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19h00, 07/08/2006 UERJ
1 Campos tensoriais - Conexao - Derivada covariante
1.1 Variedade diferenciavel (C∞)
• Uma variedade topologica M e um espac topologico (de Hausdorf) tal que cada ponto P
tem uma vizinhanca homeomorfa com Rm. O numero m e a dimensao da vairedade.
• Uma carta local e um par (U,ϕ) formado por uma aberto U de M e um homeomorfismo
ϕ : U → V ∈ Rm, onde V e um aberto de Rm. Se P ∈ U , as coordenadas de P na carta
(U,ϕ) sao dadas por x ≡ (x1, · · · , xm).= ϕ(P ).
• Um atlas e uma colecao de cartas A ≡ (Uα, ϕα) tal que a uniao⋃α Uα = M e, se
P ∈ Uα ∩ Uβ com xα = ϕα(P ) e xβ = ϕβ(P ), temos xβ = (ϕβ ϕ−1α ) (xα), onde
τβα.= ϕβ ϕ−1
α e um difeomorfismo (C∞) entre abertos de Rm.
• Dois atlasses sao equivalentes, A ' A′, se a reuniao deles A∪A′ e um atlas. Uma variedade
diferenciavel M e uma variedade topologica munida de uma classe de equivalencia de atlasses.
• Seja uma aplicacao f : M → N : P → Q = f(P ). O ponto P pertence a uma carta (U,ϕ)
de M com x = ϕ(P ), e Q pertence a uma carta (V, ψ) de N com y = ψ(Q). A aplicacao
e chamada diferenciavel, se for diferenciavel a aplicacao entre abertos de Rm e Rn:
ψ f ϕ−1 : x ϕ−1
→ Pf→ Q
ψ→ y
Se f possue inversa f−1, e se ambos foram diferenciaveis, f e chamado de difeomorfismo.
1.2 Vetores Tangentes em um ponto P ∈ M
• Ha varias definicoes (equivalentes!) no mercado.
• Uma curva parametrizada e uma aplicacao diferenciavel: C : I ⊂ R →M : t→ P = C(t),
onde I e um intervalo de R, que supomos conter a origem 0, e seja P0 = C(0).
Se f : M → R for uma aplicacao diferenciavel, a funcao composta f C : I → R e uma
funcao diferenciavel em t = 0. O vetor tangente a curva em P0 e a aplicacao
−→V P0 ,C : FP0(M) → R : f →
−→V P0 ,C (f)
.=
d
dt(f C) (t) |t=0
onde FP0(M) e a algebra das funcoes 1 diferenciaveis em P0.−→V P0,C (f) e a derivada de f ao
longo de C no ponto P0. Se−→V P0 ,C2 (f) =
−→V P0 ,C1 (f), as curvas C1 e C2 possuem o mesmo
vetor tangente em P0 e isto e uma relacao de equivalencia de modo que um vetor em P0 pode
ser definido como classe de equivalencia.
1Tecnicamente : germe das funcoes · · ·
1
• Em coordenadas locais (U,ϕ), a i-esima coordenada do ponto P e dada pela imagem da
aplicacao ϕi : M → R : P → xi = ϕi(P ) e, com xi(t).= (ϕi C)(t), a i-esima componente
do vetor−→V P0 ,C e:
Vi0.=
−→V P0 ,C (ϕi) =
d
dtxi(t) |t=0
Uma aplicacao f : M → R composta com C : I →M pode ser escrita como :
f C = (f ϕ−1) (ϕ C) : t→ C(t) → x(t) → fU (x(t))
onde denotamos fU ≡ (f φ−1) : Rm → R. Obtemos
−→V P0,C (f) =
∂fU(x)∂xk
dxk(t)
dt|t=0=
∂fU(x)∂xk
Vk0
Um vetor sera definido como derivacao sobre a algebra das funcoes diferenciaveis em x0.Uma derivacao sendo uma operacao linear satisfazendo a regra de Leibniz.
−→V P0 ,C ( ) =
∂( )
∂xkVk
0
• Numa mudanca de cartas locais (U,ϕ) ⇒ (U ′, ϕ′), teremos f(P ) = fU(x) = fU ′(x′),com a relacao
x′k = (ϕ′ ϕ−1)(xi) .= X ′k(x1, · · · , xm)
Se Vi0 define o vetor
−→V P0 ,C na carta (U,ϕ), o mesmo vetor sera definido em (U ′, ϕ′) por
V′ i0 =
∂X ′ i(x)∂xj
|x0 Vj0
⇔ Outra definicao de vetor : Como os componentes se transformam
• Os vetores formam um espaco vetorial TP0(M), o espaco tangente a variedade em P0. Uma
base dese espaco e dada pelos vetores
−→∂
∂xi|x0 ; i = 1, · · · ,m
• Uma forma linear em P0 e uma aplicacao α0 : TP0(M) → R : V0 → α0 (V0) = 〈α0|V0〉,que e linear : 〈α0|aV0 + bW0〉 = a 〈α0|V0〉 + b 〈α0|W0〉. Com a soma e o produto com um
escalar definidos por 〈α0 + β0|V0〉 .= 〈α0|V0〉 + 〈β0|V0〉 e 〈aα0|V0〉 = a 〈α0|V0〉, as formas
lineares ou co-vetores formam tambem um espaco vetorial, o dual T ?P0(M). A base dual de
∂/∂xi|0 e notada dxi|0 de modo que 〈dxi|0|∂/∂xj|0〉 = δij , o sımbolo de Kronecker.
Em componentes, temos α0 = α0,k dxk|0, com 〈α0|∂/∂xk|0〉 = α0,k e 〈dxk |0|V0〉 = Vk
0 .
2
• A diferencial de uma aplicacao diferenciavel Φ : M → N : P → Q = Φ(P ) e uma aplicacao
linear entre espacos tangentes dΦP : TP (M) → TQ(N) : VP → WQ = dΦP (VP ), onde WQ
e definido agindo sobre uma funcao f diferenciavel em Q como WQ(f(Q)).= VP (f(Φ(P )).
Sejam (U,ϕ) e (V, ψ) cartas locais, nas quais (P ∈ U) e (Q ∈ V ) sao representados por
x = ϕ(P ) e y = ψ(Q). A aplicacao ψ f ϕ−1 de ϕ(U) em ψ(V ) e dada por funcoes
Y .= x → y ; yα = Y α(x1, · · · , xm) , α = 1, · · · , n e a diferencial (ou aplicacao
tangente) e dada por :
dΦP : V → W : Vi → Wα ; Wα =∂Y α
∂xiVi
• No caso de uma funcao f : M → R : P → y = f(P ), identificamos o espaco tangente
Ty(R) com R e numa carta local (U,ϕ) temos :
dfP : TP (M) → Ty(R) ' R : VP → dfP (VP ) =∂fU∂xi
ViP =
∂fU∂xi
〈dxi|VP 〉
e dfP = ∂fU
∂xi dxi corresponde a diferencial usul de uma funcao . Em particular dxiP e a
diferencial da funcao i-esima coordenada na carta (U,ϕ).
• Na mudanca de coordenadas (U,ϕ) para (U ′, ϕ′) os vetores de base e os componentes se
transformam com as matrizes
Aij(x)
.=∂X ′ i(x)
∂xj; Bk
l(x′).=∂Xk(x′)
∂x ′ l ; AB = 1
∂
∂x ′ i =∂
∂x jBj
i(x′) ; dx ′ i = Ai
j(x) dxj
V ′i = Aij(x) Vj ; α′
k = αl Blk(x
′)
• A partir dos espacos tangente e cotangente no ponto P , podemos construir a algebra
tensorial nesse ponto. De maneira mais pragmatica definimos tensores de tipo (r, s) pela
maneira como os componentes se transformam numa mudamca de carta local. Por exemplo
um tensor tipo (2, 1) tangente a variedade M , no ponto P , sera dado por m3 componentes
T ija , i, j, · · · , a, · · · = 1, 2, · · · ,m, que se transformam como
T ija → T ′ ija = Ai
k(x) Ajl(x) T
klb B
lk(x
′)
3
1.3 Campos Tensoriais
• O fibrado tangente a uma variedade M e o conjunto TM de pares, constituidos por um
ponto P de M e um vetor tangente VP ∈ TP (M).
TM.= (P,VP ) |VP ∈ TP (M)
Temos uma projecao canonica π : TM → M : (P,VP ) → P e a fibra sobre P e o espaco
tangente : π−1(P ) = TP (M). Um atlas de M define naturalmente um atlas de TM e
fornece uma estrutura de variedade diferenciavel em TM . Analogamente define-se o fibrado
co-tangente T ?M e os fibrados tensoriais T (r,s)M2 sobre M . Cada um tem uma projecao
π : T (r,s)M →M : (P,TP ) → P .
• Um campo tensorial e uma secao de um fibrado tensorial, isto e uma aplicacao diferenciavel
τ : M → T (r,s)M : P → τ (P ), tal que π(τ (P )) = P . Na carta local (U,ϕ), τ (P ) sera dado
por componentes T ......(x), funcoes diferenciaveis das coordenadas x do ponto P .
exemplo: Um campo escalar e uma funcao do ponto P dada por f(P ) = fU (x) = fU ′(x′),
um campo vetorial dado em duas cartas por m funcoes com V ′ i(x′) = Aij(x) V
j(x), etc.
• A dois campos vetoriais U(P ) e V(P ) podemos associar um terceiro, o colchete de Lie3
que e um campo definido como derivacao na algebra das funcoes C∞ em M como:
[−→U ,
−→V
](f)
.=(−→
U −→V −
−→V
−→U
)(f)
Na carta (U,ϕ), [−→U ,
−→V
]( ) =
∂( )
∂xi
(Uk ∂ V
i
∂xk− V k ∂ U
i
∂xk
)
O colchete de Lie obedece as identidades de Yacobi :
[[U,V] ,W] + [[V,W] ,U] + [[W,U] ,V] = 0
Os vetores de base associados a uma carta local (base natural ou holonoma) satisfazem
[∂/∂xi|P , ∂/∂x
j|P
]= 0
Numa base movel (nao holonoma) teremos, em geral :
[eα, eβ] (P ) = eγ(P ) Cγαβ(P ) 6= 0
onde Cγαβ(P ) sao as funcoes de estrutura da base eα.
2Em particular, T (0,0)M sao as funcoes sobre M .3Verifique que isto e bem um campo vetorial.
