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19h00, 07/08/2006 UERJ 1 Campos tensoriais - Conex˜ ao - Derivada covariante 1.1 Variedade diferenci´ avel (C ) Uma variedade topol´ ogica M ´ e um espa¸ c topol´ ogico (de Hausdorf) tal que cada ponto P tem uma vizinhan¸ ca homeomorfa com R m . O n´ umero m ´ e a dimens˜ ao da vairedade. Uma carta local ´ e um par (U,ϕ) formado por uma aberto U de M e um homeomorfismo ϕ : U V R m , onde V ´ e um aberto de R m . Se P U , as coordenadas de P na carta (U,ϕ) s˜ ao dadas por {x}≡ (x 1 , ··· ,x m ) . = ϕ(P ). Um atlas ´ e uma cole¸ ao de cartas A≡{(U α α )} tal que a uni˜ ao α U α = M e, se P U α U β com {x α } = ϕ α (P )e {x β } = ϕ β (P ), temos {x β =(ϕ β ϕ -1 α )({x α }), onde τ βα . = ϕ β ϕ -1 α ´ e um difeomorfismo (C ) entre abertos de R m . Dois atlasses s˜ ao equivalentes, AA , se a reuni˜ ao deles A∪A ´ e um atlas. Uma variedade diferenci´ avel M ´ e uma variedade topol´ ogica munida de uma classe de equivalˆ encia de atlasses. Seja uma aplica¸ ao f : M N : P Q = f (P ). O ponto P pertence a uma carta (U,ϕ) de M com {x} = ϕ(P ), e Q pertence a uma carta (V,ψ) de N com {y} = ψ(Q). A aplica¸ ao ´ e chamada diferenci´ avel, se for diferenci´ avel a aplica¸ ao entre abertos de R m e R n : ψ f ϕ -1 : {x} ϕ -1 P f Q ψ →{y} Se f possue inversa f -1 , e se ambos foram diferenci´ aveis, f ´ e chamado de difeomorfismo. 1.2 Vetores Tangentes em um ponto P M a varias defini¸ oes (equivalentes!) no mercado. Uma curva parametrizada ´ e uma aplica¸ c˜aodiferenci´ avel: C : I R M : t P = C (t), onde I ´ e um intervalo de R, que supomos conter a origem 0, e seja P 0 = C (0). Se f : M R for uma aplica¸ ao diferenci´ avel, a fun¸ ao composta f C : I R ´ e uma fun¸ ao diferenci´ avel em t = 0. O vetor tangente ` a curva em P 0 ´ e a aplica¸ c˜ao -→ V P 0 ,C : F P 0 (M ) R : f -→ V P 0 ,C (f ) . = d dt (f C )(t) | t=0 onde F P 0 (M ea´ algebra das fun¸ oes 1 diferenciaveis em P 0 . -→ V P 0 ,C (f ea derivada de f ao longo de C no ponto P 0 . Se -→ V P 0 ,C 2 (f )= -→ V P 0 ,C 1 (f ), as curvas C 1 e C 2 possuem o mesmo vetor tangente em P 0 e isto ´ e uma rela¸ ao de equivalˆ encia de modo que um vetor em P 0 pode ser definido como classe de equivalˆ encia. 1 ecnicamente : germe das fun¸c˜ oes ··· 1

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19h00, 07/08/2006 UERJ

1 Campos tensoriais - Conexao - Derivada covariante

1.1 Variedade diferenciavel (C∞)

• Uma variedade topologica M e um espac topologico (de Hausdorf) tal que cada ponto P

tem uma vizinhanca homeomorfa com Rm. O numero m e a dimensao da vairedade.

• Uma carta local e um par (U,ϕ) formado por uma aberto U de M e um homeomorfismo

ϕ : U → V ∈ Rm, onde V e um aberto de Rm. Se P ∈ U , as coordenadas de P na carta

(U,ϕ) sao dadas por x ≡ (x1, · · · , xm).= ϕ(P ).

• Um atlas e uma colecao de cartas A ≡ (Uα, ϕα) tal que a uniao⋃α Uα = M e, se

P ∈ Uα ∩ Uβ com xα = ϕα(P ) e xβ = ϕβ(P ), temos xβ = (ϕβ ϕ−1α ) (xα), onde

τβα.= ϕβ ϕ−1

α e um difeomorfismo (C∞) entre abertos de Rm.

• Dois atlasses sao equivalentes, A ' A′, se a reuniao deles A∪A′ e um atlas. Uma variedade

diferenciavel M e uma variedade topologica munida de uma classe de equivalencia de atlasses.

• Seja uma aplicacao f : M → N : P → Q = f(P ). O ponto P pertence a uma carta (U,ϕ)

de M com x = ϕ(P ), e Q pertence a uma carta (V, ψ) de N com y = ψ(Q). A aplicacao

e chamada diferenciavel, se for diferenciavel a aplicacao entre abertos de Rm e Rn:

ψ f ϕ−1 : x ϕ−1

→ Pf→ Q

ψ→ y

Se f possue inversa f−1, e se ambos foram diferenciaveis, f e chamado de difeomorfismo.

1.2 Vetores Tangentes em um ponto P ∈ M

• Ha varias definicoes (equivalentes!) no mercado.

• Uma curva parametrizada e uma aplicacao diferenciavel: C : I ⊂ R →M : t→ P = C(t),

onde I e um intervalo de R, que supomos conter a origem 0, e seja P0 = C(0).

Se f : M → R for uma aplicacao diferenciavel, a funcao composta f C : I → R e uma

funcao diferenciavel em t = 0. O vetor tangente a curva em P0 e a aplicacao

−→V P0 ,C : FP0(M) → R : f →

−→V P0 ,C (f)

.=

d

dt(f C) (t) |t=0

onde FP0(M) e a algebra das funcoes 1 diferenciaveis em P0.−→V P0,C (f) e a derivada de f ao

longo de C no ponto P0. Se−→V P0 ,C2 (f) =

−→V P0 ,C1 (f), as curvas C1 e C2 possuem o mesmo

vetor tangente em P0 e isto e uma relacao de equivalencia de modo que um vetor em P0 pode

ser definido como classe de equivalencia.

1Tecnicamente : germe das funcoes · · ·

1

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• Em coordenadas locais (U,ϕ), a i-esima coordenada do ponto P e dada pela imagem da

aplicacao ϕi : M → R : P → xi = ϕi(P ) e, com xi(t).= (ϕi C)(t), a i-esima componente

do vetor−→V P0 ,C e:

Vi0.=

−→V P0 ,C (ϕi) =

d

dtxi(t) |t=0

Uma aplicacao f : M → R composta com C : I →M pode ser escrita como :

f C = (f ϕ−1) (ϕ C) : t→ C(t) → x(t) → fU (x(t))

onde denotamos fU ≡ (f φ−1) : Rm → R. Obtemos

−→V P0,C (f) =

∂fU(x)∂xk

dxk(t)

dt|t=0=

∂fU(x)∂xk

Vk0

Um vetor sera definido como derivacao sobre a algebra das funcoes diferenciaveis em x0.Uma derivacao sendo uma operacao linear satisfazendo a regra de Leibniz.

−→V P0 ,C ( ) =

∂( )

∂xkVk

0

• Numa mudanca de cartas locais (U,ϕ) ⇒ (U ′, ϕ′), teremos f(P ) = fU(x) = fU ′(x′),com a relacao

x′k = (ϕ′ ϕ−1)(xi) .= X ′k(x1, · · · , xm)

Se Vi0 define o vetor

−→V P0 ,C na carta (U,ϕ), o mesmo vetor sera definido em (U ′, ϕ′) por

V′ i0 =

∂X ′ i(x)∂xj

|x0 Vj0

⇔ Outra definicao de vetor : Como os componentes se transformam

• Os vetores formam um espaco vetorial TP0(M), o espaco tangente a variedade em P0. Uma

base dese espaco e dada pelos vetores

−→∂

∂xi|x0 ; i = 1, · · · ,m

• Uma forma linear em P0 e uma aplicacao α0 : TP0(M) → R : V0 → α0 (V0) = 〈α0|V0〉,que e linear : 〈α0|aV0 + bW0〉 = a 〈α0|V0〉 + b 〈α0|W0〉. Com a soma e o produto com um

escalar definidos por 〈α0 + β0|V0〉 .= 〈α0|V0〉 + 〈β0|V0〉 e 〈aα0|V0〉 = a 〈α0|V0〉, as formas

lineares ou co-vetores formam tambem um espaco vetorial, o dual T ?P0(M). A base dual de

∂/∂xi|0 e notada dxi|0 de modo que 〈dxi|0|∂/∂xj|0〉 = δij , o sımbolo de Kronecker.

Em componentes, temos α0 = α0,k dxk|0, com 〈α0|∂/∂xk|0〉 = α0,k e 〈dxk |0|V0〉 = Vk

0 .

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• A diferencial de uma aplicacao diferenciavel Φ : M → N : P → Q = Φ(P ) e uma aplicacao

linear entre espacos tangentes dΦP : TP (M) → TQ(N) : VP → WQ = dΦP (VP ), onde WQ

e definido agindo sobre uma funcao f diferenciavel em Q como WQ(f(Q)).= VP (f(Φ(P )).

Sejam (U,ϕ) e (V, ψ) cartas locais, nas quais (P ∈ U) e (Q ∈ V ) sao representados por

x = ϕ(P ) e y = ψ(Q). A aplicacao ψ f ϕ−1 de ϕ(U) em ψ(V ) e dada por funcoes

Y .= x → y ; yα = Y α(x1, · · · , xm) , α = 1, · · · , n e a diferencial (ou aplicacao

tangente) e dada por :

dΦP : V → W : Vi → Wα ; Wα =∂Y α

∂xiVi

• No caso de uma funcao f : M → R : P → y = f(P ), identificamos o espaco tangente

Ty(R) com R e numa carta local (U,ϕ) temos :

dfP : TP (M) → Ty(R) ' R : VP → dfP (VP ) =∂fU∂xi

ViP =

∂fU∂xi

〈dxi|VP 〉

e dfP = ∂fU

∂xi dxi corresponde a diferencial usul de uma funcao . Em particular dxiP e a

diferencial da funcao i-esima coordenada na carta (U,ϕ).

• Na mudanca de coordenadas (U,ϕ) para (U ′, ϕ′) os vetores de base e os componentes se

transformam com as matrizes

Aij(x)

.=∂X ′ i(x)

∂xj; Bk

l(x′).=∂Xk(x′)

∂x ′ l ; AB = 1

∂x ′ i =∂

∂x jBj

i(x′) ; dx ′ i = Ai

j(x) dxj

V ′i = Aij(x) Vj ; α′

k = αl Blk(x

′)

• A partir dos espacos tangente e cotangente no ponto P , podemos construir a algebra

tensorial nesse ponto. De maneira mais pragmatica definimos tensores de tipo (r, s) pela

maneira como os componentes se transformam numa mudamca de carta local. Por exemplo

um tensor tipo (2, 1) tangente a variedade M , no ponto P , sera dado por m3 componentes

T ija , i, j, · · · , a, · · · = 1, 2, · · · ,m, que se transformam como

T ija → T ′ ija = Ai

k(x) Ajl(x) T

klb B

lk(x

′)

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1.3 Campos Tensoriais

• O fibrado tangente a uma variedade M e o conjunto TM de pares, constituidos por um

ponto P de M e um vetor tangente VP ∈ TP (M).

