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* Monografia apresentada por Melissa da Silva Rodrigues à Faculdade de Matemática em 09 de Abril de 2008, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática. † Professor orientador (Tutor do PETMAT): [email protected]

O NÚMERO Φ *

Marcos Antônio da Câmara† Melissa da Silva Rodrigues

Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121

Campus Santa Mônica 38408-100 – Uberlândia – MG

Faculdade de Matemática VIII Curso de Especialização em Matemática

RESUMO

Neste trabalho apresentaremos o número Φ , em que ...6180339887,12

51=

+=Φ , suas

propriedades e exemplos de onde podemos encontrá-lo. Conhecido como número de ouro, teve a sua origem através da divisão de um segmento proposto por Euclides, o qual estaria dividido na “razão extrema e média”. A divisão de um todo em partes desiguais de acordo com a “razão extrema e média” parece produzir um equilíbrio na desigualdade, proporcionando uma harmonia de forma geral. Esta era a opinião de Leonardo da Vinci e da maior parte dos artistas e sábios do Renascimento. Os pitagóricos estudaram as relações entre os segmentos de um pentagrama e descobriram que este número tem muita importância na sua geometria. Em arquitetura é útil para entender a escala de medidas utilizadas em ergonomia que foi idealizada pelo arquiteto Le Corbusier em seus projetos. Até mesmo na natureza podemos encontrar esta harmonia, como na disposição das pétalas das rosas, no crescimento das conchas do nautilus, nas obras de grandes pintores e até mesmo na música. Em termos gerais, a Razão Áurea foi usada para que trouxesse a beleza visual ou auditiva. Palavras Chave: Razão áurea, número phi, Fibonacci

Edson

Edson

FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008 81

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem o objetivo de mostrar que a matemática está presente em nosso meio através de uma simples razão, e faremos isto por meio de um número conhecido como o número de ouro, o número Φ (phi).

Este é muito querido pelos matemáticos, astrônomos, físicos, biólogos, artistas que há anos o estudam, e ficam fascinados com cada descoberta, e a sua influência na arte, na arquitetura, na música, na geometria, na natureza e outros.

Apresentaremos além do número de ouro, a seqüência de Fibonacci que interage plenamente com o númeroΦ , e suas propriedades e aplicações.

Analisando a concha do náutilo (nautilus pompilius), por sinal de magnífica beleza, a disposição das folhas nos ramos das plantas, ou seja, a filotaxia, o pentagrama que aparece na maioria das flores e até mesmo em frutos como a maçã se cortada pela sua circunferência, os quadros como “A Mona Lisa” e “Sacramento da Última Ceia”, a procriação dos coelhos, na harmonia das notas musicais, e muitos outros, podemos observar que existe algo em comum, ‘A Razão Áurea’.

Grandes matemáticos como Euclides e Pitágoras, na Grécia Antiga, Leonardo de Pisa também conhecido como Fibonacci, o astrônomo Johannes Kepler, dentre outros estudiosos, até mesmo o físico Roger Penrose, trabalharam intensamente com esta simples razão e suas propriedades.

De fato, a Razão Áurea tem fascinado os estudiosos em todas as disciplinas e suas áreas, e tem mostrado que esta propriedade, a proporção, traz harmonia, atração visual e auditiva, ou seja, mostra a busca constante pela proporção ‘perfeita’, dando uma qualidade estética agradável às obras dos artistas, ao som dos acordes dos músicos e à beleza da natureza.

Edson

Claiton

82 FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008

CAPÍTULO I O NÚMERO DE OURO

A razão áurea, também conhecida como o número de ouro, teve a sua primeira definição, por volta de 300 a.C., dada por Euclides de Alexandria. Euclides definiu uma proporção derivada da divisão de um segmento no que ele chamou de “razão extrema e média”. Assim definiu: “Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o menor”.

De acordo com a figura acima, o segmento AB é maior que o segmento AC e ao

mesmo tempo o segmento AC é maior que o segmento CB. Usando a definição de razão extrema e média, teremos que a razão dos comprimentos de AB por AC é igual a razão dos

comprimentos de AC por CB, ou seja, CBAC

ACAB

= .

O símbolo usado a princípio para essa razão era a letra grega τ (tau) que significa “o corte”, entretanto, no início do século XX o matemático Mark Barr deu à razão o nome de Fi (Φ ), devido a ser a primeira letra grega do nome de Fídias, um escultor grego que viveu entre 490 e 430 a.C, que realizou o “Partenon de Atenas” e “Zeus”, no templo de Olímpia.

Para encontrarmos o valor para Φ , tomaremos o segmento AC = x e CB = 1. Desta forma, usando a definição de razão extrema e média, teremos:

011

1 2 =−−⇒=+ xxxx

x

Observando que Φ== xBCAC , a solução da equação quadrática acima nos dará o valor

paraΦ . As duas soluções para a equação são ...6180339887,12

51' =+

=x e

...6180339887,02

51'' −=−

=x . A solução positiva desta equação é a Razão Áurea,

denominada por Φ e a solução negativa será denominada por ϕ . Elevando Φ ao quadrado teremos Φ 2 = 2,6180339887... e o seu inverso

87...0,618033981 1 =Φ=Φ

− , isto é, ϕ−=Φ1 .

A Razão Áurea tem as propriedades únicas de produzir seu quadrado simplesmente somando 1 e o seu recíproco subtraindo 1. Além disso, temos que 11 −Φ+=Φ e 11 −Φ=Φ− .

Usando as propriedades das raízes da equação quadrática teremos o produto e a soma

das raízes, então, 144

451

251.

251'''. −=

−=

−=

−+=xx , ou seja, 1. −=Φ ϕ . Daí, temos que

ϕ− é o inverso de Φ e também que 122

251

251''' ==

−+

+=+ xx , ou seja, 1=+Φ ϕ .

O número Φ possui outras propriedades interessantes:

Edson

Edson


a) Somar duas potências inteiras consecutivas de Φ resulta na próxima potência de Φ . Já sabemos que Φ 2 = 1+Φ . Então, segue que:

Φ + Φ 2 = Φ .(1+Φ ) = Φ .Φ 2 = Φ 3; Φ 2 + Φ 3 = Φ 2.(1+Φ ) = Φ 2.Φ 2 = Φ 4; Φ 3 + Φ 4 = Φ 3.(1+Φ ) = Φ 3.Φ 2 = Φ 5; ... ; Φ n + Φ n+1 = Φ n.(1+Φ ) = Φ n. Φ 2 = Φ n+2. Logo, Φ n + Φ n+1 =Φ n+2.

b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo. Já vimos que Φ =1+Φ -1

Φ -2 + Φ -1 = Φ -1.(1+Φ -1) = Φ -1.Φ = Φ 0; Φ -3 + Φ -2 = Φ -2.(1+Φ -1) = Φ -2.Φ = Φ -1; Φ -4 + Φ -3 = Φ -3.(1+Φ -1) = Φ -3.Φ = Φ -2; ... ; Φ n + Φ n+1 = Φ n.(1+Φ ) = Φ n. Φ 2 = Φ n+2. com n < 0. Logo, Φ n + Φ n+1 =Φ n+2, com n < 0

c) A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a Φ produz o próprio Φ .

(Φ -1 + Φ -2) + (Φ -3 + Φ -4) + (Φ -5 + Φ -6) + ... = = Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + Φ -6 + ... + Φ -2n ..., = = 1 + Φ -2(Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ...). Onde Ν∈n . Considerando Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ... = x.

Daí, ⇒Φ=−−

⇒+Φ=Φ=−

⇒Φ

=−⇒Φ+= − 11

11

11.1 22

2

xx

xxxxxx

Φ=⇒ΦΦ

=ΦΦ+

=⇒Φ=−

⇒Φ=−+− xx

xxxx 21

11

11 .

Sendo Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ... = x = Φ , teremos na expressão: (Φ -1 + Φ -2) + (Φ -3 + Φ -4) + (Φ -5 + Φ -6) + ... = = Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + Φ -6 + ... = = 1 + Φ -2(Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ...) = = 1 + Φ -2 Φ = = 1+ Φ -1 = = Φ Logo, Φ -1 + Φ -2 + Φ -3 + Φ -4 + Φ -5 + Φ -6 + ... = Φ Além destas propriedades interessantes, podemos dividir um segmento na Secção

Áurea, utilizando régua e compasso, da seguinte maneira: 1º passo: Considere um segmento AB dado. Trace um segmento BD de modo que

BD seja a metade de AB .

Edson

Claiton


2º passo: Trace o segmento AD . Com centro em D e raio de medida BD trace um

arco e marque o ponto de intersecção E com o segmento AD .

3º passo: Com centro em A e raio de medida AE, trace um arco cortando AB em C.

Desta maneira, o segmento AB está dividido na razão extrema e média, ou seja, na Razão Áurea.

Podemos justificar esta construção supondo que AB mede uma unidade de

comprimento e, conseqüentemente, BD é a metade desta unidade. Sabemos que AD é a hipotenusa deste triângulo retângulo ABD e usando o Teorema de

Pitágoras teremos a sua medida. Segue que 222 BDABAD += , ou seja,

25

4112 =⇒+= ADAD .

Edson

Edson


O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que DE tenha o mesmo comprimento

que o lado DB, isto é, DE = DB = 21 , então,

215

21

25 −

=−=AE . Como AE = AC temos

215 −

=AC e, além disso, teremos que CB = 1 – AC, ou seja, 2

532

151 −=

−−=CB .

Substituindo os valores encontrados na razão CBAC , teremos que

251

4522

5315

253

215

+=

+=

−−

=−

−

=CBAC , que é exatamente o valor de Φ .

Podemos encontrar a Razão Áurea de outras maneiras, por exemplo, ao determinar o

valor da expressão ...11111 +++++ . Para determinar o valor desta expressão iremos considerar que o seu valor é igual a x.

Então, temos que ...11111 +++++=x , e elevando os dois termos desta

equação ao quadrado encontramos ...111112 +++++=x . Substituindo

...1111 ++++ por x temos a equação 011 22 =−−⇒+= xxxx . Mas esta é exatamente a equação que define a Razão Áurea, portanto, concluímos que como 1>x , o valor de x é igual a Φ .

Outra maneira de representar o número Φ , desta vez envolvendo fração, é através de

fração contínua. Considere a expressão

...111

11

11

11

11

++

++

++ , e denotamos o seu valor por x.

Assim,

...111

11

11

11

11

++

++

++=x e podemos notar que o denominador da segunda

parcela é o próprio x, portanto, temos a equação x

x 11+= . Multiplicando os dois lados por x

temos 011 22 =−−⇒+= xxxx . Novamente encontramos a equação que define a Razão Áurea.

Logo, como a fração contínua é maior do que 1, ela é igual a Φ .

Edson

Claiton


CAPÍTULO II A RAZÃO ÁUREA E FIBONACCI

Figura1: Fibonacci1

Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia por volta de 1170. Também era

conhecido por Leonardo Fibonacci (que significa filho de Bonaccio), e em alguns de seus manuscritos ele também era chamado de Leonardo Bigollo (ou Leonardi Bigolli Pisani), em que “Bigollo” significa ‘viajante’.

Pisa, no século XII, era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como Gênova e Veneza. Tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do Mediterrâneo, e por ali passavam mercadorias que vinham do interior e do ultramar, como as especiarias do Extremo Oriente que circulavam a caminho da Europa Ocidental.

