1. Una partícula ejecuta un M.A.S. de modo que concluye 3 ciclos de movimiento cada 6 s. En

el instante inicial se encuentra a 3 cm. del origen y se mueve con una velocidad de

5 cm/s acercándose hacia el origen. a) Escribe la ecuación del M.A.S. en las formas

y . b) Determina el valor máximo de la velocidad y de la

aceleración de la partícula. c) Determina la posición, velocidad y aceleración de la partícula en

los instantes segundos.

Solución: a) cm. b) cm/s,

cm/s2. c) cm, cm, cm,

cm, cm; cm/s, cm/s,

cm/s, cm/s, cm/s, cm/s2 ,

cm/s2, cm/s2, cm/s2,

cm/s2.

2. Dos partículas iguales de masa están unidas a dos resortes de constantes elásticas y

. En el mismo instante de tiempo a la masa que está unida al primer resorte se le comunica,

en su posición de equilibrio, una velocidad hacia la derecha y la masa que está unida al

segundo resorte se suelta desde una distancia a la izquierda de su posición de equilibrio, tal

como se indica en la figura. Sabiendo que ambas partículas describen un M.A.S. en el que el

desplazamiento viene dado por , calcula:

a) El periodo, la amplitud y la fase inicial de cada uno de los

movimientos.

b) El desplazamiento de cada partícula en función del tiempo, así

como la velocidad y aceleración máximas.

c) La relación que deben cumplir y para que ambas partículas

alcancen por primera vez sus respectivas elongaciones máximas

positivas al mismo tiempo.

Datos: , , , , .

Solución: a)

b) ,

.

c)

3. Una partícula de 4 kg. se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de la fuerza:

N.

Cuando s. la partícula pasa por el origen y cuando s. su velocidad es de 4 m/s. a)

Halla la ecuación para el desplazamiento . b) Ecuación diferencial del movimiento. c)

Muestra que la amplitud del movimiento es m. d) Calcula y , donde los

valores medios se refieren al tiempo. e) Determina, como función del tiempo, la energía

potencial y la energía cinética de este M.A.S. Representa su suma en función del tiempo.

¿Qué consecuencia extraes del resultado?

Solución: a) m. b) . c) m.

d) m, m2. e) J, J,

J.

4. Encuentre la ecuación fundamental correspondiente a los

desplazamientos de una masa de un líquido de densidad , vertido en un

tubo con forma de U de sección circular de radio .

Solución: .

5. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese un conducto recto como

se indica en la figura, al dejar caer un cuerpo por él adquiriría un

movimiento oscilatorio armónico. ¿Por qué? Calcule el periodo de ese

movimiento suponiendo que no existe rozamiento entre el cuerpo y las

paredes del conducto. Tómese como datos el radio terrestre, , y la

aceleración de la gravedad en un punto de la superficie terrestre, .

Solución: Porque la ecuación fundamental del movimiento se corresponde con la de un M.A.S.

Del análisis de esta ecuación resulta, min.

2

6. Un muelle vertical de constante soporta un platillo metálico

de masa , sobre el que se apoya la estructura de masa

de la figura, que consta de base metálica, bombilla, pila y cables.

Calcule en función de y la máxima amplitud que se

puede dar al movimiento oscilatorio sin que la bombilla se apague

en ningún instante.

Solución: .

7. Un reloj de péndulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en

un lugar donde m/s2 retrasa 40 s. por día cuando se lleva a otro lugar geográfico.

¿Cuánto vale en ese lugar?

Solución: m/s2.

8. Una varilla de masa y longitud está suspendida verticalmente por uno de sus

extremos. A una distancia del punto de suspensión, O, se ajusta sobre la varilla una masa

de dimensiones despreciables. Si el conjunto realiza pequeñas oscilaciones en torno a la

vertical, calcula:

a) La posición del centro de masas del sistema.

b) El periodo de la oscilación.

c) La distancia del punto O a la que habría que colocar la masa para que

el periodo de las oscilaciones fuera mínimo.

Solución: a) . b) . c) .

9. Un oscilador armónico amortiguado de masa g., constante elástica

N/m y cuyo parámetro de amortiguamiento es s-1, se encuentra

inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante recibe un impulso que lo

pone en movimiento con una velocidad inicial de 60 cm/s. a) Exprese la elongación del

oscilador en función del tiempo. b) Calcule el máximo desplazamiento que experimenta el

oscilador a partir de su posición de equilibrio. c) Calcule el tiempo que deberá transcurrir para

que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0.1% del valor máximo

anteriormente calculado. d) ¿En cuánto disminuye su energía en cada ciclo? e) Calcule el

tiempo de relajación del oscilador y el factor de calidad . f) Determine el valor de la energía

que se disipa por oscilación en el instante inicial.

Solución: a) cm. b) cm. c) s. d) En un

%. e) s, . f) J.

