Setima Lista - Lei de Faraday

FGE211 - Fısica III

Sumario

• O fluxo magnetico atraves de uma superfıcie S e definido como

ΦB =∫S

~B · d ~A

• A Lei da Inducao de Faraday afirma que a forca eletromotriz (fem)induzida em uma bobina que contem N espiras e proporcional ao ne-gativo da taxa de variacao do fluxo magnetico:

ε = −N dΦB

dt

• A direcao da corrente induzida e dada pela lei de Lenz que afirmaque correntes induzidas produzem campos magneticos que tendem asmudancas do fluxo magnetico que as induziram.

• A forca eletromotriz induzida pela lei de Faraday esta associada a umcampo eletrico nao-conservativo:

ε =∮~Enc · d~s

.

Dicas para resolucao de problemas

Vimos que, devido a lei de Faraday, ha uma fem induzida devido a variacaodo fluxo magnetico:

ε = −N dΦB

dt.

Para um condutor, a fem induzida gera uma corrente

I =ε

R,

onde R e a resistencia do circuito. Para calcular a corrente induzida e suadirecao, os passos abaixo podem ser uteis:

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1. Para um circuito fechado de area A defina um vetor de area ~A de talforma que ele aponte na direcao do seu dedao (para a convenienciade aplicar a regra da mao direito mais para frente). Calcule o fluxomagnetico atraves do circuito usando

ΦB =

~B · ~A ( ~B uniforme)

∫~B · d ~A ( ~B nao-uniforme)

Determine tambem o sinal de ΦB.

2. Avalie a taxa de variacao temporal do fluxo magnetico (dΦB/dt). Te-nha em mente que esta taxa pode variar devido a:

• mudancas no campo magnetico (dB/dt 6= 0);

• mudancas na area do circuito se o condutor estiver se movendo(dA/dt 6= 0);

• mudanca na orientacao do circuito com relacao ao campo magnetico(dθ/dt 6= 0)

Nao esqueca de determinar o sinal de dΦB/dt.

3. O sinal da fem induzida e oposto ao sinal de dΦB/dt.

4. A direcao da corrente induzida e obtida usando a lei de Lenz.

Questoes conceituais

1. Um ima em forma de barra cai no meio de um anel circular comomostra a figura 1.

Figura 1: Ima em barra caindo no meio de um anel circular condutor.

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(a) Qualitativamente, qual a mudanca do fluxo magnetico atraves doanel quando a barra esta acima e abaixo dele?

(b) Faca um grafico da corrente induzida no anel como uma funcaodo tempo, escolhendo I positivo quando a direcao e anti-horaria(vista de cima).

2. Dois aneis circulares A e B tem seus planos paralelos um ao outrocomo mostra a figura 2. A corrente do anel A esta se movendo nadirecao anti-horaria (vista de cima).

Figura 2: Dois aneis paralelos.

(a) Se a corrente no anel A diminui com o tempo, qual a direcao dacorrente induzida no anel B? Os dois aneis vao se atrair ou serepelir?

(b) Se a corrente no anel A aumenta com o tempo, qual a direcao dacorrente induzida no anel B? Os dois aneis vao se atrair ou serepelir?

3. Uma casca esferica condutora e colocada em um campo magneticovariavel. Ha uma corrente induzida no equador?

4. Um loop retangular se move atraves de um campo magnetico uniformemas a corrente induzida e zero? Como isso e possıvel?

Problemas

1. Anel retangular perto de um fio

Um fio infinito carrega uma corrente I e e posto a esquerda de um anelretangular de largura w e altura l como mostra a figure 3.

(a) Determine o fluxo magnetico atraves do anel retangular devido acorrente I.

(b) Sponha que a corrente e uma funcao do tempo I(t) = a+bt, ondea e b sao constantes positivas. Qual a fem induzida no anel e quala direcao da corrente induzida?

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Figura 3: Anel retangular perto de um fio.

2. Anel com area variavel

Um anel quadrado de lado l e posto em um campo magnetico uniformeapontando para dentro da pagina como mostra a figura 4 (a). Duranteum intervalo de tempo ∆t, o anel e esticado como mostra a figura.Assuma que a resistencia total do anel e R. Ache a corrente induzidano anel.

Figura 4: Anel quadrado posto em campo magnetico uniforme e esticadopelas suas extremidades.

3. Bastao deslizando

Um bastao condutor de comprimento l e livre para deslizar em duasbarras condutoras paralelas como mostra a figure 5. Dois resistoresR1 e R2 estao conectados nas extremidades das barras. Ha um campomagnetico apontando para dentro da pagina. Suponha que um agenteexterne puxe a barra para a esquerda com uma velocidade constantev. Avalie:

(a) As correntes nos dois resistores.

(b) A potencia total dissipada pelos resistores.

(c) A forca aplicada necessaria para manter a velocidade do bastaoconstante.

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Figura 5: Bastao de comprimento l deslizando sobre duas barras condutoras.

4. Barra se movendo

Uma barra constante de comprimento l se move com velocidade ~vperpendicular a um fio infinito pelo qual passa uma corrente I comomostra a figura 6. Qual a diferenca de potencial entre as extremidadesda barra?

Figura 6: Barra se movendo perpendicularmente a um fio infinito.

5. Campo magnetico variando no tempo

Um anel circular de raio a e colocado em um campo magnetico perpen-dicular a normal do anel como mostra a figure 7. O campo magneticovaria de acordo com a relacao B(t) = B0+bt onde B0 e b sao constantespositivas.

(a) Calcule o fluxo magnetico atraves do anel em t = 0.

(b) Calcule a fem induzida no anel.