O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da costa de África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia). Foi lá que Leonardo iniciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos. Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), o que muito contribuiu para expandir seus conhecimentos matemáticos, encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirindo conhecimento matemático do mundo árabe, tendo a oportunidade de estudar diferentes sistemas numéricos e métodos de operações aritméticas. E assim, dedicou os seus estudos aos números indo-arábicos, que incluíam o princípio do valor de lugar, que considerava um método superior a todos os outros. Isto depois de observar a grande dificuldade de expressar e operar números em algarismos romanos ou através do ábaco.

A partir daí, publicou seu livro “Liber Abaci” escrito em 1202, que introduziria o uso dos numerais indo-arábico, voltados para a vida comercial. Neste, Fibonacci explica a tradução dos numerais romanos para o novo sistema, bem como suas operações aritméticas, além de propor problemas comuns ao seu dia a dia. Também apresentou a sucessão de números que dele herdou o nome seqüência de Fibonacci, na qual cada termo resulta da adição dos dois termos que o antecedem originando assim os números 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ..., os quais falaremos em seguida.

Após esta obra, Fibonacci ficou famoso e teve um grande reconhecimento até mesmo do imperador romano Frederico II, conhecido como ‘Maravilha do Mundo’, por patrocinar a matemática e a ciência, e foi convidado a comparecer diante do imperador em Pisa e solucionar alguns problemas que até então eram considerados difíceis pelos matemáticos da corte. Leonardo de Pisa resolveu todos os problemas propostos e mais tarde escolheu dois destes problemas e descreveu-os em um livro chamado Flos.

1 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/fibonacc.htm

Edson

Edson


Em um livro sobre a geometria, Practica Geometriae, Fibonacci apresenta cálculos para a diagonal e a área de um pentágono, para os lados do decágono e outros que indiretamente interagem com a Razão Áurea, apresentando domínio sobre a geometria euclidiana e expandindo o uso das propriedades da Razão Áurea e de suas aplicações. Num destes estudos propôs um problema bastante conhecido, a procriação de coelhos.

Problema: Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual seria a população de coelhos na ilha após doze meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha morrido e não haja migração neste período?

Modelagem do Problema: Indicando um casal de coelhos pelo símbolo (♂,♀ ) e a respectiva idade (0 = recém-

nascidos, 1 = um mês de idade, * = pelo menos dois meses) acima e à direita do símbolo e n o número de meses transcorridos, podemos representar a evolução da população pela seguinte tabela:

Tabela 1: representação dos casais de coelhos por mês Como calcular a população no início do 6º mês? Como não há mortes, podemos

inicialmente contar com a população do 5º mês, e o próximo passo seria somar com o número de recém-nascidos. Este é exatamente o número de casais com pelo menos um mês no 5º mês, que é a população total do 4º mês. Denotando por nF a população no ésimon − mês, o argumento acima produz a equação 456 FFF += . Mas o raciocínio se aplica a qualquer mês, ou seja, toda a discussão pode ser refeita substituindo-se 6º por ésimon − , 5º por

ésimon −− )1( e 4º por ésimon −− )2( . Então podemos escrever a equação: 21 −− += nnn FFF para 3≥n . Ao contarmos o número de casais, teremos que 121 == FF .

Logo, temos uma equação de recorrência na sua forma completa: 11 =F , 12 =F ,

21 −− += nnn FFF para 3≥n . Perceba que podemos definir 0F a partir de 012 FFF += e condições iniciais, obtendo

011120 =−=−= FFF . Deste modo, podemos redefinir a relação de recorrência do seguinte modo: 00 =F , 11 =F , 21 −− += nnn FFF para 2≥n .

n População

1 (♂,♀)0

2 (♂,♀)1

3 (♂,♀)* (♂,♀)0

4 (♂,♀)*(♂,♀)1 (♂,♀)0

5 (♂,♀)* (♂,♀)* (♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0

6 (♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0

7 (♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0

Edson

Claiton


Resolução por Modelos Especiais:

Veja que a seqüência de Fibonacci K,,, 321 FFF é uma seqüência tal que

21 −− += nnn FFF para Nn∈ e 2≥n onde 00 =F e 11 =F . Seqüências deste tipo são chamadas de recorrentes e a equação acima de equação de recorrência.

Temos que a fórmula geral da equação de recorrência de uma relação de recorrência com coeficientes iC constantes em uma variável é:

( )ngfCfCfCf knknnnnnn ++++= −−−−−− L2211 . Observe que a equação de recorrência 21 −− += nnn FFF possui ( ) 0=ng , então, esta

relação de recorrência é homogênea e para podermos solucioná-la deveremos fazer a seguinte associação:

21 −− +=⇒= nnnnnF αααα .

( ) 01010 22221 =−−⇒=−−⇒=−− −−− αααααααα nnnn (equação característica).

Resolvendo a equação característica 0121 =−−αα , obtemos 2

511

+=α e

251

2−

=α e, conseqüentemente, 21

111

−− += nnn ααα e 22

122

−− += nnn ααα .

Mas, por outro lado, se uma função ( )nhFn = satisfaz uma determinada equação de recorrência linear homogênea, então qualquer múltiplo desta função também satisfaz esta equação. Para A e B constantes reais, teremos:

21

111

−− += nnn AAA ααα e 22

122

−− += nnn BBB ααα Somando as igualdades temos: 2

22

11

21

121−−−− +++=+ nnnnnn BABABA αααααα .

Observe que 21nn BA αα + é uma solução da equação de recorrência 21 −− += nnn FFF ,

mas não necessariamente solução de uma relação de recorrência cuja parte da equação é 21 −− += nnn FFF , pois para cada conjunto de valores para as constantes A e B temos uma

seqüência diferente. Por outro lado, espera-se que apenas uma única seqüência seja solução da relação de recorrência, daí entram em cena as condições iniciais 00 =F e 11 =F , e então:

Para 00 0 =⇒= Fn e 020

10 =+ αα BA

Para 11 1 =⇒= Fn e 121

11 =+ αα BA

Logo

=

−+

+

=+

12

512

51

0

BA

BA

Cuja solução é 5

1=A e

51

−=B

Obtemos então a fórmula para nnn BAF 21 αα += , ou seja,

nn

nF

−−

+=

251

51

251

51 para 0≥n .

Resolução por Funções Geradoras.

Edson

Edson


Consideremos novamente a seguinte relação de recorrência: 21 −− += nnn FFF para Nn∈ e 2≥n , em que 00 =F e 11 =F

Multiplicando 21 −− += nnn FFF por nx chegamos a 21 −− += nn

nn

nn FxFxFx .

Fazendo o somatório a partir de 2≥n , teremos

∑∑∑∑∑∞

=

−−

∞

=

−−

∞

=−

∞

=−

∞

=

+=+=2

22

2

2

11

22

21

2 n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xFxxFxxFxFxF .

Fazendo 1−= nu e 2−= nv , temos

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

+=0

2

12 v

vv

u

uu

n

nn xFxxFxxF .

Fazendo ( ) ∑∞

==

0n

nn xFxf , temos: ( ) ( )( ) ( )xfxFxfxxFFxf 2

010 +−=−− .

Substituindo 00 =F e 11 =F , vem:

( ) ( )( ) ( )

( )

( ))1(

)1(

)()()(

010

2

2

2

2

xxxxf

xxfxx

xfxxxfxxf

xfxxfxxxf

−−=⇒

=−−⇒

+=−⇒

+−=−−

Achando as raízes da equação 012 =+−− xx temos que 2

51−±

=x . Logo,

( ) =

+

+⋅

+

−−=

−−−⋅

+−−−=−+− xxxxxx

251

251

251

25112

=

++

+−−=

251

1

251

1 xx

−−

+−=

−−

−

+−

− xxxx2

5112

51151

2151

21 .

Logo, ( ) =

−−

+

+−

=−−

=

x

B

x

Axx

xxf

2511

2511

1 2

=

−−

+−

+−+

−−

=

xx

xBxA

2511

2511

2511

2511

( )

−−

+−

++

+−

−−

=

xx

BAxBA

2511

2511

251

251

⇒ ( ) ( )

−=⇒=+

=+

−+−

)(0

)(12

512

51

IIABBA

IBA

Edson

Claiton


De (I ), temos que ( ) ( )5

112

522

512

51=⇒=⇒

++

+− AAAA

De (II ), temos que 5

1−=B

Assim, ( )

−−

−

+−

=

xxxf

2511

15

1

2511

15

1 e, consequentemente,

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

−−

+=

000 251

51

251

51

n

n

n

n

n

nn xxxF

nn

nF

−−

+=⇒

251

51

251

51 , para 0≥n .

Esta expressão acima, é a fórmula redescoberta por Binet nos meados do século XIX,

já conhecida primeiramente no século XVIII, por Leonard Euler e Abraham de Moivre. Esta permite encontrar o valor para qualquer número na seqüência de Fibonacci.

Voltando ao problema dos coelhos, observe a figura 2:

Figura 2: Distribuição dos casais de coelhos2

O número de casais de coelhos com o passar dos meses segue uma seqüência que é

exatamente a de Fibonacci, assim, o número de pares total de coelhos é a soma desses números da seqüência até o mês desejado, conforme a figura 2.

A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., na qual cada termo (a partir do terceiro) é igual à soma dos dois termos anteriores, foi chamada de Seqüência de Fibonacci no século XIX pelo matemático francês Edouard Lucas.

Mas, esta seqüência não está limitada somente a este problema dos coelhos. Ela será encontrada em diversos fenômenos, como na óptica dos raios de luz ou índice de refração de luz (figura 3), a árvore genealógica de um zangão (figura 4), dentre outros.

2 Fonte: disponível em http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=199020

Edson

Edson


Figura 3: Refração da luz3 Figura 4: Árvore genealógica de um zangão4 Mas, o que mais chama a atenção é a relação da Seqüência de Fibonacci e a Razão

Áurea. À medida que aumentamos os números da seqüência de Fibonacci, a razão entre um número e o seu antecessor, varia em torno da Razão Áurea, cada vez mais aproximando do seu valor. Seja n a posição do número na seqüência, Fn o número de Fibonacci e Fn+1 o seu

sucessor, então a razão n

n

FF 1+ se aproxima de Φ quando n aumenta. Esta propriedade foi

descoberta por Johannes Kepler em 1611. Observe o gráfico (figura 5):

Figura 5: Convergência da razão entre os termos sucessivos de Fibonacci5

As razões vão se aproximando de um valor particular, quando n tende a infinito, e o

seu limite é exatamente Φ , o número de ouro. Para melhor entendermos esta propriedade, considere a fração contínua

...111

11

11

11

11

++

++

++ , mostrada anteriormente, cujo valor é igual a Φ .

3 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 119. 4 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 156. 5 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

Edson

Claiton


Nesta expressão, poderíamos calcular o valor de Φ por uma série de aproximações

sucessivas, da seguinte maneira: 00000,11= , 00000,212

111 ==+ , 50000,1

23

1111 ==+

+ ,

66666,135

1111

11 ==

++

+ , 60000,158

1111

11

11 ==

++

++ , 62500,1

813

1111

11

11

11 ==

++

++

+ ,

61538,11321

1111

11

11

11

11 ==

++

++

++ , 61904,1

2134

1111

11

11

11

11

11 ==

++

++

++

+ . E, assim por

diante, cada vez mais se aproximando de Φ . Estas aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente

iguais às razões entre os números da seqüência de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, 144, 233, ...,ou seja, ...,618033,1610987,

377610...,,

1321,

813,

58,

35,

23,

12,

11,1 = , e à medida que

avançamos para os termos maiores da seqüência, a razão tende para o valor de Φ .

