Unid7 Analise de Circuitos Ressonantes

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CE II Unidade 7 Anlise de Circuitos Monofsicos Senoidais (Captulo 5 - Kerchner & Corcoran)7.1 Impedncia SriePara o circuito srie indicado na figura ao lado, tem-se:

Z = ( R1 + R2 + R3 ) + j ( X 1 X 2 ) = R + jX = Z / onde 1 X 1 = wL1 e X 2 = ; wC 1

I=

V

;

Z V1 = ( R1 + j X 1 ) I ; V2 = ( R2 j X 2 ) I ; V3 = R3 I ; R fp = cos = . Z

& Considerando-se as quedas de tenses que a corrente I = I / 0 provoca nos componentes resistivos, indutivo e capacitivo do circuito srie acima, tem-se os diagramas fasoriais:

Diagrama polar funicular

Diagrama vetorial polar

7.1.1 Fator de Qualidade ( Q S ) em circuito SrieMxima energia armazenada . Para Energia dissipada por ciclo circuitos srie, RLC, submetidos a sinais alternados senoidais tem-se que: 1 2 2 A mxima energia armazenada no indutor dada por: WL = L I mximo = L I eficaz ; 2 1 2 2 A mxima energia armazenada no capacitor dada por: WC = C VC mximo = C VC eficaz ; 2 1 2 2 A potncia mdia no resistor dada por: R I mximo = R I eficaz = P watts; 2 2 A energia dissipada no resistor num ciclo dada por: W R = P T = R I eficaz T , onde T perodo do sinal alternado senoidal; 2 A freqncia angular do sinal alternado senoidal dado por: w = 2f = rd/s; TO fator de qualidade em circuito srie definido como: Q S = 2

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Unidade 7 - Anlise de Circuitos Monofsicos Senoidais (Captulo 5 - Kerchner & Corcoran)

Aplicando a definio de Q S para o par RL e considerando as relaes acima tem-se que: L I eficaz Mxima energia armazenada 2 L L X Q S = 2 = = 2 = =w = L . 2 T R R R Energia dissipada por ciclo R I eficaz T Similarmente para o par RC, tem-se que: 2 2 2 C V C eficaz X 2 C ( X C I eficaz ) 1 XC Mxima energia armazenada Q S = 2 = = 2 = = = C . 2 2 T XC R R Energia dissipada por ciclo R I eficaz T R I eficaz2

7.1.2 O Decibel (dB) como medida da relao entre as Potncias de Sada e EntradaO decibel foi inventado para medir a perda de potncia nos circuitos em cascata em transmisses de P P sinais telefnicos. Sua magnitude definida pela equao: dB = 10 log 10 Sada = 10 log10 S , onde PS e PE PEntrada PE so as potncias reais de sada e de entrada em watts, respectivamente. Com PS = PE , o nvel decibel, conforme obtido pela equao anterior, 0 dB. Com PS < PE , a relao de potncia menor que a unidade, de forma que o valor decibel negativo e representa uma perda com relao a potncia de entrada. Entretanto, com PS > PE , a relao de potncia maior que a unidade, de forma que o valor decibel positivo e representa um ganho com relao a potncia de entrada. 1 PS 1 1 Exemplo1: PS = PE 50% de perda dB = 10 log 10 2 = 10 log10 = 3,01 . 2 2 PE P P P P Exemplo2: dB = -10 10 = 10 log 10 S 1 = log 10 S S = 10 1 S = 0,1 PS = 0,1 PE 10%. PE PE PE PE

7.2 Ressonncia SrieA condio geral para que um circuito srie RLC seja & & ressonante que a tenso V aplicada no circuito e a corrente I produzida estejam em fase, ou melhor, a impedncia equivalente & do circuito Z = R + j ( X L X C ) deve ser puramente resistiva. 1 . C Conclumos, tambm, que os parmetros do circuito que podem provocar a condio de ressonncia ( X L X C = 0 ) so: L, C ou f. Para o circuito srie acima ressonante, teremos sempre que: O fator de potncia do circuito unitrio j que fp = cos 0 =1; V V A corrente I mxima j que I = = e Z mnima; 2 Z ( X L X C )2 R +& Dessa forma, se Z = R + j ( X L X C ) = Z / 0 , ento, X L X C = 0 X L = X C L =

A tenso no resistor igual a tenso da fonte j que V R = R I = R

V =V ; R

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7.2.1 Ressonncia Srie Variao da Indutncia LO comportamento das impedncias, da corrente e das tenses para o circuito RLC srie indicado na figura ao lado, quando variamos sua indutncia de zero a infinito esto mostrados nas figuras abaixo.

Nas curvas acima nota-se que:

1 1 Lr = 2 ; C w C No ponto ressonante ( Lr ) a impedncia Z r mnima a corrente I r mxima; V R mx e VC mx ocorrem no ponto ressonante; VL mx ocorre aps o ponto ressonante. Note que VL = X L I onde XL crescente. O valor de L ( Lmx ) que produz a tenso mxima no indutor pode ser determinada fazendo-se XL V d 2 2 2 R + (X L X C ) dV L R2 + X C = = 0 X Lmx = ; dX L dX L XC Nas curvas acima, com a indutncia L variando de 0 a , observamos que: A impedncia Z parte de um valor inicial Z 0 = R 2 + X C , passa por um mnimo Z r = R e2

O ponto ressonante ( Lr ) definido pela relao X Lr = X C Lr =

No ponto ressonante as tenses no capacitor e no indutor so iguais ( VC r = V Lr );

tende para ;