TM.= (P,VP ) |VP ∈ TP (M)

Temos uma projecao canonica π : TM → M : (P,VP ) → P e a fibra sobre P e o espaco

tangente : π−1(P ) = TP (M). Um atlas de M define naturalmente um atlas de TM e

fornece uma estrutura de variedade diferenciavel em TM . Analogamente define-se o fibrado

co-tangente T ?M e os fibrados tensoriais T (r,s)M2 sobre M . Cada um tem uma projecao

π : T (r,s)M →M : (P,TP ) → P .

• Um campo tensorial e uma secao de um fibrado tensorial, isto e uma aplicacao diferenciavel

τ : M → T (r,s)M : P → τ (P ), tal que π(τ (P )) = P . Na carta local (U,ϕ), τ (P ) sera dado

por componentes T ......(x), funcoes diferenciaveis das coordenadas x do ponto P .

exemplo: Um campo escalar e uma funcao do ponto P dada por f(P ) = fU (x) = fU ′(x′),

um campo vetorial dado em duas cartas por m funcoes com V ′ i(x′) = Aij(x) V

j(x), etc.

• A dois campos vetoriais U(P ) e V(P ) podemos associar um terceiro, o colchete de Lie3

que e um campo definido como derivacao na algebra das funcoes C∞ em M como:

[−→U ,

−→V

](f)

.=(−→

U −→V −

−→V

−→U

)(f)

Na carta (U,ϕ), [−→U ,

−→V

]( ) =

∂( )

∂xi

(Uk ∂ V

i

∂xk− V k ∂ U

i

∂xk

)

O colchete de Lie obedece as identidades de Yacobi :

[[U,V] ,W] + [[V,W] ,U] + [[W,U] ,V] = 0

Os vetores de base associados a uma carta local (base natural ou holonoma) satisfazem

[∂/∂xi|P , ∂/∂x

j|P

]= 0

Numa base movel (nao holonoma) teremos, em geral :

[eα, eβ] (P ) = eγ(P ) Cγαβ(P ) 6= 0

onde Cγαβ(P ) sao as funcoes de estrutura da base eα.

2Em particular, T (0,0)M sao as funcoes sobre M .3Verifique que isto e bem um campo vetorial.

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1.4 Derivada Covariante - Conexao - Curvatura

• Na Fısica Classica as leis sao formuladas em termos de equacoes diferenciais que precisam

ser covariantes, isto e relacionar grandezas tensoriaias. Numa base natural de coordenadas,

onde um campo vetorial e dado por seus componentes 〈dxi|V〉(x) = V i(x), podemos calcular

as derivadas parciais desses componentes V i, j(x)

.= ∂V i(x)/∂xj. Numa outra carta teremos

V ′ k(x′) = Akl(x)V

l(x) mas V ′ i, j(x

′).= ∂V ′ i(x′)/∂x ′ j se relaciona com V i

, j(x) como :

V ′ i, j(x

′) = Aik(x) V

k, l(x) B

lj(x

′) +∂Ai

k(x)

∂xlV k(x) Bl

j(x′)

= Aik(x) V

k, l(x) B

lj(x

′) +∂ 2X ′ i

∂xk∂xlV k(x) Bl

j(x′)

Em geral, ∂Aik(x)/∂x

l = ∂2X ′ i/∂xk∂xl 6= 0, de modo que V i, j(x) nao formam os compo-

nentes de um tensor tipo (1, 1). No caso de um co-vetor, os componentes αk(x) = 〈α|∂/∂xk〉se transformam como α′

i(x′) = αk(x) B

ki(x) ,mas αi , j

.= ∂αi(x)/∂x

j obedece a :

α′i , j(x

′) = αk , l(x) Bki(x

′) Blj(x

′) + αk(x) Blj(x

′)∂

∂xlBk

i(x′)

= αk , l(x) Bki(x

′) Blj(x

′) + αk(x)∂ 2Xk(x′)

∂x ′ ∂x ′j

e nao sao componentes de um tensor tipo (0, 2).

O termo suplementar nas transformacoes acima e linear no campo de modo que podemos

definir uma derivada covariante ou conexao por

∇k Vi(x)

.=∂V i(x)

∂xk+ Γ i

kj(x)Vj(x),

onde os coeficientes da conexao Γ ikl(x) devem se transformar de uma carta para outra de

modo que ∇k Vi define um tensor (1, 1). Outra notacao de uso comum e :

∇k Vi(x) ≡ V i

; k(x).= V i

, k(x) + Γ ikj(x)V

j(x)

Exigimos que V ′ i; k(x

′) = Aij(x) V

j; l(x) B

lk(x

′), o que resulta em

Γ ′ ikj(x

′) = Air(x) Γ r

ls(x) Blk(x

′) Bsj(x

′) +Air(x)

∂x′kBr

j(x′)

= Air(x) Γ r

ls(x) Blk(x

′) Bsj(x

′) +Air(x)

∂ 2Xr(x′)

∂x′k∂x′j

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Como o termo inhomogeneo Air(x) ∂

2Xr(x′)/∂x′k∂x′ j e simetrico em k ↔ j, a diferenca

T ijk.= Γ i

jk − Γ ikj

se transforma como um tensor e define a torsao da conexao.

Uma outra maneira (util nas contas!) de escrever a lei de transformacao dos Γ ’s e introduzir

a forma diferencial Γ ij(x) = Γ i

kj(x) dxk de modo que a lei de transformacao torna-se em :

Γ ′ ij (x

′) = Aik(x) Γ k

l (x) Blk(x

′) +Aik(x) dBk

j(x′)

• A derivada covariante na direcao do campo vetorial U do campo vetorial V e o campo

vetorial ∇UV com componentes 〈dxk|∇UV〉 .= U i∇iVk.4

Podemos verificar que a conexao, definida sobre o modulo dos campos vetoriais em M sobre

a algebra das funcoes C∞(M), como operador ∇U : V → W = ∇UV, obedece as seguintes

propriedades, que, por sua vez, podem ser tomadas como definicao da conexao.

• ∇UV e R-linear em V : ∇U(aV) = a∇UV, a ∈ R, e ∇U(V + V′) = ∇UV + ∇UV′

mas nao e C∞(M)-linear. Definindo ∇Uf.= 〈df |U〉, temos uma regra de Leibniz :

∇U(f V) = f (∇UV) + (∇Uf)V

• ∇UV e tensorial em U : ∇U+U′V = ∇UV + ∇U′V e ∇fUV = f∇UV.

Verifique-se que os coeficientes da conexao sao dados por:

Γ ikj = 〈dxi|∇∂/∂xk∂/∂xj〉

Sobre tensores R,S, a derivada covariante e definida pela regra de Leibniz generalizada :

∇U(R ⊗ S) = ∇UR ⊗ S + R ⊗∇US

e tal que ∇U comuta com ”contracoes ”, por exemplo ∇k (αi Vi) = (∇kαi)V

i + αi(∇kVi).

Em particular, obtemos :

∇kαi ≡ αi; k = αi, k − αj Γ jki

• Seja uma curva C(t) dada numa carta por xi = xi(t) e vetor tangente X i(t) = dxi(t)/dt.

Define-se se a derivada covariante, ao longo da curva, de um campo vectorial V como

DCVi

dt.= Xk(t)

(∂V i

∂xk+ Γ i

kl(x)Vl

)

|x=x(t)

=d

dtV i(x(t)) + Γ i

kl(x(t))Vl(x(t))

dxi(t)

dt

4Quando ha o mesmo ındice na posicao covariante (em baixo) e contravariante, uma somacao sobre essesındices e subentendido. Se isso acontece no produto de componentes de um tensor ou no mesmo tensor, oresultado e um tensor de tipo (1,1) menor do que o original.

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Um campo vectorial V (tensorial) e transportado paralelamente ao longo da curva C(t) se

DCVi/dt = 0

Uma curva e autoparalela ou geodesica se o seu vetor tangente for transportado paralelamente

a ela mesma :

DCXi(t)

dt=d2xi(t)

dt2+ Γ i

kl(x(t))dxk(t)

dt

dxl(t)

dt= f(t)

dxi(t)

dt

Exercıcio :

Mostre que, nesse caso existe uma reparametrizacao da curva t → s = S(t) com a curva

dada por X i = xi(s) tal que

DCXi(s)

ds=d2xi(s)

ds2+ Γ i

kl(x(s))dxk(s)

ds

dxl(s)

ds= 0

e essa parametrizacao e determinada a menos de uma transformacao afim s→ as+ b.

19h30, 21/08/2006 UERJ

• O colchete de Lie foi definido acima e obedece a propriedade

[fU, gV] = f 〈dg|U〉V − g 〈df |V〉U = f (∇Ug)V − g (∇Vf)U

• O campo vetorial T(U,V).= ∇UV −∇VU − [U,V] e tensorial em U,V, i.e. C∞(M)

bilinear em U,V, de modo que

T i[kl]

.=

⟨dxi |T

(∂

∂xk,∂

∂xl

)⟩= Γ i

kl − Γ ilk

definem um tensor antisimetrico T i[kl] = −T i

[lk], a torsao de M , com a 2-forma associada :

T i.=

1

2T i

[kl] dxk ∧ dxl

• Um outro campo vetorial R(U,V)W.=(∇U ∇V −∇V ∇U −∇[U,V]

)W e tensorial

em U,V,W e obtemos o tensor curvatura da conexao definida pelos coeficientes Γ:

Rkl [ij]

.=

⟨dxk |R

(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xl

⟩=

∂xiΓ k

jl −∂

∂xjΓ k

il + Γ kir Γ r

jl − Γ kjr Γ r

il

que e o tensor curvatura da conexao definida pelos coeficientes Γ.

Como o tensor e antisimetrico : Rkl [ij] = −Rk

l [ji], associamos uma 2-forma :

R kl.=

1

2Rk

l [ij] dxi ∧ dxj = dΓ k

l + Γ kr ∧ Γ r

l

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• A torsao mede a nao-comutatividade das derivadas covariantes de uma funcao escalar :

∇i∇j f −∇j∇i f = − ∂f

∂xk

(Γkij − Γkji

)= − (∇kf) T k [ij]

• A curvatura mede5 a nao comutatividade da derivada covariante :

(∇i∇j −∇j ∇j)Zk = Rk

l [ij] Zl − T l[ij] ∇lZ

k

Em particular, para uma conexao sem torsao, teremos :

(∇i∇j −∇j ∇j)Zk = Rk

[ij]l Zl

• Alem da antisimetria de Rkl [ij] em i↔ j, temos

Rkl [ij] +Rk

j [li] +Rki [jl] = 0

• O transporte paralelo de um vetor arbitrario ao longo de uma curva fechada e localmente

integravel, i.e. U‖(P ) = U(P ) se o tensor curvatura e nulo em toda variedade M .

• Finalmente, as identidades de Bianchi :

∇kRab [ij] + ∇iR

ab [jk] + ∇jR

ab [ki] = 0

• Opcional-(usando formas diferenciais)

Ate agora utilizamos uma base natural do espaco tangente e cotangente ∂/∂xi e dxk,mas e util usar bases duais que nao sejam associadas as coordenadas de uma carta local.