4
19h30, 14/08/2006 UERJ
1.4 Derivada Covariante - Conexao - Curvatura
• Na Fısica Classica as leis sao formuladas em termos de equacoes diferenciais que precisam
ser covariantes, isto e relacionar grandezas tensoriaias. Numa base natural de coordenadas,
onde um campo vetorial e dado por seus componentes 〈dxi|V〉(x) = V i(x), podemos calcular
as derivadas parciais desses componentes V i, j(x)
.= ∂V i(x)/∂xj. Numa outra carta teremos
V ′ k(x′) = Akl(x)V
l(x) mas V ′ i, j(x
′).= ∂V ′ i(x′)/∂x ′ j se relaciona com V i
, j(x) como :
V ′ i, j(x
′) = Aik(x) V
k, l(x) B
lj(x
′) +∂Ai
k(x)
∂xlV k(x) Bl
j(x′)
= Aik(x) V
k, l(x) B
lj(x
′) +∂ 2X ′ i
∂xk∂xlV k(x) Bl
j(x′)
Em geral, ∂Aik(x)/∂x
l = ∂2X ′ i/∂xk∂xl 6= 0, de modo que V i, j(x) nao formam os compo-
nentes de um tensor tipo (1, 1). No caso de um co-vetor, os componentes αk(x) = 〈α|∂/∂xk〉se transformam como α′
i(x′) = αk(x) B
ki(x) ,mas αi , j
.= ∂αi(x)/∂x
j obedece a :
α′i , j(x
′) = αk , l(x) Bki(x
′) Blj(x
′) + αk(x) Blj(x
′)∂
∂xlBk
i(x′)
= αk , l(x) Bki(x
′) Blj(x
′) + αk(x)∂ 2Xk(x′)
∂x ′ ∂x ′j
e nao sao componentes de um tensor tipo (0, 2).
O termo suplementar nas transformacoes acima e linear no campo de modo que podemos
definir uma derivada covariante ou conexao por
∇k Vi(x)
.=∂V i(x)
∂xk+ Γ i
kj(x)Vj(x),
onde os coeficientes da conexao Γ ikl(x) devem se transformar de uma carta para outra de
modo que ∇k Vi define um tensor (1, 1). Outra notacao de uso comum e :
∇k Vi(x) ≡ V i
; k(x).= V i
, k(x) + Γ ikj(x)V
j(x)
Exigimos que V ′ i; k(x
′) = Aij(x) V
j; l(x) B
lk(x
′), o que resulta em
Γ ′ ikj(x
′) = Air(x) Γ r
ls(x) Blk(x
′) Bsj(x
′) +Air(x)
∂
∂x′kBr
j(x′)
= Air(x) Γ r
ls(x) Blk(x
′) Bsj(x
′) +Air(x)
∂ 2Xr(x′)
∂x′k∂x′j
5
Como o termo inhomogeneo Air(x) ∂
2Xr(x′)/∂x′k∂x′ j e simetrico em k ↔ j, a diferenca
T ijk.= Γ i
jk − Γ ikj
se transforma como um tensor e define a torsao da conexao.
Uma outra maneira (util nas contas!) de escrever a lei de transformacao dos Γ ’s e introduzir
a forma diferencial Γ ij(x) = Γ i
kj(x) dxk de modo que a lei de transformacao torna-se em :
Γ ′ ij (x
′) = Aik(x) Γ k
l (x) Blk(x
′) +Aik(x) dBk
j(x′)
• A derivada covariante na direcao do campo vetorial U do campo vetorial V e o campo
vetorial ∇UV com componentes 〈dxk|∇UV〉 .= U i∇iVk.4
Podemos verificar que a conexao, definida sobre o modulo dos campos vetoriais em M sobre
a algebra das funcoes C∞(M), como operador ∇U : V → W = ∇UV, obedece as seguintes
propriedades, que, por sua vez, podem ser tomadas como definicao da conexao.
• ∇UV e R-linear em V : ∇U(aV) = a∇UV, a ∈ R, e ∇U(V + V′) = ∇UV + ∇UV′
mas nao e C∞(M)-linear. Definindo ∇Uf.= 〈df |U〉, temos uma regra de Leibniz :
∇U(f V) = f (∇UV) + (∇Uf)V
• ∇UV e tensorial em U : ∇U+U′V = ∇UV + ∇U′V e ∇fUV = f∇UV.
Verifique-se que os coeficientes da conexao sao dados por:
Γ ikj = 〈dxi|∇∂/∂xk∂/∂xj〉
Sobre tensores R,S, a derivada covariante e definida pela regra de Leibniz generalizada :
∇U(R ⊗ S) = ∇UR ⊗ S + R ⊗∇US
e tal que ∇U comuta com ”contracoes ”, por exemplo ∇k (αi Vi) = (∇kαi)V
i + αi(∇kVi).
Em particular, obtemos :
∇kαi ≡ αi; k = αi, k − αj Γ jki
• Seja uma curva C(t) dada numa carta por xi = xi(t) e vetor tangente X i(t) = dxi(t)/dt.
Define-se se a derivada covariante, ao longo da curva, de um campo vectorial V como
DCVi
dt.= Xk(t)
(∂V i
∂xk+ Γ i
kl(x)Vl
)
|x=x(t)
=d
dtV i(x(t)) + Γ i
kl(x(t))Vl(x(t))
dxi(t)
dt
4Quando ha o mesmo ındice na posicao covariante (em baixo) e contravariante, uma somacao sobre essesındices e subentendido. Se isso acontece no produto de componentes de um tensor ou no mesmo tensor, oresultado e um tensor de tipo (1,1) menor do que o original.
6
Um campo vectorial V (tensorial) e transportado paralelamente ao longo da curva C(t) se
DCVi/dt = 0
Uma curva e autoparalela ou geodesica se o seu vetor tangente for transportado paralelamente
a ela mesma :
DCXi(t)
dt=d2xi(t)
dt2+ Γ i
kl(x(t))dxk(t)
dt
dxl(t)
dt= f(t)
dxi(t)
dt
Exercıcio :
Mostre que, nesse caso existe uma reparametrizacao da curva t → s = S(t) com a curva
dada por X i = xi(s) tal que
DCXi(s)
ds=d2xi(s)
ds2+ Γ i
kl(x(s))dxk(s)
ds
dxl(s)
ds= 0
e essa parametrizacao e determinada a menos de uma transformacao afim s→ as+ b.
19h30, 21/08/2006 UERJ
• O colchete de Lie foi definido acima e obedece a propriedade
[fU, gV] = f 〈dg|U〉V − g 〈df |V〉U = f (∇Ug)V − g (∇Vf)U
• O campo vetorial T(U,V).= ∇UV −∇VU − [U,V] e tensorial em U,V, i.e. C∞(M)
bilinear em U,V, de modo que
T i[kl]
.=
⟨dxi |T
(∂
∂xk,∂
∂xl
)⟩= Γ i
kl − Γ ilk
definem um tensor antisimetrico T i[kl] = −T i
[lk], a torsao de M , com a 2-forma associada :
T i.=
1
2T i
[kl] dxk ∧ dxl
• Um outro campo vetorial R(U,V)W.=(∇U ∇V −∇V ∇U −∇[U,V]
)W e tensorial
em U,V,W e obtemos o tensor curvatura da conexao definida pelos coeficientes Γ:
Rkl [ij]
.=
⟨dxk |R
(∂
∂xi,∂
∂xj
)∂
∂xl
⟩=
∂
∂xiΓ k
jl −∂
∂xjΓ k
il + Γ kir Γ r
jl − Γ kjr Γ r
il
que e o tensor curvatura da conexao definida pelos coeficientes Γ.
Como o tensor e antisimetrico : Rkl [ij] = −Rk
l [ji], associamos uma 2-forma :
R kl.=
1
2Rk
l [ij] dxi ∧ dxj = dΓ k
l + Γ kr ∧ Γ r
l
7
• A torsao mede a nao-comutatividade das derivadas covariantes de uma funcao escalar :
∇i∇j f −∇j∇i f = − ∂f
∂xk
(Γkij − Γkji
)= − (∇kf) T k [ij]
• A curvatura mede5 a nao comutatividade da derivada covariante :
(∇i∇j −∇j ∇j)Zk = Rk
l [ij] Zl − T l[ij] ∇lZ
k
Em particular, para uma conexao sem torsao, teremos :
(∇i∇j −∇j ∇j)Zk = Rk
[ij]l Zl
• Alem da antisimetria de Rkl [ij] em i↔ j, temos
Rkl [ij] +Rk
j [li] +Rki [jl] = 0
• O transporte paralelo de um vetor arbitrario ao longo de uma curva fechada e localmente
integravel, i.e. U‖(P ) = U(P ) se o tensor curvatura e nulo em toda variedade M .
• Finalmente, as identidades de Bianchi :
∇kRab [ij] + ∇iR
ab [jk] + ∇jR
ab [ki] = 0
• Opcional-(usando formas diferenciais)
Ate agora utilizamos uma base natural do espaco tangente e cotangente ∂/∂xi e dxk,mas e util usar bases duais que nao sejam associadas as coordenadas de uma carta local.
Um ”repere mobile” ou ”viel-bein” e dado por m campos vetoriais linearmente independentes
dentro de uma carta local (U,ϕ), Eα(x) =(
∂∂xi
)Ei
α(x), base de Tx(M) com a base dual
de T ?x (M), Eα(x) = Eiα(x)dxi, tal que 〈Eα|Eβ〉(x) = δαβ, com funcoes de estrutura :
[Eα,Eβ](x) = Eγ(x) Cγαβ(x) ; dEµ(x) = −1
2Cµ
αβ(x)Eα(x) ∧ Eβ(x)
O ”Formulario” nessa base movel e :
U(x) = Eα(x)Uα(x) ; Uα(x) = 〈Eα |U〉(x) ; θ(x) = θα(x)E
α(x) ; θα(x) = 〈θ |Eα〉(x)Γµαν(x) = 〈Eµ |∇EαEν〉 ; ∇UV = Eκ ( Γκαµ V
µ + 〈dV κ|Eα〉) Uα
T α[µν].= 〈Eα |T(Eµ,Eν)〉 = Γαµν − Γανµ − Cα
µν
Rαβ [µν]
.= 〈Eα|R(Eµ,Eν)Eβ〉= Γαµκ Γκνβ − Γανκ Γκµβ + 〈dΓανβ|Eµ〉 − 〈dΓαµβ|Eν〉 − Γαλβ C
λµν
Introduzindo as formas diferenciaias
Γµν = Γµαν Eα ; Tµ .=
1
2T µ[αβ] E
α ∧ Eβ ; Rµν.=
1
2Rµ
ν [αβ] Eα ∧ Eβ
as equacoes acima tomam a forma de Cartan :
Tµ = Γµν ∧ Eν + dEµ ; Rµν = dΓµν + Γµκ ∧ Γκν
5Fisicamente o desvio das geodesicas.
8
19h30, 28/08/2006 UERJ
1.5 Variedade Riemanniana
• Uma metrica na variedade M e dada por um campo tensorial de tipo (0, 2) simetrico,
gij(x) = gji(x) , que seja nao degenerado, i.e. gij(x)Xj(x) = 0 ⇐⇒ X = 0. Nesse caso
existe um tensor gij(x) de tipo (2, 0), tambem simetrico, inverso de gij(x) no sentido que
gij gjk = δij ; gij gjk = δi
k
onde δij e o tensor constante de tipo (1, 1), sımbolo de Kronecker:
δij = 1 , se i = j ; e δij = 0 , se i 6= j
• Com a metrica podemos abaixar e levantar ındices isto e estabelecer uma relacao entre
campos vetoriais contra-variantes e co-variantes :
V i(x) ⇒ Vk(x).= gki(x)V
i(x) ; θk(x) ⇒ θi(x) = gik(x) θk(x)
com a generalizacao obvia a tensores.
