Tema 08 Relaciones Trigonometricas

0º

90º =π /2 rad

180º =π rad

270º = 3π/2 rad

360º =2π rad

La longitud de una circunferencia es de 2πR. Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia

mide 2π radios. Por tanto:

• 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81''• N grados = Nπ / 180 radianes• n radianes = 180n / π grados

1 Grados sexagesimales y radianes

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández

Los ángulos α y β son iguales: ambos miden un radián

rα

r

β

r'

r'

2. Concepto de radian


• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”.

• Se simboliza sen B.

Por semejanza de triángulos se tiene que:

sen B b bsen B1 c c

= ⇒ =

• El seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.

3. Seno de un ángulo agudo


• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”.

• Se simboliza cos B.


• El coseno de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa

4. Coseno de un ángulo agudo


cosB1

=ac⇒cos B= a

c

• Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento ST, se llama “tangente de B”.

• Se simboliza tan B.


tan B b btan B1 a a

= ⇒ =

• La tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo.

Como ABC y SBT son semejantes:TS sen B sen BTS1 cos B cos B

= ⇒ =

5. Tangente de un ángulo agudo


Sentido negativo

Origen de medida de

ángulos

α = 405º

β= –105ºSentido positivo

Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo

menor que 360º definido por su misma posición

El ángulo reducido de 405º es el de 45º

6. Ampliación del concepto ángulo


Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1

Dividiendo en la relación anterior por cos2 α

2 2

2 2 2

cos sen 1

cos cos cos

α α+ =α α α

212

1tancos

α+ =α

sen2αcos2αcos2α

= 1cos2 α

sen2αcos2α

cos2 αcos2 α

= 1cos2α

7.1 Relaciones entre las razones trigonométricas (I)


tg=sen cos

Dividiendo por tenemos:2sen α

2 2cos 1sen α α+ =2 2

2

cos1

sen

sen

α αα

+ =

2

2 2

cos 11sen sen

αα α

+ =

7.2 Relaciones entre las razones trigonométricas (II)


α y y

y y

x

x x

r

r

r

α

αα

r

x

ry

rx

xy

sen=

cos=

tg=

8. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera


r = 1 u.

r = 1 u.

r = 1 u.

α

αα

α

r = 1

u.

cos α

sen α

Cos α

Cos α

Sen α

Cos α

Sen α

sen α

0º

90º = π/2 rad

180º = π rad

270º =3π /2 rad

360º = 2π rad

Signos del (coseno, seno)en cada cuadrante

(+,+)(+,+)(–,+)(–,+)

(–, –)(–, –) (+, –)(+, –)

III

III IV

9. Signos de la razones trigonométricas en los distintos cuadrantes


Si un ángulo mide α su suplementario mide 180º – α.

α

x

y

–x

180º – α sen (180º – α) = sen α

cos (180º – α) = – cos αy

tan (180º – α) = – tan α

11

10. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios


sen (180º + α) = – sen α

cos (180º + α) = – cos α

tan (180º + α) = tan α

Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α.

α

x–x

180º + α

y

–y

1

1

11. Razones trigonométricas de ángulo que difieren en 180º


Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α

Cos (– α) = cos(360º – α) = cos α

tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α

Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α.

–yy

α

x–α

1

1

12. Razones trigonométricas de ángulos opuestos


Si un ángulo mide α su complementario mide 90º – α.

sen (90º – α) = AC / AB = cos α

cos (90º – α) = BC / AB = sen α

A

B

C

tan (90º – α) = 1 / tan α

14. Razones trigonométricas de ángulos complementarios


α

90º - α

0º = 0 rad

r=1

cos 0º=1

sen 0º = 0

sen 0º= 0cos 0º=1

tg 0º=01=0

cos c 0º=10=No existe

sec 0º=11=1

cot g 0º=10=No existe

Razones de 0º = 0 rad

14. Razones trigonométricas de


0º=0 rad

90º = radπ2

r=1

cos 90º = 0

sen 90º = 1

sen 90 º= 1cos 90 º=0

tg 90 º=10=No existe

cos c 90 º=11=1

sec 90 º=10=No existe

cot g 90 º=01=0

Razones de 90º



90º=2

rad

180º = radπ

cos 180º=-1

sen 180º = 0

r=1

sen 180 º=0cos 180 º=−1

tg 180 º=0−1

=0

cos c 180 º=10=No existe

sec 180º=1−1

=−1

cot g 180 º=10=No existe

Razones de 180º



180º= rad

270º = 3π2rad

r=1

sen 270º =-1

cos 270º =0

Razones de 270º

sen 270 º=−1cos 270 º=0

tg 270 º=−10

=No existe

cos c 270 º=1−1

=-1

sec 270º=10=No existe

cot g 270 º=0−1

=0



270º= 32

rad

sen 30º

cos 30º

30º

r=1

r=1r=1

r=1

Calculamos el sen 30º

Sea el triángulo equilátero de lado 1

Trazando la altura, dividimos el triángulos en dos rectángulos, donde el ángulo es de 30 º

30º 30ºr=1

1/2

r=1Sen 30º=1/2

18.1 Razones trigonométricas de 30º (I)


sen230cos230=1

r=1

30ºsen 30º

cos 30º

Una vez obtenido el seno, y utilizando [1], podemos calcular el coseno:

12

2

cos2 30=1

cos 30=1−14= 3

4= 3

2

tg 30=sen30cos30

=

12

32

=1

3=3

3

Y la tangente será:

18.2 Razones trigonométricas de 30º (II)


sen 30 º=12

Las razones trigonométricas de 30º son las siguientes:

cos 30 º=32

tg 30 º=33

cos c 30 º=2 sec 30 º=233

cot g 30 º=3

18.3 Razones trigonométricas de 30º (III)


sen2 45 ºcos245 º=1

r=1sen 45º

cos 45º

Este triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º y los otros dos de 45º. Por lo que es isósceles, y por tanto

sus catetos son iguales

sen 45º = cos 45º

Utilizando:

2 sen2 45 º=1

sen 45 º= 12=

1

2=2

2=cos 45 º

45º

19.1 Razones trigonométricas de 45º (I)


sen 45 º=22

Las razones trigonométricas de 45º son las siguientes:

cos 45 º=22

tg 45 º=1

cos c 45 º=2sec 45 º=2

cot g 45 º=1

19.2 Razones trigonométricas de 45 (II)


sen 60º = cos 30º=32

Teniendo en cuenta que:

sen (90º – α) = cos α sen 60º = cos 30º

cos (90º – α) = sen α cos 60º = sen 30º

Tenemos entonces que las razones son las siguientes:

cos 60º = sen 30º=12

tg 60 º=

3212

=3

cos c 60 º=233

sec 60 º=2 cot g 60 º=33

20. Razones trigonométricas de 60º


cos

Sen

90º60º45º30º0º

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

21. Regla pnemotécnica para las razones trigonométricas de ángulos principales


BCa

b c

A

90º

Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo• A + B + C = 180º ⇔ B + C = 90º• Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos.

ba

senB =•ca

cosB =•bc

tanB =•

22. Resolución de triángulos rectángulos


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