TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO Fundamentos de Matemática I · 13.4 Derivada de uma função...

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

13TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

13.1 Introdução13.2 Derivada da soma ou da diferença de funções13.3 Derivada do produto de funções13.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia13.5 Derivada do quociente de funções13.6 Derivada de y = xα, onde α ∈ 13.7 Derivada da função inversa13.8 Diferencial de uma função de uma variável real13.9 As regras de L’Hospital

281

Fundamentos de Matemática I

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

13.1 IntroduçãoA seguir apresentaremos as técnicas de derivação para funções de uma variável. O objetivo

de tais técnicas é o de facilitar o cálculo de derivadas a fim de não precisar recorrer sempre à

definição de derivada de uma função num ponto interior ao seu domínio.

A seguir analisaremos propriedades importantes das derivadas. Encerraremos o texto abor-

dando, rapidamente, o conceito de diferencial de uma função.

Vamos, primeiramente, relembrar o conceito de derivada!

Consideremos uma função y = f(x) definida num aberto contido em seu domínio, sendo x um ponto interior a esse aberto, e suponhamos que a variável x experimenta, nesse intervalo, um aumento infinitesimal Δx (ou seja, infinita-mente pequeno), acarretando uma variação infinitamente pequena da própria função, Δy. Consequentemente, a razão das diferenças

13.1

envolve o quociente de quantidades infinitamente pequenas. No entanto, anali-sando o comportamento do quociente, quando ambos, denominador e numerador tendem simultaneamente a zero, a razão representada pela expressão 13.1 poderá convergir para um valor bem determinado. Esse limite, se existir, varia com x, e é denominado a derivada da função f no ponto x. Por exemplo, se definirmos f(x) = xm, m designando um valor inteiro, a razão entre as diferenças infinitesimais será:

13.2

No limite, quando a diferença Δx tende a zero, essa razão será a quantidade mxm − 1, isto é, uma nova função da variável x. Para indicar essa dependência, daremos o nome de derivada à nova função e a designaremos, utilizando a notação de

Cauchy, por yʹ ou f ʹ(x), ou ainda, usando a notação de Leibniz, por dfdx

x( ).

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

yx

f x x f xx

x x xx

mxm m

x x xm m

m m m+ ∆( ) −∆

= +−( )⋅

∆ + + ∆− − −1 2 111 2

282

13 Técnicas de Diferenciação


13.2 Derivada da soma ou da diferença de funções

Se f e g são funções deriváveis, então, a soma f + g é igualmente derivável. A derivada da

soma é igual à soma das derivadas das suas parcelas:

13.3

Para a diferença de duas funções, vale um resultado análogo:

13.4

O resultado acima para a derivada da soma pode ser facilmente verificado a partir da defi-

nição de derivada. Para isso, consideramos as taxas de variação da função soma de duas funções.

De acordo com a sua definição, escrevemos:

13.5

Donde se infere que:

13.6

Considerando o limite da expressão 13.6, quando ∆x → 0, obtemos 13.3, uma vez que os

limites das duas parcelas no segundo membro da igualdade acima existem e são finitos, já que

as funções f e g são deriváveis.

No caso da diferença de funções deriváveis, a verificação é análoga.

d f gdx

dfdx

dgdx

f g f g+( )

= + +( )′ = ′+ ′ ou

d f gdx

dfdx

dgdx

f g f g−( )

= − −( )′ = ′− ′ ou

∆ +( )( ) = +( ) + ∆( ) − +( )( ) == + ∆( ) + + ∆( ) − ( ) − ( ) =

f g x f g x x f g x

f x x g x x f x g x

== + ∆( ) − ( ) + + ∆( ) − ( )f x x f x g x x g x

∆ ( ) + ( )( )∆

=∆ ( )∆

+∆ ( )∆

f x g xx

f xx

g xx

283



Exemplos

• ExEmplo 1:Consideremos as funções f ( x) = sen x e g(x) = x3. Vamos encontrar a derivada da função f + g.