A metrica permite definir um produto escalar de campos vetoriais :
(V,W)(x).= gij(x)V
i(x)W j(x)
Lembramos que um tensor e transportado paralelamente ao longo de uma curva C(t) com
vetor tangente X(t) se ∇XT = 0. Se quisermos que o produto escalar de dois campos
vetoriais seja conservado em um transporte paralelo para qualquer caminho, a derivada
covariante do tensor metrica deve anular-se :
∇Xg = 0
Essa condicao , com o requerimento de torsao nula, isto e Γmrs = Γmsr, determine comple-
tamente a conexao. Na definicao : ∇i gkl.= ∂i gkl − gmlΓ
mik − gkmΓmil = 0, podemos fazer
permutacoes dos ındices i, k, l, obtendo assım :
∂i gkl = gmlΓmik + gkmΓmil ; ∂k gli = gmiΓ
mkl + glmΓmki ; ∂l gik = gmkΓ
mli + gimΓmlk
donde, usando a simetria da metrica :
∂i gkl − ∂k gli − ∂l gik = gml (Γmik − Γmki) + gkm (Γmil − Γmli) − gim (Γmkl + Γmlk)
e, usando a torsao nula e multiplcando por gri, achamos os sımbolos de Christoffel :
Γrkl =
r
kl
≡ gri
2(∂k gli + ∂l gik − ∂i gkl)
9
• Um teorema de algebra linear afirma que, em cada ponto P0, podemos definir coordenadas
numa carta tais que
gij(x0) =
0 , se i 6= j
±1 , se i = j
alem disso, o numero de sinais postivos P e negativos N nao depende do ponto e a dimensao
da variedade e m = P + N . A variedade e dita de assinatura P,N. Uma variedade em
que todos sinais sao positivos (ou todos negativos) e propriamente Riemanniana. Ela tem
assinatura m, 0 ou 0,m. Caso contrario, a variedade e chamada pseudo-Riemanniana.
Na teoria da relatividade restrita ou geral, a variedade e Lorentziana se a assinatura for
1,m− 1 ou m− 1, 1.E conveniente utilisar um referencial ”ortonormal”, i.e. duas bases duais de vetores Eα e
co-vetores Eα tais que
gij(x) = ηαβ Eiα(x)E
jβ(x) ; gkl(x) = ηκλEk
µ(x)Elν(x)
onde as constantes ηµν sao dadas por :
ηµν =
0 , se µ 6= ν
±1 , se µ = ν; ηαβ =
0 , se α 6= β
±1 , se α = β
Para calcular os coeficientes da conexao Γαβ em tal referencial ortonormal podemos utilizar
a equacao de Cartan para torsao nula :
Tµ .= Γµν ∧ Eν + dEµ = 0 (A)
A diferencial covariante da metrica sendo nula, ∇g = 0 escreve-se : ∇gµν.= dηµν−ηµλ Γλν−
ηλν Γλµ = 0 e, como ηµν e constante, temos
ηµλ Γλν + ηλν Γλµ = 0 (B)
As equacoes (A) e (B) permitem calcular os Γ’s e o tensor curvatura :
Rµν = dΓµν + Γµκ ∧ Γκν
10
1.6 Espaco de Minkowski - Relatividade restrita
• No espaco de Minkowski, existe uma carta global dentro da qual podemos escolher coor-
denadas tais que ∂/∂xk formam um referencial ortonormal :
g (∂/∂xi, ∂/∂xj) = ηij
Nessas coordenadas
r
kl
= 0 e o tensor curvatura tambem se anula, R k
l = 0. Em
coordenadas curvilinhas, naturalmente
r
kl
6= 0, mas, visto que e um tensor, R k
l = 0. De
fato a condicao R kl = 0 e tambem suficiente para existir tal referencial.
• Se esse referencial for inercial, i.e. partıculas, sobre as quais nenhuma forca age, se movem
com velocidade constante em linha reta, qualquer referencial se movendo com velocidade
constante em relacao a esse, tambem sera inercial.
Chamaremos essas coordenadas de ct = x0, x = x1, y = x2, z = x3 = ct, ~r e o produto
escalar entre dois deslocamentos infinitesimais δξ e δη e
g (δξ, δη) = δξ0δη0 −3∑
k=1
δξkδηk = δξ0δη0 − δ~ξ · δ~η
O quadrado da distancia infinitesimal Minkowskiana entre dois pontos x e x+ δx e :
δs2 .= (c δt)2 − (δ~r )2
Para dois pontos com separacao finita, ∆x em coordenadas lineares ortonormais, teremos
(∆x)2 .= c2(∆t)2 − (∆~r )2
e a velocidade da luz sera constante se a mudanca (linear) de referencial inercial R⇒ R ′ for
dada por:
xi → x ′k = Aki x
i + bk ,
de modo que (∆x ′)2 = (∆x)2, o que resulta em ηij = ηklAkiA
lj .
• Um caso particular consiste na transformacao de Lorentz ortocrona :
c∆t ′
∆x′
∆y ′
∆z ′
=
coshα −senhα 0 0
−senhα coshα 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c∆t
∆x
∆y
∆z
Fisicamente, interpretamos o parametro α a partir de x ′ = coshα (x− tanhα c t) de modo
que a equacao x ′ = 0, isto e a partıcula em repouso em R ′, corresponde a um referencial em
11
movimento uniforme na direcao Ox : x− v t = 0 com velocidade
tanhα = v/c ; coshα = γ.=
1√1 − (v/c)2
Da forma infinitesimal da transformacao de Lorentz :
c dt ′
dx ′
dy ′
dz ′
=
coshα −senhα 0 0
−senhα coshα 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
c dt
dx
dy
dz
vemos que :
dt ′ =1 − v (dx/dt)/c2√
1 − (v/c)2dt
dx ′
dt′=
(dx/dt) − v
1 − v (dx/dt)/c2
dy ′
dt′=√
1 − (v/c)2(dy/dt)
1 − v (dx/dt)/c2
dz ′
dt′=√
1 − (v/c)2(dz/dt)
1 − v (dx/dt)/c2
Em particular, se no referencialR uma ”part ıcula de luz” se propaga com velocidade dx/dt =
c, a sua velocidade no referencial R′ tambem sera dx′/dt′ = c.
Sejam dois eventos no espaco-tempo separados por ∆xk no referencial R, a separacao
entre esses eventos em R′ e dado por :
(c∆t ′
∆x ′
)=
(γ −(v/c) γ
−(v/c) γ γ
) (c∆t
∆x
)
Um observador em repouso no referencial R mede entre dois eventos, que para ele ocorrem
no mesmo lugar (∆x = 0), um intervalo de tempo proprio ∆t. Outro observador se movendo
junto com o referencial R′ mede entre esses dois eventos um intervalo de tempo ∆t′ = γ∆t
que e maior do que ∆t, donde o fenomeno que e chamado de dilatacao dos tempos.
Um regua rıgida em repouso no referencial R tem para ele, medida simultaneamente ∆t = 0
um certo comprimento ∆x = L0. O observador de R′ vai medir essa regua quando, para ele
∆t′ = 0, isto e ∆t nao e mais nulo mas satisfaz ∆t − (v/c2)∆x = 0. R′ obtem o resultado
∆x′ = γ(∆x− v∆t) = γ∆x (1− (v/c)2) = L0/γ, o que e menor do que L0 e temos contracao
dos comprimentos6.
6O desenho explica melhor o que esta acontecendo!
12
• Equacoes do movimento
Para uma partıcula massiva em movimento com velocidade menor do que c, as formulas
acima mostrem que a velocidade usual com componentes dx/dt, dy/dt, dz/dt nao se trans-
formam de maneira simples numa mudanca de referencial inercial. Do outro lado a ex-
pressao ds2 = c2 dt2 − d~r2 e invariante e podemos definir um intervalo de tempo proprio
dτ =√
1 − (d~r/dt)2 dt = dt/γ(v), que e invariante e podemos definir um 4-vetor :
u0 = c dt/dτ = c γ, ~u = d~r/dτ = γ d~r/dt
que e a velocidade de universo.
O 4-vetor momento linear, para uma partıcula massiva, e
pi(τ ) = m0 ui(τ )
pk = γ(v)m0 dxk/dt k = 1, 2, 3 ; E
.= p0 c = m0 c
2 (dt/dτ ) = m0 c2 γ
Uma expansao em potencias de v/c fornece a interpretacao de E como a energia total da
partıcula :
E ≈ m0 c2 +
m0
2v2 + · · ·
m0 c2 sendo a energia ao repouso.
A equacao do movimento para uma partıcula livre sera dpi(τ )/dτ = 0. Em coordenadas
curvilinhas teremos a versao covariante do movimento de uma partıcula de prova :
ui(τ ).=dxi(τ )
dτ; m0
Dui
Dτ.= m0
(dui
dτ+ Γikl u
k ul)
= 0
Quando ha interacao via um campo de forcas precisamos achar um 4-vetor de universo f i(x)
de modo que teremos uma equacao m0Dui
Dτ= f i(x). A eletrodinamica de Maxwell-Lorentz
fornece tal modelo.
• Electrodinamica
O campo eletromagnetico e composto dos campos eletrico e magnetico~E(t, ~r), ~B(t, ~r)
, que
tem como fontes uma densidade de carga e de corrente :ρ(t, ~r),~j(t, ~r)
.
Eles obedecem as equacoes de Maxwell :
(1) div ~B = 0 ; rot ~E +∂
∂t~B = 0
(2) div ~E =1
ε0ρ ; rot ~B − 1
c2∂
∂t~E =
1
ε0 c2~j
As duas equacoes sem fontes (1) implicam na existencia de potenciais U, ~A tais que :~B = rot ~A ; ~E = −gradU − ∂
∂t~A
13
Esses potenciais sao determinados a menos de uma transformacao de calibre
U → U ′ = U +∂
∂tΨ ; ~A → ~A′ = ~A − grad Ψ
onde U ′, ~A′, com a funcao arbitraria Ψ(t, ~r), determinam os mesmos campos ~E, ~B.As fontes em (2) sao a densidade de carga ρ e a densidade de corrente j, que para ter equacoes
(1) e (2) consistentes, devem obedecer a equacao de continuidade :
∂
∂tρ + div j = 0
• Obtemos formalismo covariante introduzindo um tensor :
(Fij) =
0 Ex/c Ey/c Ez/c
−Ex/c 0 −Bz By
−Ey/c Bz 0 −Bx
−Ez/c −By Bx 0
Com a metrica o tensor correspondente contravariante e dado em coordenadas inerciais
lineares por :
(F kl
)=
0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By
Ey/c Bz 0 −Bx
Ez/c −By Bx 0
Com o (pseudo-)tensor εijkl = ±1, de acordo com a paridade da permutacao (0123) ↔ (ijkl),
definimos o (pseudo-)tensor dual (E/c ⇒ +B ; B ⇒ −E/c) :
(?F )ij.=
1
2εijkl Fkl
(?F )ij =
0 −Bx −By −Bz
Bx 0 +Ez/c −Ey/cBy −Ez/c 0 +Ex/c
Bz +Ey/c −Ex/c 0
Com a 4-densidade de corrente ji = (ρ c, jx, jy, jz), as equacoes de Maxwell escrevem-se :
(1) :∂
∂xk(?F )kl = 0 ; (2) :
∂
∂xkF kl =
1
ε0 c2jl = µ0 j
l
O primeiro grupo tambem escreve-se como :
(1) :∂
∂xiFjk +
∂
∂xjFki +
∂
∂xkFij = 0
14
com a equacao de continuidade :
∂
∂xkjk(x) = 0 (Continuidade)
O potencial pode ser escolhido como 4-vetor :
A0 = U/c,A1 = −Ax, A2 = −Ay, A3 = −Az ; Fij = ∂iAj − ∂j Ai
• As equacoes do movimento de uma carga de prova q dentro de um campo eletromagnetico
dado, sao as equacoes de Lorentz :
d~p/dt = q(~E + d~r/dt ∧ ~B
)
que e escrita de maneira covariante como
m0duk
dτ= q F kl ul (Movimento)
Visto que F kl e antisimetrico, verificamos que uk uk = c2 e constante.
