase

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Assíntotas da fase: uma escolha simples

Uma década

antes, uma

década depois

da frequência de

corte.

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Resumo: Diagrama de Bode – pólo real

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Resposta para o caso de um único zero

Forma padronizada Magnitude Utilize os mesmos procedimentos adotados para o caso de um único pólo de forma a determinar as assíntotas:

0 dB para baixas frequências, 𝜔 ≪ 𝜔𝑜 +20 dB/década de inclinação para altas frequências, 𝜔 ≫ 𝜔𝑜

Fase:

(semelhante à fase de um único pólo, porém sem o sinal negativo)

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Resumo: Diagrama de Bode – zero

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Combinação de Respostas

A fase composta é a soma das fases individuais A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB

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Exemplo 1

Considere: A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em dB

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Exemplo 1 - continuação

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Resposta do pólo quadrático: ressonância

Por exemplo Denominador de segunda ordem, tem a forma: Com 𝑎1 = 𝐿/𝑅 e 𝑎2 = 𝐿𝐶 Como esboçar o diagrama de Bode?

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Método 1: Fatore o denominador

Pode-se fatorar o denominador utilizando a fórmula de Bhaskara, então esboce o diagrama de Bode de dois pólos reais. com • Se 4𝑎2 ≤ 𝑎1

2, as raízes são reais. Pode-se esboçar o diagrama de Bode como a combinação de dois pólos reais.

• Se 4𝑎2 > 𝑎12, as raízes são complexas, neste caso será

necessário um trabalho adicional para esboçar o diagrama de Bode.

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Método 2: Defina a forma padronizada

Defina a forma padronizada para o caso quadrático ou Quando os coeficientes de s são reais e positivos, então 𝛇, 𝜔𝑜 𝑒 𝑄 são também positivos e reais. • O parâmetro 𝜔𝑜 é a frequência de corte, e 𝑓𝑜 = 𝜔𝑜/(2𝜋). • O parâmetro 𝛇 é denominado fator de amortecimento. 𝛇

controla a forma exata da curva em torno de 𝑓 = 𝑓𝑜. As raízes são complexas quando 𝛇 < 𝟏.

• Na forma alternativa, o parâmetro Q é denominado fator de qualidade. 𝑄 também controla a forma exata da curva em torno de 𝑓 = 𝑓𝑜. As raízes são complexas quando 𝑸 > 𝟎, 𝟓.

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Expressões analíticas para 𝑓𝑜 e Q

No exemplo do filtro passa-baixa de dois pólos, tem-se que Considerando a forma padronizada Tem-se que:

𝜔𝑜 =1

𝐿𝐶

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Assíntotas para a Magnitude

Para a forma Se 𝒔 = 𝒋𝝎 encontre a magnitude As assíntotas são

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Magnitude para 𝜔 = 𝜔𝑜

Em 𝜔 = 𝜔𝑜, a magnitude exata é

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Resposta de dois pólos: curva exata

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Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Erickson, R.W.; Fundamentals of power electronics, 2 Ed. Kluwer

Academic Publisher, 2001.

3. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,

Pearson, 2008.

4. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

5. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

6. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.