Temos: dfdx

x f x x( ) = ′( ) = cos e dgdx

x g x x( ) = ′( ) = 3 2

Assim: d f gdx

x f g x f x g x x x+( ) ( ) = +( )′ ( ) = ′( ) + ′( ) = +cos 3 2

• ExEmplo 2:Dada a função y = f ( x), definida por f ( x) = 5x2 − 6x + 9, vamos calcular a função derivada.

Temos: dfdx

x ddx

x x( ) = − +( )5 6 92

Comoddx

x x

ddx

x

ddx

5 10

6 6

9 0

2( ) =

( ) =

( ) =

Então, dfdx

x ddx

x x x( ) = − +( ) = −5 6 9 10 62 .

13.3 Derivada do produto de funçõesSe f e g são deriváveis, então, o produto f ⋅ g é derivável. Para o produto de duas funções

vale a propriedade:

13.7

Para deduzir tal propriedade, iniciamos com a definição de taxa de variação média para o

produto de duas funções. Assim, por definição, temos:

13.8

d f gdx

dfdx

g f dgdx

f g f g f g.

( . )( )= ⋅ + ⋅ ′ = ′⋅ + ⋅ ′ ou

∆ ⋅( ) = ⋅( ) + ∆( ) − ⋅( )( ) = + ∆( ) ⋅ + ∆( ) − ( ) ( )f g f g x x f g x f x x g x x f x g x

284



ou seja, somando e subtraindo um conveniente termo,

13.9

ou, agrupando de modo apropriado,

13.10

Calculando o limite quando ∆x → 0, temos:

13.11

equação que nos leva ao resultado 13.7, uma vez que

lim∆ →

+ ∆( ) = ( )xf x x f x

0 e lim

∆ →+ ∆( ) = ( )

xg x x g x0

,

bem como

lim∆ →

+ ∆( ) − ( )∆

= ′( )x

f x x f xx

f x0

e lim∆ →

+ ∆( ) − ( )∆

= ′( )x

g x x g xx

g x0

,

pois as funções f e g são deriváveis.

Da propriedade relativa ao produto de funções, podemos facilmente deduzir que, se k for

uma constante qualquer, resultará:

13.12

• ExEmplo 3:Sendo f ( x) = 4x 3.cos x, vamos encontrar sua derivada. Temos:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆f g f x x g x x f x g x x f x g x x f x g x.( ) = +( ) ⋅ +( ) − ( ) +( ) + ( ) +( ) − ( ) ( )

∆ ∆ ∆ ∆f g f x x f x g x x f x g x x g x.( ) = +( ) − ( )( ) +( ) + ( ) +( ) − ( )( )

lim.

lim∆ ∆

∆∆

∆∆

∆∆∆x x

f gx

f x x f xx

g x xg x x g x

→ →

( )=

+( ) − ( )+( ) + +( ) − ( )

0 0 xxf x( )

d kfdx

k dfdx

kf kf( )= = ou ( ) ' '

g x x g x x

h x x h x x( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) = −

4 123 2

cos sen

285



Assim, como a derivada do produto é dada por (gh)ʹ(x) = gʹ(x).f ( x) + g(x).f ʹ(x), temos:

• ExEmplo 4:Vamos calcular a derivada da função f ( x) = 5x4.sen x.cos x. Temos:

A fim de calcular a derivada do produto das três funções, observamos que, escrevendo de maneira abreviada,

e, portanto,

• ExEmplo 5:Sendo f ( x) = 7 sen x, vamos encontrar sua derivada. Vimos que, sendo k uma constante, temos (k.f )ʹ = k.f ʹ , uma vez que a derivada de uma função constante é zero.Assim, f ʹ(x) = 7 cos x.