Em coordenadas curvilinhas :
m0Duk
Dτ.= m0
(duk
dτ+ Γ k
ij ui uj
)= q F kl ul
• Para completar a teoria precisamos dar um modelo para a corrente jk(x) que aparece nas
equacoes (2). Um modelo considte em um enxame de partıculas carregadas de massa mA,
caega qA com linha de universo xAi(τA) e 4-velocidade uA
i = dxAi/dτA :
ji(x) =∑
A
qA c∫dτA uA
i δ4(x− xA)
=∑
A
qA c∫dxA
i δ4(x− xA) (Corrente)
• observacao :
Como a funcao δ4(x) e uma densidade, obtem-se um quadrivetor corrente multiplicando por
1/√|g|, onde |g| e o modulo do determinante da metrica, diferente de 1 em coordenadas
curvilinhas.
ji(x) =1√|g|
∑
A
qA c∫dxA
i δ4(x− xA) (Corrente covariante)
15
19h30, 11/09/2006 UERJ
• Tensor Densidade de Energia-Momentum
1) Campo Electromagnetico7
T klem = κ
1
4F ij Fij g
kl − F kiF jl gij
A densidade de energia e de momentum (vetor de Poynting) sao
u =1
2
(ε0E
2 +B2/µ0
); S =
1
µ0
E × B
Em particular,
T 00em = κµ0 u ; T 01
em = κµ0
cSx ; · · ·
Calculando a divergencia
∂
∂xkT klem = κ
(1
2F ijgkl
(∂Fij∂xk
+∂Fjk∂xi
+∂Fki∂xj
)− ∂F ki
∂xkF lj gij
)
= −κµ0 ji F lj gij
2) Enxame de partıculas
Contribuicao de um partıcula de tipo a
T kla = λ mac∫
dτa uka u
la δ
4(x, xa)
Com a divergencia
∂
∂xkT kla (x) = −λ mac
∫dτa u
la u
ka
∂
∂xkaδ4(x, xa)
= −λ mac∫
dτa ula
d
dτaδ4(x, xa) = λ mac
∫dτa
duladτa
δ4(x, xa)
No modelo considerado, temos
∂
∂xkT klem = −κµ0 j
i F lj gij = −κµ0
∑
a
qa c∫
dτaFlk(xa)u
ka δ
4(x, xa)
Com o tensor energia momentum total T kltot = T klem+∑
a Tkla , a anulacao da divergencia fornece
as equacoes do movimento :
∂
∂xkT kltot = −κµ0
∑
a
qa c∫
dτaFlk(xa)u
ka δ
4(x, xa) + λ∫
dτama cd2xladτa
δ4(x, xa)
Com κµ0 = 1 e λ = 1, obtemos
− qa
∫dτaF
lk(xa)u
ka + ma
d2xladτa
= 0
7No espaco de Minkowski, utilizamos a metrica (+1,−1,−1,−1)
16
3) Fluido ideal
Seja U, φ uma carta local onde o fluido esta instantaneamente ao repouso no ponto x0 do
espaco tempo. Nessa carta, o tensor energia-momentum tem componentes : T 00(x) = ρ(x),
a densidade de energia(massa) ; T ab(x) = p δab , a, b = 1, 2, 3, a pressao ; e T 0b(x) = 0.
Em um referencial qualquer, o estado do fluido e descrito pela quadri-velocidade uk(x) de
um elemento de fluido : uk.= dxk/dτ , normalizada como uk(x)ul(x) gkl(x) = c2 e o tensor
energia-momentum tem a forma :
T klfluido(x) =p(x) + ρ(x)
c2uk(x)ul(x) − p(x) gkl(x)
Alem da equacao de conservacao∂
∂xkT kl = 0
ha uma equacao de conservacao do numero de partıculas.
Se n = N/V denotar o numero de partıculas por unidade de volume, temos uma corrente
associada N k = nuk que e conservada :
∂
∂xkN k = 0
Outra maneira de expressar a conservacao da masa-energia e definir a corrente como jk(x) =
ρ uk com a equacao de continuidade ∂k jk = 0.
Sem a termodinamica o sistema de equcoes nao e completo e precisamos postular equacoes
de estado relacionando a densidade de energia e a pressao. A segunda lei da termodinamica
T dS = dU + pdV escreve-se como
T dσ = d(ρ
n
)+ pd
(1
n
).
onde U = ρ V = ρN/n e σ = S/N e a entropia por partıcula.
Considerando varios modelos, segue que para um fluido com velocidade perto de c, como
o campo eletromagnetico, temos ρ = 3 p, enquanto, numa aproximacao nao relativista ρ ≈mc2 n+ 3 p.
Nao examinaremos modelos mais elaborados desse tipo.
17
19h30, 18/09/2006 UERJ
Segunda feira 19h30, 2006 UERJ
2 As equacoes de Einstein
Einstein postulou um sistema de equacoes da forma Gkl = χTkl, onde T kl e o tensor energia-
momentum total da materia e dos campos, considerado na secao anterior, que agora tem que
ser conservado de maneira covariante : ∇k Tkl = 0, e Gkl e um tensor puramente geometrico,
construido a partir da metrica e de suas derivadas primeiras e segundas, obedecendo iden-
ticamente ∇kGkl ≡ 0. O tensor Energia-momentum e a fonte da tensor geometrico Gkl e a
equacao de Einstein generaliza a equacao de Poisson da gravitacao classica ∆V = χρ.
• Simetrias do tensor de Riemann Temos simetrias algebricas :
R rs[ij] = −R r
s[ji] (A) ; R rs[ij] +R r
i[js] +R rj[si] = 0 (B)
e identidades diferenciais Identidades de Bianchi:
∇kRrs[ij] + ∇iR
rs[jk] + ∇j R
rs[ki] = 0
No caso de uma metrica, define-se Rkl,[ij].= gkr R
rl[ij], e ha uma simetria suplementar :
Rkl,[ij] = −Rlk,[ij] (C)
As simetrias (A), (B) e (C) constituem um conjunto completo de simetrias do tensor de
Riemann. Em particular, segue que Rkl,ij = Rij,kl.
• Tensor de Ricci Rsj.= R r
s[rj], e simetrico. Rlj = gkiRkl,ij = gkiRij,kl = Rjl. Contracao
de ındices nas identidades de Bianchi resulta em :
0 = ∇kRrs[rj] + ∇rR
rs[jk] + ∇j R
rs[kr]
= ∇kRsj + ∇rRrs[jk] −∇j R
rs[rk]
= ∇kRsj + ∇rRrs[jk] −∇j Rsk]
O escalar de curvatura e definido por R.= gsj Rsj e a contracao com gsj fornece :
∇iRik −
1
2∇kR = 0 (D)
Definimos o tensor de Einstein Gij.= Rij − 1
2Rgij satisfazendo a identidade ∇iG
ij ≡ 0 e
que obedece as equacoes dinamicas :
Gij = χ Tij ; ∇i Tij = 0
18
3 Aplicacoes a Cosmologia
• Princıpio de Copernico :
Em GRANDE escala, i.e. para distancias de 108 anos luz, o universo e espacial-
mente homogeneo e isotropo.
Intuitivamente, homogeneidade significa que, a um determinado instante, o universo e o
mesmo em todos os pontos. Surgem as perguntas :
(1) Qual e o relogio que vai definir esse ”instante de tempo”?
(2) O que e ser o mesmo ?
Para Newton, o tempo e absoluto e a resposta e obvia. No espaco-tempo linear de Minkowski
da relatividade restrita, precisamos postular a existencia de um referencial inercial (de
Lorentz) de maneira que a homogeneidade e mantida em qualquer referencial se movendo
com velocidade constante em relacao a este. Mais no espaco de Einstein da relatividade geral,
nao ha um referencial de Lorentz global e nao podemos definir globalmente a simultaneidade
relativa a tal referencial. No entanto, temos uma nocao de hipersuperfıcie tri-dimensional de
tipo espaco S3 que e tal que, em cada ponto, cada vetor tangente V e do tipo espaco8 :
g(V,V) < 0 ou ds2|S3
< 0
Em cada ponto E (evento) de S3 ha um referencial de Lorentz local L(E) tal que, nele,
o subespaco linear tE = 0, coincide com o subespaco tangente a S3 nesse ponto. O vetor
unitario do eixo tempo nesse ponto (∂/∂t)E e ortogonal a cada vetor V tangente a S3 :
g(∂/∂t, ∂/∂t)E = 1 ; g(∂/∂t,V)E = 0
Em outro ponto F de S3 teremos outro referencial de Lorentz L(F) e o eixo tempo nele,
(∂/∂t)F, nao esta relacionado com (∂/∂t)E, mesmo depois um transporte paralelo. No
entanto, ao longo de geodesicas oriundo de cada ponto E,F, · · · de S3 podemos definir
eventos E′,F′, · · · tais que o mesmo intervalo de tempo proprio ocorre entre eles :
τ =1
c
∫
EE′ds =
1
c
∫
FF′ds = · · ·
Atribuimos a cada ponto E de S3 arbitrariamente uma coordenada tempo t0. Por definicao
a coordenada tempo de E′ sera t′ = t0 + τ . Alem disso, se temos um sistema de coordenadas
espaciais em S3 atribuindo coordenadas xiE ; i = 1, 2, 3 a E, as coordenadas de E′
serao t′, x′ iE = xiE. Tal sistema de coordenadas e chamado de sıncrono no sentido que
a coordenada tempo mede o tempo proprio ao longo das geodesicas que sao curvas xi =
constante. A superfıcie S ′3.= E′|t′ = constante sera tambem de tipo espaco.
Nesse sistema de coordenadas a metrica e da forma :
ds2 ≡ c2 dt2 + gij(t, x) dxi dxj
8Utilizamos a metrica com assinatura +,−,−,−
19
Obviamente a construcao acima depende da escolha da superfıcie inicial S3.
O tempo sera definido de maneira que a dinamica seja simples !
No modelo cosmologico mais simples, as galaxias serao consideradas como moleculas de
um gaz ideal, o fluido cosmico, descrito por o campo de 4-velocidade uµ, a densidade de
energia-materia ρ e a pressao p com tensor energia-momentum
Tij = (ρ+ p)ui uj − gij p
Medidas astronomicas mostram que a pressao e muito menor do que a densidade. No es-
quema dito de poeira podemos tomar p ≈ 0. No caso de um a contribuicao do campo
electromagnetico, a teoria de Maxwell fornece p = ρ/3 e nao pode mais ser desprezada.
