Física de Fluidos (2011-2012)

José Carlos Pérez Fuentes

Mª del Rocío Calero Fernández-Cortés

24. Un potencial de velocidades en coordenadas polares está dado por:

φ =K cosθ

r, K ≡ cte

Determinar la función corriente de este �ujo.

Cuando el campo de velocidades ~v es irrotacional, se dice que es conservativo, y puede de�nirse así unpotencial de velocidades φ, que es una función escalar:

∇× ~v = 0⇒ ~v = ∇φ

Consideremos �ujos bidimensionales, donde se ignora una de las tres coordenadas espaciales, en estecaso la componente z, siendo las coordenadas de interés (r, θ). Las componentes de la velocidad enfunción del potencial de velocidades φ expresado en coordenadas polares vienen dadas por:

vr =∂φ

∂r, vθ =

1

r

∂φ

∂θ

que, derivando en la función potencial dada, se obtiene lo siguiente:

vr =−K cosθ

r2, vθ =

−K sinθ

r2(1)

En este tipo de �ujos, resulta útil introducir el concepto de función corriente para expresar la velocidaden función de ésta y así obtener la ecuación de Navier Stokes únicamente dependiente de la velocidad,o lo que es lo mismo, de la función de corriente ψ. Para que exista dicha función, el �ujo debe serincompresible:

∇·~v = 0⇒ 1

r

∂(r vr)

∂r+

1

r

∂vθ∂θ

= 0

Realizando las derivadas correspondientes, vemos que se veri�ca la de�nición anterior; por tanto,estamos en disposición de encontrar la función de corriente. Las componentes de la velocidad puedenescribirse como:

vr =1

r

∂ψ

∂θ, vθ = −

∂ψ

∂r

Física de Fluidos. Problema 24

Teniendo en cuenta los resultados (1), tenemos que:

−K cosθ

r2=

1

r

∂ψ

∂θ⇒ ψ(r, θ) = −K

rsinθ + f(r)⇒ ∂ψ

∂r=K sinθ

r2+ f ′(r)

−K sinθ

r2= −∂ψ

∂r

Igualando las expresiones anteriores, se obtiene que f ′(r) = 0 ⇒ f(r) = c, siendo c una constantearbitraria. Por tanto, la función de corriente se expresa �nalmente como:

ψ(r, θ) = −Krsinθ + c

La función de corriente es útil para realizar una descripción de la trayectoria que tiene la partículade �uido en un instante de tiempo cualquiera. Se de�ne en un plano (dos variables espaciales) y paracada valor de función de corriente ψ = cte se determina una línea de corriente, donde la tangente a lamisma es la velocidad de dicha partícula. El conjunto de líneas de corriente representa una familia decurvas o envolventes del campo de velocidades para cada instante de tiempo. Dicho de otra forma, es ellugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de �uido en un instantede tiempo determinado.

Cuando el �ujo es estacionario, las líneas de corriente y funciones de corriente coinciden. El hecho deque pueda de�nirse un potencial de velocidades implica que las líneas de corriente de un �ujo potencialson perpendiculares a las super�cies equipotenciales dadas por φ = cte. Por tanto, podemos representardos líneas de corriente ψ1 y ψ2, y una super�cie equipotencial φ cualesquiera (Figura 1 y 2).

-3-2-1

01

-3 -2 -1 0 1

-5

0

5

-3

-2

-1

0

1

-3-2

-10

1

-5

0

5

Figura 1. Líneas de corriente y super�cie equipotencial en representación 3D

2

Física de Fluidos. Problema 24

Para visualizar de una forma más clara la perpendicularidad de ambas funciones, hagamos una repre-sentación en dos dimensiones en un sistema de ejes cartesianos (x, y) dado por la siguiente �gura:

Figura 3. Líneas de corriente y super�cie equipotencial en representación 2D

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