Edson

Edson


CAPÍTULO III O TRIÂNGULO ÁUREO, O PENTÁGONO E O PENTAGRAMA

Considere o pentágono regular abaixo, e a partir de um de seus vértices trace duas

diagonais de modo que se obtenha um triângulo em que a base deste seja um dos lados do pentágono.

Figura 6: Triangulo áureo6

De acordo com a figura 6, temos três triângulos isósceles, ABC, ACD e ADE. Além

disso, os triângulos ABC e ADE são congruentes. A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S = (n – 2)180°, em que n é o

número de lados do polígono. Usando isto, teremos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540°, e por ser um pentágono regular todos os seus ângulos internos são iguais, logo cada um será igual a 108°. Além disso, °== 36)ˆ()ˆ( DAEmEDAm ,

°== 36)ˆ()ˆ( BACmBCAm , °= 36)ˆ( DACm e °== 72)ˆ()ˆ( CDAmDCAm , observe a figura 7.

Figura 7: Pentágono7

6 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Edson

Claiton


Traçando a bissetriz do ângulo D, teremos um triângulo como mostra a figura 8.

Figura 8: Traçando a bissetriz do ângulo D8

Seja F o ponto de intersecção dessa bissetriz com o lado AC do triângulo. Assim, DF é

o segmento de divide o ângulo D ao meio, de modo que °= 36)ˆ( FDCm , °== 72)ˆ()ˆ( FCDmDFCm . Logo, o triângulo CDF é um triângulo isósceles e também é

semelhante ao triângulo DAC (figura 8).

Figura 9: Triângulos semelhantes 9

Usando as relações entre triângulos semelhantes quanto aos seus lados homólogos de

acordo com os dados fornecidos na figura abaixo, temos que: xy

yz= . Mas, podemos observar

que sendo z = y + x a medida do segmento AC, y a medida do segmento AF e x a medida do

7 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 8 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 9 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Edson

Edson


segmento FC, teremos a seguinte razão: FCAF

AFAC

= , e desta forma dizemos que F divide o

segmento AC na extrema e média razão, ou seja, a Razão Áurea. Por isto, chamamos este triângulo de Triângulo Áureo.

Figura 10: Triângulos semelhantes10

Foi dito que o Triângulo Áureo tem ligação com o pentágono porque Euclides, trezentos anos antes de Cristo, propunha em seus Elementos, II Livro, Teorema 11, justamente o caminho inverso que dizia: construir um pentágono regular a partir de um triângulo isósceles usando a razão áurea para determinar os lados do triângulo. Ou seja, Euclides sabia, e tomava como fato natural, que os lados de um triângulo isósceles em que os ângulos iguais medem o dobro do terceiro estão na razão Áurea.

Euclides propôs a construção do pentágono regular a partir do Triângulo Áureo. O primeiro passo é construir uma circunferência que passe pelos três vértices do triângulo (e o centro da circunferência fica no ponto de encontro das mediatrizes do triângulo), observe a figura 11.

Figura 11: Construindo a circunferência11

10 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II 11 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Edson

Claiton


Agora, tracemos não somente a bissetriz do ângulo esquerdo da base como também a do direito. E vamos prolongá-las até que encontrem a circunferência. Com isto, determinaremos mais dois pontos sobre esta circunferência que, somados aos três correspondentes aos vértices de nosso triângulo, nos dá os cinco pontos exibidos na figura 12.

O arco AC é congruente ao arco AD, pois )ˆ()ˆ( DCAmCDAm = e também são o dobro do arco CD, pois a )ˆ(2)ˆ()ˆ( DACmDCAmCDAm == .

Figura 12: Construindo os vértices pentágono12

Podemos constatar que estes pontos dividem a circunferência em cinco arcos iguais,

pois a bissetriz de qualquer ângulo inscrito em uma circunferência divide o arco oposto pela metade. Portanto, estes pontos são os vértices do pentágono, observe a figura 13.

Figura 13: Construindo o pentágono13

Na figura acima encontramos dois pentágonos regulares (um no centro da figura, outro

obtido unindo-se os vértices situados sobre a circunferência), diversos triângulos Áureos, um


Edson

Edson


vasto conjunto de segmentos que mantêm a proporção áurea e, o pentagrama, a estrela de cinco pontas formada ao traçar as diagonais do pentágono.

Figura 14: Pentagrama14

O pentagrama é um dos símbolos mais antigos cultivados pela humanidade, muito

usada pelos pitagóricos para se identificar em suas seitas que muitas vezes eram secretas. Para eles tinha o significado de “boa saúde” e também considerado como símbolo na astrologia, misticismo e outras culturas, possuindo diversos significados.

Explorando o pentagrama, temos que EB = AD = x, x =y + z, y = z + w, de acordo

com a figura 15. Através da semelhança de triângulos, teremos wz

zy

yx

== .

Figura 15: Semelhança dos triângulos no pentagrama15

Na figura 15, temos zy

yx= e, se provarmos que esta razão é a razão áurea, teremos

então um triângulo áureo e, por conseqüência, o pentagrama também estará na mesma razão.

Seja yxt = , com x = z + y.

Temos que 1111 +=+=+=+

=tx

yyz

yyzt .


Edson

Claiton


Resulta que: 11+=

tt , ou seja, 012 =−− tt portanto:

Φ==+

= ...68,12

51t .

Logo, a razão t é chamada de razão áurea, assim o segmento AD está dividido em média e extrema razão.

Assim, para y = 1, temos que Φ=x . Na figura 16 teremos que, DC = 1 e Φ=AD .

Deste modo, podemos obter Φ

=Φ

=°212

1

18sen e 21

254 Φ=

Φ

=°sen , que serão usados

adiante.

Figura 16: Pentágono e suas medidas 16

Quanto ao pentágono (cinza) no interior da figura 15, procedemos da mesma maneira

que no pentágono ABCDE (vermelho), e dentro dele há outro pentagrama e assim sucessivamente.

Observe a figura abaixo.

Figura 17: Pentagramas17


Edson

Edson


Traçando as diagonais do pentágono regular formado no centro do pentagrama, o

resultado é um novo pentagrama, mostrado em vermelho. Depois, desenhemos no triângulo superior do pentagrama maior as bissetrizes de seus ângulos da base, as linhas verdes e amarelas da figura 17. Em cada ponto de encontro da bissetriz com o lado externo, desenhamos uma linha paralela ao lado do pentágono e assim sucessivamente traçam-se novas bissetrizes, infinitamente.

Começando no pentagrama interno, vamos unir os pontos de cruzamento das bissetrizes com as extremidades das paralelas ao lado do pentágono, as linhas mostradas na cor rosa. Repetindo o procedimento ao longo de todo o pentagrama, linha por linha, nas demais “pontas” da “estrela”, teremos um resultado que será parecido com a figura seguinte, também conhecida por “Estrela Pitagórica”.

Figura 18: Interação entre pentagramas18

No pentagrama encontramos outros pentagramas, triângulos e pentágonos. O número

de cada um desses elementos que pode ser encontrado no interior de um pentagrama tende para o infinito. Além disso, cada segmento de reta da figura 18 mantém uma relação Áurea com algum outro segmento da mesma figura.

Segundo a B. Piropo, colunista do Fórum PCs, o pentagrama sob a forma de símbolo místico vem sendo cultivado pela humanidade há séculos, e considerando que Euclides atribuía um valor divino à razão Áurea, é fato que por conseqüência ele tenha sido adotado como símbolo da comunidade pitagórica.

17 Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs 18 Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs

Edson

Claiton


CAPÍTULO IV PROPRIEDADES NO PENTÁGONO ÁUREO

O pentágono por ser farto em relação Áurea, possui diversas propriedades. Para mostrar estas propriedades vamos observar o pentagrama seguinte, considerando

R e r como os raios das circunferências circunscritas aos pentágonos A’B’C’D’E’ e PQRST, respectivamente, e PT com o comprimento igual a uma unidade.

Figura 19: Pentagrama ou triangulo triplo19

As propriedades são:

I) Φ=PA' Já sabemos que cada ângulo interno do pentágono é igual a 108°. Na figura 20, o triângulo A’AP é retângulo em A, °=°= 18'ˆ72ˆ' AAPeAPA .

19 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 39

Edson

Edson


Figura 20: Propriedade I 20

Usando a relação trigonométrica no triângulo retângulo temos que

PAPAsen

'21

'18 2

1

==° .

Dado que Φ

=°2118sen , ver página 23, e substituindo na expressão acima, teremos

Φ=⇒Φ

= PAPA

'21

'21 .

Portanto, podemos afirmar que Φ=PA' .

II) 2Φ

=r

OA

De acordo com a figura 21, temos que r = OP. Usaremos o triângulo POA para

relacionar OA e OP.


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 21: Propriedade II 21

Assim, teremos que OPOAsen =°54 , como

254 Φ

=°sen , ver página 23, e substituindo

este resultado e também OP na igualdade acima, teremos r

OA=

Φ2

.

Portanto, a propriedade é válida.

III) 2'Φ=

rOA

Observe que OA’ = R e 1 872,618033982 +Φ==Φ . Considerando os triângulos A’OT e A’TS notamos que eles são semelhantes.


Φ Φ

Edson

Edson


Figura 22: Propriedade III 22

Daí, concluímos que 11 +Φ

=Rr .

Substituindo nesta pelos dados acima teremos:

222

'''1

Φ=⇒Φ=⇒Φ

=r

OArOAOAr .

IV) Uma diagonal tal como QS tem comprimento igual a Φ .

As diagonais QS, SP, PR, RT e TQ são congruentes.


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 23: Propriedade IV 23

Considere os triângulos PRT e RQZ do pentágono PQRST. Estes são semelhantes e por

isto, podemos afirmar que °== 72ˆˆ QZRZRQ . Portanto, QR, PT e ST são congruentes, pois são os lados do pentágono e pelo triângulo isósceles TSZ temos que ST é congruente a ZT.

Logo, RZZT

ZTRT

= e isto mostra que Z corta o segmento RT na extrema e média razão.

Iremos mostrar agora que RT é um segmento áureo. Seja d a medida da diagonal RT e sabemos que ZT = 1.

Daí, 011

11

2 =−−⇔−

=⇒= ddd

dRZZT

ZTRT . Esta equação nos dá o valor de Φ .

Resultado, Φ=+

=2

51d . Está provado que a diagonal RT tem o comprimento igual

a Φ . Logo, QS também tem o comprimento igual a Φ .

V) Φ= 2'OAOA

Os triângulos AQS e AOB’ são semelhantes.


Φ Φ

Edson

Edson


Figura 24: Propriedade V 24

Daí, podemos afirmar que QAOA

QSOB

=' , e sabemos que OA’ = OB’ = R, Φ=QS (pela

propriedade anterior) e QA é a metade de PQ.

Usando os dados fornecidos na relação QAOA

QSOB

=' , teremos que

Φ=⇔=Φ

2'

21

'OAOBOAOB , mas como OB’ = OA’, segue que Φ= 2'

OAOA .