Tambem outras contribuicoes sao consideradas e a perguntas sobre materia escura, energia
escura (efeito quantico) ainda nao tem respostas definitivas.
A homogeneidade do universo significa que atraves de cada ponto E passa uma superfıcie tipo
espaco S3 que e uma superfıcie de homogeneidade, i.e. onde nao somente as condicoes fısicas
tais como a densidade ρ e a presao p sejam as mesmas, mas tambem condicoes geometricas
como a curvatura.
A isotropia deve ser definida com mais precisao pois e claro que se a S3 for isotropa em
relacao a um observador, ela nao o sera em relacao a outro que se move com certa velocidade
em relacao a este. Definimos a isotropia como relativa a um observador que e co-movel com
o ”fluido cosmico”. As linhas de universo do fluido cosmico, que sao ≡ as do observador co-
movel, sao ortogonais a superfıcie de homogeneidade S3, pois, se ele medir sua tri-velocidade
em relacao a S3 nao nula, ele distinguira uma direcao espacial privilegiada, o que e contrario
ao postulado de isotropia.
Temos assım construido um sistema de coordenadas sıncronas, onde o parametro τ e medida
ao longo de uma linha de universo do fluido cosmico. A metrica ainda tem a forma :
ds2 ≡ c2 dt2 + gij(t, x) dxi dxj
Mostraremos aqui de maneira heurıstica que ds2 ≡ c2 dt2−dσ2, onde −dσ2 = gij(t, x) dxi dxj
tem a forma particular dσ2 = S2(t) γij(x) dxi dxj. Uma demostracao mais formal sera
feita nas subsecoes que seguem. Mostraremos tambem que γij(x) dxi dxj corresponde a um
chamado espaco maximal simetrico como definido nessas subsecoes .
Seja entao S3(t0) a superfıcie inicial, sobre a qual consideramos dois eventos proximos E e
E′ com coordenadas xi e xi + dxi. A separacao espacial entre eles e dada por :
dσ(t0) =√− gij(t0, x) dxi dxj
No tempo t depois, como as coordenadas espaciais nao mudam, sera :
dσ(t) =√− gij(t, x) dxi dxj
20
Devido a isotropia, a razao dσ(t)/dσ(t0) nao pode depender da direcao de E para E′. Por
homogeneidade essa razao tambem nao pode depender de dσ(t0) e deve ser a mesma para
todos os pontos de S3(t0). Denotaremos
S(t, t0).=
dσ(t)
dσ(t0)
Obtemos gij(t, x) = S2(t, t0) gij(t0, x) e, com gij(t0, x) = − γij(t0, x),
ds2(t, x) = c2 dt2 − S2(t, t0) γij(t0, x) dxi dxj
Observacoes :
(1) : Pela definicao o fator de expansao S(t, t0) depende de t0, cujo valor e arbitrario.
O que pode ser determinado, , independente de t0, e o fator de expansao relativo:
S(t2, t0)
S(t1, t0).=
dσ(t2)
dσ(t1)
(2) : A tri-geometria definida positiva, como veremos nas subsecoes que seguem, e comple-
tamente definida pelo valor da ”constante de curvatura K”, que pode ser positiva, nula ou
negativa.
No entanto a topologia nao e determinada.
No caso de um espaco chato, K = 0, podemos compactificar S3 como cubo de aresta finita
com condicoes periodicas de modo que S3 torna-se no toro tridimensional S1 × S1 × S1.
Outro exemplo e o grupo das rotacoes que tem a mesma metrica que S3, mas que nao e
simplesmente conexa.
21
3.1 Isometrias
3.1.1 Vetores de Killing
Um difeomorfismo φ : M → M : x → y = φ(x) induz uma aplicacao derivada ou ”push-
forward” entre espacos tangentes :
φstar|x : Tx → Ty : U(x) → V (y) = φ?|xU(x) ,
e uma aplicacao recıproca ou ”pull-back” entre espacos cotangentes :
φ?x : T ?y → T ?x : ρ(y) → σ(x) = φ?x ρ(y) ,
dadas por
V i(y) :=∂φi(x)
∂xkUk(x) ; σi(x) := ρk(φ(x))
∂φk(x)
∂xi
Tomando produtos tensoriais, o pull-back se extende a tensores. Em particular um difeo-
morfismo que conserva o tensor metrico e chamado de isometria :
φ?x(g(y)) = g(x) ; gkl(y)∂yk
∂xi∂yl
∂xj= gij(x)
Uma famılia de difeomorfismos x→ y = φ(ε, x) define um campo vetorial ou difeomorfismo
infinitesimal :
K(x) :=dφ(ε, x)
dε |ε=0; x→ y = x+ εK(x)
A derivada de Lie de um campo tensorial na direcao de K e, por definicao :
LK g := limε→0
φ?ε,x g − g
ε; (LK g)ij := Kk ∂gij
∂xk+ gik
∂Kk
∂xj+ gkj
∂Kk
∂xi
Um vetor de Killing e um campo vetorial gerador de uma isometria infinitesimal, o que
implica que a derivada de Lie da metrica ao longo de K seja nula : LK g = 0, i.e.
Kk ∂gij∂xk
+ gkj∂Kk
∂xi+ gik
∂Kk
∂xj= 0 (1)
Em termos do co-vetor correspondente Ki.= gik Kk e da derivada covariante ∇iKj
.=
∂ iKj −Kk Γkij, isto e equivalente a
∇iKj + ∇jKi = 0 (2)
As derivadas covariantes nao comutam :
∇k∇lKi −∇l∇kKi = −Kj Rji[kl]
22
e a simetria algebrica do tensor curvatura : Rji[kl] +Rj
k[li] +Rjl[ik] = 0, conduz a
(∇k∇lKi −∇k∇lKi) + (∇l∇iKk −∇i∇lKk) + (∇i∇kKl −∇k∇iKl) = 0
Se K for um vetor de Killing, temos ∇iKj + ∇jKi = 0, o que resulta em :
∇k∇lKi = Kj Rjk[li] (3)
Explicitamente temos :
∇k ∇lKi ≡ ∂k∂lKi − (∂kKr) Γrli −Kr (∂k Γrli)
− (∂jKi) Γj kl +Kr Γrji Γjkl − (∂lKj) Γj ki +Kr Γrlj Γ
jki = Kj R
jk[li]
Para uma metrica dada, os coeficientes Γikl e o tensor curvatura Rjk[li] sao determinadas, de
modo que, pela equacao acima, podemos calcular as derivadas segundas ∂k∂lKi em funcao
das derivadas primeiras, ∂jKi, e das componentes Ki dos campos de Killing.
∂k∂lKi = Kj Rjk[li] + (∂kKr) Γrli +Kr (∂k Γrli)
+ (∂j Ki) Γjkl −Kr Γrji Γjkl + (∂lKj) Γj ki −Kr Γrlj Γjki
Todas as derivadas de ordem superior de Ki tambem podem ser calculadas em termos das
∂jKi ; Ki. Logo, se existir um campo de Killing, ele podera ser obtido por uma expansao
em serie em torno de um ponto (x0) onde os valores de ∂j Ki ; Ki forem dados :
Kk(x;x0) = Kk(x0) + (x− x0)i ∂Kk(x)
∂xi |x0
+1
2!(x− x0)
i (x− x0)j ∂
2Kk(x)
∂xi ∂xj |x0
+ · · · (4)
Ele sera determinado pelos N valores arbitrarios de Ki(x0) e pelos N(N − 1)/2 valores
arbitrarios de ω[ik] := (∇iKk − ∇kKi) ≡ ∂iKk − ∂kKi, no ponto (x0), visto que a soma
∂iKk + ∂kKi em (x0) esta determinada em funcao de Kk(x0) pela equacao de Killing
0 = ∇iKk + ∇kKi = ∂iKk + ∂kKi − 2Kl Γlik ⇒ ∂iKk |x0
= ω[ik]/2 +Kl(x0) Γlik(x0)
Podemos entao escrever qualquer vetor de Killing Ki(x;x0) como combinacao linear dos
valores que ele e sua derivada covariante tomar no ponto x0 :
Ki(x;x0) = Aki(x;x0)Kk(x0) +Bkl
i(x;x0) (∇lKk) (x0) (5)
onde os coeficientes Aki(x;x0) e Bkl
i(x;x0) (antisimetrico em [kl] !) sao independentes
dos valores iniciais Kk(x0) e (∇lKk) (x0). Cada vetor de Killing e obtido dessa maneira.
Tambem, como a equacao de Killing e R-linear, uma combinacao linear de campos de Killing
e um campo de Killing. Definimos M campos de Killing K(A)i A = 1, 2, · · · ,M linearmente
23
independentes se qualquer relacao R-linear :∑MA=1 cAK
(A)i(x) = 0 implica em cA = 0.
Cada K(A)i A = 1, 2, · · · ,M , usando (4), e escrito como
K(A)i(x;x0) = Ak
i(x;x0)K(A)
k(x0) +Bkli(x;x0)
(∇lK
(A)k
)(x0) (6)
A matriz com M linhas e N +N(N − 1)/2 = N(N + 1)/2 colunas :(K(A)
k(x0) ∇lK(A)
k(x0)), pode ter o posto ao maximo igual a M = N(N + 1)/2 pois, se
M > N(N + 1)/2 teriamos relacoes∑AM=1 cA K
(A)k(x0) = 0 e
∑AM=1 cA ∇lK
(A)k(x0) = 0 e
(4) implicaria que os M campos de Killing K(A)i(x;x0) obedeceriam as relacoes :
∑AM=1 cA K
(A)i(x;x0) = 0 e nao seriam independentes.
Concluimos que podemos ao maximo ter N +N(N − 1)/2 = N(N +1)/2 campos de Killing
independentes. Um espaco com o numero maximo, i.e. N(N + 1)/2, de campos de Killing e
chamado de espaco simetrico maximal.
3.1.2 Espacos homogeneos e isotropos
Um espaco e homogeneo se qualquer ponto na vizinhanca de x0 pode ser alcancado :
xi0 → xi0 + ε ai, onde os componentes ai sao arbitrarios. E isso por uma isometria in-
finitesimal, i.e. xi → xi + εK i(x;x0). O que significa que existe N campos de Killing
K i(k)(x;x0) ; (k) = 1, 2, · · ·N tais que K i
(k)(x0;x0) = δik. O campo de Killing procurado e
K i(x;x0) := akK i(k)(x;x0) de modo que K i(x0;x0) = ai. Os campos covariantes correspon-
dentes serao N campos de Killing :
K(k)i(x;x0) , k = 1, 2, · · · , N ; obedecendo K(k)
i(x0;x0) = δ(k)i (7)
Um espaco e isotropo no ponto x0 se qualquer direcao , definida por um ponto x ′ na vizin-
hanca de x0, pode ser obtida a partir de uma direcao dada ∆i := (x−x0)i, por uma isometria
infinitesimal : xi → x ′ i = xi + εK i(x;x0), que deixa o ponto x0 fixo i.e K i(x0;x0) = 0.