Um ”repere mobile” ou ”viel-bein” e dado por m campos vetoriais linearmente independentes

dentro de uma carta local (U,ϕ), Eα(x) =(

∂∂xi

)Ei

α(x), base de Tx(M) com a base dual

de T ?x (M), Eα(x) = Eiα(x)dxi, tal que 〈Eα|Eβ〉(x) = δαβ, com funcoes de estrutura :

[Eα,Eβ](x) = Eγ(x) Cγαβ(x) ; dEµ(x) = −1

2Cµ

αβ(x)Eα(x) ∧ Eβ(x)

O ”Formulario” nessa base movel e :

U(x) = Eα(x)Uα(x) ; Uα(x) = 〈Eα |U〉(x) ; θ(x) = θα(x)E

α(x) ; θα(x) = 〈θ |Eα〉(x)Γµαν(x) = 〈Eµ |∇EαEν〉 ; ∇UV = Eκ ( Γκαµ V

µ + 〈dV κ|Eα〉) Uα

T α[µν].= 〈Eα |T(Eµ,Eν)〉 = Γαµν − Γανµ − Cα

µν

Rαβ [µν]

.= 〈Eα|R(Eµ,Eν)Eβ〉= Γαµκ Γκνβ − Γανκ Γκµβ + 〈dΓανβ|Eµ〉 − 〈dΓαµβ|Eν〉 − Γαλβ C

λµν

Introduzindo as formas diferenciaias

Γµν = Γµαν Eα ; Tµ .=

1

2T µ[αβ] E

α ∧ Eβ ; Rµν.=

1

2Rµ

ν [αβ] Eα ∧ Eβ

as equacoes acima tomam a forma de Cartan :

Tµ = Γµν ∧ Eν + dEµ ; Rµν = dΓµν + Γµκ ∧ Γκν

5Fisicamente o desvio das geodesicas.

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19h30, 28/08/2006 UERJ

1.5 Variedade Riemanniana

• Uma metrica na variedade M e dada por um campo tensorial de tipo (0, 2) simetrico,

gij(x) = gji(x) , que seja nao degenerado, i.e. gij(x)Xj(x) = 0 ⇐⇒ X = 0. Nesse caso

existe um tensor gij(x) de tipo (2, 0), tambem simetrico, inverso de gij(x) no sentido que

gij gjk = δij ; gij gjk = δi

k

onde δij e o tensor constante de tipo (1, 1), sımbolo de Kronecker:

δij = 1 , se i = j ; e δij = 0 , se i 6= j

• Com a metrica podemos abaixar e levantar ındices isto e estabelecer uma relacao entre

campos vetoriais contra-variantes e co-variantes :

V i(x) ⇒ Vk(x).= gki(x)V

i(x) ; θk(x) ⇒ θi(x) = gik(x) θk(x)

com a generalizacao obvia a tensores.

A metrica permite definir um produto escalar de campos vetoriais :

(V,W)(x).= gij(x)V

i(x)W j(x)

Lembramos que um tensor e transportado paralelamente ao longo de uma curva C(t) com

vetor tangente X(t) se ∇XT = 0. Se quisermos que o produto escalar de dois campos

vetoriais seja conservado em um transporte paralelo para qualquer caminho, a derivada

covariante do tensor metrica deve anular-se :

∇Xg = 0

Essa condicao , com o requerimento de torsao nula, isto e Γmrs = Γmsr, determine comple-

tamente a conexao. Na definicao : ∇i gkl.= ∂i gkl − gmlΓ

mik − gkmΓmil = 0, podemos fazer

permutacoes dos ındices i, k, l, obtendo assım :

∂i gkl = gmlΓmik + gkmΓmil ; ∂k gli = gmiΓ

mkl + glmΓmki ; ∂l gik = gmkΓ

mli + gimΓmlk

donde, usando a simetria da metrica :

∂i gkl − ∂k gli − ∂l gik = gml (Γmik − Γmki) + gkm (Γmil − Γmli) − gim (Γmkl + Γmlk)

e, usando a torsao nula e multiplcando por gri, achamos os sımbolos de Christoffel :

Γrkl =

r

kl

≡ gri

2(∂k gli + ∂l gik − ∂i gkl)

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• Um teorema de algebra linear afirma que, em cada ponto P0, podemos definir coordenadas

numa carta tais que

gij(x0) =

0 , se i 6= j

±1 , se i = j

alem disso, o numero de sinais postivos P e negativos N nao depende do ponto e a dimensao

da variedade e m = P + N . A variedade e dita de assinatura P,N. Uma variedade em

que todos sinais sao positivos (ou todos negativos) e propriamente Riemanniana. Ela tem

assinatura m, 0 ou 0,m. Caso contrario, a variedade e chamada pseudo-Riemanniana.

Na teoria da relatividade restrita ou geral, a variedade e Lorentziana se a assinatura for

1,m− 1 ou m− 1, 1.E conveniente utilisar um referencial ”ortonormal”, i.e. duas bases duais de vetores Eα e

co-vetores Eα tais que

gij(x) = ηαβ Eiα(x)E

jβ(x) ; gkl(x) = ηκλEk

µ(x)Elν(x)

onde as constantes ηµν sao dadas por :

ηµν =

0 , se µ 6= ν

±1 , se µ = ν; ηαβ =

0 , se α 6= β

±1 , se α = β

Para calcular os coeficientes da conexao Γαβ em tal referencial ortonormal podemos utilizar

a equacao de Cartan para torsao nula :

Tµ .= Γµν ∧ Eν + dEµ = 0 (A)

A diferencial covariante da metrica sendo nula, ∇g = 0 escreve-se : ∇gµν.= dηµν−ηµλ Γλν−

ηλν Γλµ = 0 e, como ηµν e constante, temos

ηµλ Γλν + ηλν Γλµ = 0 (B)

As equacoes (A) e (B) permitem calcular os Γ’s e o tensor curvatura :

Rµν = dΓµν + Γµκ ∧ Γκν

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1.6 Espaco de Minkowski - Relatividade restrita

• No espaco de Minkowski, existe uma carta global dentro da qual podemos escolher coor-

denadas tais que ∂/∂xk formam um referencial ortonormal :

g (∂/∂xi, ∂/∂xj) = ηij

Nessas coordenadas

r

kl

= 0 e o tensor curvatura tambem se anula, R k

l = 0. Em

coordenadas curvilinhas, naturalmente

r

kl

6= 0, mas, visto que e um tensor, R k

l = 0. De

fato a condicao R kl = 0 e tambem suficiente para existir tal referencial.

• Se esse referencial for inercial, i.e. partıculas, sobre as quais nenhuma forca age, se movem

com velocidade constante em linha reta, qualquer referencial se movendo com velocidade

constante em relacao a esse, tambem sera inercial.

Chamaremos essas coordenadas de ct = x0, x = x1, y = x2, z = x3 = ct, ~r e o produto

escalar entre dois deslocamentos infinitesimais δξ e δη e

g (δξ, δη) = δξ0δη0 −3∑

k=1

δξkδηk = δξ0δη0 − δ~ξ · δ~η

O quadrado da distancia infinitesimal Minkowskiana entre dois pontos x e x+ δx e :

δs2 .= (c δt)2 − (δ~r )2

Para dois pontos com separacao finita, ∆x em coordenadas lineares ortonormais, teremos

(∆x)2 .= c2(∆t)2 − (∆~r )2

e a velocidade da luz sera constante se a mudanca (linear) de referencial inercial R⇒ R ′ for

dada por:

xi → x ′k = Aki x

i + bk ,

de modo que (∆x ′)2 = (∆x)2, o que resulta em ηij = ηklAkiA

lj .

• Um caso particular consiste na transformacao de Lorentz ortocrona :

c∆t ′

∆x′

∆y ′

∆z ′

=

coshα −senhα 0 0

−senhα coshα 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

c∆t

∆x

∆y

∆z

Fisicamente, interpretamos o parametro α a partir de x ′ = coshα (x− tanhα c t) de modo

que a equacao x ′ = 0, isto e a partıcula em repouso em R ′, corresponde a um referencial em

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movimento uniforme na direcao Ox : x− v t = 0 com velocidade

tanhα = v/c ; coshα = γ.=

1√1 − (v/c)2

Da forma infinitesimal da transformacao de Lorentz :

c dt ′

dx ′

dy ′

dz ′

=

coshα −senhα 0 0

−senhα coshα 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

c dt

dx

dy

dz

vemos que :

dt ′ =1 − v (dx/dt)/c2√

1 − (v/c)2dt

dx ′

dt′=

(dx/dt) − v

1 − v (dx/dt)/c2

dy ′

dt′=√

1 − (v/c)2(dy/dt)

1 − v (dx/dt)/c2

dz ′

dt′=√

1 − (v/c)2(dz/dt)

1 − v (dx/dt)/c2

Em particular, se no referencialR uma ”part ıcula de luz” se propaga com velocidade dx/dt =

c, a sua velocidade no referencial R′ tambem sera dx′/dt′ = c.

Sejam dois eventos no espaco-tempo separados por ∆xk no referencial R, a separacao

entre esses eventos em R′ e dado por :

(c∆t ′

∆x ′

)=

(γ −(v/c) γ

−(v/c) γ γ

) (c∆t

∆x

)

Um observador em repouso no referencial R mede entre dois eventos, que para ele ocorrem

no mesmo lugar (∆x = 0), um intervalo de tempo proprio ∆t. Outro observador se movendo

junto com o referencial R′ mede entre esses dois eventos um intervalo de tempo ∆t′ = γ∆t

que e maior do que ∆t, donde o fenomeno que e chamado de dilatacao dos tempos.

Um regua rıgida em repouso no referencial R tem para ele, medida simultaneamente ∆t = 0

um certo comprimento ∆x = L0. O observador de R′ vai medir essa regua quando, para ele

∆t′ = 0, isto e ∆t nao e mais nulo mas satisfaz ∆t − (v/c2)∆x = 0. R′ obtem o resultado

∆x′ = γ(∆x− v∆t) = γ∆x (1− (v/c)2) = L0/γ, o que e menor do que L0 e temos contracao

dos comprimentos6.

6O desenho explica melhor o que esta acontecendo!

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• Equacoes do movimento

Para uma partıcula massiva em movimento com velocidade menor do que c, as formulas

acima mostrem que a velocidade usual com componentes dx/dt, dy/dt, dz/dt nao se trans-

formam de maneira simples numa mudanca de referencial inercial. Do outro lado a ex-

pressao ds2 = c2 dt2 − d~r2 e invariante e podemos definir um intervalo de tempo proprio

dτ =√

1 − (d~r/dt)2 dt = dt/γ(v), que e invariante e podemos definir um 4-vetor :

u0 = c dt/dτ = c γ, ~u = d~r/dτ = γ d~r/dt

que e a velocidade de universo.

O 4-vetor momento linear, para uma partıcula massiva, e

pi(τ ) = m0 ui(τ )

pk = γ(v)m0 dxk/dt k = 1, 2, 3 ; E

.= p0 c = m0 c

2 (dt/dτ ) = m0 c2 γ

Uma expansao em potencias de v/c fornece a interpretacao de E como a energia total da

partıcula :

E ≈ m0 c2 +

m0

2v2 + · · ·

m0 c2 sendo a energia ao repouso.

A equacao do movimento para uma partıcula livre sera dpi(τ )/dτ = 0. Em coordenadas

curvilinhas teremos a versao covariante do movimento de uma partıcula de prova :

ui(τ ).=dxi(τ )

dτ; m0

Dui

Dτ.= m0

(dui

dτ+ Γikl u

k ul)

= 0

Quando ha interacao via um campo de forcas precisamos achar um 4-vetor de universo f i(x)

de modo que teremos uma equacao m0Dui

Dτ= f i(x). A eletrodinamica de Maxwell-Lorentz

fornece tal modelo.

• Electrodinamica

O campo eletromagnetico e composto dos campos eletrico e magnetico~E(t, ~r), ~B(t, ~r)

, que

tem como fontes uma densidade de carga e de corrente :ρ(t, ~r),~j(t, ~r)

.

