Teorema de Gauss

Sea una región del espacio donde existe un campo vectorial E

r. Por definición

llamaremos flujo del campo Er

a través del elemento de superficie adr , situado en el punto rr , a la magnitud escalar:

adrEd rrr

⋅=Φ )( Si imaginamos el campo representado por las líneas de fuerza, (las líneas de fuerza se trazan de modo que su densidad sea proporcional a la intensidad del campo) el flujo Φd puede interpretarse como el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie adr .

Si la superficie es finita, podemos generalizar la definición y el flujo será: adE

S

rr⋅=Φ ∫

Si el campo vectorial Er

es un campo central newtoniano, es decir, si rrKE ˆ

2=r

para él

se cumplirá el teorema de Gauss, que puede enunciarse: El flujo de un campo central newtoniano a través de una superficie cerrada es igual a

K⋅π4 . KadE

S⋅=⋅=Φ ∫ π4rr

En efecto: Sea un campo vectorial central newtoniano E

r y sea S una superficie cerrada

que contiene a la causa creadora del campo, situada en O. El flujo a través de la superficie S será:

22

ˆˆr

adrKadrrKadE

SSS

rrrr ⋅=⋅=⋅=Φ ∫∫∫

y puesto que E

r y adr forman un ángulo α

2

cosr

daKS

α⋅=Φ ∫

Podemos calcular esta integral teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido: Un ángulo sólido es el espacio comprendido dentro de una superficie cónica. Su valor, expresado en estereorradianes, se obtiene trazando una superficie esférica con radio arbitrario R y centro en el vértice O y

aplicando la relación 2rS

=Ω

donde S es el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido.

Como el área de una esfera es 24 r⋅π , el ángulo sólido completo alrededor de un punto es π4 esterad (estereoradianes). Si el ángulo sólido es pequeño el área S se convierte en dS y si no es perpendicular al radio es necesario proyectar dS sobre la perpendicular resultando:

22

cosrSd

rdSd

′=

⋅=Ω

θ

Por tanto,

πα 4cos22 ⋅=Ω=′

=⋅

=Φ ∫∫∫ KdKradK

rdaK

SSS

es decir, K⋅=Φ π4 como queríamos demostrar. Si la causa creadora del campo no está encerrada en la superficie 0=Ω∫ d

S y el flujo

a través de la superficie es nulo. Si el campo newtoniano es el campo gravitatorio, el Teorema de Gauss puede formularse: El flujo del vector campo gravitatorio gr a través de una superficie cerrada S es igual a i

imG∑⋅− π4 , donde G es la constante de la gravitación universal y i

im∑ la

masa total encerrada por la superficie S . i

imG∑⋅−=Φ π4

En efecto: La intensidad del campo gravitatorio gr creado por una masa puntual m es

rrmGg ˆ

2−=r e identificando esta expresión con r

rKE ˆ

2=r

obtenemos GmK −= y

por tanto Gm⋅−=Φ π4

Si en vez de tener una masa m creadora del campo encerrada en la superficie, tenemos n masas im , el flujo total a través de la superficie será:

ii

ii

mG∑∑ ⋅−=Φ=Φ π4

que coincide con el enunciado. El teorema de Gauss tiene sus aplicaciones más importantes siempre que la distribución de masa posea uno cierta simetría.

Como ejemplo calculamos, a continuación, el campo gravitatorio producido por un cuerpo esférico homogéneo: Sea un cuerpo esférico homogéneo de radio R y masa M. El campo gravitatorio que crea en un punto situado a una distancia r del centro de la esfera, puede calcularse de una forma sencilla mediante el teorema de Gauss. Consideremos en primer lugar un punto P, tal que r > R. Por razones de simetría, el módulo del vector gr en todos los puntos de la esfera de radio r, concéntrica con la distribución de masa, tendrá el mismo valor, pues solo depende de r. También por razones de simetría, el campo será radial y estará dirigido hacia el centro de la esfera. Considerando como superficie de Gauss (superficie a través de la cual va a calcularse el flujo) la esfera de radio r, el teorema de Gauss establece:

ii

SmGadg ∑∫ ⋅−=⋅=Φ π4rr

y de acuerdo con las consideraciones anteriores

24 rgdagdagadgSSS

⋅⋅−=−=⋅−=⋅=Φ ∫∫∫ πrr

ya que la superficie de una esfera es 24 r⋅π , y por tanto

GMmGrg ii

⋅−=⋅−=⋅⋅−=Φ ∑ πππ 444 2

es decir 2rMGg =

y teniendo en cuenta la dirección y el sentido: rrMGg ˆ

2−=r

resultado que coincide con el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa puntual M, situada en el centro de la esfera, en el punto P.

Consideremos ahora un punto P' situado a una distancia r < R del centro de la esfera. Por la simetría de la distribución de masa y análogamente al caso anterior, si elegimos como superficie de Gauss la esfera S de radio r, obtenemos:

24 rgdagdagadgSSS

⋅⋅−=−=⋅−=⋅=Φ ∫∫∫ πrr

si llamamos VM

=ρ a la densidad de la distribución, la masa encerrada por la esfera de

radio r será 3

34 rm ⋅= πρ y el teorema de Gauss se expresará:

32

34444 rGmGrg i

i⋅⋅⋅−=⋅−=⋅−=Φ ∑ πρπππ

de donde el vector intensidad del campo gravitatorio gr valdrá (teniendo en cuenta las consideraciones iniciales):

rrGg ˆ34

⋅⋅−= ρπr

Por consiguiente la intensidad del campo gravitatorio en un punto interior de la esfera homogénea es proporcional a la distancia al centro. Si representamos gráficamente el valor de g en función de r (distancia al centro) obtenemos:

Se observa que del centro a la superficie el módulo de la intensidad del campo gravitatorio aumenta linealmente con r, y de la superficie al infinito disminuye con la inversa del cuadrado de r. Se observa que, en un astro aproximadamente esférico, el máximo valor posible de g se da en la superficie de dicho astro, puesto que hacia el interior decrece linealmente con r, y hacia el exterior disminuye con la inversa del cuadrado de r. La gráfica obtenida en el caso de la Tierra, a partir de datos experimentales ( las ondas de choque que producen los terremotos permiten calcular g) es muy similar a la obtenida teóricamente, a pesar de que la densidad de la Tierra no es constante en su interior. A partir del conocimiento de gr se pueden obtener las expresiones del potencial gravitatorio (y la energía potencial) en el interior y el exterior de la esfera.