Qualquer direcao ∆ ′ i, vizinha de ∆i, e obtida a partir dela por ∆i → ∆ ′i := Rik(ε)∆k, onde
Rij(ε) e uma ”rotacao ” infinitesimal arbitraria, que obedece a Ri
k(ε)Rjl(ε) ηij = ηkl com
ηkl := gkl(x0). Essas rotacoes infinitesimais podem ser escritas como Rik(ε) = δik + εM i
k,
onde M ik ηil + M j
l ηkj = 0, de modo que Mkl := M jl ηkj e uma matriz antisimetrica ar-
bitraria. Qualquer matriz desse tipo pode ser escrita em funcao de N(N − 1)/2 constantes
arbitrarias dadas pelo tensor antisimetrica, ω[rs] = −ω[sr], como
M ik =
1
2(G[rs])
ikω[rs] , onde (G[rs])
ik
=(δir ηsk − δis ηrk
)
Em termos do campo de Killing, a direcao dada transforma-se em
(x− x0)i → (x− x0)
i + εK i(x;x0)
24
Visto que K i(x0;x0) = 0, temos
K i(x;x0) = ∂kKi(x;x0)|x=x0
(x− x0)k = M i
k ∆k
e existem N(N − 1)/2 campos de Killing K i[rs](x;x0) , antisimetricos em [rs], tais que
K i[rs](x0;x0) = 0 ; ∂kK
i[rs](x;x0)|x=x0
= (G[rs])ik
Em termos de campos covariantes, temos N(N − 1)/2 campos de Killing independentes
(K([kl])i(x;x0) = −K([lk])
i(x;x0)), com condicoes
K([kl])i(x0;x0) = 0 ; ∇jK
([kl])i(x;x0)|x=x0
= ∂jK([kl])
i(x;x0)|x=x0= δki δ
lj − δkj δ
li (8)
Se o espaco e isotropo em cada ponto, K([kl])i(x;x0) e K([kl])
i(x;x0 + dx0) sao dois campos
de Killing no mesmo ponto x. A diferenca e um campo de Killing, assım como a derivada
parcial em relacao a x0 : ∂K([kl])i(x;x0)/∂x
j0. Como K([kl])
i(x0;x0) = 0, temos
0 =∂K([kl])
i(x0;x0)
∂xj0≡ ∂K([kl])
i(x;x0)
∂xj0 |x=x0
+∂K([kl])
i(x;x0)
∂xj |x=x0
de modo que ∂K([kl])i(x;x0)/∂x
j0|x=x0
= −(δki δ
lj − δkj δ
li
)e podemos construir N campos
de Killing
K(l)i(x;x0) :=
1
N − 1
∂K([kl])i(x;x0)
∂xk0 |x=x0
; (l) = 1, 2, · · · , N
que satisfaz K(l)i(x;x0)|x=x0
= δli. Donde a conclusao que
Um Espaco Isotropo em Cada Ponto, e tambem Homogeneo e
e um Espaco Simetrico Maximal.
Temos tambem a proposicao inversa :
Um Espaco Simetrico maximal e Homogeneo e Isotropo em Cada Ponto.
Sejam K(A)i(x) , A = 1, 2, · · · , N(N + 1)/2 vetores de Killing linearmente independentes.
Denotaremos K(A)[k,l](x0)
.= ∇lK
(A)k(x0). A equacao (5) para os N(N + 1)/2 valores de A
torna-se em :
K(A)i(x;x0) = Ak
i(x;x0)K(A)
k(x0) +Bkli(x;x0)K
(A)[k,l](x0) (9)
A matriz quadrada N(N + 1)/2 × N(N + 1)/2 :(K(A)
B
), com B = i; [k, l], deve
ser nao singular, pois se fosse, existiria N(N + 1)/2 constantes nao nulas cA tais que∑A cA K(A)
B(x0) = 0 e os K(A)i(x;x0) nao seriam independentes. Do outro lado o sis-
tema de N(N + 1)/2 equacoes nas incognitas ξA :∑
A
ξA K(A)
B(x0) = βB , B = i , [k, l]
possue uma unica solucao para qualquer βB.
25
Em particular seja ξ(j)A a solucao correspondente a βB = δjB, entao o campo de Killing
K(j)i(x;x0) =
∑
A
ξ(j)AK
(A)i(x;x0)
sera tal que K(j)i(x0;x0) = δ(j)
i, i.e. o espaco e homogeneo.
Tambem, se ξ([r,s])A for a solucao correspondente a βB = δ[r,s]
B, o campo
K([r,s]))i(x;x0) =
∑
A
ξ([r,s]))AK
(A)i(x;x0)
obedecera K([r,s]))i(x0;x0) = 0 e K(A)
[k,l](x0;x0) = δ[r,s][k,l], i.e o espaco e isotropo.
3.1.3 Unicidade
Para qualquer campo vetorial Vi, ja utilizamos a identidade :
∇k∇l Vi −∇l∇k Vi = −Vj Rji[kl]
Agora aplicamos uma outra identidade, valida para qualquer campo tensorial Tij :
∇k∇l Tij −∇l∇k Tij = −Tir Rrj[kl] − Trj R
ri[kl]
ao campo Tij ≡ ∇iKj, obtendo
∇k∇l∇iKj −∇l∇k∇iKj = − (∇iKr) Rrj[kl] − (∇rKj) R
ri[kl]
Usando o resultado (3) para um campo de Killing :
∇l∇iKj = Kr Rrl[ij] ; ∇k∇iKj = Kr R
rk[ij] , obtemos :
− (∇iKr) Rrj[kl] − (∇rKj) R
ri[kl] = ∇k
(KrR
rl[ij]
)−∇l
(Kr R
rk[ij]
)
= (∇kKr) Rrl[ij] − (∇lKr) R
rk[ij] +Kr
(∇kR
rl[ij]
)−Kr
(∇lR
rk[ij]
), donde :
∇sKr
δskR
rl[ij] − δsl R
rk[ij] + δsi R
rj[kl] + δrj R
si[kl]
+Kr
∇kR
rl[ij] −∇lR
rk[ij]
= 0
Como o espacxo e maximal simetrico, podemos escolher, em qualquer ponto x, o valor de
Kr arbitrario assım que o valor de (∇sKr −∇rKs), o que implica em :
∇kR
rl[ij] −∇lR
rk[ij]
= 0
δskR
rl[ij] − δsl R
rk[ij] + δsi R
rj[kl] + δrj R
si[kl]
=δrkR
sl[ij] − δrl R
sk[ij] + δri R
sj[kl] + δsj R
ri[kl]
26
Multiplicando por δks , e com Ril ≡ Rsi[sl], resulta em
(N − 1)Rrl[ij] −
Rr
j[li] +Rrl[ij] +Rr
i[lj]
+ δrj Ril − δri Rjl = 0
e, comoRr
j[li] +Rrl[ij] +Rr
i[lj]
= 0, temos
(N − 1)Rrl[ij] = δri Rjl − δrj Ril ; (N − 1)Rkl[ij] = gkiRjl − gkj Ril (10)
Usando Rkl[ij] = −Rlk[ij], o tensor de Ricci deve obedecer a :
gkiRjl − gkj Ril = −gliRjk + glj Rik (11)
Com o escalar de curvatura R ≡ gik Rik, fazemos mais uma contracao multiplicando por gik
com resultado N Rij = gij R. Substituindo em (8), resulta na formula do tensor curvatura :
Rkl[ij] =R
N(N − 1)(gki glj − gkj gli) (12)
A identidade de Bianchi (D) fornece :(
1N− 1
2
)∇kR = 0 e, para N ≥ 3, o escalar de
curvatura e constante. Defina-se a constante de curvatura
K.=
R
N(N − 1)(13)
Obtemos :
Rij = (N − 1)K gij ; Rkl[ij] = K (gki glj − gkj gli) (14)
Tal espaco e chamado de espaco de curvatura constante.
Teorema:
Pode-se mostrar que, se dois espacos sao de curvatura constante, com metricas gij(x) e
g ′kl(x
′), de mesma assinatura, i.e. com mesmo numero de autovalores positivos e negativos
do tensor metrico e com mesmo valor da constante de curvatura K, sao difeomorfos, onde o
difeomorfismo x→ x ′ transforma com uma metrica na outra.
Nao demostramos esse teorema. O significado dele e que espacos de curvatura constante sao
essencialmente unicas. O difeomorfismo em questao, pode ser considerado como uma mera
transformacao de coordenadas e nos exemplos que seguem, construimos explicitamente tais
espacos.
27
3.1.4 Exemplos
1. Espaco Linear
Um espaco (pseudo-)Euclideano com coordenadas lineares xi e ortonormais de modo que
a metrica e dada por gij(x) = ηij . Obviamente as isometrias sao as transformacoes lineares
inhomogeneas xi → yi = Rik x
k + ak, onde as matrizes de rotacao , ou de Lorentz), R
obedecem a RikR
jl ηij = ηkl. As transformacoes infinitesimais sao da forma
xi → xi + ε(
1
2M[rs] (G
[rs])ik xk + a(k)(P
(k))i)
onde (G[rs])ik = (ηir δsk − ηis δrk) e (P (k))i = ηki. Os vetores de Killing correspondentes sao
K[rs] := xr∂
∂xs− xs
∂
∂xr
K(k) :=∂
∂xk
A constante de curvatura K obviamente e nula.
2. Esfera SN
Definimos a esfera SN , de raio r, e com N dimensoes, pela sua imersao em RN+1 :
SN =(x) := (x1, · · · , xN , xN+1) ‖(x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2 + (xN+1)2 = r2
A esfera e coberta por duas cartas :
1. A carta austral, definida para xN+1 6= r (fora do polo norte N ):
φA : UA := SN \N → RN : x→ ξiA :=xi
r − xN+1; i = 1, 2, · · · , N
2. A carta boreal, definida para xN+1 6= −r (fora do polo sul S):
φB : UB := SN \S → RN : x→ ξiB :=xi
r + xN+1; i = 1, 2, · · · , N
Definimos em cada carta |ξ|2 := δij ξi ξj , e q := 1 + |ξ|2 de modo que
em UA : |ξA|2 =r + xN+1
r − xN+1, qA =
2r
r − xN+1
em UB : |ξB|2 =r − xN+1
r + xN+1, qB =
2r
r + xN+1
28
As aplicacoes inversas sao :
φA−1 : RN → UA : ξiA → xi =
2r
qAξiA , x
N+1 = r − 2r
qA
φB−1 : RN → UB : ξiB → xi =
2r
qBξiB , x
N+1 =2r
qB− r
Na intersecao UA ∩ UB, as coordenadas austrais e boreais se relacionam por :
ξiB =1
|ξA|2ξiA ; dξiB =
1
|ξA|2
(δik −
2 ξiA ξjA δjk
|ξA|2
)dξkA ,
o que mostra que a orientacoes dos dois sistemas sao opostas.
Para (x) ∈ SN \N , temos
dxi =2r
qA
(dξiA − ξiA
qAdqA
), i = 1, 2, · · · , N , dxN+1 =
2r
qA2
Em RN+1, a metrica Euclideana e dada pelo tensor gN+1 = δij dxi ⊗ dxj + dxN+1 ⊗ dxN+1
de modo que a metrica induzida em UA e
g := φA? gN+1 = δij
(2 r
qA
)2
dξAi ⊗ dξA
j
Utilizamos na sequencia apenas coordenadas austrais, omitindo o subscripto ?A.