3

L

x

10. Un fardo que pesa 300 kg cae desde una altura de 2.5 m sobre una plataforma horizontal

de masa despreciable. Deseamos diseñar un dispositivo resorte-amortiguador, sobre el que

montamos la plataforma, de tal modo que tras el impacto ésta se sitúe en una posición de

equilibrio 12.1 cm por debajo de la posición inicial tan rápidamente como sea posible.

a) Calcula la constante elástica del resorte y el coeficiente de amortiguamiento del sistema.

b) ¿Se rebasará la posición de equilibrio? En caso afirmativo, calcula el descenso máximo de la

plataforma. c) ¿Qué tiempo empleará la plataforma para encontrarse a 1 mm de su posición

final? d) Calcula la altura máxima desde la que puede caer el fardo para que no rebase la

posición final de equilibrio.

Solución: a) N/m, kg/s. b) Sí. cm desde su posición inicial.

c) s. d) cm.

11. a) Verifica que, en general, para las oscilaciones forzadas de un oscilador amortiguado, la

potencia instantánea de la fuerza aplicada no es igual a la potencia disipada por la fuerza de

amortiguamiento en cada instante de tiempo. b) Comprueba que la magnitud de la potencia

media de la fuerza aplicada es igual a la de la potencia disipada debido al amortiguamiento.

c) Repite los cálculos anteriores para la situación particular de resonancia en energía. A la vista

de los resultados de los tres apartados, ¿cuál es la interpretación física de los mismos?

Solución:

a) y .

En general, . b) . c) Cuando , .

12. Se considera la carretera representada en la figura y rodando

un automóvil sobre ella. Determina la velocidad del automóvil para

la que el sistema entra en resonancia. Se desprecian los efectos

del rozamiento en los amortiguadores. La masa del automóvil es 103 kg, la constante elástica

de los amortiguadores es 105 N/m y la distancia entre baches de la carretera es de 10 m.

Solución: km/h.

13. En el dispositivo de la figura, g, N/m y kg/s. Se imprime a la

base un m.a.s. con una amplitud de 1 cm y una frecuencia angular , mediante la aplicación

de una fuerza horizontal. Calcula la amplitud de las

oscilaciones del bloque cuando la frecuencia impuesta es:

a) igual a la frecuencia natural del sistema; b) el doble de

dicha frecuencia.

Solución: a) cm. b) cm.

4

14. a) Estudia desde un punto de vista energético el circuito eléctrico LRC en serie, al que se

conecta una fuente de tensión . Determina la ecuación diferencial que gobierna la

carga del condensador, , y calcula empleando la técnica fasorial. En el caso de que

se tengan resonancias, estúdialas. b) Supongamos que este circuito LRC es la base de un

receptor de radio. Si el coeficiente de autoinducción vale H, cuando debe valer la

capacidad del condensador para sintonizar adecuadamente Cadena 100 (91.8 MHz de la FM).

¿Cuál deber ser el valor de para garantizar que no tendremos interferencias con los 40

Principales (94.4 MHz de la FM)?

Solución: a) , .

Aparecen fenómenos de resonancia para y . b) pF,

.

15. Calcula la diferencia de fase que deben tener dos movimientos vibratorios armónicos del

mismo periodo, dirección y amplitud, para que el movimiento resultante tenga la misma

amplitud que cualquiera de ellos. Representa gráficamente los movimientos componentes y

resultante.

Solución: , .

16. Una partícula de 4 unidades de masa se mueve en el plano XY bajo la acción de una fuerza

conservativa tal que la energía potencial de la partícula es . En el instante

inicial, , el vector de posición y la velocidad de la partícula son y

, respectivamente. a) Determina la posición y la velocidad de la partícula en

función del tiempo. b) Demuestra que la trayectoria de la partícula está confinada en el interior

de un rectángulo y calcula las dimensiones de éste. c) ¿Es periódico el movimiento? En caso

afirmativo, calcula el periodo. d) ¿Podrías hacer un esbozo de la trayectoria?

Solución: a) ,

. b) Las dimensiones son

. c) Sí. .

17. La punta entintada de la figura vibra horizontalmente

cuando estiramos el resorte R1, comprimiendo R1’ y

soltamos el cuerpo C. Tal punta toca a la superficie A

pendiente del resorte R2. Estiramos éste y soltamos A en el

instante en que P pasa por su posición de equilibrio, O. Las

5

dos vibraciones perpendiculares son del mismo periodo. ¿Qué dibuja la punta P? Determinar la

ecuación de la trayectoria, siendo las amplitudes de los movimientos de A y P, 10 y 5 cm

respectivamente.

Solución: Una elipse. .