13.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia

Para a especial operação de composição de duas funções deriváveis, temos uma maneira

especial de calcular a derivada da função composta, denominada Regra da Cadeia. Se y = h(u) e u = g(x), ou seja, y = h(g(x)), sendo h e g deriváveis, então, a função composta y = h(g(x)) é

derivável e sua derivada é dada pela expressão:

13.13

′( ) = ⋅ + ⋅ −( ) = ⋅ − ⋅f x x x x x x x x x12 4 12 42 3 2 3cos sen cos sen

g x x g x x

h x x h x x

z x x z x

( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) =( ) = ⇒ ′( ) = −

5 204 3

sen cos

cos senn x

ghz gh z gh z g h g h z g h z g h z g h z( )′ = ( )′ ⋅ + ( ) ⋅ ′ = ′ ⋅ + ⋅ ′( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ′ = ′ ⋅ ⋅ + ⋅ ′ ⋅ + gg h z⋅ ⋅ ′

′( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ (f x x x x x x x x x20 5 53 4 4sen cos cos cos sen )) ⋅ −( ) == ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= ⋅ ⋅

sen

sen cos cos sen

sen

x

x x x x x x x

x x

20 5 5

20

3 4 2 4 2

3 ccos cos senx x x x+ −( )5 4 2 2

dydx

dhdu

dudx

= ⋅

286



Assim, basta lembrar que, se y = h(g(x)), então, a taxa de variação média será dada por:

13.14

ou seja,

13.15

Então, quando ∆x → 0, temos ∆u → 0 e, supondo que ∆u ≠ 0, temos:

13.16

que é precisamente 13.13.

Entretanto, essa prova não é geral porque, para valores arbitrariamente pequenos de ∆x,

poderia acontecer que ∆u fosse zero e o cálculo acima não seria válido. Uma demonstração

mais geral pode ser encontrada em textos de Cálculo Diferencial.

Adiante, utilizando o conceito de diferencial de uma função, novamente estaremos traba-

lhando com a composição de funções e a Regra da Cadeia reaparecerá.

• ExEmplo 6:Consideremos a função f ( x) = sen4 x = (sen x)4 e vamos calcular sua derivada. Para tanto façamos:

h(x) = sen x

logo

f ( x) = sen4 x = (sen x)4 = (h(x))4

Desse modo:

e:

∆∆

=∆∆

=∆∆

∆∆

yx

hx

huux

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

⋅∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

⋅+ ∆( ) − ( )∆

yx

h u u h uu

ux

h u u h uu

g x x g xx

lim lim . . .∆ → ∆ →

∆∆

=∆∆

∆∆

= ′( ) ′( ) = ′ ( )( ) ′

x x

yx

hu

ux

h u g x h g x g0 0

xx( )

dfdh

h h( ) = 4 3

dhdx

x x( ) = cos

287



Logo, pela Regra da Cadeia:

• ExEmplo 7:Sendo f ( x) = senx5, vamos calcular sua derivada. Para tanto, façamos:

h(x) = x5

o que acarreta:

f ( x) = sen h(x)

Temos então:

e

Portanto, de acordo com a Regra da Cadeia, temos:

13.5 Derivada do quociente de funçõesSeja

13.17

de tal modo que h(x) ≠ 0. Assumindo que f e g são deriváveis, vamos mostrar que a derivada

da função f é dada por:

13.18

′( ) = ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ⋅f x dfdx

x dfdh

h x dhdx

x h x x x4 43 3cos sen coss x

′( ) = ( ) =h x dhdx

x x5 4

′( ) = ( ) =f h dfdh

h hcos

′( ) = ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ = ⋅f x dfdx

x dfdh

h x dhdx

x h x x x xcos cos5 54 4 5

f xg xh x

( ) = ( )( )

dfdx

x

dgdx

x h x g x dhdx

x

h x( ) =

( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( )

( ) 2 ou

gh

g h ghh

′=

′ − ′2

288



Para tanto, vamos escrever a função f como um produto:

Então, derivando o produto das duas funções, temos:

Pela Regra da Cadeia, temos ddx

h x h x h x( ) = − ( ) ⋅ ′( )− −1 2.

Logo,

Desse modo, a derivada do quociente de duas funções deriváveis, sendo não nula a função

do denominador, é dada por:

13.19

• ExEmplo 8:Dada f x x

x( ) =

4

sen , vamos calcular sua derivada.