A corrente I parte de um valor inicial I 0 = V / R 2 + X C , passa por um mximo I r = V / R e tende para 0; 2 A tenso no resistor V R parte de um valor inicial V R0 = R V / R 2 + X C , passa por um mximo V Rr = V (tenso da fonte) e tende para 0;2 2 A tenso no capacitor VC parte de um valor inicial VC0 = X C V / R 2 + X C , passa por um mximo X Lr X X VC r = C V = Q S V e tende para 0. Q S = C = o fator de qualidade do circuito srie; R R R

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A tenso no indutor V L parte de um valor inicial V L0 = 0 , passa pelo ponto ressonante V Lr =Q S V = VC r , passa por um mximo V Lmxr = 1 + QS V e tende para V. Os Lugares geomtricos da impedncia e da corrente so mostrados nas figuras abaixo.2

X Lr R

V =

Lugar Geomtrico da Impedncia Z

Lugar Geomtrico da Corrente I

Analisando os lugares geomtricos acima nota-se que: & A impedncia Z do circuito capacitiva abaixo da ressonncia e, puramente resistiva na ressonncia e indutiva, acima da ressonncia; O lugar geomtrico da corrente caminha sobre um semi-crculo no sentido horrio.

Exemplo numrico: Ressonncia Srie Variao da Indutncia (L)Resolva o circuito srie RLC indicado na figura ao lado, sabendo-se que a tenso aplicada ao mesmo alternada senoidal na referncia e com valor eficaz de 120 volts, freqncia de 50 Hz, e os parmetros do circuito com os valores, R = 5 , L = varivel, e C = 310 F. R () 5 Ressonncia (Ponto r) Lr = 1/(w2 C) Lr (mH) = w (rd/s) = XLr () = XC () = Xr () = Zr () = 32,68 314,16 10,27 10,27 0,00 5,00 XLm () = Im (A) 21,58 12,70 Lm (mH) VLm (V) 274,10 40,43 L varivel C (F) 0,00031

f (hz)50

3,14159

V (volts) 120

w (rd/s) 314,159

Ir (A) = Vr (V) = VLr (V) = VCr (V) =Q=

24 /0 120 /0 246,43 /90 246,43 /-90 2,05

Tenso mxima no Indutor (Ponto m) R () 5,00 XLm = (R2 + XC2) / XC Xm () 2,43 5,56 Zm ()

Zm ()25,96

Im ()-25,96

VLm ()64,04

Observao: Os grficos das impedncias, da corrente e das tenses para este circuito RLC srie, quando variamos sua indutncia de zero a infinito, foram apresentados no incio desta seo.

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7.2.2 Ressonncia Srie Variao da Capacitncia CO comportamento das impedncias, da corrente e das tenses para o circuito RLC srie indicado na figura ao lado, quando variamos sua capacitncia de zero a infinito esto mostrados nas figuras abaixo.

Nas curvas acima nota-se que:

O ponto ressonante ( C r ) definido pela relao X Cr = X L C r =

1 1 Cr = 2 ; L w L No ponto ressonante ( C r ) a impedncia Z r mnima a corrente I r mxima; V R mx e VL mx ocorrem no ponto ressonante; No ponto ressonante as tenses no capacitor e no indutor so iguais ( VC r = V Lr ); VC mx ocorre antes do ponto ressonante. Note que VC = X C I onde XC decrescente. O valor de C ( C mx ) que produz a tenso mxima no capacitor pode ser determinada fazendo-se

XC V d 2 2 2 dVC R2 + X L R + (X L X C ) = 0 = X Cmx = dX C dX C XL Nas curvas acima, com a indutncia C variando de 0 a , observamos que: A impedncia Z parte de um valor inicial Z 0 = , passa por um mnimo

Zr = R

e

R2 + X L ; A corrente I parte de um valor inicialtende para2

I 0 = 0 , passa por um mximo

Ir =V / R

e

A tenso no resistor V R parte de um valor inicial nulo, passa por um mximo V Rr = V (tenso da2 fonte) e tende para R V / R 2 + X L ;

tende para V / R 2 + X L ;2

A tenso no indutor V L parte de um valor inicial nulo, passa por um mximo V Lr =

X Cr X 2 tende para X L V / R 2 + X L . Q S = L = o fator de qualidade do circuito srie; R R A tenso no capacitor VC parte de um valor inicial VC 0 = V , passa por um mximoVC mxr = 1 + Q S V , passa pelo ponto ressonante VC r =2

XL V = QS V e R

X Cr R

V = Q S V = V Lr e tende para 0.

Os Lugares geomtricos da impedncia e da corrente so mostrados nas figuras abaixo.Circuitos Eltricos 2

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Lugar Geomtrico da Impedncia Z

Lugar Geomtrico da Corrente I

Analisando os lugares geomtricos acima nota-se que: & A impedncia Z do circuito capacitiva abaixo da ressonncia e, puramente resistiva na ressonncia e indutiva, acima da ressonncia; O lugar geomtrico da corrente caminha sobre um semi-crculo no sentido horrio. Exemplo numrico: Ressonncia Srie Variao da Capacitncia (C) Resolva o circuito srie RLC indicado na figura ao lado onde: V=10 volts, f = 2,6 KHz, R = 1,2 , C = varivel, e L = 0,08 mH. R () 1,2 Ressonncia (Ponto r) Cr = 1/(w2 L) L (mH) 0,08 C varivel f (hz) 2.600 3,14159 V (volts) 10 W (rd/s) 16.336

Cr(F)= w(rd/s)= XL ()= XCr ()= Xr () = Zr () =

46,8386 16.336 1,307 1,307 0 1,2