VI) Se X é o ponto médio de intersecção de duas diagonais PR e QS, então:

Φ=Φ=Φ=XT

XBeXRPX

XQSX ', .

Teremos que provar a veracidade das três razões.

Primeira razão: Φ=XQSX

É fato que SR = SX = 1, pois o triângulo SRX é isósceles.


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 25: Propriedade VI (a) 25

Observe na figura 25 e note que os triângulos PRQ e QSR, e também PXQ e SXR são

congruentes, daí, PR = QS e PX = SX.

Figura 26: Propriedade VI (b) 26


Φ Φ

Φ Φ

Edson

Edson


Além disso, na figura 26, os triângulos PSQ e XPQ são semelhantes, então:

Φ=⇔=Φ

⇒=XQPX

XQPXXQPQ

PXQS 1 .

Como PX = XS, temos que Φ=XQSX .

Figura 27: Propriedade VI (c) 27

Segunda razão: Φ=XRPX

Agora, considerando os triângulos PRQ e QRX da figura 27, vemos que eles são

semelhantes.

Portanto, QRPR

XRPQ

= .

Mas, PX = PQ.

Daí, Φ=Φ

=1XR

PX .


Φ Φ

Edson

Claiton


Terceira razão: Φ=XT

XB'

Observe que os triângulos PTB’ e QXB’, na figura 28, são semelhantes.

Figura 28: Propriedade VI (d) 28

Então, QP

QBXT

XBQPXT

QBXB ''

''

=⇒= .

Dado que Φ=QB' e PQ = 1, teremos que:

Φ=Φ

==1

''QP

QBXT

XB

Portanto, Φ=XT

XB'

VII) Se SQ prolongado encontra A’B’ em V, então, uma vez que VS é paralelo a A’D’,

Φ===='

''''

'SD

SBXT

XBQP

QBVA

VB .


Φ Φ

Edson

Edson


Os triângulos A’B’P e VB’Q, na figura 29, são isósceles. Portanto, 1''' +Φ== PBBA e Φ== '' QBVB .

Estes são triângulos áureos, daí, VQ

PAQBPB

VBBA '

''

'''

== .

Figura 29: Propriedade VII (a) 29

Segue que Φ=ΦΦ

=Φ+Φ

=21

'''

VBBA e implica que Φ==

VQPA

QBPB '

''

Sendo 1'''' +Φ=+= VBVABA e Φ='VB , temos que 1' =VA .

Podemos concluir que Φ=Φ

=1'

'VA

VB .

Sabemos que Φ=QB' e QP = 1.

Logo, Φ=Φ

=1

'QP

QB .

Os triângulos B’VQ e XPT, na figura 30, são triângulos semelhantes.


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 30: Propriedade VII (b) 30

Usando a relação de semelhança PTVX

XTXB=

' e os dados PT = 1 e Φ=VX ,

concluímos que:

Φ=Φ

=1

'XT

XB .

Os triângulos TSD’ e VB’S, da figura 31, são semelhantes.

Portanto, ST

VBSD

SB ''

'= e como Φ=VB' e ST = 1, temos que Φ=

Φ=

1''

SDSB .


Φ Φ

Edson

Edson


Figura 31: Propriedade VII (c) 31

Portanto, provamos que Φ===='

''''

'SD

SBXT

XBQP

QBVA

VB .

VIII) Os comprimentos dos seis segmentos, B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, estão em progressão geométrica.

22

13

1''''

−

−

Φ==Φ=

Φ=Φ=Φ=

XZRSSBRXRBDB

Observe na figura 32 que '''' SDRSRBDB ++= .


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 32: Propriedade VIII (a) 32

Substituindo os valores que temos para B’R, RS e SD’, encontraremos o valor para

B’D’, então:

3

2

2

''.''

)1(''1''

''''

Φ=

ΦΦ=

+ΦΦ=Φ+Φ=

Φ++Φ=++=

DBDBDBDB

SDRSRBDB

Para B’S temos que RSBRSB +=' , então:

2'1'

''

Φ=

+Φ=+=

SBSB

RSRBSB

Para B’R temos que Φ=RB' , pois B’R é congruente a A’P e no pentagrama foi dado

que Φ=PA' . Sabemos que PT = 1 (dado no pentagrama) e que RS é congruente a PT. Portanto, RS = 1.


Φ Φ

Edson

Edson


Figura 33: Propriedade VIII (b) 33

Temos que os triângulos QRX e A’RP, na figura 33, são semelhantes. Daí, podemos

afirmar que RPRX

RAQR

='

. Note que A’RP é um triângulo isósceles, então Φ== RPPA' ,

QR = 1, 21' Φ=+Φ=RA . Substituindo estes dados na razão de semelhança temos:

122

11'

−Φ=Φ

=ΦΦ

=⇒Φ

=Φ

⇒= RXRXRPRX

RAQR

Portanto, 1−Φ=RX


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 34: Propriedade VIII (c) 34

Os triângulos RXZ e RPT, na figura 34, são semelhantes, logo PTXZ

RPRX

= . São dados

os valores para RX, PT e RP, assim, 211

1−

−−

Φ=ΦΦ

=⇒=ΦΦ

⇒= XZXZPTXZ

RPRX .

Portanto, 2−Φ=XZ

Concluímos que: 22

13

1''''

−

−

Φ==Φ=

Φ=Φ=Φ=

XZRSSBRXRBDB

.

De acordo com o que mostramos, a seqüência formada pelas medidas dos segmentos B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, ),,1,,,( 2123 −− ΦΦΦΦΦ , está em progressão geométrica de razão 1−Φ=q . IX) O comprimento de um lado do pentágono A’B’C’D’E’ é 2Φ

De fato, temos que no triângulo A’B’P, A’B’ é o lado de pentágono A’B’C’D’E’, e

mais, sabemos que A’B’P é semelhante ao triângulo PA’Q, daí, PQ

PAPA

BA ''''= .


Φ Φ

Edson

Edson


Figura 35: Propriedade IX 35

As medidas dadas são Φ=PA' e PQ = 1.

Daí, 2''1

''''''

Φ=⇒Φ

=Φ

⇒= BABAPQ

PAPA

BA

Como 2'' Φ=BA e A’B’ é um dos lados do pentágono, podemos afirmar que o

comprimento do lado do pentágono A’B’C’D’E’ é igual a 2Φ .

X) 2Φ=rR .

No pentagrama abaixo, os triângulos A’SD’ e E’TO são semelhantes.


Φ Φ

Edson

Claiton


Figura 36: Propriedade X 36

Daí, TOSD

OEDA ''

''= . Já sabemos que 312'' Φ=+Φ=DA , Φ='SD , E’O = R e TO = r.

Portanto, 233'

'''

Φ=ΦΦ

=⇒Φ

=Φ

⇒=rR

rRTOSD

OEDA .

XI) 2=OAOH

Dobrando-se o triângulo A’PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aos outros triângulos correspondentes de modo que A’,B’,C’,D’ e E’ encontrem-se em H, obtém-se uma pirâmide de altura OH (figura 37).

Figura 37: Pentagrama dobrado 37


Φ Φ

Edson

Edson


Planificando a pirâmide teremos o pentagrama, figura 38.

Figura 38: Propriedade XI 38

Usaremos as seguintes propriedades que foram mostradas anteriormente.

2Φ

=r

OA

2'Φ=

rOA

Φ= 2'OAOA

Observe que a medida AH da pirâmide é igual a AA’ no pentagrama, e que OA’ = R. Considerando as propriedades anteriores e o pentagrama na figura 38, temos que:

OARAARAAOAOAAAOA −=⇒=+⇒=+ '''' . Dividindo a equação por OA e fazendo as substituições necessárias temos que:

12'1''−Φ=⇒−=⇒−=

OAAA

OAR

OAAA

OAOA

OAR

OAAA .

Na pirâmide (figura 37) temos o triângulo retângulo AHO. Aplicando o Teorema de

Pitágoras, segue que 222 OAOHAH += . Dividindo a equação por OA2 teremos:

11122

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

=

⇒−=⇒+=⇒+=

OAAH

OAOH

OAAH

OAOH

OAOH

OAAH

OAOA

OAOH

OAAH .

A razão OAOH é o que procuramos e

OAAH foi calculado acima, daí:

37 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 40. 38 Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II

Edson

Claiton


( )

.24

4444)1(444

11441121

2

222

2

22

2222

=⇒=

⇒Φ−+Φ=

⇒Φ−+Φ=

⇒Φ−Φ=

⇒−+Φ−Φ=

⇒−−Φ=

⇒−

=

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAOH

OAAH

OAOH

Portanto, 2=OAOH .

XII – Φ=r

OH

Considerando que 2=OAOH , teremos que OH = 2. OA.

Pela 2ª propriedade, vimos que 2Φ

=r

OA

Daí, temos que 2

2 Φ=⇒Φ=

rOArOA .

Substituindo AO na expressão OH = 2 OA, teremos:

Φ=⇒Φ=⇒Φ

=r

OHrOHrOH2

2 .

Desta maneira provamos que Φ=r

OH .

Edson

Edson


CAPÍTULO V RETÂNGULO ÁUREO OU RETÂNGULO DE OURO

Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo com a seguinte propriedade: “Se de um

retângulo ABCD, suprimirmos um quadrado, como ABEF, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.”

Considere um retângulo áureo ABCD, de lado AB = a e AD = a + b Retirando o quadrado ABEF, como mostra a figura, teremos um outro retângulo

EFCD.

Figura 39: Retângulo Áureo 39

O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. Então, vale a

proporção: EDEF

ABAD

= . Substituindo os valores de AB e AD, ED e EF, teremos:

ba

aba

EDEF

ABAD

=+

⇒= . Daí, 02222 =−−⇒+= babababa .

A solução desta equação em a é exatamente o número Φb . Daí, Φ=Φ

==+

bb

ba

aba .

Isto significa que o retângulo de lados a + b e a é áureo, e o retângulo de lados a e b também é um retângulo áureo.

Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc., como mostra na figura 40, a seguir.

Figura 40: Retângulo Áureo 40


a b

a

a – b

2b – a

b

a

a

Edson

Claiton


Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação

ba

aba=

+ , formaremos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., sendo baa −=2 e

ababa −=−= 223 , em geral an = an – 2 – an – 1. Trata da seqüência a + b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b, 5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a,.... Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos

desta seqüência, são os lados de um retângulo áureo. Portanto, o processo anterior de retirar quadrados de retângulos áureos conduz a uma

seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores.

Figura 41: Construção do Retângulo Áureo 41

Constrói-se primeiramente AE = AB= a e em E trace EF perpendicular a AD. Marque

o ponto G, ponto médio do segmento AE e traçe o arco FD onde D está na reta AE e E é interno ao segmento AD. Como FG é a hipotenusa do triangulo EFG temos que

25

45

2

22

222 aFGaFGaaFG =⇒=⇒

+= .

Daí, Φ=+

=+=+= aaaaGDAGAD2

)51(2

52

.

Portanto, Φ=Φ

=a

aABAD , logo, o retângulo é áureo.