Fazendo

g(x) = x4 ⇒ gʹ(x) = 4x3

e

h(x) = sen x ⇒ hʹ(x) = cos x

utilizando a expressão para a derivada do quociente,

f x g xh x

g x h x( ) = ( ) ⋅ ( )= ( ) ⋅ ( )

−1 1

′( ) = ( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) − −

f x dfdx

x dgdx

x h x g x ddx

h x1 1

′( ) = ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ −( ) ⋅ ( ) ⋅ ′( ) =

=′( )

− −f x g x h x g x h x h x

g xh x

1 21

(( )−

( ) ⋅ ′( )( )

=′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )

( )

g x h x

h x

g x h x g x h x

h x2 2

gh

x ddx

g xh x

g x h x g x h x

h x

′( ) = ( )

( )

=

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

289



temos:

• ExEmplo 9:Vamos encontrar a derivada de tg sen

x x

x=

cos em todo ponto em que o denominador não seja

zero.Fazendo

g(x) = sen x ⇒ gʹ(x) = cos x

e

h(x) = cos x ⇒ hʹ(x) = −sen x


temos:

• ExEmplo 10:Vamos encontrar a derivada de sec

cosx

x=

1 em todo ponto em que o denominador não seja

zero.Fazendo

g(x) = 1 ⇒ gʹ(x) = 0

e

h(x) = cos x ⇒ hʹ(x) = −sen x


temos:

′( ) =

′=

⋅ − ⋅f x xx

x x x xx

4 3 4

2

4sen

sen cossen

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

tg sencos

cos cos sen sencos

cos sx xx

x x x xx

x( )′ =

′=

⋅ − ⋅ −( )=

+2

2 eencos cos

sec2

2 221x

x xx= =

gh

xg x h x g x h x

h x

′( ) =

′( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ′( )( )

2

1 0 1 12 2cos

cos sencos

sencos

sencos cx

x xx

xx

xx

′=

⋅ ( ) − ⋅ −( )= = ⋅

oostg sec

xx x= ⋅

290



13.6 Derivada de y = xα, onde α ∈ Em Derivadas das Funções Simples, encontramos a derivada de y = xn, quando n é um

número inteiro.

O caso presente de

13.20

envolve um expoente real, podendo ser racional ou irracional, e a questão de encontrar sua

derivada será resolvida examinando essa função como a composição de duas outras.

De fato, podemos escrever

13.21

uma vez que a função exponencial de base e e a função logarítmica de base e são funções inversas.

Assim, utilizando a propriedade dos logaritmos, ainda podemos escrever

E agora, encontramos a derivada da função com o auxílio da regra da cadeia:

13.22

É importante notar que a expressão encontrada para a derivada de y = xα, onde α ∈ ,

engloba o caso já analisado quando o expoente é um número inteiro.

• ExEmplo 11:Encontrar a derivada de

a. y x=3

4

b. y x= 2

y x= α

y x e x= =α αln

y x e ex x= = =α ααln ln

′ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −y ex

xx

xxα α αα α αln 1 1 1

a derivada da exponencial de base e

a derivada do logaritmo

de base e

291



Em ambos os casos, basta aplicar 13.22, obtendo:

a. ′ =−

y x34

14

b. ′ = −y x2 2 1

• ExEmplo 12:Este exemplo merece atenção: se y = x2 + 2x, sua derivada, que é a derivada de uma soma de funções, é obtida pela aplicação de duas propriedades diferentes, uma para cada uma das parcelas:

uma vez que, para derivar f ( x) = 2x, utilizamos o raciocínio anterior, isto é,

e, daí,

• ExEmplo 13:Analogamente, a derivada de y = xπ + πx é:

• ExEmplo 14:Tudo o que foi desenvolvido até aqui nos permite encontrar a derivada de

A(x) = f ( x)g(x)

O domínio da função A é constituído pelos números reais tais que f ( x) > 0.Podemos escrever então

e, portanto,

ou seja,

′ = + ⋅y x x2 2 2ln

f x e ex xx( ) = = =2 2 2ln ln

′( ) = ⋅ = ⋅f x ex xln ln ln2 2 2 2

′ = + ⋅−y x xπ π ππ 1 ln

A x f x eg x g x f x( ) = ( ) =( ) ( )⋅ ( )ln

′( ) = ⋅ ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )⋅ ′( )

( )⋅ ( )A x e g x f x g xf x

f xg x f xln ln 1

′( ) = ( ) ⋅ ′( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅′( )( )

( )A x f x g x f x g xf xf x

g x ln

292



13.7 Derivada da função inversaSeja z uma função de x relacionada a outra função y = f ( x) pela expressão:

13.23

Assim, z = F ( f ( x)) é comumente denominada função de uma função da variável de x.