Eles obedecem as equacoes de Maxwell :

(1) div ~B = 0 ; rot ~E +∂

∂t~B = 0

(2) div ~E =1

ε0ρ ; rot ~B − 1

c2∂

∂t~E =

1

ε0 c2~j

As duas equacoes sem fontes (1) implicam na existencia de potenciais U, ~A tais que :~B = rot ~A ; ~E = −gradU − ∂

∂t~A

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Esses potenciais sao determinados a menos de uma transformacao de calibre

U → U ′ = U +∂

∂tΨ ; ~A → ~A′ = ~A − grad Ψ

onde U ′, ~A′, com a funcao arbitraria Ψ(t, ~r), determinam os mesmos campos ~E, ~B.As fontes em (2) sao a densidade de carga ρ e a densidade de corrente j, que para ter equacoes

(1) e (2) consistentes, devem obedecer a equacao de continuidade :

∂tρ + div j = 0

• Obtemos formalismo covariante introduzindo um tensor :

(Fij) =

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 −Bz By

−Ey/c Bz 0 −Bx

−Ez/c −By Bx 0

Com a metrica o tensor correspondente contravariante e dado em coordenadas inerciais

lineares por :

(F kl

)=

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

Com o (pseudo-)tensor εijkl = ±1, de acordo com a paridade da permutacao (0123) ↔ (ijkl),

definimos o (pseudo-)tensor dual (E/c ⇒ +B ; B ⇒ −E/c) :

(?F )ij.=

1

2εijkl Fkl

(?F )ij =

0 −Bx −By −Bz

Bx 0 +Ez/c −Ey/cBy −Ez/c 0 +Ex/c

Bz +Ey/c −Ex/c 0

Com a 4-densidade de corrente ji = (ρ c, jx, jy, jz), as equacoes de Maxwell escrevem-se :

(1) :∂

∂xk(?F )kl = 0 ; (2) :

∂xkF kl =

1

ε0 c2jl = µ0 j

l

O primeiro grupo tambem escreve-se como :

(1) :∂

∂xiFjk +

∂xjFki +

∂xkFij = 0

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com a equacao de continuidade :

∂xkjk(x) = 0 (Continuidade)

O potencial pode ser escolhido como 4-vetor :

A0 = U/c,A1 = −Ax, A2 = −Ay, A3 = −Az ; Fij = ∂iAj − ∂j Ai

• As equacoes do movimento de uma carga de prova q dentro de um campo eletromagnetico

dado, sao as equacoes de Lorentz :

d~p/dt = q(~E + d~r/dt ∧ ~B

)

que e escrita de maneira covariante como

m0duk

dτ= q F kl ul (Movimento)

Visto que F kl e antisimetrico, verificamos que uk uk = c2 e constante.

Em coordenadas curvilinhas :

m0Duk

Dτ.= m0

(duk

dτ+ Γ k

ij ui uj

)= q F kl ul

• Para completar a teoria precisamos dar um modelo para a corrente jk(x) que aparece nas

equacoes (2). Um modelo considte em um enxame de partıculas carregadas de massa mA,

caega qA com linha de universo xAi(τA) e 4-velocidade uA

i = dxAi/dτA :

ji(x) =∑

A

qA c∫dτA uA

i δ4(x− xA)

=∑

A

qA c∫dxA

i δ4(x− xA) (Corrente)

• observacao :

Como a funcao δ4(x) e uma densidade, obtem-se um quadrivetor corrente multiplicando por

1/√|g|, onde |g| e o modulo do determinante da metrica, diferente de 1 em coordenadas

curvilinhas.

ji(x) =1√|g|

A

qA c∫dxA

i δ4(x− xA) (Corrente covariante)

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19h30, 11/09/2006 UERJ

• Tensor Densidade de Energia-Momentum

1) Campo Electromagnetico7

T klem = κ

1

4F ij Fij g

kl − F kiF jl gij

A densidade de energia e de momentum (vetor de Poynting) sao

u =1

2

(ε0E

2 +B2/µ0

); S =

1

µ0

E × B

Em particular,

T 00em = κµ0 u ; T 01

em = κµ0

cSx ; · · ·

Calculando a divergencia

∂xkT klem = κ

(1

2F ijgkl

(∂Fij∂xk

+∂Fjk∂xi

+∂Fki∂xj

)− ∂F ki

∂xkF lj gij

)

= −κµ0 ji F lj gij

2) Enxame de partıculas

Contribuicao de um partıcula de tipo a

T kla = λ mac∫

dτa uka u

la δ

4(x, xa)

Com a divergencia

∂xkT kla (x) = −λ mac

∫dτa u

la u

ka

∂xkaδ4(x, xa)

= −λ mac∫

dτa ula

d

dτaδ4(x, xa) = λ mac

∫dτa

duladτa

δ4(x, xa)

No modelo considerado, temos

∂xkT klem = −κµ0 j

i F lj gij = −κµ0

a

qa c∫

dτaFlk(xa)u

ka δ

4(x, xa)

Com o tensor energia momentum total T kltot = T klem+∑

a Tkla , a anulacao da divergencia fornece

as equacoes do movimento :

∂xkT kltot = −κµ0

a

qa c∫

dτaFlk(xa)u

ka δ

4(x, xa) + λ∫

dτama cd2xladτa

δ4(x, xa)

Com κµ0 = 1 e λ = 1, obtemos

− qa

∫dτaF

lk(xa)u

ka + ma

d2xladτa

= 0

7No espaco de Minkowski, utilizamos a metrica (+1,−1,−1,−1)

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3) Fluido ideal

Seja U, φ uma carta local onde o fluido esta instantaneamente ao repouso no ponto x0 do

espaco tempo. Nessa carta, o tensor energia-momentum tem componentes : T 00(x) = ρ(x),

a densidade de energia(massa) ; T ab(x) = p δab , a, b = 1, 2, 3, a pressao ; e T 0b(x) = 0.

Em um referencial qualquer, o estado do fluido e descrito pela quadri-velocidade uk(x) de

um elemento de fluido : uk.= dxk/dτ , normalizada como uk(x)ul(x) gkl(x) = c2 e o tensor

energia-momentum tem a forma :

T klfluido(x) =p(x) + ρ(x)

c2uk(x)ul(x) − p(x) gkl(x)

Alem da equacao de conservacao∂

∂xkT kl = 0

ha uma equacao de conservacao do numero de partıculas.

Se n = N/V denotar o numero de partıculas por unidade de volume, temos uma corrente

associada N k = nuk que e conservada :

∂xkN k = 0

Outra maneira de expressar a conservacao da masa-energia e definir a corrente como jk(x) =

ρ uk com a equacao de continuidade ∂k jk = 0.

Sem a termodinamica o sistema de equcoes nao e completo e precisamos postular equacoes

de estado relacionando a densidade de energia e a pressao. A segunda lei da termodinamica

T dS = dU + pdV escreve-se como

T dσ = d(ρ

n

)+ pd

(1

n

).

onde U = ρ V = ρN/n e σ = S/N e a entropia por partıcula.

Considerando varios modelos, segue que para um fluido com velocidade perto de c, como

o campo eletromagnetico, temos ρ = 3 p, enquanto, numa aproximacao nao relativista ρ ≈mc2 n+ 3 p.

Nao examinaremos modelos mais elaborados desse tipo.

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19h30, 18/09/2006 UERJ

Segunda feira 19h30, 2006 UERJ

2 As equacoes de Einstein

Einstein postulou um sistema de equacoes da forma Gkl = χTkl, onde T kl e o tensor energia-

momentum total da materia e dos campos, considerado na secao anterior, que agora tem que

ser conservado de maneira covariante : ∇k Tkl = 0, e Gkl e um tensor puramente geometrico,

construido a partir da metrica e de suas derivadas primeiras e segundas, obedecendo iden-

ticamente ∇kGkl ≡ 0. O tensor Energia-momentum e a fonte da tensor geometrico Gkl e a

equacao de Einstein generaliza a equacao de Poisson da gravitacao classica ∆V = χρ.

• Simetrias do tensor de Riemann Temos simetrias algebricas :

R rs[ij] = −R r

s[ji] (A) ; R rs[ij] +R r

i[js] +R rj[si] = 0 (B)

e identidades diferenciais Identidades de Bianchi:

∇kRrs[ij] + ∇iR

rs[jk] + ∇j R

rs[ki] = 0

No caso de uma metrica, define-se Rkl,[ij].= gkr R

rl[ij], e ha uma simetria suplementar :

Rkl,[ij] = −Rlk,[ij] (C)

As simetrias (A), (B) e (C) constituem um conjunto completo de simetrias do tensor de

Riemann. Em particular, segue que Rkl,ij = Rij,kl.

• Tensor de Ricci Rsj.= R r

s[rj], e simetrico. Rlj = gkiRkl,ij = gkiRij,kl = Rjl. Contracao

de ındices nas identidades de Bianchi resulta em :

0 = ∇kRrs[rj] + ∇rR

rs[jk] + ∇j R

rs[kr]

= ∇kRsj + ∇rRrs[jk] −∇j R

rs[rk]

= ∇kRsj + ∇rRrs[jk] −∇j Rsk]

O escalar de curvatura e definido por R.= gsj Rsj e a contracao com gsj fornece :

∇iRik −

1

2∇kR = 0 (D)

Definimos o tensor de Einstein Gij.= Rij − 1

2Rgij satisfazendo a identidade ∇iG

ij ≡ 0 e

que obedece as equacoes dinamicas :

Gij = χ Tij ; ∇i Tij = 0

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3 Aplicacoes a Cosmologia

• Princıpio de Copernico :

Em GRANDE escala, i.e. para distancias de 108 anos luz, o universo e espacial-

mente homogeneo e isotropo.

Intuitivamente, homogeneidade significa que, a um determinado instante, o universo e o

mesmo em todos os pontos. Surgem as perguntas :

(1) Qual e o relogio que vai definir esse ”instante de tempo”?

(2) O que e ser o mesmo ?

Para Newton, o tempo e absoluto e a resposta e obvia. No espaco-tempo linear de Minkowski

da relatividade restrita, precisamos postular a existencia de um referencial inercial (de

Lorentz) de maneira que a homogeneidade e mantida em qualquer referencial se movendo

com velocidade constante em relacao a este. Mais no espaco de Einstein da relatividade geral,

nao ha um referencial de Lorentz global e nao podemos definir globalmente a simultaneidade

relativa a tal referencial. No entanto, temos uma nocao de hipersuperfıcie tri-dimensional de

tipo espaco S3 que e tal que, em cada ponto, cada vetor tangente V e do tipo espaco8 :

g(V,V) < 0 ou ds2|S3

< 0

Em cada ponto E (evento) de S3 ha um referencial de Lorentz local L(E) tal que, nele,

o subespaco linear tE = 0, coincide com o subespaco tangente a S3 nesse ponto. O vetor

unitario do eixo tempo nesse ponto (∂/∂t)E e ortogonal a cada vetor V tangente a S3 :

g(∂/∂t, ∂/∂t)E = 1 ; g(∂/∂t,V)E = 0

Em outro ponto F de S3 teremos outro referencial de Lorentz L(F) e o eixo tempo nele,

(∂/∂t)F, nao esta relacionado com (∂/∂t)E, mesmo depois um transporte paralelo. No

entanto, ao longo de geodesicas oriundo de cada ponto E,F, · · · de S3 podemos definir

eventos E′,F′, · · · tais que o mesmo intervalo de tempo proprio ocorre entre eles :

τ =1

c

EE′ds =

1

c

FF′ds = · · ·

Atribuimos a cada ponto E de S3 arbitrariamente uma coordenada tempo t0. Por definicao

a coordenada tempo de E′ sera t′ = t0 + τ . Alem disso, se temos um sistema de coordenadas

espaciais em S3 atribuindo coordenadas xiE ; i = 1, 2, 3 a E, as coordenadas de E′

serao t′, x′ iE = xiE. Tal sistema de coordenadas e chamado de sıncrono no sentido que

a coordenada tempo mede o tempo proprio ao longo das geodesicas que sao curvas xi =

constante. A superfıcie S ′3.= E′|t′ = constante sera tambem de tipo espaco.