Introduzimos uma base movel ortonormal no espaco cotangente e tangente :
θi :=
2 r
qdξi
;
ei :=
q
2 r
∂
∂ξi
A metrica induzida e o elemento de volume sao
g = δij θi ⊗ θj ; ω := θ1 ∧ θ2 ∧ · · · ∧ θN
Os coeficientes de estrutura sao definidos por
dθi := −1
2C i
kl θk ∧ θl ; C i
kl = − 1
2r
(δik
∂q
∂ξl− δil
∂q
∂ξk
)= − 1
r
(δik δlj − δil δkj
)ξj
Onde reconhecemos a representacao matricial dos geradores M[kl] da algebra de Lie do grupo
das rotacoes SO(N) : (M[kl])ij = δik δlj − δil δkj.
Os coeficientes da conexao, dados pelas 1-formas Γij := Γkij θ
k, sao determinados pela
equacao de Cartan de torsao nula e pela conservacao da metrica por transporte paralelo :
d θi + Γil ∧ θl = 0 ; d δij − δik Γkj − δkj Γki = 0
29
Com as definicoes Γkil := δij Γkjl e Cikl := δij C
jkl, obtemos :
Cikl = −(1/r)(δik δlj − δil δkj
)ξj = −(1/r)M[kl],[ij] ξ
j
As condicoes acima tornam-se em : Γikj − Γjki = Ckij ; Γikl + Γilk = 0, cuja solucao e :
Γikj =1
2(Ckij − Cijk −Cjik) =
1
r(δij δkl − δik δjl) ξ
l
Γij =1
r
(δik δlj − δil δkj
)ξk θl =
1
r(M[kl])
ij ξ
k θl
Γ[ij] := δjk Γik =1
r
(ξi θj − ξj θi
)
E Γ := 12Γ[ij] M[ij] e a 1-forma de conexao com valores na algebra de Lie de SO(N). A
2-forma da curvatura e dada pela segunda equacao de Cartan :
Rij = dΓij + Γik ∧ Γkj
que resulta em :
Rkl =1
2Rkl
[ij] θi ∧ θj =
1
r2θk ∧ θl
ou com componentes do tensor curvatura :
Rkl[ij] =
1
r2
(δki δjl − δkj δil
)
e tensor de Ricci e scalar de curvatura :
Rjl := Ril[ij] =
1
r2(N − 1) δjl ; R := δilRil =
N(N − 1)
r2
• Vetores de Killing
Como SN ⊂ RN+1, as rotacoes enm torno da origem em RN+1 obviamente conserva SN e a
metrica induzida. Essas rotacoes sao geradas pelos N(N + 1)/2 campos vetoriais em RN+1,
onde α, β = 1, 2, · · · , N,N + 1 :
J[αβ] := xα∂
∂xβ− xβ
∂
∂xα= − (δµα δβν − δµβ δαν) x
ν ∂
∂xµ
A restricao desses campos a esfera SN fornece os campos de Killing
J[ij] := ξi∂
∂ξj− ξj
∂
∂ξi
P(k) := J[(N+1)k] =1 − |ξ|2
2
∂
∂ξk+ ξk ξ
l ∂
∂ξl
30
Exercıcio : Escreva os campos de Killing em termos das :
Coordenadas hiper-esfericas :
x1 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 sen θ1 senϕ
x2 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 sen θ1 cosϕ
x3 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 cos θ1
x4 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · cos θ2
· · · = · · ·xN = r sen θN−1 cos θN−2
xN+1 = r cos θN−1
onde 0 ≤ ϕ < 2π , 0 < θk < π
Com as definicoes
ρk := sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θk , k = 1, 2, · · · , (N − 1) , ρN := r
temos formulas inversas :
x1 = ρ1 senϕ ; x2 = ρ1 cosϕ ;
x3 = ρ2 cos θ1 ; · · · ; xk+2 = ρk+1 cos θk ; · · · ; xN+1 = ρN cos θN−1
Pelo menos para N = 2 !
3. Pseudo-Esfera LN de Lobatchevski
A pseudo-esfera LN , de raio r, e com N dimensoes, e definida pela sua imersao em RN+1 :
LN =(x) := (x1, · · · , xN , xN+1) ‖
((x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN )2
)− (xN+1)2 = − r2
E um hiperboloide com duas folhas,
a folha superior H+ : xN+1 = +√r2 + (x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2
a folha inferior H− : xN+1 = −√r2 + (x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2
As folhas esrao dentro do cone de luz : −((x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2
)+ (xN+1)2 = 0.
Consideramos apenas a folha superior9. Ela e coberta por uma unica carta boreal, obtida
por projecao sobre o plano xN+1 = 0, com centro o ”Polo Sul” : S ≡ 0, 0, · · · , 0, r.
φB : H+ → RN : x→ ξi :=xi
r + xN+1; i = 1, 2, · · · , N (A)
9A folha inferior H− sera coberta por uma carta austral.
31
Em analogia com o caso da esfera, temos :
|ξ|2 := δij ξi ξj =
xN+1 − r
xN+1 + r; q := 1 − |ξ|2 =
2 r
xN+1 + r; 1 + |ξ|2 =
2xN+1
xN+1 + r
A diferenca com a esfera esta no sinal menos em q := 1 − |ξ|2 !
As formulas inversas de (A) sao dadas por :
xi = 2 rξi
1 − |ξ|2 = 2 rξi
q; xN+1 = r
1 + |ξ|2
1 − |ξ|2 = r
(2
q− 1
)(B)
A folha H+ inteira e projetada no interior da bola N -dimensional de raio R dentro do
hiperplano xN+1 = 0. Nas coordenadas ξi, temos |ξ|2 < 1.
Em RN+1, α, β, · · · = 1, 2, · · · , N, (N + 1), postulamos uma metrica de Minkowski :
d s2 := ηαβ dxα ⊗ dxβ = δij dxi ⊗ dxj − dxN+1 ⊗ dxN+1
que, com a restricao a H+,
dxi =2 r
q
(δik +
2 ξiξkq
)dξk ; dxN+1 =
2 r
q2 ξk dξk
e o hiper-disco de Poincare :
d s2|H+ =
(2 r
q
)2
δkl dξk ⊗ dξl
Como no caso da esfera, introduzimos uma base movel ortonormal no espaco cotangente :
θi := 2 r/q dξi e a metrica induzida e g = δij θi⊗ θj. A unica diferenca com a esfera e que
agora dq = −2 ξk dξk. Os coeficientes de estrutura terao sinal oposto :
C ikl = − 1
2r
(δik
∂q
∂ξl− δil
∂q
∂ξk
)= +
1
r
(δik δlj − δil δkj
)ξj
A conexao (com outro sinal) e a curvatura sao :
Γkl = − 1
r
(ξk θl − ξl θk
); Rk
l = − 1
r2θk ∧ θl
Os componentes do tensor curvatura :
Rkl [ij] = Rij
kl = − 1
r2
(δki δjl − δkj δil
)
e tensor de Ricci e scalar de curvatura :
Ril := Rijil = − 1
r2(N − 1) δjl ; R := δilRil = − N(N − 1)
r2
Os N(N + 1)/2 vetores de Killing sao obtidos restringindo as transformacoes de Lorentz em
RN+1 a folha H+ do hiperboloide. Os campos de Killing em RN+1
J[αβ] := xα∂
∂xβ− xβ
∂
∂xα= − (δµα ηβν − δµβ ηαν) x
ν ∂
∂xµ
conservam H+ e formam os N(N + 1)/2 campos de Killing do espaco simetrico maximal.
32
3.1.5 Espacos com subespacos maximal simetricos
O espaco total N de dimensao n e decomposto em uma famılia de subespacos maximal
simetricos com m < n dimensoes. Supomos que, localmente, existem coordenadas ta, xionde i = 1, · · · ,m e a = m + 1, · · · , n, de modo que um ponto de cada subespaco maximal
simetrico MI e dado por valores constantes das coordenadas ta.
P ⇔ taI, xi ∈ MI
Os subespacos MI sao chamados subespacos maximais simetricos, se ha um grupo de isome-
trias infinitesimais tais que, restrito a MI, temos 〈dta,K〉 = 0, i.e.:
ta → t′a = ta ; xi → x′ i = xi + εK i(t, x)
comM(M+1)/2 vetores de Killing linearmente independentes. Os vetores de KillingK i(t, x)
podem depender parametricamente das variaveis ta e a independencia linear significa se ha
uma combinacao linear com coeficientes, podendo depender de ta, entre os M(M + 1)/2
vetores de Killing, esses coeficientes sao necessariamente nulos.
Pode-se mostrar o seguinte teorema :
E sempre possıvel de escolher as coordenadas xi tais que a metrica do espaco
total N possue a forma :
ds2N = gab(t) dt
a dtb + f(t) gij(x) dxi dxj
Demostraremos esse teorema no cas mais simples, quando o espaco total N tem (1 + M)
dimensoes com assinatura +,−,−, · · · ,−︸ ︷︷ ︸M
. Supomos que N pode ser decomposto em
superfıcies M-dimensionais tipo espaco St, homogeneos e isotropos, parametrizadas por
um parametro t, o ”tempo”. Nesse paragrafo, os ındices gregos α, β, · · · variam entre
0, 1, · · · ,M enquanto i, j, · · · ∈ 1, · · · ,M.As equacoes de Killing, Kα ∂α gµν + gαν ∂µK
α + gµα ∂νKα = 0, se separam em tres tipos :
(µ, ν) = (0, 0) : Kk ∂k g00 + gk0 ∂0Kk + g0k ∂0K
k = 0
(µ, ν) = (i, 0) : Kk ∂k gi0 + gk0 ∂iKk + gik ∂0K
k = 0
(µ, ν) = (i, j) : Kk ∂k gij + gkj ∂iKk + gik ∂jK
k = 0
A ultima equacao implica que, a t fixo, Kk(t, x) e um vetor de Killing da metrica gij(t, x)
e gij(t, x) e a metrica de um espaco maximal simetrico. Podemos fazer uma mudanca de
coordenadas :xk = Xk(t′, x′) ; t = t′ de modo que g ′0j(t
′, x′) = 0. De fato
g ′0j(t
′, x′) ≡ gkl(t, x)∂Xk
∂t′∂X l
∂x′ j+ g0l(t, x)
∂X l
∂x′j=
(gkl(t, x)
∂Xk
∂t′+ g0l(t, x)
)∂X l
∂x′ j
33
e basta achar uma solucao , com condicao inicial Xk(t, x) = xk, da equacao diferencial :
gkl(t,X)dXk(t′, x′)
dt′+ g0l(t,X) = 0
Nesse sistema de coordenadas, as equacoes de Killing suplementares sao
Kk(t, x)∂g00(t, x)
∂xk= 0 ; gik(t, x)
∂Kk(t, x)
∂t= 0
Segue que g00(t, x) nao depende de x e que os vetores de Killing nao dependem de t. Em St0com metrica gij(t0, x), temos M(M + 1)/2 vetores de Killing independentes, obedecendo
LK g(t0)ij ≡ Kk(x)∂ gij(t0, x)
∂xk+ gkj(t0, x)
∂ Kk(x)
∂xi+ gik(t0, x)
∂ Kk(x)
∂xj= 0 (A)
Temos tambem uma famılia de tensores gij(t, x), parametrizada por t, invariantes sob a acao
infinitesimal dos M(M + 1)/2 campos de Killing :
LK g(t)ij ≡ Kk(x)∂ gij(t, x)
∂xk+ gkj(t, x)
∂ Kk(x)
∂xi+ gik(t, x)
∂ Kk(x)
∂xj= 0 (B)
Em cada ponto x0 escolhemos um campo de Killing que e nulo nesse ponto e tal que
Kk(x0) = 0 ; Ω[ij](x0).= (∇iKj)(x0) = gjk(t0, x0)
∂ Kk(x)
∂xi(x0) ,
onde Ω[ij](x0) e arbitrario e antisimetrico. Substituindo
∂Kk(x)
∂xi(x0) ≡ gjk(t0, x0)Ω[ij](x0)
na equacao (B) acima, resulta em(gkj(t, x0) g
ks(t0, x0) δri + gik(t, x0) g
ks(t0, x0) δrj
)Ω[rs](x0) = 0 (C)
Com Ω[ij](x0) arbitrario, os seus coeficientes devem ser simetricos :
gkj(t, x0) gks(t0, x0) δ
ri + gik(t, x0) g
ks(t0, x0) δrj
= gkj(t, x0) gkr(t0, x0) δ
si + gik(t, x0) g
kr(t0, x0) δsj
Algumas manipulacoes algebricas conduzem a :
(M − 1) gij(t, x0) + gji(t, x0) =(gkl(t, x0) g
kl(t0, x0))gij(t0, x0), donde segue que gij(t, x0) e
simetrico e, como x0 era arbitrario, teremos gij(t, x) = f(t, t0;x) gij(t0, x).