Uma maneira mais simplificada de se construir o retângulo áureo a partir de um quadrado, é dada pela construção abaixo:

Consideraremos inicialmente um quadrado ABCD. Marque os pontos médios E e F dos lados AB e CD, respectivamente, e uma estes pontos. Trace a diagonal FB do retângulo EBDF

Prolongando o lado CD e utilizando um compasso, trace um arco de raio FB e centro em F. Chame de G o ponto de encontro do arco com o segmento prolongado.

Complete o retângulo BDGH e una ao quadrado ABCD gerando o retângulo AHGC. Este é um retângulo áureo.


2a

a

Edson

Edson


Figura 42: Construção do retângulo áureo 42

Veja que se o lado AB = 1, teremros que 21

=FD e pelo teorema do Pitágoras temos

que 251

21 2

22 =⇒+

= FBFB .

Como FB = FG, então 25

=FG .

Assim, o lado CG = CF + FG, ou seja, Φ=+

=+=2

5125

21CG .

Logo, Φ=Φ

=1

1ACCG , o que mostra que o retângulo é áureo.

Podemos encontrar o retângulo com aproximações áureas em diversos lugares como o

Paternon construído na Acrópole de Atenas como um templo sagrado para o culto de Atenas Paternos. Suas dimensões ajustam-se perfeitamente a um Retângulo Áureo, a altura da fachada, do alto de seu tímpano até a parte inferior do pedestal embaixo das colunas, também se divide numa Razão Áurea com a parte de cima das colunas (figura 43).

Figura 43: Partenon 43

42 http://www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B

Edson

Claiton


Muitos artistas que viveram depois de Fídias usaram a proporção Áurea em seus

trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e pressupõe que ele a usou em muitos de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa, por exemplo, acredita-se que há a proporção áurea em várias situações.

Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este se aproxima de um retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e teremos novamente a proporção (figura 44).

Figura 44: Mona Lisa 44

Há a possibilidade do retângulo de ouro aparecer envolvendo a cabeça e parte do colo,

e do colo com parte do rosto, veja a figura 45.

Figura 45: Mona Lisa 45

43 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070101.htm 44 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm 45 Fonte: Cena do filme Donald no país da Matemática

Edson

Edson


CAPÍTULO VI ESPIRAL LOGARÍTMICA

A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas. Para obter a espiral a partir de triângulo áureo, usaremos um triângulo isósceles ABC

com ângulos da base de 72o

e ângulo do ápice de 36° que é conhecido como triangulo áureo, o que já foi demonstrado anteriormente no pentagrama.

A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica. Para isto, traçaremos uma bissetriz no ângulo B da base do triângulo encontrando AC em D, sendo D o ponto que divide AC na razão áurea, e teremos outro triângulo áureo BCD. Neste faremos o mesmo processo, e assim formaremos um número infinito de triângulos áureos. Este processo converge para um ponto chamado de pólo, que é o pólo de uma espiral logarítmica passando pelos vértices destes triângulos, observe a figura 46.

Figura 46: A espiral logarítmica e os triângulos áureos 46

Além disto, neste triângulo surge uma seqüência obedecendo a Seqüência de

Fibonacci, 21 −− += nnn FFF . Tomando HG unitário, então Φ=1GF , 11 +Φ=FE , 12 +Φ=ED , 23 +Φ=DC , 35 +Φ=CB , 58 +Φ=BA .

Já sabemos que o Retângulo Áureo forma outros retângulos áureos e, a partir daí, podemos obter a espiral no retângulo áureo.

Para construir uma espiral inscrita no retângulo, iremos seguir os mesmos passos para a construção do retângulo áureo. Tendo o retângulo dividido em infinitos outros retângulos áureos, estaremos formando uma seqüência de quadrados dispostos em uma espiral logarítmica, esta espiral é formada pelos arcos criados ao dividir o retângulo em outros cada vez menores. Veja a construção abaixo (figura 47).

46 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 166.

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Considere o retângulo abaixo onde a razão entre a largura L e a altura H seja justamente Φ . Esse é um retângulo áureo. Rebatendo um lado de altura H, obtemos um

quadrado e outro retângulo áureo, este de lados L1 e H1. Pois Φ=1

1

HL . Repetindo o processo

no segundo retângulo áureo, obtemos outro quadrado e outro retângulo, também áureo, sendo

Φ=2

2

HL . Obtendo retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto que

chamamos de pólo da construção.

Figura 47: Construção da espiral inscrita no retângulo áureo 47

É fácil ver que esse pólo é o encontro de todas as diagonais maiores de todos os retângulos áureos da construção. Os matemáticos deram nome a esse pólo, ele é chamado de “olho de Deus”.

A curva que leva ao pólo aproxima-se de uma espiral logarítmica que René Descartes chamava de “espiral equiangular”, pois traçando qualquer reta a partir do pólo ela corta a curva sempre com o mesmo ângulo (α ).

Dado um ponto O, a espiral equiangular é uma curva tal que a amplitude do ângulo α formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a reta OP é constante.

A espiral logarítmica é uma espiral cuja equação polar é dada por )cot(αθaer = , onde a é a distância da origem do referencial ao ponto inicial da espiral ( 0=θ ) e α é o ângulo constante de abertura da espiral e θ é uma variável independente variando de ∞− a ∞+ , de modo que a curva tenha comprimento ilimitado. Para o ângulo °= 90α , a curva formará uma circunferência.

47 Fonte: http://www.fei.edu.br/~psergio/Projetos-de-Formatura-2007-1/Monografias-Projetos-I-2007-1/TCC-Fibonacci.doc

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Figura 48: Espiral equiangular 48

A espiral logarítmica é conhecida também como a espiral do crescimento ou a spira

mirabilis. Esta espiral é relacionada aos números de Fibonacci, à relação dourada, e aos retângulos dourados, e chamada às vezes de espiral dourada. Este padrão de crescimento é chamado de “lei da natureza”. A maioria dos cornos dos animais, as garras, os caracóis, entre outros exemplos, também são, basicamente, espirais equiangulares.

Encontramos uma aproximação da espiral logarítmica em vários outros lugares da natureza. De girassóis, conchas do mar e redemoinhos a furacões e galáxias espirais gigantes. Os falcões usam essa propriedade quando atacam suas presas. Acredita-se que os falcões-peregrinos, entre as aves mais rápidas da Terra, sobrevoam em forma de uma espiral logarítmica, mantendo a visão fixa a sua presa.

Figura 49: As galáxias 49

48 Fonte: http://www.atractor.pt/mat/conchas/texto1.htm 49 Fonte: http://www.cf-sebastiao-gama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/nouro/apnouro.htm

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Figura 50: Os náutilus 50

Figura 51: Chifres de carneiros 51 Além desta espiral, existe a espiral retangular. Na figura 51, o segmento OA é unitário, 10 =Φ=OA , 1−Φ=AB , 2−Φ=BC ,

3−Φ=CD e assim sucessivamente. O ângulo entre esses segmentos é de 90º, por isto a chamamos de espiral retangular (figura 52).

Os segmentos vão diminuindo indefinidamente até o pólo, no ponto P.

Figura 52: Espiral retangular 52

Esta espiral possui propriedades tais como: – Todos os pontos de dobra de número par recaem sobre OB e os de número ímpar

recaem sobre AC . O ponto de dobra é o ponto onde a espiral faz um ângulo de 90º.

50 Fonte: http://blog.hiro.art.br/index.php?paged=2&s=avra 51 Fonte: http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/2573 52 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 73.

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O primeiro ponto de dobra é no ponto A, o segundo no ponto B, o terceiro no ponto C, o quarto no ponto D, e assim sucessivamente.

De acordo com a figura 52, o primeiro ponto de dobra, A, está sobre AC , o segundo ponto, B, recai sobre OB , o terceiro ponto de dobra, C, recai sobre AC , o quarto ponto de dobra, D, recai sobre OB .

Portanto, se o número do ponto de dobra for par, recai sobre OB e se o número for ímpar recai sobre AC .

– OB e AC são mutuamente perpendiculares. Destaque os triângulos retângulos OAB e ABC na figura 52. Estes triângulos são

semelhantes, pois são retângulos e BCAB

ABAO

= ,

ΦΦ

=Φ −

−

2

11 . Daí, como ABBC⊥ , temos que

ACOB⊥ .

– o pólo da espiral é a intersecção de OB e AC . Os pontos de dobra estão sobre OB e AC e estes pontos tendem ao ponto P, o qual é

a intersecção de OB e AC , daí podemos dizer que P é o pólo da espiral. – cada novo segmento da espiral completa um triângulo cujos outros dois lados são

segmentos de OB e AC . Esses triângulos são todos semelhantes, sendo cada um deles a metade do retângulo áureo.

Os triângulos formados são retos e para cada triângulo a razão entre os seus catetos é igual a Φ -1. Portanto, os triângulos são semelhantes.

Se prolongar BC e subir uma perpendicular à OA , formaremos um retângulo áureo e OB é a diagonal deste retângulo. Então, o triângulo OAB é a metade do retângulo áureo. O mesmo acontece para os demais triângulos.

– O comprimento da espiral de A a P, na escala OA =1, é Φ . O comprimento da espiral de A a P é igual a Φ -1 + Φ -2 + Φ -3 + Φ -4 + Φ -5 + ... = Φ ,

e esta é a propriedade “A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a Φ produz o próprio Φ ”, mostrada na página 4.

– A razão de OP por BP é igual Φ 2.

De fato, os triângulos OAP e BCP são semelhantes, então, BCOA

PBOP

= .

Dado que 1=OA e 2−Φ=BC , teremos 22

1Φ=

Φ= −PB

OP .

Interessante perceber que a espiral retangular se encaixa na espiral logarítmica,

conforme a figura seguinte.

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Figura 53: Espirais logarítmica e retangular 53

Jacob Bernoulli (1654-1705) chamou a esta curva admirada por ele, de Spira Mirabilis

(Espiral Maravilhosa). Ele até pediu que a sua forma e o lema que atribuiu a ela “Eadem mutato resurgo” (embora mudado, ressurjo o mesmo), fossem gravados em seu túmulo. 54

O lema descreve uma propriedade fundamental exclusiva da espiral logarítmica, ou seja, ela não altera seu formato à medida que seu tamanho aumenta. Esta característica é conhecida como auto-similaridade.

53 Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 169. 54 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 137.

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CAPÍTULO VII A NATUREZA E O NÚMERO DE OURO

Já observou como estão dispostas as folhas de algumas plantas ou até mesmo a

distribuição das pétalas de rosas? A fitolaxia é um termo da botânica que inclui a disposição da folhas nos ramos das

plantas. O meristema apical é responsável pelo crescimento da planta e como estão no ápice e se reproduzem por divisão, dão origem a novas células que formam os tecidos que por sua vez fazem as plantas crescerem. Um meristema pode dar origem a um galho, a um ramo ou a uma flor. Um galho dará origem a diversos outros galhos e ramos. Um ramo dará origem a diversas folhas. E uma flor dará origem a diversas pétalas cercando uma porção circular onde se distribuem as sementes.

Considere um ramo de uma planta qualquer que cresça verticalmente e que deste ramo tenha brotado uma folha, como o da figura abaixo.

Figura 54: Disposição das folhas de um ramo55

O ramo continuará a crescer verticalmente e, acima da única folha, brotarão outras.

Mas, para que estas folhas brotem e não prejudiquem as outras, estas não podem nascer de maneira regular, já que os arranjos, regulares e simétricos não são os ideais, pois prejudicariam todo o crescimento da planta ao receber luz e água, fazendo sombra e impedindo que a folha abaixo receba a água.