Nesse sistema de coordenadas a metrica e da forma :

ds2 ≡ c2 dt2 + gij(t, x) dxi dxj

8Utilizamos a metrica com assinatura +,−,−,−

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Obviamente a construcao acima depende da escolha da superfıcie inicial S3.

O tempo sera definido de maneira que a dinamica seja simples !

No modelo cosmologico mais simples, as galaxias serao consideradas como moleculas de

um gaz ideal, o fluido cosmico, descrito por o campo de 4-velocidade uµ, a densidade de

energia-materia ρ e a pressao p com tensor energia-momentum

Tij = (ρ+ p)ui uj − gij p

Medidas astronomicas mostram que a pressao e muito menor do que a densidade. No es-

quema dito de poeira podemos tomar p ≈ 0. No caso de um a contribuicao do campo

electromagnetico, a teoria de Maxwell fornece p = ρ/3 e nao pode mais ser desprezada.

Tambem outras contribuicoes sao consideradas e a perguntas sobre materia escura, energia

escura (efeito quantico) ainda nao tem respostas definitivas.

A homogeneidade do universo significa que atraves de cada ponto E passa uma superfıcie tipo

espaco S3 que e uma superfıcie de homogeneidade, i.e. onde nao somente as condicoes fısicas

tais como a densidade ρ e a presao p sejam as mesmas, mas tambem condicoes geometricas

como a curvatura.

A isotropia deve ser definida com mais precisao pois e claro que se a S3 for isotropa em

relacao a um observador, ela nao o sera em relacao a outro que se move com certa velocidade

em relacao a este. Definimos a isotropia como relativa a um observador que e co-movel com

o ”fluido cosmico”. As linhas de universo do fluido cosmico, que sao ≡ as do observador co-

movel, sao ortogonais a superfıcie de homogeneidade S3, pois, se ele medir sua tri-velocidade

em relacao a S3 nao nula, ele distinguira uma direcao espacial privilegiada, o que e contrario

ao postulado de isotropia.

Temos assım construido um sistema de coordenadas sıncronas, onde o parametro τ e medida

ao longo de uma linha de universo do fluido cosmico. A metrica ainda tem a forma :

ds2 ≡ c2 dt2 + gij(t, x) dxi dxj

Mostraremos aqui de maneira heurıstica que ds2 ≡ c2 dt2−dσ2, onde −dσ2 = gij(t, x) dxi dxj

tem a forma particular dσ2 = S2(t) γij(x) dxi dxj. Uma demostracao mais formal sera

feita nas subsecoes que seguem. Mostraremos tambem que γij(x) dxi dxj corresponde a um

chamado espaco maximal simetrico como definido nessas subsecoes .

Seja entao S3(t0) a superfıcie inicial, sobre a qual consideramos dois eventos proximos E e

E′ com coordenadas xi e xi + dxi. A separacao espacial entre eles e dada por :

dσ(t0) =√− gij(t0, x) dxi dxj

No tempo t depois, como as coordenadas espaciais nao mudam, sera :

dσ(t) =√− gij(t, x) dxi dxj

20

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Devido a isotropia, a razao dσ(t)/dσ(t0) nao pode depender da direcao de E para E′. Por

homogeneidade essa razao tambem nao pode depender de dσ(t0) e deve ser a mesma para

todos os pontos de S3(t0). Denotaremos

S(t, t0).=

dσ(t)

dσ(t0)

Obtemos gij(t, x) = S2(t, t0) gij(t0, x) e, com gij(t0, x) = − γij(t0, x),

ds2(t, x) = c2 dt2 − S2(t, t0) γij(t0, x) dxi dxj

Observacoes :

(1) : Pela definicao o fator de expansao S(t, t0) depende de t0, cujo valor e arbitrario.

O que pode ser determinado, , independente de t0, e o fator de expansao relativo:

S(t2, t0)

S(t1, t0).=

dσ(t2)

dσ(t1)

(2) : A tri-geometria definida positiva, como veremos nas subsecoes que seguem, e comple-

tamente definida pelo valor da ”constante de curvatura K”, que pode ser positiva, nula ou

negativa.

No entanto a topologia nao e determinada.

No caso de um espaco chato, K = 0, podemos compactificar S3 como cubo de aresta finita

com condicoes periodicas de modo que S3 torna-se no toro tridimensional S1 × S1 × S1.

Outro exemplo e o grupo das rotacoes que tem a mesma metrica que S3, mas que nao e

simplesmente conexa.

21

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3.1 Isometrias

3.1.1 Vetores de Killing

Um difeomorfismo φ : M → M : x → y = φ(x) induz uma aplicacao derivada ou ”push-

forward” entre espacos tangentes :

φstar|x : Tx → Ty : U(x) → V (y) = φ?|xU(x) ,

e uma aplicacao recıproca ou ”pull-back” entre espacos cotangentes :

φ?x : T ?y → T ?x : ρ(y) → σ(x) = φ?x ρ(y) ,

dadas por

V i(y) :=∂φi(x)

∂xkUk(x) ; σi(x) := ρk(φ(x))

∂φk(x)

∂xi

Tomando produtos tensoriais, o pull-back se extende a tensores. Em particular um difeo-

morfismo que conserva o tensor metrico e chamado de isometria :

φ?x(g(y)) = g(x) ; gkl(y)∂yk

∂xi∂yl

∂xj= gij(x)

Uma famılia de difeomorfismos x→ y = φ(ε, x) define um campo vetorial ou difeomorfismo

infinitesimal :

K(x) :=dφ(ε, x)

dε |ε=0; x→ y = x+ εK(x)

A derivada de Lie de um campo tensorial na direcao de K e, por definicao :

LK g := limε→0

φ?ε,x g − g

ε; (LK g)ij := Kk ∂gij

∂xk+ gik

∂Kk

∂xj+ gkj

∂Kk

∂xi

Um vetor de Killing e um campo vetorial gerador de uma isometria infinitesimal, o que

implica que a derivada de Lie da metrica ao longo de K seja nula : LK g = 0, i.e.

Kk ∂gij∂xk

+ gkj∂Kk

∂xi+ gik

∂Kk

∂xj= 0 (1)

Em termos do co-vetor correspondente Ki.= gik Kk e da derivada covariante ∇iKj

.=

∂ iKj −Kk Γkij, isto e equivalente a

∇iKj + ∇jKi = 0 (2)

As derivadas covariantes nao comutam :

∇k∇lKi −∇l∇kKi = −Kj Rji[kl]

22

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e a simetria algebrica do tensor curvatura : Rji[kl] +Rj

k[li] +Rjl[ik] = 0, conduz a

(∇k∇lKi −∇k∇lKi) + (∇l∇iKk −∇i∇lKk) + (∇i∇kKl −∇k∇iKl) = 0

Se K for um vetor de Killing, temos ∇iKj + ∇jKi = 0, o que resulta em :

∇k∇lKi = Kj Rjk[li] (3)

Explicitamente temos :

∇k ∇lKi ≡ ∂k∂lKi − (∂kKr) Γrli −Kr (∂k Γrli)

− (∂jKi) Γj kl +Kr Γrji Γjkl − (∂lKj) Γj ki +Kr Γrlj Γ

jki = Kj R

jk[li]

Para uma metrica dada, os coeficientes Γikl e o tensor curvatura Rjk[li] sao determinadas, de

modo que, pela equacao acima, podemos calcular as derivadas segundas ∂k∂lKi em funcao

das derivadas primeiras, ∂jKi, e das componentes Ki dos campos de Killing.

∂k∂lKi = Kj Rjk[li] + (∂kKr) Γrli +Kr (∂k Γrli)

+ (∂j Ki) Γjkl −Kr Γrji Γjkl + (∂lKj) Γj ki −Kr Γrlj Γjki

Todas as derivadas de ordem superior de Ki tambem podem ser calculadas em termos das

∂jKi ; Ki. Logo, se existir um campo de Killing, ele podera ser obtido por uma expansao

em serie em torno de um ponto (x0) onde os valores de ∂j Ki ; Ki forem dados :

Kk(x;x0) = Kk(x0) + (x− x0)i ∂Kk(x)

∂xi |x0

+1

2!(x− x0)

i (x− x0)j ∂

2Kk(x)

∂xi ∂xj |x0

+ · · · (4)

Ele sera determinado pelos N valores arbitrarios de Ki(x0) e pelos N(N − 1)/2 valores

arbitrarios de ω[ik] := (∇iKk − ∇kKi) ≡ ∂iKk − ∂kKi, no ponto (x0), visto que a soma

∂iKk + ∂kKi em (x0) esta determinada em funcao de Kk(x0) pela equacao de Killing

0 = ∇iKk + ∇kKi = ∂iKk + ∂kKi − 2Kl Γlik ⇒ ∂iKk |x0

= ω[ik]/2 +Kl(x0) Γlik(x0)

Podemos entao escrever qualquer vetor de Killing Ki(x;x0) como combinacao linear dos

valores que ele e sua derivada covariante tomar no ponto x0 :

Ki(x;x0) = Aki(x;x0)Kk(x0) +Bkl

i(x;x0) (∇lKk) (x0) (5)

onde os coeficientes Aki(x;x0) e Bkl

i(x;x0) (antisimetrico em [kl] !) sao independentes

dos valores iniciais Kk(x0) e (∇lKk) (x0). Cada vetor de Killing e obtido dessa maneira.

Tambem, como a equacao de Killing e R-linear, uma combinacao linear de campos de Killing

e um campo de Killing. Definimos M campos de Killing K(A)i A = 1, 2, · · · ,M linearmente

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independentes se qualquer relacao R-linear :∑MA=1 cAK

(A)i(x) = 0 implica em cA = 0.

Cada K(A)i A = 1, 2, · · · ,M , usando (4), e escrito como

K(A)i(x;x0) = Ak

i(x;x0)K(A)

k(x0) +Bkli(x;x0)

(∇lK

(A)k

)(x0) (6)

A matriz com M linhas e N +N(N − 1)/2 = N(N + 1)/2 colunas :(K(A)

k(x0) ∇lK(A)

k(x0)), pode ter o posto ao maximo igual a M = N(N + 1)/2 pois, se

M > N(N + 1)/2 teriamos relacoes∑AM=1 cA K

(A)k(x0) = 0 e

∑AM=1 cA ∇lK

(A)k(x0) = 0 e

(4) implicaria que os M campos de Killing K(A)i(x;x0) obedeceriam as relacoes :

∑AM=1 cA K

(A)i(x;x0) = 0 e nao seriam independentes.

Concluimos que podemos ao maximo ter N +N(N − 1)/2 = N(N +1)/2 campos de Killing

independentes. Um espaco com o numero maximo, i.e. N(N + 1)/2, de campos de Killing e

chamado de espaco simetrico maximal.