Substituindo em (B) e usando (A), resulta em Kk(x) ∂f(x)/∂xk = 0 e, como Kk(x) pode
ser arbitrario, f(t; t0) nao depende de x.
gij(t, x) = f(t, t0) gij(t0, x) (QED)
34
O resultado final sera :
ds2 = g00(t) c2 dt2 + f(t, t0) gij(t0, x) dx
i dxj
Como g00 e positivo, podemos redefinir a coordenada ”tempo” por√g00(t) c dt ⇒ c dt, de
modo que
ds2 = c2 dt2 + f(t, t0) gij(t0, x) dxi dxj
3.2 Modelo Cosmologico Padrao
O modelo e baseado na metrica
ds2 = c2 dt2 − S2(t) γij(x) dxi dxj
onde γij(x) e uma metrica definida positiva, maximal simetrica, discutida nos exemplos
(3.1.4). Em particular, quando a constante de curvatura e positiva, teremos a metrica da
esfera S3 e, se for negativa, a metrica de um espaco hiperbolico L3, ambos de ”raio” R.
Definimos R(t) = S(t)R e, em coordenadas estereograficas, temos :
g = ε0 ⊗ ε0 − δij εi ⊗ εj ; ε0
.= c dt , εi
.=
2R(t)
qdξi
onde q = 1 + k |ξ|2, com k = +1 para S3 e k = −1 para L3.
Os ındices tomam valores : α, β, · · · ∈ 0, 1, 2, 3 e i, j, · · · ∈ 1, 2, 3.As funcoes de estrutura, dεα
.= − (1/2) Cα
µν εµ ∧ εν ; Cαµν
.= gαβ C
βµν , resultam de :
dε0 = 0 ; dεi =R/c
Rε0 ∧ εi − k
Rξk ε
k ∧ εi ; R ≡ dR(t)/dt
As unicas diferentes de zero, sao :
C i0l = − R/c
Rδil ; Ci0l = +
R/c
Rδil
C ik0 = +
R/c
Rδik ; Cik0 = − R/c
Rδik
C ikl = − k
R
(δik δlj − δil δkj
)ξj ; Cikl = +
k
R(δik δlj − δil δkj) ξ
j
Os coeficientes da conexao : Γαβµ.= (1/2) (Cµαβ + Cαµβ − Cβµα) sao dados por :
Γ0jk = +R/c
Rδjk ; Γi0k = − R/c
Rδik ; Γijk = +
k
R(δik δlj − δil δkj) ξ
l
As 1-formas da conexao, nao nulas, sao :
Γ0j =
R/c
Rδjk ε
k ; Γi0 =R/c
Rεi ; Γij = − k
R
(δik δlj − δil δkj
)ξl εk
35
As 2-formas da curvatura, Rαβ.= dΓαβ + Γακ ∧ Γκβ = (1/2)Rα
β,[µν] εµ ∧ εν, sao :
R0j =
R/c2
Rδjk ε
0 ∧ εk ; Ri0 =
R/c2
Rε0 ∧ εi ; Ri
j =k + (R/c)2
R2δjl ε
i ∧ εl
Os componentes nao nulas do tensor curvatura sao :
R0j,0l = +R/c2
Rδjl ; R0j,k0 = − R/c2
Rδjk
Ri0,0l = − R/c2
Rδil ; Ri0,k0 = +
R/c2
Rδik
Rij,kl = − k + (R/c)2
R2(δikδjl − δilδjk) (15)
O tensor de Ricci Rβν.= Rα
β,αν = gαµ Rαβ,µν
R00 = −R/c2
RN ; R0l = 0 ; Rk0 = 0
Rkl =
(R/c2
R+ (N − 1)
k + (R/c)2
R2
)δkl (16)
O escalar de curvatura e :
R = − 2NR/c2
R−N(N − 1)
k + (R/c)2
R2(17)
O tensor de Einstein : Gαβ.= Rαβ − 1
2gαβ R, tem conpoonentes (N = 3 !)
G00 = 3k + (R/c)2
R2; Gkl = −
2R/c2
R+
k + (R/c)2
R2
δkl (18)
No referencial sıncrono o tensor energia-momentum10 Tαβ = (ρ + p)uα uβ − p gαβ, tem
componentes diferentes de zero : T00 = ρ ; Tkl = p δkl, e as equacoes de Einstein sao :
3k + (R/c)2
R2= χ ρ (19)
−
2R/c2
R+
k + (R/c)2
R2
= χ p (20)
10Normalizamos aqui a quadrivelocidade como gαβuα uβ = 1.
36
Observando que nas equacoes de Einstein, Gαβ = χT αβ, o tensor de Einstein obedece a
identidade ∇αGαβ = 0, o tensor energia-momentum T αβ tem que ser covariantemente con-
servado para as equacoes sejam consistentes : ∇α Tαβ = 0.
Nas coordenadas sıncronas isto implica em :
R3(t)d p(t)
dt=
d
dt
(R3(t)[p(t) + ρ(t)]
)(21)
E facil verificar que, derivando a equacao (19), que e analoga a conservacao da energia
involvendo o quadrado da velocidade R, e usando a relacao (21) resulta na equacao (20),
que e a equacao dinamica da ”aceleracao ” R .
Qualitativamente vemos que a aceleracao R/c2 = −(χR/6) (ρ + 3p) e negativa desde que
(ρ + 3p) > 0. Do outro lado R > 0 e a funcao de Hubble H ≡ R/R deve atualmente
ser positivo, devido ao deslocamento gravitacional ser observado para o vermelho. Logo a
curva R(t) deve ser concava para baixo e deve ter atingida R = 0 no passado, por dedfinicao
t = 0. O tempo cosmico atual t0 e chamado de idade do universo. Introduzimos tambem
um parametro de desaceleracao q ≡ −R R/(R)2. Os valores atuais dessas grandezas sa
denotados com um subscripto 0.
A densidade e a pressao atuais do universo sao :
ρ0 =3
χ
(k
R02 +
(H0
c
)2)
; p0 = − 1
χ
(k
R02 +
(H0
c
)2
(1 − 2 q0)
)
Nota que, se a densidade ρ0 for maior do que uma densidade crıtica, definida por ρc ≡(3/χ) (H0/c)
2, teremos k = 1, um espaco com curvatura espacial positivo enquanto, se
ρ0 < ρc, essa curvatura seria negativa. Se, alem disso, a pressao p0 pode ser desprezada em
comparacao com a densidade
k
R02 =
(H0
c
)2
(2 q0 − 1)
Medidas astronomicas fornecem q0 ≈ 1 e H0 ≈ (75 km/sec)/megaparsec, o que favorece
k = 1. Pode-se tambem calcular com esses dados a densidade atual do universo ρ0 ≈ 2 ρc ≈2 × 10−29 g/cm3. No entanto a densidade de massa das galaxias por dados astronomicos
corresponde a ρgal ≈ 0, 03 × ρc, o que e muito menor do que o ρ0 acima calculado. Com
esse valor teriamos q0 ≈ 0, 014 e k = −1, i.e. um universo espacial com curvatura negativa
e aberto. Donde surge o problema da chamada materia escura.
37
O tensor energia-momentum e a soma de todas as contribuicoes energeticas do universo e
cada contribuicao e independentemente conservada.
1. Consideramos o caso da materia pura onde desprezamos a contribuicao da pressao de
modo que a equacao (21) fornece
ρmat(t) = ρmat,0
(R0
R(t)
)3
(22)
2. No caso da radiacao , a teoria de Maxwell fornece a relacao entre a pressao de radiacao e
a densidade de energia-momentum : prad = (1/3) ρrad e (21) fornece d(R4 ρrad)/dt = 0,
donde :
ρrad(t) = ρrad,0
(R0
R(t)
)4
(23)
A equacao (19) escreve-se como
(R/c)2 = −k +χ
3R2
ρmat,0
(R0
R
)3
+ ρrad,0
(R0
R
)4
(24)
Discutimos a equacao acima para k = +1, nos dois casos :
1. Caso da materia pura :
Seja Rmax.= (χ/3)(R0)
3 ρmat,0, a equacao (24) se reduz a (R/c)2 = (Rmax/R) − 1 .
Introduzimos um tempo η, medido em radianos : R(t)dη = c dt de modo que obtemos
dR/dη =√R (Rmax −R), com solucao
R =Rmax
2(1 − cos η) ; ct =
Rmax
2(η − sin η) (25)
Em funcao do tempo proprio R(t) e uma cicloıde, com maximo quando η = π, voltando
para 0 em η = 2π .
2. Caso da radiacao pura :
Agora (Rmax)2 .
= (χ/3)(R0)4 ρrad,0 e (24) escreve-se (R/c)2 = (Rmax/R)2 − 1 .
De novo, com R(t)dη = c dt, temos dR/dη =√
(Rmax)2 −R2 com solucao
R = Rmax sin η ; ct = Rmax (1 − cos η) (26)
Agora R e periodico com maximo em η = π/2.
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Exercıcio
Resolva (24) para k = −1 nos dois casos da materia pura e da radiacao pura.
********************************
Dados numericos:
velocidadeda da luz : c ≈ 3, 0 × 108 m/s
unidade astronomica = distancia media Terra-Sol : 1 U.A. ≈ 1, 5 × 1011 m
ano-luz : 1 a.l. ≈ 9, 5 × 1015 m
parsec : 1 pc ≈ 3, 1 × 1016 m
Constante de Hubble : H0 ≈ (80 ± 17) (km/s)/Mpc, 1 Mpc.= 106 pc..
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