18. En una región del espacio se superponen los MM.AA.SS. perpendiculares siguientes:

e .

a) ¿Es periódico el movimiento? ¿Por qué? En caso afirmativo, determine el valor del periodo.

b) Determine y represente la ecuación de la trayectoria resultante.

c) ¿Está polarizado el movimiento? En caso afirmativo, ¿qué tipo de polarización presenta?

¿Sentido horario o antihorario?

Solución: a) Sí. . b) . c) Polarización elíptica. Sentido horario.

19. Una partícula está sometida a dos MM.AA.SS. en la misma dirección, de ecuaciones

y , donde y se miden en cm.

a) ¿Para qué valor de se obtiene un M.A.S. por la superposición de estos dos movimientos?

Determine la ecuación del movimiento resultante.

b) Si el movimiento resultante del apartado anterior se superpone con otro de dirección

perpendicular a éste y ecuación , donde se mide en cm. Calcule

la ecuación de la trayectoria de la partícula. ¿Cuál es el sentido del movimiento? ¿Es éste un

M.A.S.?

Solución: a) , cm. b) . Sentido antihorario. No.

20. Sobre un oscilador actúa la fuerza periódica:

El factor de calidad del oscilador es . Determina los espectros de amplitudes de los

armónicos correspondientes a la fuerza impulsora y la respuesta en elongación para a)

, b) .

Solución: Para la fuerza impulsora: Para

la respuesta en elongación: a)

b)

6

21. Considérese el sistema de la figura. La pizarra Z, de masa 500 g., cuelga de un resorte

cuya constante elástica es N/m. Se sabe además que la constante de amortiguamiento

vale s-1. En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte

se estire 3 cm, y se acerca la punta entintada P a la pizarra, de manera que la punta toca la

superficie de la pizarra. A continuación, la pizarra se suelta. Considérese este instante como el

instante inicial y analicemos el movimiento de la punta respecto al centro de la pizarra O.

a) A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuación que describe el movimiento de la

punta respecto a O.

b) Transcurrido un cierto tiempo , la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas.

Determine el valor de y la longitud de la raya dibujada en la pizarra.

c) Respecto a la energía media inicial del sistema, ¿cuál es el porcentaje de

energía media almacenada en el oscilador en el instante de tiempo s?

En un momento dado, la pizarra se conecta a un mecanismo que ejerce

sobre ella una fuerza periódica dada por

dinas.

d) Represente el espectro de Fourier asociado a la fuerza .

e) ¿A qué frecuencias podría producirse una situación de resonancia en energía?

f) Calcule la ecuación de movimiento de la punta P respecto al centro O de la

pizarra en régimen estacionario.

g) ¿Es periódico el movimiento resultante? En caso afirmativo, calcule el periodo

correspondiente. ¿El movimiento es armónico simple?

NOTA: Considérese que el movimiento tiene lugar en la

dirección del eje OY (sentido positivo hacia arriba).

Solución: a) cm. b)

s, cm. c) %. e)

rad/s. f)

cm. g) Sí. s. No.

22. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura. La

fuente suministra una tensión variable . Llamamos

al valor de la resistencia, a la autoinductancia de la bobina,

a la capacidad del condensador y a la carga almacenada

en el condensador en un instante de tiempo. Así, es

la intensidad de corriente que circula por el circuito, la diferencia

de potencial entre los extremos de la bobina será , la

diferencia de potencial existente entre las placas del

condensador es y entre los extremos de la resistencia,

.

7

cm 3

,k

Z

O

P

C

L

R

1S

2S

AtsinV f0

a) Demuestre, razonando cada uno de los pasos seguidos, que la ecuación diferencial que

gobierna el circuito es .

b) Considérese que a el circuito se encuentra ya en régimen estacionario. La intensidad

de corriente medida en el amperímetro es la que se muestra en la gráfica. ¿Cuál es la ecuación

que determina la carga almacenada en el condensador en cualquier instante de tiempo?

c) El coeficiente de autoinducción de la bobina vale H. Además, el diseño del

circuito es tal que la potencia suministrada por la fuente es máxima. Demuestre que, entonces,

la capacidad del condensador vale F.

d) En el instante ms se abre el interruptor S1 y se cierra el interruptor S2. Compruebe

que en ese instante de tiempo la carga almacenada en el condensador es mC y que la

intensidad que circula por el circuito es cero. En este momento, el contador de tiempo se pone

nuevamente a cero. Si el valor de la resistencia es k y teniendo en cuenta que en

el proceso de descarga del condensador , ¿cuál es la ecuación que

gobierna el proceso de descarga?

e) ¿Cuánto debería valer para que el condensador se descargue lo más rápidamente

posible?

Ayuda: La ecuación fundamental de un oscilador mecánico amortiguado, sujeto a un

forzamiento de tipo armónico es .

Solución: a) . b) mC. c) F. d)

mC.

e) k.

8

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-100

-50

0

50

100

t (ms)

I (m

A)

250