3.1.2 Espacos homogeneos e isotropos

Um espaco e homogeneo se qualquer ponto na vizinhanca de x0 pode ser alcancado :

xi0 → xi0 + ε ai, onde os componentes ai sao arbitrarios. E isso por uma isometria in-

finitesimal, i.e. xi → xi + εK i(x;x0). O que significa que existe N campos de Killing

K i(k)(x;x0) ; (k) = 1, 2, · · ·N tais que K i

(k)(x0;x0) = δik. O campo de Killing procurado e

K i(x;x0) := akK i(k)(x;x0) de modo que K i(x0;x0) = ai. Os campos covariantes correspon-

dentes serao N campos de Killing :

K(k)i(x;x0) , k = 1, 2, · · · , N ; obedecendo K(k)

i(x0;x0) = δ(k)i (7)

Um espaco e isotropo no ponto x0 se qualquer direcao , definida por um ponto x ′ na vizin-

hanca de x0, pode ser obtida a partir de uma direcao dada ∆i := (x−x0)i, por uma isometria

infinitesimal : xi → x ′ i = xi + εK i(x;x0), que deixa o ponto x0 fixo i.e K i(x0;x0) = 0.

Qualquer direcao ∆ ′ i, vizinha de ∆i, e obtida a partir dela por ∆i → ∆ ′i := Rik(ε)∆k, onde

Rij(ε) e uma ”rotacao ” infinitesimal arbitraria, que obedece a Ri

k(ε)Rjl(ε) ηij = ηkl com

ηkl := gkl(x0). Essas rotacoes infinitesimais podem ser escritas como Rik(ε) = δik + εM i

k,

onde M ik ηil + M j

l ηkj = 0, de modo que Mkl := M jl ηkj e uma matriz antisimetrica ar-

bitraria. Qualquer matriz desse tipo pode ser escrita em funcao de N(N − 1)/2 constantes

arbitrarias dadas pelo tensor antisimetrica, ω[rs] = −ω[sr], como

M ik =

1

2(G[rs])

ikω[rs] , onde (G[rs])

ik

=(δir ηsk − δis ηrk

)

Em termos do campo de Killing, a direcao dada transforma-se em

(x− x0)i → (x− x0)

i + εK i(x;x0)

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Visto que K i(x0;x0) = 0, temos

K i(x;x0) = ∂kKi(x;x0)|x=x0

(x− x0)k = M i

k ∆k

e existem N(N − 1)/2 campos de Killing K i[rs](x;x0) , antisimetricos em [rs], tais que

K i[rs](x0;x0) = 0 ; ∂kK

i[rs](x;x0)|x=x0

= (G[rs])ik

Em termos de campos covariantes, temos N(N − 1)/2 campos de Killing independentes

(K([kl])i(x;x0) = −K([lk])

i(x;x0)), com condicoes

K([kl])i(x0;x0) = 0 ; ∇jK

([kl])i(x;x0)|x=x0

= ∂jK([kl])

i(x;x0)|x=x0= δki δ

lj − δkj δ

li (8)

Se o espaco e isotropo em cada ponto, K([kl])i(x;x0) e K([kl])

i(x;x0 + dx0) sao dois campos

de Killing no mesmo ponto x. A diferenca e um campo de Killing, assım como a derivada

parcial em relacao a x0 : ∂K([kl])i(x;x0)/∂x

j0. Como K([kl])

i(x0;x0) = 0, temos

0 =∂K([kl])

i(x0;x0)

∂xj0≡ ∂K([kl])

i(x;x0)

∂xj0 |x=x0

+∂K([kl])

i(x;x0)

∂xj |x=x0

de modo que ∂K([kl])i(x;x0)/∂x

j0|x=x0

= −(δki δ

lj − δkj δ

li

)e podemos construir N campos

de Killing

K(l)i(x;x0) :=

1

N − 1

∂K([kl])i(x;x0)

∂xk0 |x=x0

; (l) = 1, 2, · · · , N

que satisfaz K(l)i(x;x0)|x=x0

= δli. Donde a conclusao que

Um Espaco Isotropo em Cada Ponto, e tambem Homogeneo e

e um Espaco Simetrico Maximal.

Temos tambem a proposicao inversa :

Um Espaco Simetrico maximal e Homogeneo e Isotropo em Cada Ponto.

Sejam K(A)i(x) , A = 1, 2, · · · , N(N + 1)/2 vetores de Killing linearmente independentes.

Denotaremos K(A)[k,l](x0)

.= ∇lK

(A)k(x0). A equacao (5) para os N(N + 1)/2 valores de A

torna-se em :

K(A)i(x;x0) = Ak

i(x;x0)K(A)

k(x0) +Bkli(x;x0)K

(A)[k,l](x0) (9)

A matriz quadrada N(N + 1)/2 × N(N + 1)/2 :(K(A)

B

), com B = i; [k, l], deve

ser nao singular, pois se fosse, existiria N(N + 1)/2 constantes nao nulas cA tais que∑A cA K(A)

B(x0) = 0 e os K(A)i(x;x0) nao seriam independentes. Do outro lado o sis-

tema de N(N + 1)/2 equacoes nas incognitas ξA :∑

A

ξA K(A)

B(x0) = βB , B = i , [k, l]

possue uma unica solucao para qualquer βB.

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Em particular seja ξ(j)A a solucao correspondente a βB = δjB, entao o campo de Killing

K(j)i(x;x0) =

A

ξ(j)AK

(A)i(x;x0)

sera tal que K(j)i(x0;x0) = δ(j)

i, i.e. o espaco e homogeneo.

Tambem, se ξ([r,s])A for a solucao correspondente a βB = δ[r,s]

B, o campo

K([r,s]))i(x;x0) =

A

ξ([r,s]))AK

(A)i(x;x0)

obedecera K([r,s]))i(x0;x0) = 0 e K(A)

[k,l](x0;x0) = δ[r,s][k,l], i.e o espaco e isotropo.

3.1.3 Unicidade

Para qualquer campo vetorial Vi, ja utilizamos a identidade :

∇k∇l Vi −∇l∇k Vi = −Vj Rji[kl]

Agora aplicamos uma outra identidade, valida para qualquer campo tensorial Tij :

∇k∇l Tij −∇l∇k Tij = −Tir Rrj[kl] − Trj R

ri[kl]

ao campo Tij ≡ ∇iKj, obtendo

∇k∇l∇iKj −∇l∇k∇iKj = − (∇iKr) Rrj[kl] − (∇rKj) R

ri[kl]

Usando o resultado (3) para um campo de Killing :

∇l∇iKj = Kr Rrl[ij] ; ∇k∇iKj = Kr R

rk[ij] , obtemos :

− (∇iKr) Rrj[kl] − (∇rKj) R

ri[kl] = ∇k

(KrR

rl[ij]

)−∇l

(Kr R

rk[ij]

)

= (∇kKr) Rrl[ij] − (∇lKr) R

rk[ij] +Kr

(∇kR

rl[ij]

)−Kr

(∇lR

rk[ij]

), donde :

∇sKr

δskR

rl[ij] − δsl R

rk[ij] + δsi R

rj[kl] + δrj R

si[kl]

+Kr

∇kR

rl[ij] −∇lR

rk[ij]

= 0

Como o espacxo e maximal simetrico, podemos escolher, em qualquer ponto x, o valor de

Kr arbitrario assım que o valor de (∇sKr −∇rKs), o que implica em :

∇kR

rl[ij] −∇lR

rk[ij]

= 0

δskR

rl[ij] − δsl R

rk[ij] + δsi R

rj[kl] + δrj R

si[kl]

=δrkR

sl[ij] − δrl R

sk[ij] + δri R

sj[kl] + δsj R

ri[kl]

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Multiplicando por δks , e com Ril ≡ Rsi[sl], resulta em

(N − 1)Rrl[ij] −

Rr

j[li] +Rrl[ij] +Rr

i[lj]

+ δrj Ril − δri Rjl = 0

e, comoRr

j[li] +Rrl[ij] +Rr

i[lj]

= 0, temos

(N − 1)Rrl[ij] = δri Rjl − δrj Ril ; (N − 1)Rkl[ij] = gkiRjl − gkj Ril (10)

Usando Rkl[ij] = −Rlk[ij], o tensor de Ricci deve obedecer a :

gkiRjl − gkj Ril = −gliRjk + glj Rik (11)

Com o escalar de curvatura R ≡ gik Rik, fazemos mais uma contracao multiplicando por gik

com resultado N Rij = gij R. Substituindo em (8), resulta na formula do tensor curvatura :

Rkl[ij] =R

N(N − 1)(gki glj − gkj gli) (12)

A identidade de Bianchi (D) fornece :(

1N− 1

2

)∇kR = 0 e, para N ≥ 3, o escalar de

curvatura e constante. Defina-se a constante de curvatura

K.=

R

N(N − 1)(13)

Obtemos :

Rij = (N − 1)K gij ; Rkl[ij] = K (gki glj − gkj gli) (14)

Tal espaco e chamado de espaco de curvatura constante.

Teorema:

Pode-se mostrar que, se dois espacos sao de curvatura constante, com metricas gij(x) e

g ′kl(x

′), de mesma assinatura, i.e. com mesmo numero de autovalores positivos e negativos

do tensor metrico e com mesmo valor da constante de curvatura K, sao difeomorfos, onde o

difeomorfismo x→ x ′ transforma com uma metrica na outra.

Nao demostramos esse teorema. O significado dele e que espacos de curvatura constante sao

essencialmente unicas. O difeomorfismo em questao, pode ser considerado como uma mera

transformacao de coordenadas e nos exemplos que seguem, construimos explicitamente tais

espacos.

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3.1.4 Exemplos

1. Espaco Linear

Um espaco (pseudo-)Euclideano com coordenadas lineares xi e ortonormais de modo que

a metrica e dada por gij(x) = ηij . Obviamente as isometrias sao as transformacoes lineares

inhomogeneas xi → yi = Rik x

k + ak, onde as matrizes de rotacao , ou de Lorentz), R

obedecem a RikR

jl ηij = ηkl. As transformacoes infinitesimais sao da forma

xi → xi + ε(

1

2M[rs] (G

[rs])ik xk + a(k)(P

(k))i)

onde (G[rs])ik = (ηir δsk − ηis δrk) e (P (k))i = ηki. Os vetores de Killing correspondentes sao

K[rs] := xr∂

∂xs− xs

∂xr

K(k) :=∂

∂xk

A constante de curvatura K obviamente e nula.

2. Esfera SN

Definimos a esfera SN , de raio r, e com N dimensoes, pela sua imersao em RN+1 :

SN =(x) := (x1, · · · , xN , xN+1) ‖(x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2 + (xN+1)2 = r2

A esfera e coberta por duas cartas :

1. A carta austral, definida para xN+1 6= r (fora do polo norte N ):

φA : UA := SN \N → RN : x→ ξiA :=xi

r − xN+1; i = 1, 2, · · · , N

2. A carta boreal, definida para xN+1 6= −r (fora do polo sul S):

φB : UB := SN \S → RN : x→ ξiB :=xi

r + xN+1; i = 1, 2, · · · , N

Definimos em cada carta |ξ|2 := δij ξi ξj , e q := 1 + |ξ|2 de modo que

em UA : |ξA|2 =r + xN+1

r − xN+1, qA =

2r

r − xN+1

em UB : |ξB|2 =r − xN+1

r + xN+1, qB =

2r

r + xN+1

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As aplicacoes inversas sao :

φA−1 : RN → UA : ξiA → xi =

2r

qAξiA , x

N+1 = r − 2r

qA

φB−1 : RN → UB : ξiB → xi =

2r

qBξiB , x

N+1 =2r

qB− r

Na intersecao UA ∩ UB, as coordenadas austrais e boreais se relacionam por :

ξiB =1

|ξA|2ξiA ; dξiB =

1

|ξA|2

(δik −

2 ξiA ξjA δjk

|ξA|2

)dξkA ,

o que mostra que a orientacoes dos dois sistemas sao opostas.