(c) Qual a corrente induzida (magnitude e direcao) se o a resistenciado anel e R?

(d) Qual a potencia dissipada no anel?

6. Anel se movimentando

Um anel retangular de dimensoes l e w se move com velocidade cons-tante ~v se afastando de um fio infinito que carrega uma corrente I

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Figura 7: Anel circular posto em um campo magnetico nao-uniforme per-pendicular a ele.

como mostra a figura‘ 8. Se a resistencia total do anel e R, qual acorrente induzida nele quando o lado inferior esta a uma distancia rdo fio?

Figura 8: Anel retangular de dimensoes l e w se afastando de um fio infinito.

7. Barra deslizando

Uma barra condutora de massa m e resistencia R desliza sem atritosobre dois trilhos paralelos separados por uma distancia l e conectadosa uma bateria que mantem uma fem constante ε como mostra a figura9. Esta regiao esta imersa em um campo magnetico constante ~B saindoda pagina. Considerando que a barra esta inicialmente em repouso,mostre que apos um tempo t sua velocidade pode ser dada por

v =ε

Bl

(1− e−t/τ

),

onde τ = mR/B2l2.

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Figura 9: Barra condutora deslizando sobre trilhos condutores em umaregiao com campo magnetico constante.

8. Barra em um plano inclinado

Uma barra condutora de massa m e resistencia R desliza sobre doistrilhos condutores inclinados que fazem um angulo θ com a horizontale estao separados por uma distancia l, como mostra a figura 10. Estaregiao esta imersa em um campo magnetico constante ~B direcionadopara cima. A barra e liberada do repouso e comeca a deslizar.

Figura 10: Barra deslizando em um plano inclinado em uma regiao de campomagnetico constante.

(a) Qual a corrente induzida na barra? Qual a sua direcao? De apara b ou de b para a?

(b) Ache a velocidade terminal da barra, vt.

Apos chegar na velocidade terminal:

(c) Qual a corrente induzida na barra?

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(d) Qual a taxa com a qual a energia eletrica e dissipada na barra?

(e) Qual a taxa com que a forca gravitacional realiza trabalho nabarra?

9. Barra com uma polia

Uma barra condutora de massa m e resistencia R e puxada horizontal-mente atraves de dois trilhos condutores paralelos separados por umadistancia l. Isso e feito atraves de um fio de massa desprezıvel conec-tado a uma polia e a um bloco de massa M , como mostra a figura 11.Nesta regiao ha um campo magnetico constante ~B direcionado paracima. A barra e liberada do repouso.

Figura 11: Barra sendo puxada horizontalmente por um bloco de massa Matraves de uma polia.

(a) Suponha que em um certo instante a velocidade da barra e v.Ache a corrente induzida em funcao de v. Qual a direcao dacorrente? De a para b ou de b para a? Ignore o atrito entre asbarras.

(b) Resolva a equacao diferencial que rege o movimento dessa barrae ache a sua velocidade em funcao do tempo.

10. Barra rodando

Uma barra condutora de comprimento l tem uma de suas extremidadesfixas e esta rodando com uma velocidade angular ω em um plano per-pendicular a um campo magnetico uniforme ~B como mostra a figura12.

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Figura 12: Barra fixa em uma extremidade e rodando em um plano perpen-dicular a um campo magnetico constante.

(a) Um pequeno elemento carregado com uma carga q esta a umadistancia r da extremidade fixa. Mostre que a forca magneticanesse elemento e FB = qBrω.

(b) Mostre que a diferenca de potencial entre as extremidades dabarra e ∆V = 1

2Bωl2.

11. Anel retangular se movendo em um campo magnetico

Um pequeno anel retangular de altura l = 10cm e largura w = 8cmcuja resistencia e R = 2Ω e puxado com velocidade constante v =2cm/s atraves de uma regiao com campo magnetico uniforme B = 2Tentrando na pagina como mostra a figura 13. Em t = 0 a frentedo retangulo adentra a regiao com campo magnetico. Ha campomagnetico apenas na regiao assinalada na figura.

Figura 13: Retangulo se movendo em uma regiao com campo magnetico.

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(a) Calcule o fluxo magnetico e faca um grafico dele em funcao dotempo (de t = 0 ate o instante em que o anel sai da regiao comcampo magnetico).

(b) Ache a fem induzida e grafique-a em funcao do tempo.

(c) Qual a direcao da corrente induzida?

12. Forca eletromotriz devido a um campo magnetico variandono tempo

Um campo magnetico uniforme ~B e posto perpendicularmente a umaespira circular de resistencia desprezıvel como mostra a figura 14. Ocampo magnetico varia no tempo como mostra o grafico. O raio daespira e r = 50cm e ela esta conectada em serie com um resistor deresistencia R = 20Ω

Figura 14: Espira em um campo magnetico variando no tempo.

(a) Qual a expressao para a fem induzida em termos de Bz(t)?

(b) Faca um grafico da fem induzida no circuito em funcao do tempo.Nomeie os eixos quantitativamente (numeros e unidades) e cui-dado com os sinais. Note que nomeamos a direcao positiva dafem na figura assumindo que o campo e positivo e saindo da fo-lha. [Resposta parcial: ε vale 1, 96V, 0V e 0, 98V.]

(c) Grafique a corrente que passa pelo resistor. Nao se esqueca denomear os eixos quantitativamente e de indicar a direcao com quea corrente flui sobre a espira em cada intervalo de tempo. [Res-postas parciais: os valores da corrente sao 98mA, 0A e 49mA.]

(d) Faca um grafico da producao de energia termica no resistor emfuncao do tempo. [Respostas parciais: os valores sao 192mW,0W e 48mW.]

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