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Semana 2 [1/24]

Derivadas

August 16, 2007

Derivadas

Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24]

Máximos y mínimos locales

Mínimo localx̄ es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que

f (x̄) ≤ f (x) ∀x ∈ (x̄ − ε, x̄ + ε).

Análogamente:Máximo local → (f (x̄) ≥ f (x)).

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Regla de Fermat

TeoremaSi x̄ ∈ (a, b) es mínimo local o máximo local de una función derivablef : (a, b) → R, entonces f ′(x̄) = 0.

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Ejemplo

Queremos diseñar un cilindro de radio r y altura h cuyo volúmen V = πr2hsea máximo, para una superficie total dada S = 2πr2 + 2πrh.

h

r

Volumen del cilindro:

V (r ) = πr2(

S2πr

− r)

=Sr2

− πr3.

Resolvemos V ′(r ) = 0, es decir

S2− 3πr2 = 0

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Ejemplo

Solución positiva:r ∗ =

√

S/6π.

Volumen: V (r ∗) =√

S3/54π.

ObservaciónNo podemos asegurar que la solución entregue el volumen máximo.Podemos mirar el gráfico aproximado de V (r ):

r

V(r)

r*

V*

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Teorema del valor medio Semana 2 [6/24]

Teorema del valor medio

TVMSean f , g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), cong(b) 6= g(a) y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b).Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c).

En particular, si g(x) = x se tiene

f (b) − f (a)

b − a= f ′(c).

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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [7/24]

Regla de l’Hôpital

Útil para el cálculo de límites de la forma 0/0 o ∞/∞.

TeoremaSean f , g : (a, b) → R derivables en (a, b), tales que

limx→a+

f (x) = limx→a+

g(x) = L

con L = 0 o L = ∞, y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces

limx→a+

f (x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)(1)

siempre que este último límite exista.

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Regla de l’Hôpital

También se aplica para límites con x → a−, x → a, e incluso para límites conx → ∞:

Si limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = 0 o ∞ y g ′(x) 6= 0 para x suficientementegrande,

limx→∞

f (x)

g(x)= lim

y→0+

f (1/y)

g(1/y)

= limy→0+

−f ′(1/y)/y2

−g′(1/y)/y2

= limy→0+

f ′(1/y)

g′(1/y)

= limx→∞

f ′(x)

g′(x),

siempre que este último límite exista.

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Regla de l’Hôpital: Ejemplos

limx→0(1 − cos(x))/x2 = 1/2.Es más,

limx→0

cos(x) − 1 + x2/2x4 =

124

.

limx→0

exp(x) − 1 − xx2 =

12

.

limx→1

ln(x) − 1 + xarctan(x) − π/4

= 4.

limx→∞

ln(1 + exp(x)) sin(1/x) = 1.

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Regla de l’Hôpital: Ejemplos

f : R→ R posee asíntota y = mx + n en ∞, si existen

m = limx→∞

f (x)/x n = limx→∞

f (x) − mx .

Si limx→∞ f ′(x) existe, entonces

m = limx→∞

f ′(x).

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Derivadas y monotonía

TeoremaSea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b).

Si f ′(x) ≥ 0 (resp. ≤ 0) para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente (resp.decreciente) en [a, b].

Si la desigualdad es estricta, la monotonía es igualmente estricta.

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Derivadas y convexidad

f : [a, b] → R se dice convexa si las rectas secantes al gráfico de la funciónquedan por encima del gráfico, vale decir

f (z) ≤ f (x) +

[

f (y) − f (x)

y − x

]

(z − x) ∀ x < z < y . (2)

f(x)

f(y)

x z y

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Derivadas y convexidad

TeoremaSea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b).

Entonces f es convexa en [a, b] ssi f ′ es creciente en (a, b).

Análogamente: f cóncava si

f (z) ≥ f (x) +

[

f (y) − f (x)

y − x

]

(z − x) ∀ x < z < y . (3)

f cóncava ssi f ′ es decreciente.

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Derivadas de orden superior

Son útiles para construir aproximaciones polinomiales de la función, másprecisas que la aproximación afín dada por la derivada primera.

Se definen inductivamente como:

f [k ](x̄) := (f [k−1])′(x̄).

f : (a, b) → R es de clase Ck(a, b) si es k veces derivable en todo puntodel intervalo (a, b), y la función f [k ] : (a, b) → R es continua.

Clase C∞, si lo anterior es cierto ∀k ∈ N.

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Desarrollos limitados

Desarrollo limitadof : (a, b) → R posee un desarrollo limitado de orden k en torno al puntox̄ ∈ (a, b) si existen constantes a0, . . . , ak ∈ R tales que

f (x) = a0 + a1(x − x̄) + a2(x − x̄)2 + · · · + ak(x − x̄)k + o((x − x̄)k).

con limu→0 o(uk)/uk = 0.

