Campo de un dipolo eléctrico

Determina (a) el campo eléctrico sobre el eje de x en un punto arbitrario x > a. (b) Calcula el límite del campo para x >> a.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )[ ]

( )

22

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 42 2 22

2

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

2 2ˆ

ˆ2 24 4ˆ ˆ

1

kq kq x a x aE i i kqix a x a x a x a

x ax a x ax akqix a x a

kx qa iax axkqi kqixx a ax

x

⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥= − + = ⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦− + − + + +=

+ −

= = ≈⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎟⎣ ⎦ ⎜⎢ ⎥− ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜⎝ ⎠⎣ ⎦

( )3

ˆ22x

iqakE ≈

( )entonces

iaLdondeLqiaqiqapSea ,ˆ2,ˆ2ˆ2 ====

axparax

pkE 3

2≈

El vector p se conoce como momento dipolar eléctrico.

Campo eléctrico de una distribución de carga

dq2 ˆdqdE k rr

=

2 ˆdqE k rr

= ∫2 ˆdqdE k rr

=

Carga en una línea:

ddqddq λλ =∴=

Carga en una superficie:

dAdqdAdq σσ =∴=

Carga en un volumen:

dVdqdVdq ρρ =∴=

Campo eléctrico E sobre el eje de una varilla recta de largo L y carga lineal uniforme Q

x 0r x x= −

Campo eléctrico E en el eje de una carga anular (anillo)

( )

2 2 22

2 2

, ,dqdE k dq ds r z RrdsdE k

z R

= = λ = +

λ=+

Por simetría, los componentes perpendiculares cancelan.

dE⊥

dE

( ) ( )

( )

( )

1/22 2 2 2

2

3/22 2 0

3/22 2

cos

R

dE dE

ds zdE kz R z R

kzE dsz R

kzqEz R

π

= θ

λ=+ +λ=

+

=+

∫

i

Campo eléctrico E de una carga –Q distribuida uniformemente en un arco de radio r

Por simetría, los componentes en y cancelan.

2 , ,dqdE k dq ds ds rdr

= = λ = θ

2

3 3

33

cos

cos

cos sin

32 32

x

x

x

x

dE dE

rddE kr

k kE dr r

k kEr r

π π

ππ −−

= θ

λ θ= ⋅ θ

λ λ= θ θ = θ

⎛ ⎞λ λ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∫

Usamos ahora0

1,2 43

Qk

r

−λ = =π πε

2 2 20 0 0 0

1 1 1 3 0.83 0.83 ˆ3 2 24 4 4 43 3

xQ Q Q QdE E i

r r r rr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⋅ = = ∴ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟π ππε πε πε πε⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Movimiento de una carga puntual en un campo eléctrico

y

x

cm1=

ismv ˆ1060 =

jsmEmea ˆ1051.3 214×−=−= 2141051.3,0 smaa yx ×−==

jCN ˆ2000=

Dipolos eléctricos en campos eléctricos

θθθθτ

sinsin)(sinsin1

pEEqLqELLF==

==

Ep×=τ

Cuando el dipolo gira un ángulo dϑ, el campo realiza trabajo:

dUdpEddW −=−=−= θθθτ sinEl trabajo se almacena en forma de energía potencial:

0cossin UpEUdpEdU +−=∴+= θθθSi usamos U=0 para ϑ=90°, entonces U0=0 y

EppEU ⋅−=−= θcos