Ela foi definida anteriormente como a função composta

13.24

onde supomos que as funções z = F(y) e y = f(x) são ambas deriváveis em seus domínios.

Denotando os acréscimos infinitamente pequenos por Δx, Δy e Δz, então, a taxa de variação

média de z, com relação a x, é dada por:

13.25

Quando Δx → 0, temos Δy → 0 e, portanto,

13.26

e, portanto, vale a relação:

13.27

com a ressalva análoga observada em 13.16.

Se a função f for a função inversa de F, isto é,

13.28

ou seja,

z F y= ( )

z F y=

∆∆

=+ ∆( ) − ( )∆

=+ ∆( ) − ( )∆

∆∆

zx

F y y F yx

F y y F yy

yx

dzdx

xF y y F y

yf x x f x

xy x( ) = + ∆( ) − ( )

∆⋅

+ ∆( ) − ( )∆∆ → ∆ →

lim lim0 0

′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = ′ ( )( ) ⋅ ′( )z x F y y x F f x f x

F f = Id

293



13.29

de onde f = F −1 e, de 13.27, segue-se que

13.30

Inferimos, pois, que a derivada da função inversa F −1 é dada, em termos da derivada da

função F, como:

13.31

Com a ajuda da expressão 13.31, podemos facilmente determinar a derivada da função

inversa de uma dada função. Consideremos o caso das funções simples y = Ax, y = arcsen x e

y = arccos x, as quais podem ser obtidas a partir das derivadas das funções y = logAx, y = sen x

e y = cos x.

Em O Teorema do Valor Médio e Aplicações das Derivadas, faremos uso da expressão

13.31 para encontrar as derivadas de funções simples a partir das derivadas das funções inversas.

• ExEmplo 15:Consideremos a função f ( x) = x2 com domínio D e imagem I dados por:

D =

I = +

Nesse caso, f não admite inversa. Entretanto, considerando uma restrição do domínio, podemos definir, por exemplo, a função

De y = x2 obtemos x = y , isto é:

é a função inversa de f +.Pelo que vimos em 13.22, já sabemos que a derivada de g é:

F f x F f x x x( )( ) = ( )( ) = ( ) =Id

dFdf

f x dfdx

x dFdf

f x dFdx

x( )( ) ⋅ ( ) = ( )( ) ⋅ ( ) =−1

1

dF xdx

dFdf

f x− −( )

= ( )

1 1

fx x

+ ∗+

∗+→:� �

� 2

g y y( ) =

′( ) = =−g y yy

12

12

12

294



Vamos determinar a derivada de g utilizando o que vimos a respeito da derivada da função inversa.Temos, pelo teorema demonstrado,

ou seja,

pois x = y , como queríamos mostrar.

• ExEmplo 16:As funções

y = f ( x) logAx (A > 0, A ≠ 1)

e

x = g(y) = Ay (A > 0, A ≠ 1)

são inversas uma da outra. Em Derivadas das Funções Simples, vimos como encontrar a derivada de cada uma delas.Agora, sabendo, por exemplo, que

gʹ(y) = A y.ln A

podemos encontrar a derivada da inversa f utilizando o fato de que

• ExEmplo 17:Consideremos a função g(y) = sen y, que não é inversível em seu domínio.