Esto equivale a

f (x̄ + h) = a0 + a1h + a2h2 + · · · + akhk + o(hk).

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Desarrollos limitados

TeoremaSea f : (a, b) → R, k-veces derivable en x̄ ∈ (a, b), y sea

T kf (h) := f (x̄) + f ′(x̄)h +

f ′′(x̄)

2h2 + · · · +

f [k ](x̄)

k !hk

su desarrollo de Taylor de orden k en torno a x̄ .

Entoncesf (x) = T k

f (x − x̄) + o((x − x̄)k)

con limh→0 o(hk)/hk = 0.

AtenciónLa recíproca no es cierta.Que una función admita un desarrollo limitado de orden k en x̄ no implica laexistencia de f [k ](x̄).

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Desarrollos limitados: Ejemplos

Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de exp:

exp(x) = 1 + x +x2

2+ · · · +

xk

k !+ o(xk).

Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de − ln(1 − x):

− ln(1 − x) = x +x2

2+

x3

3+ · · · +

xk

k+ o(xk).

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Los desarrollos limitados se pueden sumar y multiplicar. Consideremos

sin(x) = x − x3/6 + o(x4)

exp(−x) = 1 − x + x2/2 − x3/6 + o(x3).

Como o(xm) es también o(xk) si k ≤ m,

exp(−x) + sin(x) = 1 +x2

2−

x3

3+ o(x3) + o(x4) = 1 +

x2

2−

x3

3+ o(x3).

Además xm = o(xk) si m > k y también f (x)o(xk) = o(xm+k) siempre quelimx→0 |f (x)/xm| < ∞, entonces

sin(x) exp(−x) = x − x2 +x3

3−

x5

12+

x6

36+ o(x4) exp(−x) + o(x3) sin(x)

= x − x2 +x3

3+ o(x4).

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Los desarrollos limitados también se pueden componer.

Para obtener un desarrollo limitado de orden 2 de f (x) = ln[1 + exp(x)] entorno a x̄ = 0, usamos el desarrollo exp(x) = 1 + x + x2/2 + o(x2) y

f (x) = ln[2 + x + x2/2 + o(x2)].

Por otro lado, dado que

ln[2 + z] = ln 2 +z2−

z2

8+ o(z2)

reemplazando z = x + x2/2 + o(x2) se obtiene

f (x) = ln 2+[x + x2/2 + o(x2)]

2−

[x + x2/2 + o(x2)]2

8+o([x+x2/2+o(x2)]2).

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Finalmente, identificamos los coeficientes de las potencias de x de gradomenor o igual que 2, el resto son de orden o(x2).

ln[1 + exp(x)] = ln 2 +x2

+x2

8+ o(x2).

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Caracterización de puntos críticos

ProposiciónSea f : (a, b) → R, k veces derivable en x̄ ∈ (a, b), conf ′(x̄) = · · · = f [k−1](x̄) = 0 y f [k ](x̄) 6= 0, k ≥ 2. Entonces hay 3 casosposibles:

Si k es par y f [k ](x̄) > 0, x̄ es un mínimo local.

Si k es par y f [k ](x̄) < 0, x̄ es un máximo local.

Si k es impar, x̄ es un punto de inflexión.

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Fórmula de Taylor

El siguiente resultado permite medir el error que se comete al usar undesarrollo de Taylor:

TeoremaSea f : (a, b) → R, (k + 1)-veces derivable en (a, b).Sea T k

f (·) el polinomio de Taylor de orden k en x̄ ∈ (a, b).

Entonces, para todo x > x̄ (resp. x < x̄) existe ξ ∈ (x̄ , x) (resp. ξ ∈ (x , x̄)) talque

f (x) = T kf (x − x̄) +

f [k+1](ξ)

(k + 1)!(x − x̄)k+1. (4)

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El método de Newton

Consideramosf (x) = 0.

f : [a, b] → R derivable tal que f (a)f (b) < 0.

Sabemos que existe una solución x∗.

Si reemplazamos f por su aproximación afín en torno a x0,

f (x0) + f ′(x0)(x − x0) = 0.

Y f ′(x0) 6= 0,x1 = x0 − f (x0)/f ′(x0)

es una nueva aproximación de x∗.

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El método de Newton

Esto nos conduce a un procedimiento iterativo:

xn+1 = xn − f (xn)/f ′(xn),

mientras f ′(xn) 6= 0.

Este es el Método de Newton .

TeoremaSea f : (a, b) → R una función de clase C2 y supongamos que x∗ ∈ (a, b) esuna solución de la ecuación f (x∗) = 0 tal que f ′(x∗) 6= 0.Entonces existen constantes ǫ > 0 y M > 0 tales que para todo punto departida x0 ∈ Iǫ := (x∗ − ǫ, x∗ + ǫ) el método de Newton está bien definido yconverge hacia x∗ con

|xn+1 − x∗| ≤ M |xn − x∗|2.

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