Para que o crescimento da planta não fique prejudicado há a divergência das folhas, ou seja, a separação angular das bases de duas folhas sucessivas no talo, medida através de uma espiral traçada da raiz da planta para o ponto de crescimento.

Em 1993 dois matemáticos franceses, Douady e Couder, demonstraram matematicamente que este ângulo é 222º 29’ 34’’.

55 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835

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Figura 55: Ângulo formado entre as folhas do ramo 56

Cada nova folha é gerada pelo meristema fazendo um ângulo de 222º 29’ 34’’ com a

que fica abaixo. Mantendo sempre este ângulo com a folha que a antecede, o ramo que cresce na vertical conseguirá fazer com que suas folhas capturem cada raio de sol e cada gota de chuva. O ramo, após o nascimento da sexta folha, ficaria com o aspecto mostrado esquematicamente, na figura abaixo e um exemplo é o girassol:

Figura 56: Disposição da folhas 57 Figura 57: Girassol 58

Se considerarmos p o número de voltas da espiral e q sendo o número de bases de

folhas pelas quais a espiral passou, excluindo a primeira, então qp é uma fração característica

da planta, ou seja, a divergência das folhas. O numerador e denominador desta fração tendem

a ser números da seqüência de Fibonacci, ,...218,

135,

83,

52,

31,

21 e assim sucessivamente.

Várias plantas podem ser dispostas com este tipo de crescimento como as gramíneas

comuns que tem a fração igual a 21 , as ciperáceas sendo

31 , as frutíferas como as macieiras

que tem a fração igual a 52 , tanchagens igual a

83 , liliáceas com

135 .

56 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835 57 Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835 58 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#quote

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Figura 58: Liliáceas 59

De modo geral, podemos dizer que em muitas plantas os ramos e galhos crescem em quantidades baseadas nos números da sucessão de Fibonacci. Esquematizando, teremos a representação da seqüência de Fibonacci na figura abaixo:

Figura 59: A distribuição dos ramos e a Seqüência de Fibonacci 60

Estes números não ficam restritos só na disposição das folhas e galhos, aparecem também no número de pétalas de certas flores como nos seguintes exemplos:

Figura 60: Íris com 3 pétalas 61 Figura 61: Jasmim Manga com 5 pétalas 62

Figura 62: Tasneira com 13 pétalas 63 Figura 63: Margarida com 34 pétalas 64

59 Fonte: http://floraisdiamantinos.blogspot.com/2007/07/alo-veramais-uma-beno-da-natureza.html 60 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm 61 Fonte: http://www.buques.com.br/fotos_de_flores.html 62 Fonte: http://fotola.com/berylium/sidbond/document-sidbond41448ed857f0a.html

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O número áureo, a seqüência de Fibonacci, e a espiral logarítmica estão presentes em

toda a natureza, sejam nas plantas, nos animais e no ser humano. Esta bela curva, espiral equiangular, estudada pelos matemáticos há centenas de anos é

representada na natureza há milhares de séculos. Tomando como exemplo a concha, observamos que as medidas dos segmentos que unem o centro da concha aos pontos da concha aumentam, mas as amplitudes dos ângulos formados por esses segmentos e as tangentes à concha mantêm-se, ou seja, as conchas seguem uma espiral equiangular ou logarítmica.

É comum encontra-la nos flósculos das margaridas (figura 64), e mais visível ainda nos girassóis (figura 65), também na Equinácea Púrpura (figura 66), popularmente conhecida como purpurea ou flor de cone.

Figura 64: Margarida 65 Figura 65: Girassol 66 Figura 66: Equinácea 67 As sementes destas flores têm o formato da espiral equiangular. Elas se distribuem

regularmente, aparentemente em circunferências concêntricas e seguindo certa lei de crescimento que faz com que o arranjo fique perfeitamente regular seja qual for seu tamanho. Esquematicamente, o aspecto é parecido com o da figura abaixo:

Figura 67: Disposição das sementes de uma flor 68

63 Fonte: http://serra-da-adica.blogspot.com/2007/09/dittrichia-viscosa.html 64 Fonte: http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm 65 Fonte: ampliação da foto disponível em http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm 66 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html 67 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

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Porém, se escolhermos um raio qualquer, uma linha reta que parta do centro em

direção ao extremo, veremos que não encontraremos sementes “alinhadas” sobre ela. Observe cada etapa na figura 68, e verá que não há sementes alinhadas.

Figura 68: Etapas da distribuição das sementes 69

68 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm 69 Cenas animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm

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A distribuição destas sementes é feita de acordo com a espiral equiangular, também é conhecida como “Espiral de Fibonacci”, pois o ângulo usado para dispor cada nova semente foi justamente um arranjo baseado no ângulo de 222,492º ou seu replemento, 137,508º, o que dá no mesmo que configura a Razão Áurea com os 360º da volta completa da circunferência.

Segue o esquema 70:

70 Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm

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Em torno desta espiral existem infinitas outras espirais assim formando o flósculo das

flores. Observe o esquema 71:


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E assim sucessivamente até preencher por completo, como mostra a figura abaixo.

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Figura 69: Espirais formando o flósculo 72

Este mesmo processo ocorre em diversas outras plantas, assim como nas pinhas,

disposição das pétalas das rosas, romanescos e diversos outros. Por exemplo:


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Figura 70: Pinha 73

Figura 71: Rosas 74 Figura 72: Romanesco 75

É interessante como a espiral equiangular não está presente somente nas plantas,

aparece também no corpo humano e nos animais, de modo geral, em toda a natureza. Exemplo disto pode ser visto na orelha de ser humano, nos caramujos, nos chifres de

carneiros, e muitos outros.

73 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html pinha 74 Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm 75 Fonte: http://www.laputanlogic.com/articles/2006/04/23-0207-5337.html

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CAPÍTULO VIII OS SÓLIDOS REGULARES E O NÚMERO Φ

Figura 73: Sólidos regulares 76

Um sólido, ou poliedro (do grego “pulúedros”, ou “aquele que tem muitas faces”) é

dito “regular” quando todas as suas faces são idênticas e formadas por polígonos regulares, ou seja, que apresentam todos os lados e todos os ângulos internos iguais. O exemplo clássico é o cubo, ou hexaedro, com suas seis faces em forma de quadrados.

Não há muitos poliedros regulares. Para ser exato há apenas cinco: o tetraedro (com quatro faces formadas por triângulos eqüiláteros), o hexaedro ou cubo (com seis faces formadas por quadrados), o octaedro (com oito faces formadas por triângulos eqüiláteros), o dodecaedro (com doze faces formadas por pentágonos regulares) e o icosaedro (com vinte faces formadas por triângulos eqüiláteros).

Estes poliedros regulares foram estudados por Platão quatrocentos anos antes de Cristo e por isso são conhecidos como “sólidos platônicos”. Os cinco sólidos platônicos são mostrados na figura seguinte.

Figura 74: Sólidos Platônicos 77

Estes poliedros também são conhecidos por representarem os cincos elementos da natureza. Platão concebia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água, (figura 75), e estabelecia uma associação mística entre estes e os sólidos. Portanto, associava o Tetraedro ao Fogo porque, segundo Platão, o átomo do fogo teria a forma de um poliedro com 4 lados; o Cubo à Terra porque ele acreditava e afirmava que os átomos de terra seriam cubos, permitindo ser colocados lado a lado, dando solidez; o Octaedro ao Ar, pois o modelo de um átomo de ar para Platão era um poliedro com 8 faces; o Icosaedro à Água, pois Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros e, o Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros. Em suas palavras “ o dodecaedro é aquele que deus usou para ornamentar as constelações de todo o céu”. E por isto Salvador Dali, pintor catalão conhecido pelo seu trabalho surrealista, inseriu um dodecaedro na obra “Sacramento da Última Ceia”.

76 Fonte: http://www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/fullerenes2/saved.htm 77 Fonte: http://www.revista.unam.mx/vol.6/num7/art68/art68-2a.htm

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Figura 75: Significado dos sólidos 78

Mas o que têm eles a ver com a Razão Áurea? Podemos montar estes sólidos com retângulos áureos. Construção disponível no sítio

de Benito Piropo 79. Primeiro, montemos uma base, um “esqueleto” em torno dos quais construiremos nossos poliedros.

A base será montada encaixando-se três retângulos Áureos idênticos, ou seja, três retângulos cujos comprimentos dos lados mantenham a razão Áurea. Dois deles deverão ter no centro uma fenda com comprimento igual ao lado menor e que se estende ao longo da linha divisória paralela ao lado maior, como os retângulos que estão de amarelo e azul da figura 76, a seguir. No terceiro, para permitir o encaixe, a fenda deve se estender até um dos lados menores, como o retângulo em rosa da mesma figura.

Feito isto, tudo o que precisamos para ter a base tridimensional é encaixar os retângulos como mostrado do lado direito da figura.

Figura 76: Construção da base dos poliedros 80

O primeiro sólido pode ser conseguido da seguinte forma use uma agulha para fazer

um pequeno furo junto a cada vértice dos três retângulos e, com uma linha passando pelos furos, una cada um deles aos seus vizinhos mais próximos. Repare o resultado: sua linha se estende em volta de toda a estrutura, formando arestas que, em conjunto, fazem exatamente vinte triângulos eqüiláteros idênticos. Cobrindo a superfície dos triângulos com papel teremos um icosaedro regular, um dos cinco sólidos platônicos.

78 Fonte: http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm 79 Construção disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm 80 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

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Figura 77: Construção do icosaedro 81

Para obter o segundo sólido platônico com a estrutura formada com os retângulos Áureos, basta passar em cada vértice dos retângulos Áureos um plano perpendicular á linha que une o vértice ao centro da figura. Estes planos passam em volta da estrutura e se interceptarão. A interseção de cada dois destes planos corresponderá a uma aresta de um sólido tridimensional, como mostra a figura 78:

Figura 78: Construção do dodecaedro 82

Analisando a figura acima, temos que estas arestas formam faces pentagonais

regulares, o conhecido pentágono regular, onde a razão Áurea se manifesta de forma mais intensa, com os vértices dos retângulos situados em seus centros geométricos. O sólido resultante terá, portanto doze faces, é o dodecaedro regular (os três retângulos juntos têm doze vértices e em cada um deles passa um plano).

Reparando as figuras 77 e78, veremos que o icosaedro se inscreve no dodecaedro, com os doze vértices do icosaedro coincidindo com os centros geométricos de cada face do dodecaedro (note que o icosaedro tem vinte faces e doze vértices enquanto o dodecaedro tem doze faces e vinte vértices). Se determinarmos os pontos centrais de cada uma das vinte faces triangulares do icosaedro e os unirmos por segmentos de reta, estes segmentos formarão as arestas de um dodecaedro inscrito no icosaedro. E assim sucessivamente. Sólidos deste tipo chamam-se duais, ou seja, o dodecaedro é o sólido dual do icosaedro e este é o sólido dual daquele.