Considerando a restrição de g ao intervalo D = −

π π2 2

, , podemos definir a função inversa

y = g−1(x) = f ( x) = arcsen x

(que se lê: “arco-seno x”)

Temos:

Assim:

′( ) =′( )

g yf x

1

′( ) =′( )

= =g yf x x y

1 12

12

′( ) =′( )

=⋅

=f xg y A A x Ay1 1 1

ln ln

x g y y= ( ) = sen

′( ) = = − = −g y y y xcos sen1 12 2

′( ) =′( )

=−

f xg y x

1 11 2

295



É importante observar que a função arcsen tem como domínio o intervalo fechado D = −

π π2 2

, , mas é derivável somente no intervalo aberto de mesmas extremidades.Assim,

13.8 Diferencial de uma função de uma variável real

Seja y = f ( x) uma função da variável independente x. Seja ainda ∆x0 uma quantidade não

necessariamente infinitesimal, mas ∆x0 uma quantidade finita.

Considerando

13.32

onde agora α é uma quantidade infinitamente pequena, teremos que a taxa de variação média

será dada por:

13.33

de onde concluímos que

13.34

Definimos a diferencial da função y = f ( x) como:

13.35

Indicamos, de acordo com a notação acima, essa diferencial com o caractere d. Assim, escre-

vemos para tal quantidade

13.36

ddx

x xx

xarcsen arcsen( ) = ( )′ =−

− < <1

11 1

2 para

∆ = ∆x xα 0

f x x f xx

f x x f xx

+ ∆( ) − ( )∆

=+ ∆( ) − ( )

∆αα

0

0

f x x f x f x x f xx

x+ ∆( ) − ( )

=+∆( ) − ( )∆

⋅∆αα

00

df xf x x f x( ) = + ∆( ) − ( )

→limα

αα0

0

dy ou df ( x)

296



É fácil obter o valor da diferencial se conhecemos a função yʹ = f ʹ(x). De fato, tomando o

limite em ambos os membros da equação 13.33, encontraremos:

13.37

ou seja,

13.38

No caso particular em que f ( x) = x, a equação 13.38 se reduz a

13.39

Assim, a diferencial da variável independente x nada mais é do que a constante finita ∆x0.

Tendo em vista 13.39, que identifica ∆x0 como a diferencial da função identidade, o lado

direito da equação 13.38 pode ser escrito como o produto

13.40

ou, analogamente,

13.41

• ExEmplo 18:Vamos encontrar o valor aproximado de ln (1,004).Nesse caso, temos a função y = f ( x) = ln x, o valor inicial x = 1 e o acréscimo ∆x = 0,004.Temos, então, ∆y = ln 1,004 − ln 1 = ln 1,004

e, como dy = f ʹ(x).∆x, sendo ′( ) =f xx1

, para x = 1, temos:

dy = 0,004

Logo, ∆y pode ser aproximado por 0,004, ou seja,

ln(1,004) ≅ 0,004

lim limα

αα→ ∆ →

+ ∆( ) − ( )=

+ ∆( ) − ( )∆

∆0

0

0 0

f x x f x f x x f xx

xx

df x f x x( ) = ′( ) ⋅∆ 0

dx = ∆x0

df x f x dx( ) = ′( )

dy = yʹdx

297



• ExEmplo 19:Qual o valor aproximado de 4 0024, ?Agora temos a função y f x x= ( ) = , o valor inicial x = 4 e o acréscimo ∆x = 0,0024.

Então, ∆ = − = −y 4 0024 4 4 0024 2, , .

e, como dy = f ʹ(x).∆x, sendo ′( ) =f xx

12

, para x = 4, temos:

Logo, ∆y pode ser aproximado por 2,0006.

Assim, podemos entender a derivada como igual à razão entre a diferencial da função e a

diferencial da variável. Por essa razão, frequentemente, chamamos a função derivada de coe-

ficiente diferencial. Nesse contexto, diferenciar uma função é o mesmo que encontrar sua

diferencial. A operação pela qual se diferencia é chamada diferenciação.

A partir do cálculo das derivadas, podemos obter as diferenciais das funções. Assim, temos as

seguintes diferenciais:

13.42

13.43

13.44

13.45

13.46

Ainda poderíamos, é claro, mostrar que a diferencial da soma de duas funções diferen-

ciáveis é igual à soma das diferenciais dessas funções, bem como que a diferencial do produto

y(x) = u(x).v(x) de duas funções diferenciáveis u e v é dada pela relação: dy = udv + vdu.