Para (x) ∈ SN \N , temos

dxi =2r

qA

(dξiA − ξiA

qAdqA

), i = 1, 2, · · · , N , dxN+1 =

2r

qA2

Em RN+1, a metrica Euclideana e dada pelo tensor gN+1 = δij dxi ⊗ dxj + dxN+1 ⊗ dxN+1

de modo que a metrica induzida em UA e

g := φA? gN+1 = δij

(2 r

qA

)2

dξAi ⊗ dξA

j

Utilizamos na sequencia apenas coordenadas austrais, omitindo o subscripto ?A.

Introduzimos uma base movel ortonormal no espaco cotangente e tangente :

θi :=

2 r

qdξi

;

ei :=

q

2 r

∂ξi

A metrica induzida e o elemento de volume sao

g = δij θi ⊗ θj ; ω := θ1 ∧ θ2 ∧ · · · ∧ θN

Os coeficientes de estrutura sao definidos por

dθi := −1

2C i

kl θk ∧ θl ; C i

kl = − 1

2r

(δik

∂q

∂ξl− δil

∂q

∂ξk

)= − 1

r

(δik δlj − δil δkj

)ξj

Onde reconhecemos a representacao matricial dos geradores M[kl] da algebra de Lie do grupo

das rotacoes SO(N) : (M[kl])ij = δik δlj − δil δkj.

Os coeficientes da conexao, dados pelas 1-formas Γij := Γkij θ

k, sao determinados pela

equacao de Cartan de torsao nula e pela conservacao da metrica por transporte paralelo :

d θi + Γil ∧ θl = 0 ; d δij − δik Γkj − δkj Γki = 0

29

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Com as definicoes Γkil := δij Γkjl e Cikl := δij C

jkl, obtemos :

Cikl = −(1/r)(δik δlj − δil δkj

)ξj = −(1/r)M[kl],[ij] ξ

j

As condicoes acima tornam-se em : Γikj − Γjki = Ckij ; Γikl + Γilk = 0, cuja solucao e :

Γikj =1

2(Ckij − Cijk −Cjik) =

1

r(δij δkl − δik δjl) ξ

l

Γij =1

r

(δik δlj − δil δkj

)ξk θl =

1

r(M[kl])

ij ξ

k θl

Γ[ij] := δjk Γik =1

r

(ξi θj − ξj θi

)

E Γ := 12Γ[ij] M[ij] e a 1-forma de conexao com valores na algebra de Lie de SO(N). A

2-forma da curvatura e dada pela segunda equacao de Cartan :

Rij = dΓij + Γik ∧ Γkj

que resulta em :

Rkl =1

2Rkl

[ij] θi ∧ θj =

1

r2θk ∧ θl

ou com componentes do tensor curvatura :

Rkl[ij] =

1

r2

(δki δjl − δkj δil

)

e tensor de Ricci e scalar de curvatura :

Rjl := Ril[ij] =

1

r2(N − 1) δjl ; R := δilRil =

N(N − 1)

r2

• Vetores de Killing

Como SN ⊂ RN+1, as rotacoes enm torno da origem em RN+1 obviamente conserva SN e a

metrica induzida. Essas rotacoes sao geradas pelos N(N + 1)/2 campos vetoriais em RN+1,

onde α, β = 1, 2, · · · , N,N + 1 :

J[αβ] := xα∂

∂xβ− xβ

∂xα= − (δµα δβν − δµβ δαν) x

ν ∂

∂xµ

A restricao desses campos a esfera SN fornece os campos de Killing

J[ij] := ξi∂

∂ξj− ξj

∂ξi

P(k) := J[(N+1)k] =1 − |ξ|2

2

∂ξk+ ξk ξ

l ∂

∂ξl

30

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Exercıcio : Escreva os campos de Killing em termos das :

Coordenadas hiper-esfericas :

x1 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 sen θ1 senϕ

x2 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 sen θ1 cosϕ

x3 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θ2 cos θ1

x4 = r sen θN−1 sen θN−2 · · · cos θ2

· · · = · · ·xN = r sen θN−1 cos θN−2

xN+1 = r cos θN−1

onde 0 ≤ ϕ < 2π , 0 < θk < π

Com as definicoes

ρk := sen θN−1 sen θN−2 · · · sen θk , k = 1, 2, · · · , (N − 1) , ρN := r

temos formulas inversas :

x1 = ρ1 senϕ ; x2 = ρ1 cosϕ ;

x3 = ρ2 cos θ1 ; · · · ; xk+2 = ρk+1 cos θk ; · · · ; xN+1 = ρN cos θN−1

Pelo menos para N = 2 !

3. Pseudo-Esfera LN de Lobatchevski

A pseudo-esfera LN , de raio r, e com N dimensoes, e definida pela sua imersao em RN+1 :

LN =(x) := (x1, · · · , xN , xN+1) ‖

((x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN )2

)− (xN+1)2 = − r2

E um hiperboloide com duas folhas,

a folha superior H+ : xN+1 = +√r2 + (x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2

a folha inferior H− : xN+1 = −√r2 + (x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2

As folhas esrao dentro do cone de luz : −((x1)2 + (x2)2 + · · · + (xN)2

)+ (xN+1)2 = 0.

Consideramos apenas a folha superior9. Ela e coberta por uma unica carta boreal, obtida

por projecao sobre o plano xN+1 = 0, com centro o ”Polo Sul” : S ≡ 0, 0, · · · , 0, r.

φB : H+ → RN : x→ ξi :=xi

r + xN+1; i = 1, 2, · · · , N (A)

9A folha inferior H− sera coberta por uma carta austral.

31

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Em analogia com o caso da esfera, temos :

|ξ|2 := δij ξi ξj =

xN+1 − r

xN+1 + r; q := 1 − |ξ|2 =

2 r

xN+1 + r; 1 + |ξ|2 =

2xN+1

xN+1 + r

A diferenca com a esfera esta no sinal menos em q := 1 − |ξ|2 !

As formulas inversas de (A) sao dadas por :

xi = 2 rξi

1 − |ξ|2 = 2 rξi

q; xN+1 = r

1 + |ξ|2

1 − |ξ|2 = r

(2

q− 1

)(B)

A folha H+ inteira e projetada no interior da bola N -dimensional de raio R dentro do

hiperplano xN+1 = 0. Nas coordenadas ξi, temos |ξ|2 < 1.

Em RN+1, α, β, · · · = 1, 2, · · · , N, (N + 1), postulamos uma metrica de Minkowski :

d s2 := ηαβ dxα ⊗ dxβ = δij dxi ⊗ dxj − dxN+1 ⊗ dxN+1

que, com a restricao a H+,

dxi =2 r

q

(δik +

2 ξiξkq

)dξk ; dxN+1 =

2 r

q2 ξk dξk

e o hiper-disco de Poincare :

d s2|H+ =

(2 r

q

)2

δkl dξk ⊗ dξl

Como no caso da esfera, introduzimos uma base movel ortonormal no espaco cotangente :

θi := 2 r/q dξi e a metrica induzida e g = δij θi⊗ θj. A unica diferenca com a esfera e que

agora dq = −2 ξk dξk. Os coeficientes de estrutura terao sinal oposto :

C ikl = − 1

2r

(δik

∂q

∂ξl− δil

∂q

∂ξk

)= +

1

r

(δik δlj − δil δkj

)ξj

A conexao (com outro sinal) e a curvatura sao :

Γkl = − 1

r

(ξk θl − ξl θk

); Rk

l = − 1

r2θk ∧ θl

Os componentes do tensor curvatura :

Rkl [ij] = Rij

kl = − 1

r2

(δki δjl − δkj δil

)

e tensor de Ricci e scalar de curvatura :

Ril := Rijil = − 1

r2(N − 1) δjl ; R := δilRil = − N(N − 1)

r2

Os N(N + 1)/2 vetores de Killing sao obtidos restringindo as transformacoes de Lorentz em

RN+1 a folha H+ do hiperboloide. Os campos de Killing em RN+1

J[αβ] := xα∂

∂xβ− xβ

∂xα= − (δµα ηβν − δµβ ηαν) x

ν ∂

∂xµ

conservam H+ e formam os N(N + 1)/2 campos de Killing do espaco simetrico maximal.

32

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3.1.5 Espacos com subespacos maximal simetricos

O espaco total N de dimensao n e decomposto em uma famılia de subespacos maximal

simetricos com m < n dimensoes. Supomos que, localmente, existem coordenadas ta, xionde i = 1, · · · ,m e a = m + 1, · · · , n, de modo que um ponto de cada subespaco maximal

simetrico MI e dado por valores constantes das coordenadas ta.

P ⇔ taI, xi ∈ MI

Os subespacos MI sao chamados subespacos maximais simetricos, se ha um grupo de isome-

trias infinitesimais tais que, restrito a MI, temos 〈dta,K〉 = 0, i.e.:

ta → t′a = ta ; xi → x′ i = xi + εK i(t, x)

comM(M+1)/2 vetores de Killing linearmente independentes. Os vetores de KillingK i(t, x)

podem depender parametricamente das variaveis ta e a independencia linear significa se ha

uma combinacao linear com coeficientes, podendo depender de ta, entre os M(M + 1)/2

vetores de Killing, esses coeficientes sao necessariamente nulos.

Pode-se mostrar o seguinte teorema :

E sempre possıvel de escolher as coordenadas xi tais que a metrica do espaco

total N possue a forma :

ds2N = gab(t) dt

a dtb + f(t) gij(x) dxi dxj

Demostraremos esse teorema no cas mais simples, quando o espaco total N tem (1 + M)

dimensoes com assinatura +,−,−, · · · ,−︸ ︷︷ ︸M

. Supomos que N pode ser decomposto em

superfıcies M-dimensionais tipo espaco St, homogeneos e isotropos, parametrizadas por

um parametro t, o ”tempo”. Nesse paragrafo, os ındices gregos α, β, · · · variam entre

0, 1, · · · ,M enquanto i, j, · · · ∈ 1, · · · ,M.As equacoes de Killing, Kα ∂α gµν + gαν ∂µK

α + gµα ∂νKα = 0, se separam em tres tipos :

(µ, ν) = (0, 0) : Kk ∂k g00 + gk0 ∂0Kk + g0k ∂0K

k = 0

(µ, ν) = (i, 0) : Kk ∂k gi0 + gk0 ∂iKk + gik ∂0K

k = 0

(µ, ν) = (i, j) : Kk ∂k gij + gkj ∂iKk + gik ∂jK

k = 0

A ultima equacao implica que, a t fixo, Kk(t, x) e um vetor de Killing da metrica gij(t, x)

e gij(t, x) e a metrica de um espaco maximal simetrico. Podemos fazer uma mudanca de

coordenadas :xk = Xk(t′, x′) ; t = t′ de modo que g ′0j(t

′, x′) = 0. De fato

g ′0j(t

′, x′) ≡ gkl(t, x)∂Xk

∂t′∂X l

∂x′ j+ g0l(t, x)

∂X l

∂x′j=

(gkl(t, x)

∂Xk

∂t′+ g0l(t, x)

)∂X l

∂x′ j

33

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e basta achar uma solucao , com condicao inicial Xk(t, x) = xk, da equacao diferencial :

gkl(t,X)dXk(t′, x′)

dt′+ g0l(t,X) = 0

Nesse sistema de coordenadas, as equacoes de Killing suplementares sao

Kk(t, x)∂g00(t, x)

∂xk= 0 ; gik(t, x)

∂Kk(t, x)