81 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm 82 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

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Examine a imagem da figura 79 e veja, no interior da figura, a mesma estrutura básica montada com os três retângulos Áureos. No retângulo azul, note que ele está circundado por quatro linhas azuis que passam por seus vértices. Elas formam um quadrado. Agora, repare os outros dois retângulos Áureos, o amarelo e o de rosa. Tanto um quanto o outro estão igualmente circundados por quadrados desenhados com linhas da mesma cor do retângulo e que passam por seus vértices. Verá que o conjunto destas doze linhas coloridas (quatro amarelas, quatro azuis e quatro rosas) constitui as arestas de um novo sólido regular de oito faces, cada uma delas formada por um triângulo eqüilátero, este é o octaedro, figura 79 à esquerda.

Figura 79: Construção do octaedro 83

Se reparar na figura acima, à direita, verá que no interior deste octaedro encontra-se

novamente o icosaedro, formado pela união de todos os vértices da estrutura base, com seus vértices nos “pontos Áureos” de cada uma das arestas do octaedro.

Quanto ao cubo, podemos encontrá-lo inscrito no dodecaedro. Repare que no dodecaedro à esquerda, na figura 80, temos oito pontos assinalados em vermelho, e tomados dois a dois eles determinam diagonais dos pentágonos regulares que formam as faces do icosaedro.

Sabendo que o ângulo interno de um pentágono é igual a 108º, podemos perceber que o triângulo formado pela diagonal e pelos dois lados adjacentes que dela convergem (um destes triângulos está destacado em verde na figura 80) é um triângulo Áureo obtusângulo e que seus lados e a diagonal mantêm a relação Áurea.

Unindo os oito pontos vermelhos teremos o hexaedro, pois estes segmentos possuem o mesmo comprimento e também observamos que as diagonais formam conjuntos de linhas paralelas quatro a quatro e que formam ângulos retos.

83 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm

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Figura 80: Construindo o hexaedro 84

Daí, dentro do dodecaedro surge o hexaedro, ou cubo. Este não é um solido qualquer,

já que o lado deste, em particular, mantém a razão Áurea com a aresta do dodecaedro. Já o tetraedro encontra-se dentro do hexaedro, figura 81. Escolha um vértice do

tetraedro e forme um triângulo com este e os outros dois da aresta oposta ao escolhido e assim sucessivamente.

Figura 81: Tetraedro 85 Figura 82: Os sólidos reunidos 86

Podemos inscrever estes sólidos uns aos outros como a figura 82, acima.

Um sólido, porém não regular conhecido como “paralelepípedo” de Fibonacci é um

paralelepípedo de lados 1, Φ e ϕ , onde 1−Φ=ϕ .

84 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm 85 Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi3DGeom.html 86 Fonte: http://www.edu.xunta.es/contidos/premios/p2004/b/poliedros/poliedros.html

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Figura 83: Paralelepípedo de Fibonacci 87

O seu volume é unitário e a área total de suas faces é 4Φ , além disso, a sua diagonal é

igual a 2. Observe que suas dimensões e as áreas das faces deste paralelepípedo estão em

progressão geométrica, ΦΦ− ,1,1 e quatro de suas faces são retângulos áureos. Para calcular o volume usamos a expressão 1..1 −ΦΦ=V . Daí, 1..1 1 =⇒ΦΦ= − VV . A área total de suas faces é dada por )..1.1(2 11 ΦΦ+Φ+Φ= −−S daí,

)1(2 1 +Φ+Φ= −S , como Φ=+Φ− 11 teremos que Φ=Φ=Φ+Φ= 4)2(2)(2S . Esse sólido pode ser inscrito em uma esfera de raio 1. Vamos mostrar que a medida do raio é igual a 1. Temos que o valor da diagonal do

paralelepípedo é dada por 222 cbad ++= , em que a, b e c são as dimensões do mesmo, ou

seja, ( ) 22121 Φ+Φ+= −d . Esta diagonal é igual ao diâmetro da esfera, logo o raio será igual a metade desta diagonal.

Para prosseguirmos devemos lembrar que 11 11 −Φ=Φ⇒Φ+=Φ −− e que 12 +Φ=Φ . Substituindo 1−Φ e 2Φ na equação da diagonal do paralelepípedo teremos que:

24

2222

22)1(2

222

121

)1(1

1

2

22

22

222

==

+Φ−+Φ=

+Φ−+Φ=

+Φ−Φ=

Φ++Φ−Φ+=

Φ+−Φ+=

Φ++=

dd

d

d

d

d

d

d ϕ

Portanto, a diagonal do paralelepípedo é igual a 2. Sendo a diagonal do paralelepípedo igual ao diâmetro da esfera que é igual a 2, então

o raio é igual a 1, como queríamos demonstrar.

87 Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci4.htm

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A razão entre a área da superfície da esfera e a área das faces do paralelepípedo está relacionada com a proporção áurea. A área da superfície da esfera é dada por 24 rS π= , sendo r a medida do raio. Então, esta esfera tem área igual a π4 . Já sabemos que a área total do paralelepípedo é 4Φ .

Portando, a razão entre as áreas da esfera e do paralelepípedo inscrito é Φ

=Φ

ππ44 .

Isto é surpreendente, o encontro de dois números irracionais e de grande importância na matemática.

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CAPÍTULO IX O OURO NO SER HUMANO

No corpo humano, o número de ouro aparece não só nas orelhas, como também nas

falanges dos dedos, na razão entre o tamanho do braço e a mão; a medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; o tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta, de acordo com a figura 85.

Figura 84: A orelha e a espiral 88 Figura 85: Segmento Áureo no corpo humano 89

Uma orelha perfeita seria aquela na qual se encaixaria em uma espiral logarítmica

como na figura 84. Segundo Leonardo da Vinci, o corpo humano para ter beleza e harmonia deve

respeitar uma proporção, e como o número áureo representa esta beleza, então o corpo humano deve seguir a mesma.

Para o homem ser perfeito a razão entre as usas medidas como a sua altura e a distancia do seu umbigo ao chão deve ser aproximadamente Φ .

88 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm 89 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/seg_aureo_corpo_humano.htm

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Figura 86: Proporções no corpo humano 90

Além disso, pode-se encontrar as proporções áureas também no rosto humano.

Constatou-se que o rosto humano é baseado inteiramente em Φ. Em particular, a cabeça forma um retângulo dourado, sendo o ponto do meio dos olhos, a seção áurea. A boca e o nariz são posicionados em seções de ouro da distância entre os olhos e a parte inferior do queixo.

Figura 87: Proporção áurea no rosto 91

Muitos estudos demonstram que a regra de ouro está presente na harmonia do sorriso e da dentição. O compasso da Proporção Áurea e seus blocos de esquemas pré-impressos permitem descobrir em apenas alguns segundos o objetivo ideal teórico em relação a uma situação real na boca. Informações interessantíssimas e muito úteis para a reconstrução estética, prótese total, posicionamento-inclinação-eixo dos dentes, gengivectomia, e outros.

90 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm 91 Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm

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Figura 88: Proporção áurea nos dentes 92

Os dentes vistos frontalmente, como a figura 88 acima, estão na proporção áurea um

em relação ao outro. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao primeiro pré-molar. O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na proporção áurea em relação ao canto da boca. A altura do incisivo central está na proporção áurea em relação à largura dos dois dentes centrais (retângulo de ouro).

Na face relaxada, veja a figura a 89, a linha dos lábios divide o terço inferior da face nos segmentos da proporção áurea da ponta do nariz à linha dos lábios e da linha dos lábios até o queixo.

Figura 89: Divisão áurea do queixo ao nariz 93

As “Marcas da Seção Áurea”, impressas em papel no sortimento de blocos fornecidos no estojo, (figura 90), são muito úteis para registros da boca e para trabalhos sobre modelos.

Figura 90: Modelo com marcas da seção áurea 94

A Smile Line, uma empresa especializada em produtos odontológicos, redesenhou um

utensílio inicialmente concebido pelo Dr. Eddy Levin, cirurgião dentista londrino, o “Golden Section Divider”, que permite assimilar e compreender “fisicamente” o conceito da seção áurea. 92 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm 93 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm 94 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm

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Se o instrumento tiver estreita ou largamente aberto, o compasso “Proporção Áurea” indica sempre dois segmentos, respeitando a “Regra de Ouro”. Fabricado em aço inoxidável da mais alta qualidade e cuidadosamente montado, o compasso “Proporção Áurea” é uma pequena maravilha em mecanismo de precisão.

Figura 91: Compasso áureo 95

Há estudos com pacientes totalmente edentados, feitos por Ana Cristina Perasso, que necessitam de uma reabilitação protética que preencha os requisitos básicos. Uma solução para isto foi o uso da proporção áurea contida no rosto juntamente com este compasso, na confecção de próteses. Em sua dissertação de mestrado, “Análise da produção áurea na face dos pacientes edentados visando a dimensão vertical de oclusão” oferece melhores detalhes.

Figura 92: exemplo do uso do compasso áureo na odontologia 96

Este compasso não é usado somente na odontologia (exemplo na figura 92). Com ele

podemos medir qualquer objeto a fim de verificar se este está ou não na extrema e média razão, como nos exemplos da figura 93.

95 Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm 96 Fonte: http://www.mlahanas.de/Greeks/GoldenSection.htm

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Figura 93: Exemplos para o uso do compasso áureo 97

97 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm

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CAPÍTULO X A ARTE E O NÚMERO DE OURO

O Renascimento produziu uma importante mudança de direção na história da Razão Áurea e a partir de então, esse conceito deixou de ficar restrito à matemática, e passou a ser encontrado nos fenômenos naturais, na arquitetura e nas artes.

Muitas das afirmações relativas ao emprego da Razão Áurea na pintura estão diretamente relacionadas às propriedades estéticas do retângulo áureo.

Leonardo da Vinci nasceu em 15 de Abril de 1452, na pequena cidade de Vinci, perto de Florença, centro intelectual e científico da Itália. O seu talento artístico cedo se revelou, mostrando excepcional habilidade na geometria, na música e na expressão artística.

Reconhecendo suas habilidades, o seu pai, Ser Piero da Vinci, mostrou os desenhos do filho a Andrea del Verrocchio. O grande mestre da renascença ficou encantado com o talento de Leonardo e tornou-o seu aprendiz. Em 1472, com apenas vinte anos, Leonardo associa-se ao núcleo de pintores de Florença.

Figura 94: Leonardo da Vinci 98

Não se sabe muito acerca da educação e formação do artista, no entanto, muitos

autores afirmam que o seu conhecimento não provém de fontes tradicionais, mas sim da observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Pintor, escultor, arquiteto e engenheiro, Leonardo da Vinci foi o talento mais versátil da Itália do Renascimento. Os seus desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a enorme vastidão dos seus interesses, que iam desde a biologia, à fisiologia, à hidráulica, à aeronáutica e à matemática.

Durante o apogeu do renascimento, Da Vinci, enquanto anatomista, preocupou-se com os sistemas internos do corpo humano, e enquanto artista interessou-se pelos detalhes externos da forma humana, estudando exaustivamente as suas proporções.

O segundo livro de “A Proporção Divina”, é um tratado sobre proporções e suas aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. A seguinte imagem, (figura 95), “Homem Vitruviano” resulta destes seus interesses e esta foi usada por Luca Pacioli na ilustração do seu livro “De Divina Proportione”.