Para verificar essa última afirmação, basta observar que:

dy = =0 0024

40 0006, ,

d a x dx d a x dx d ax adx+( ) = −( ) = − ( ) =, ,

d ax

a dxxdx ax dxa a

= − = −

21,

d e e dxx x( ) =

d x x dx x dxsen cos sen( ) = = +

π

2

d x x dx x dxcos sen cos( ) = − = +

π

2

dy y x u v uv x uv x vu x udv vdu= ′⋅∆ = ′ + ′( )∆ = ′∆ + ′∆ = +

298



No caso da composição de duas funções:

y = f ( u), u = u(x) e y = f ( u(x)),

temos que, como

13.47

então,

13.48

13.49

o que significa que a diferencial de uma função composta é expressa da mesma maneira como

se a variável intermediária u fosse uma variável independente.

• ExEmplo 20:

Seja y = ln x e vamos determinar sua diferencial dy.Temos:

y = f ( u) = ln u e u = u(x) = x

Então, ′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = ′( ) = ⋅y x f u u xuu x

x x1 1 1

2.

Logo,

dyx x

dx= ⋅1 1

2 ou dy

xd x= ( )1

• ExEmplo 21:No caso de y = cos x2, vamos determinar sua diferencial.De modo análogo, temos:

y = f ( u) = cos u e u = u(x) = x2

Então, ′( ) = ′( ) ⋅ ′( ) = − ⋅ ′( ) = − ⋅y x f u u x u u x x xsen sen 2 2 .Logo,

dy x xdx x d x= − ⋅ = − ⋅ ( )sen sen2 2 22

dydx

x y x f u u x( ) = ′( ) = ′( ) ⋅ ′( )

dy f u u x dx= ′( ) ⋅ ′( )

dy f u du= ′( )

299



13.9 As regras de L’HospitalVeremos aqui duas propriedades importantes para o cálculo de limites da forma

00 ou

+∞+∞,

que são ambas expressões indeterminadas. Muitas vezes, sabemos calcular limites desse tipo,

utilizando alguma técnica apropriada, como a fatoração do denominador e do numerador,

seguida da simplificação dos dois termos, ou a multiplicação de ambos os termos por algum

fator adequado, e assim por diante. Entretanto, há situações em que tais técnicas não resolvem o

problema. É o caso, por exemplo, dos limites: limlnx

xx→

−1

1 ou lim

x

xex→+∞ 10 .

Primeira regra de L’Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um

ponto de I e suponhamos que gʹ(x) ≠ 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições,

se limx af x

→( ) = 0 e lim

x ag x

→( ) = 0 e se existe lim

x a

f xg x→

′( )′( )

, sendo finito ou infinito, então, limx a

f xg x→

( )( )

existirá e

13.50

É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de x → a, tivermos x → ∞.

• ExEmplo 22:Seja o limite

Observamos que:

Portanto, temos que L1 é da forma 00, que é uma indeterminação.

Vejamos, então, se existe o limite:

lim limx a x a

f xg x

f xg x→ →

( )( )

=′( )′( )

L xxx1 0 2

13

=−

→lim cos

lim cos cos

limx

x

x

x→

→

−( ) = − = − =

( ) = ( ) =

0

0

2 2

1 0 1 1 1 0

3 3 0 0

L xxx2 0 2

13

=− ′′→

lim (cos )( )

300



Temos:

e

Assim:

(atenção para o limite fundamental).Como L2 existe, temos L1 = L2:

• ExEmplo 23:

O limite limlnx

xx→

−1

1 também é da forma

00.

Observamos que (x − 1)ʹ = 1 e que ln xx

( )′ = 1

e que lim ( )(ln )

lim limx x x

xx

x

x→ → →

− ′′= = =

1 1 1

1 11 1

logo, existe limlnx

xx→

−1

1 e lim

lnx

xx→

−=

1

1 1.

• ExEmplo 24:

lim lnsen( )x

xx→ −π π

2

22 também é da forma

00.

Observamos que

e que

e que lim (lnsen )[( ) ]

lim cotg( )x x

xx

xx→ →

′− ′

=− −π ππ π

2

2

22 4 2

ainda é da forma 00.