∂t= 0

Segue que g00(t, x) nao depende de x e que os vetores de Killing nao dependem de t. Em St0com metrica gij(t0, x), temos M(M + 1)/2 vetores de Killing independentes, obedecendo

LK g(t0)ij ≡ Kk(x)∂ gij(t0, x)

∂xk+ gkj(t0, x)

∂ Kk(x)

∂xi+ gik(t0, x)

∂ Kk(x)

∂xj= 0 (A)

Temos tambem uma famılia de tensores gij(t, x), parametrizada por t, invariantes sob a acao

infinitesimal dos M(M + 1)/2 campos de Killing :

LK g(t)ij ≡ Kk(x)∂ gij(t, x)

∂xk+ gkj(t, x)

∂ Kk(x)

∂xi+ gik(t, x)

∂ Kk(x)

∂xj= 0 (B)

Em cada ponto x0 escolhemos um campo de Killing que e nulo nesse ponto e tal que

Kk(x0) = 0 ; Ω[ij](x0).= (∇iKj)(x0) = gjk(t0, x0)

∂ Kk(x)

∂xi(x0) ,

onde Ω[ij](x0) e arbitrario e antisimetrico. Substituindo

∂Kk(x)

∂xi(x0) ≡ gjk(t0, x0)Ω[ij](x0)

na equacao (B) acima, resulta em(gkj(t, x0) g

ks(t0, x0) δri + gik(t, x0) g

ks(t0, x0) δrj

)Ω[rs](x0) = 0 (C)

Com Ω[ij](x0) arbitrario, os seus coeficientes devem ser simetricos :

gkj(t, x0) gks(t0, x0) δ

ri + gik(t, x0) g

ks(t0, x0) δrj

= gkj(t, x0) gkr(t0, x0) δ

si + gik(t, x0) g

kr(t0, x0) δsj

Algumas manipulacoes algebricas conduzem a :

(M − 1) gij(t, x0) + gji(t, x0) =(gkl(t, x0) g

kl(t0, x0))gij(t0, x0), donde segue que gij(t, x0) e

simetrico e, como x0 era arbitrario, teremos gij(t, x) = f(t, t0;x) gij(t0, x).

Substituindo em (B) e usando (A), resulta em Kk(x) ∂f(x)/∂xk = 0 e, como Kk(x) pode

ser arbitrario, f(t; t0) nao depende de x.

gij(t, x) = f(t, t0) gij(t0, x) (QED)

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O resultado final sera :

ds2 = g00(t) c2 dt2 + f(t, t0) gij(t0, x) dx

i dxj

Como g00 e positivo, podemos redefinir a coordenada ”tempo” por√g00(t) c dt ⇒ c dt, de

modo que

ds2 = c2 dt2 + f(t, t0) gij(t0, x) dxi dxj

3.2 Modelo Cosmologico Padrao

O modelo e baseado na metrica

ds2 = c2 dt2 − S2(t) γij(x) dxi dxj

onde γij(x) e uma metrica definida positiva, maximal simetrica, discutida nos exemplos

(3.1.4). Em particular, quando a constante de curvatura e positiva, teremos a metrica da

esfera S3 e, se for negativa, a metrica de um espaco hiperbolico L3, ambos de ”raio” R.

Definimos R(t) = S(t)R e, em coordenadas estereograficas, temos :

g = ε0 ⊗ ε0 − δij εi ⊗ εj ; ε0

.= c dt , εi

.=

2R(t)

qdξi

onde q = 1 + k |ξ|2, com k = +1 para S3 e k = −1 para L3.

Os ındices tomam valores : α, β, · · · ∈ 0, 1, 2, 3 e i, j, · · · ∈ 1, 2, 3.As funcoes de estrutura, dεα

.= − (1/2) Cα

µν εµ ∧ εν ; Cαµν

.= gαβ C

βµν , resultam de :

dε0 = 0 ; dεi =R/c

Rε0 ∧ εi − k

Rξk ε

k ∧ εi ; R ≡ dR(t)/dt

As unicas diferentes de zero, sao :

C i0l = − R/c

Rδil ; Ci0l = +

R/c

Rδil

C ik0 = +

R/c

Rδik ; Cik0 = − R/c

Rδik

C ikl = − k

R

(δik δlj − δil δkj

)ξj ; Cikl = +

k

R(δik δlj − δil δkj) ξ

j

Os coeficientes da conexao : Γαβµ.= (1/2) (Cµαβ + Cαµβ − Cβµα) sao dados por :

Γ0jk = +R/c

Rδjk ; Γi0k = − R/c

Rδik ; Γijk = +

k

R(δik δlj − δil δkj) ξ

l

As 1-formas da conexao, nao nulas, sao :

Γ0j =

R/c

Rδjk ε

k ; Γi0 =R/c

Rεi ; Γij = − k

R

(δik δlj − δil δkj

)ξl εk

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As 2-formas da curvatura, Rαβ.= dΓαβ + Γακ ∧ Γκβ = (1/2)Rα

β,[µν] εµ ∧ εν, sao :

R0j =

R/c2

Rδjk ε

0 ∧ εk ; Ri0 =

R/c2

Rε0 ∧ εi ; Ri

j =k + (R/c)2

R2δjl ε

i ∧ εl

Os componentes nao nulas do tensor curvatura sao :

R0j,0l = +R/c2

Rδjl ; R0j,k0 = − R/c2

Rδjk

Ri0,0l = − R/c2

Rδil ; Ri0,k0 = +

R/c2

Rδik

Rij,kl = − k + (R/c)2

R2(δikδjl − δilδjk) (15)

O tensor de Ricci Rβν.= Rα

β,αν = gαµ Rαβ,µν

R00 = −R/c2

RN ; R0l = 0 ; Rk0 = 0

Rkl =

(R/c2

R+ (N − 1)

k + (R/c)2

R2

)δkl (16)

O escalar de curvatura e :

R = − 2NR/c2

R−N(N − 1)

k + (R/c)2

R2(17)

O tensor de Einstein : Gαβ.= Rαβ − 1

2gαβ R, tem conpoonentes (N = 3 !)

G00 = 3k + (R/c)2

R2; Gkl = −

2R/c2

R+

k + (R/c)2

R2

δkl (18)

No referencial sıncrono o tensor energia-momentum10 Tαβ = (ρ + p)uα uβ − p gαβ, tem

componentes diferentes de zero : T00 = ρ ; Tkl = p δkl, e as equacoes de Einstein sao :

3k + (R/c)2

R2= χ ρ (19)

2R/c2

R+

k + (R/c)2

R2

= χ p (20)

10Normalizamos aqui a quadrivelocidade como gαβuα uβ = 1.

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Observando que nas equacoes de Einstein, Gαβ = χT αβ, o tensor de Einstein obedece a

identidade ∇αGαβ = 0, o tensor energia-momentum T αβ tem que ser covariantemente con-

servado para as equacoes sejam consistentes : ∇α Tαβ = 0.

Nas coordenadas sıncronas isto implica em :

R3(t)d p(t)

dt=

d

dt

(R3(t)[p(t) + ρ(t)]

)(21)

E facil verificar que, derivando a equacao (19), que e analoga a conservacao da energia

involvendo o quadrado da velocidade R, e usando a relacao (21) resulta na equacao (20),

que e a equacao dinamica da ”aceleracao ” R .

Qualitativamente vemos que a aceleracao R/c2 = −(χR/6) (ρ + 3p) e negativa desde que

(ρ + 3p) > 0. Do outro lado R > 0 e a funcao de Hubble H ≡ R/R deve atualmente

ser positivo, devido ao deslocamento gravitacional ser observado para o vermelho. Logo a

curva R(t) deve ser concava para baixo e deve ter atingida R = 0 no passado, por dedfinicao

t = 0. O tempo cosmico atual t0 e chamado de idade do universo. Introduzimos tambem

um parametro de desaceleracao q ≡ −R R/(R)2. Os valores atuais dessas grandezas sa

denotados com um subscripto 0.

A densidade e a pressao atuais do universo sao :

ρ0 =3

χ

(k

R02 +

(H0

c

)2)

; p0 = − 1

χ

(k

R02 +

(H0

c

)2

(1 − 2 q0)

)

Nota que, se a densidade ρ0 for maior do que uma densidade crıtica, definida por ρc ≡(3/χ) (H0/c)

2, teremos k = 1, um espaco com curvatura espacial positivo enquanto, se

ρ0 < ρc, essa curvatura seria negativa. Se, alem disso, a pressao p0 pode ser desprezada em

comparacao com a densidade

k

R02 =

(H0

c

)2

(2 q0 − 1)

Medidas astronomicas fornecem q0 ≈ 1 e H0 ≈ (75 km/sec)/megaparsec, o que favorece

k = 1. Pode-se tambem calcular com esses dados a densidade atual do universo ρ0 ≈ 2 ρc ≈2 × 10−29 g/cm3. No entanto a densidade de massa das galaxias por dados astronomicos

corresponde a ρgal ≈ 0, 03 × ρc, o que e muito menor do que o ρ0 acima calculado. Com

esse valor teriamos q0 ≈ 0, 014 e k = −1, i.e. um universo espacial com curvatura negativa

e aberto. Donde surge o problema da chamada materia escura.

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O tensor energia-momentum e a soma de todas as contribuicoes energeticas do universo e

cada contribuicao e independentemente conservada.

1. Consideramos o caso da materia pura onde desprezamos a contribuicao da pressao de

modo que a equacao (21) fornece

ρmat(t) = ρmat,0

(R0

R(t)

)3

(22)

2. No caso da radiacao , a teoria de Maxwell fornece a relacao entre a pressao de radiacao e

a densidade de energia-momentum : prad = (1/3) ρrad e (21) fornece d(R4 ρrad)/dt = 0,

donde :

ρrad(t) = ρrad,0

(R0

R(t)

)4

(23)

A equacao (19) escreve-se como

(R/c)2 = −k +χ

3R2

ρmat,0

(R0

R

)3

+ ρrad,0

(R0

R

)4

(24)

Discutimos a equacao acima para k = +1, nos dois casos :

1. Caso da materia pura :

Seja Rmax.= (χ/3)(R0)

3 ρmat,0, a equacao (24) se reduz a (R/c)2 = (Rmax/R) − 1 .

Introduzimos um tempo η, medido em radianos : R(t)dη = c dt de modo que obtemos

dR/dη =√R (Rmax −R), com solucao

R =Rmax

2(1 − cos η) ; ct =

Rmax

2(η − sin η) (25)

Em funcao do tempo proprio R(t) e uma cicloıde, com maximo quando η = π, voltando

para 0 em η = 2π .

2. Caso da radiacao pura :

Agora (Rmax)2 .

= (χ/3)(R0)4 ρrad,0 e (24) escreve-se (R/c)2 = (Rmax/R)2 − 1 .

De novo, com R(t)dη = c dt, temos dR/dη =√

(Rmax)2 −R2 com solucao

R = Rmax sin η ; ct = Rmax (1 − cos η) (26)

Agora R e periodico com maximo em η = π/2.

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Exercıcio

Resolva (24) para k = −1 nos dois casos da materia pura e da radiacao pura.

********************************

Dados numericos:

velocidadeda da luz : c ≈ 3, 0 × 108 m/s

unidade astronomica = distancia media Terra-Sol : 1 U.A. ≈ 1, 5 × 1011 m

ano-luz : 1 a.l. ≈ 9, 5 × 1015 m

parsec : 1 pc ≈ 3, 1 × 1016 m

Constante de Hubble : H0 ≈ (80 ± 17) (km/s)/Mpc, 1 Mpc.= 106 pc..

39