(cos ) senx x− ′ = −1

3 62x x( )′ =

Lx

x

xx

xx x x2 0 2 0 0

1

3 616

=−( )′

( )′=

−−

⋅→ → →

limcos

lim sen lim senxx

= −16

L xxx1 0 2

13

16

=−

= −→lim cos

(lnsen )sen

cos cotgxx

x x′ = ⋅ =1

[( ) ]' ( ).( ) ( )π π π− = − − = − −2 2 2 2 4 22x x x

301



Mas, aplicando novamente a propriedade, temos:

(cotg x)ʹ = − cossec2 x

e

[−4(π − 2x)]ʹ = 8

e

Logo, existe

e existe lim lnsen( )x

xx→ −π π

2

22 e lim lnsen

( )x

xx→ −

= −π π2

2218

.

Segunda regra de L’Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um

ponto de I e suponhamos que gʹ(x) ≠ 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições,

se lim ( )x af x

→= ∞ e lim ( )

x ag x

→= ∞ e se existe lim ( )

( )x a

f xg x→

′′

, sendo finito ou infinito, então, lim ( )( )x a

f xg x→

existirá e

13.51

É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de x → a, tivermos x → ∞.

lim (cotg )[ ( )]

lim cossecx x

xx

x→ →

′− − ′

=−

= −π ππ2 2

2

4 2 818

lim (lnsen )[( ) ]

lim cotg( )x x

xx

xx→ →

′− ′

=− −

= −π ππ π2

2

22 4 2

18

lim ( )( )

lim ( )( )x a x a

f xg x

f xg x→ →

=′′

302



• ExEmplo 25:Vejamos o limite: lim ln tg

ln tgx

xx→0

35

que é da forma −∞−∞

.Observamos que

e que

e que

pois lim sensenx

xx→

=

0

53

53 (verifique!). Logo, existe lim ln tg

ln tgx

xx→0

35

e lim ln tgln tgx

xx→=

0

35

1.

• ExEmplo 26:

O limite limx

xex→+∞ 10 também é da forma

+∞+∞

.

Observamos que

(ex)ʹ = ex

e que

(x10)ʹ = 10.x9

e que

ainda é da forma +∞+∞

. Aplicando a regra de L’Hospital mais 9 vezes, chegaremos a

Logo, existe limx

xex→+∞ 10 e lim

x

xex→+∞

= +∞10 .

(ln tg )tg

secsen .cos

3 3 13

3 3 13 3

2xx

xx x

′ = ⋅ ⋅ = ⋅

(ln tg )tg

secsen .cos

5 5 15

5 5 15 5

2xx

xx x

′ = ⋅ ⋅ = ⋅

lim (ln tg )(ln tg )

lim sen .cos

sen .cos

lix x

xx

x x

x x→ →

′′= =

0 0

35

33 35

5 5

mm sen .cossen .cosx

x xx x→

⋅

=

0

35

5 53 3

1

lim ( )( )

limx

x

x

xex

ex→+∞ →+∞

′′=10 910

lim!x

xe→+∞

= +∞10

303



• ExEmplo 27:

O limite lim tgsecx

xx→

π2

é da forma +∞+∞

.

Observamos que

(tgx)ʹ = sec2x

e que

(secx)ʹ = tg.secx

e que lim (tg )(sec )

lim sectgx x

xx

xx→ →

′′=

π π2 2

ainda é da forma +∞+∞

.

Entretanto, não adianta aplicar novamente a regra de L’Hospital...Agora, esse limite é quase imediato, ao ser calculado diretamente!

Uma observação adicional: é importante saber que as regras de L’Hospital são úteis no sentido de que resolvem vários limites que satisfazem as hipóteses colo-cadas. Existe, porém, um “mas”... Vejamos a seguir!

lim tgsec

lim sencos

cos limsenx x x

xx

xx

x x→ → →

= ⋅

= =

π π π2 2 2

11

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e

realize a(s) atividade(s) proposta(s).

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO Fundamentos de Matemática I · 13.4 Derivada de uma função...

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