98 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htm

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Figura 95: O Homem Vitruviano 99

Segundo o arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, no corpo humano, o ponto

central naturalmente é o umbigo, porque se um homem for colocado deitado de costas, com as mãos e os pés estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mãos e de seus pés irão tocar a circunferência do círculo descrito a partir desse ponto, e assim como o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada também pode ser encontrada a partir dele, pois se medirmos a distância das solas dos pés até o topo da cabeça e depois aplicarmos essa medida aos braços esticados, veremos que a largura será a mesma que a altura, como no caso de superfícies planas que são perfeitamente quadradas.

Os pensadores renascentistas consideraram esta passagem como “mais uma demonstração da ligação entre a base orgânica e a geométrica da beleza”, e isto levou ao conceito do “homem vitruviano”. A imagem “O Homem Vitruviano” pintada por Leonardo da Vinci representa o corpo humano inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas proporções do quadrado, ou seja, possui proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

As proporções áureas aparecem entre: a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; a altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão, além de várias outras proporções.

Os pintores do Renascimento, e em particular Da Vinci, recorreram a conceitos de geometria projetiva para criar os seus quadros com um aspecto tridimensional. A obra prima “A Última Ceia” é um bom exemplo disso.

99 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

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Figura 96: “A Última Ceia” 1495-1498 100

O ponto de fuga está colocado no olho direito de Cristo, onde ele domina o primeiro plano. Os seus próprios braços, ao longo das linhas da pirâmide visual, reforçam a perspectiva.

A Última Ceia foi pintada entre os anos de 1495 e 1498, por encomenda do Duque Ludovico Sforza para ornar uma das paredes do refeitório do Convento de Santa Maria das Graças em Milão, Itália, e representa a cena narrada na Bíblia em que Jesus Cristo comunica aos apóstolos que será traído por um deles.

Esta é considerada uma das pinturas mais valiosas do mundo. Como foi pintada sobre a parede de um convento, jamais “pertenceu” a qualquer pessoa e seu preço não pode ser avaliado.

Agora, repare na figura e na linha verde que a divide exatamente na proporção Áurea. Note como ela passa justamente entre o tampo da mesa e os apóstolos e a postura de Cristo, com os braços abertos, se inscreve quase exatamente em um triângulo Áureo obtusângulo.

Figura 97: As proporções áureas no quadro “A Última Ceia” 101

Da Vinci a serviço de Ludovico Sforza, desenvolveu vários projetos de engenharia

militar, realizou estudos hidráulicos sobre os canais da cidade, dedicou-se ao estudo da anatomia, física, botânica, geologia e matemática. Nesse período, pintou algumas de suas obras-primas como a primeira versão da “Virgem dos rochedos” (1483) e a “Última ceia” (1495-1497).

A Virgem dos Rochedos, conhecida também como A Madona das Rochas, é considerada uma das mais importantes obras do pintor. Ela é uma das primeiras telas que dá a impressão de ter três dimensões, além de não haver traços nítidos separando as figuras do desenho e possuir fundos misteriosos e enigmáticos.

Esta obra possui duas versões, uma no Louvre, em Paris e a outra na National Gallery, em Londres. Estima-se que a versão do Louvre seja um dos primeiros trabalhos que Leonardo produziu em Milão por volta de 1483 e 1486 e supõe-se que a pintura da National Gallery foi concluída por volta de 1506.

Especialistas que estudam estas pinturas concluíram que a versão de Louvre foi feita inteiramente pela mão de Leonardo, enquanto a versão da National Gallery pode ter sido um “esforço conjunto” que ainda está sendo estudada.

A veracidade da data e a autenticidade das duas versões da “Virgem dos Rochedos” causam polêmicas nas afirmações acerca da presença da Razão Áurea na pintura. Estas datas 100 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci 101 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

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revelam se Da Vinci já tinha ou não o conhecimento do número áureo ao realizar esta obra. Pois, a razão entre a altura e largura da pintura que supõe ter sido pintada primeiro é cerca de 1,64, e a da segunda pintura é de 1,58, ambas estão com estas razões próximas de Φ .

Leonardo Da Vinci encontrou Pacioli pela primeira vez em 1496, na Corte de Milão. Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano e em 1470 escreveu a sua primeira obra de matemática na área de álgebra. O livro “Summa” tornou Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509 escreveu a sua segunda obra mais importante, “De Divina Proportioni”, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre proporções artísticas. Só então, Leonardo foi apresentado à “divina proporção”. Isto indica que Da Vinci teve conhecimento do número de ouro após dez anos da primeira versão de “Virgem dos Rochedos” ter sido concluída

Portanto, a proporção do quadro tende a mostrar que esta é a perfeita harmonia em suas dimensões, antes mesmo do grande pintor conhecê-la.

Figura 98: “Virgem dos Rochedos” 102

Por volta de 1504, começou a pintar um dos quadros mais famosos do mundo, “Mona

Lisa”, uma de suas obras na qual a arte da pintura atinge um de seus grandes momentos. Provavelmente, o retrato de Madona Lisa Gherardini, mulher do rico cidadão de Veneza Francesco del Giocondo que o encomendou ao pintor. Daí, o quadro também ser chamado “A Gioconda”. Supõe-se que Leonardo tenha de fato começado a pintura como um retrato da mulher do nobre, mas que depois a tenha tornado na imagem da idéia da beleza perfeita.

Leonardo Da Vinci sentia-se interessado pela matemática e usou inúmeros e conceitos matemáticos em diversas invenções, em projetos de arquitetura e na pintura. A Mona Lisa é um exemplo, com diversos retângulos áureos.

Podemos explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias dimensões do quadro formam um retângulo áureo.

102 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

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Figura 99: Mona Lisa, 1505 103

No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção áurea em várias situações. Note, na imagem abaixo, que se construirmos um retângulo em torno de seu rosto,

veremos que este é um retângulo de ouro e também entre os elementos do rosto os retângulos Áureos enquadram a face e a testa, o lado direito da face com a linha que passa pelo nariz e o olho e a posição da pupila. Note também o retângulo envolvendo todo o corpo, sendo dividido na razão extrema e média separando o tronco e a cabeça.

Além disso, podemos traçar triângulos áureos por todo o quadro.

Figura 100: As proporções no quadro da Mona Lisa 104

Veja como tudo isto agrega uma sensação geral de harmonia e equilíbrio à pintura.

Mas, sobretudo, olhe novamente para a face da Gioconda, agora não mais pensando em apreciar a pintura, mas sim a mulher. Ela parece mais uma mulher sem atributos físicos

103 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm 104 Fonte: www.fenkefeng.org/essaysm18004.html

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extraordinários, uma mulher “comum”. Então, como explicar que este seja o retrato mais famoso do mundo? Isto se dá a não ser pelo equilíbrio de suas linhas, pela genialidade do pintor e por sua capacidade de exprimir emoções sobre uma tela, que na verdade, foi pintada sobre madeira.

Outro exemplo da utilização de conceitos matemáticos por Leonardo da Vinci, é no quadro: “A Anunciação”.

Figura 101: “ A Anunciação” 105

A tela, uma das primeiras pinturas conhecidas de Leonardo, foi produzida entre os anos de 1472 e 1475. A “A Anunciação” representa a cena do Arcanjo Gabriel anunciando à Virgem Maria que ela conceberia Jesus Cristo.

Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, os resultados obtidos se aproximam das proporções áureas. Curiosamente, esta divisão permite que o retângulo de ouro enquadre as partes mais importantes da figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for construído no lado direito ou no lado esquerdo, respectivamente.

Figura:102: As proporções no quadro “A anunciação” 106

Repare nas quatro linhas traçadas em vermelho, azul, amarelo e verde, da figura 102.

Cada uma delas divide a tela exatamente nas proporções de ouro e todas tocam pontos da figura que sobressaem por sua importância.

105 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm 106 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

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A linha amarela passa exatamente sobre o muro que separa o jardim, em primeiro plano, das árvores ao fundo. A verde passa sobre o tampo da pequena mesa de mármore em frente à Virgem, que reproduz a tumba de Piero e Giovanni de Medici na Basílica de San Lorenzo em Florença, Itália. Já as linhas verticais dividem a cena em duas partes que destacam, respectivamente, o Arcanjo e a Virgem. Além disso, passam por linhas igualmente salientes: o eixo de uma das árvores em segundo plano, junto ao Arcanjo, e a aresta da parede por detrás da Virgem.

Sabendo-se do interesse que Leonardo tinha pela matemática e como a desfrutava com o conceito da Razão Áurea, dificilmente isto pode ser considerado ao acaso. Porém, o quadro possui uma “distribuição de massas”, ou seja, as posições relativas das principais figuras da cena e sua localização em relação ao todo, passam uma sensação de harmonia e equilíbrio.

O número de ouro, Φ , também se encontra num trabalho inacabado de Da Vinci, São Jerônimo, pintado por volta de 1483, que atualmente se encontra no museu do Vaticano.

Figura 103: São Jerônimo 107

A pintura de São Jerônimo é de 1483, muito antes da ida de Pacioli para Milão. Desde

então, diziam que um retângulo áureo se encaixa em volta da pintura quando sobreposto ao desenho.

Outra obra de Da Vinci é “uma cabeça de ancião”, um esboço feito à lápis por volta de 1490. Esta representa o interesse que Leonardo tinha pela proporção áurea e tudo indica que ele tenha usado estas proporções nesta obra. O retângulo no meio, à esquerda, por exemplo, é aproximadamente um retângulo de ouro.

No desenho feito por Da Vinci representando um velho, provavelmente um auto-retrato, o artista sobrepôs ao esboço um quadrado dividido em retângulos que se aproximam do retângulo áureo.

107 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm

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Figura 104: “Uma cabeça de ancião” 108

Usando ou não a razão áurea, podemos ver que Leonardo Da Vinci devido ao seu

grande talento e o seu interesse pela matemática, pintou as suas obra de modo que transmitissem a beleza e a harmonia.

Mas, não foi somente Da Vinci que usou a beleza por si só para representar a perfeição.

Alessandro di Mariano Filipepi, mais conhecido como Sandro Botticelli (1445 – 1510), foi um pintor italiano da Escola Florentina. Sua vida foi narrada na obra Vite (traduzida como "As Vidas dos Artistas"), de Giorgio Vasari. Nascido em Florença, foi aprendiz de Andrea del Verrocchio entre 1467 e 1470, mesma época que Leonardo da Vinci. Em 1470, abriu seu próprio estúdio independente.

Em “O Nascimento de Vênus”, Boticelli pinta Vênus sobre uma concha, emergindo da espuma do mar, simbolizando, assim, o nascimento da beleza através do nu feminino. O desenho delicado e rítmico, e o refinado emprego da cor, característicos em Boticelli, alcançam desta forma, a perfeita expressão. Acredita-se que a proporção áurea foi usada na obra “O Nascimento de Vênus”, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea.

Figura 105: “O Nascimento de Vênus” 109

O uso da proporção Áurea não fica restrito à pintura clássica. Também podemos

encontrá-la em “O Sacramento da Ultima Ceia”, do catalão Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech.

Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech, Marquês de Pubol, um dos mais importantes pintores contemporâneos (faleceu em 1989), mestre do surrealismo, é mais conhecido como Salvador Dali. Sua obra “O Sacramento da Última Ceia” mostrada na figura abaixo não é a

108 Fonte: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/810/81000304.pdf 109 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnus

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mais conhecida, mas é o mais ilustrativo exemplo do uso da proporção Áurea e de símbolos correlatos nas artes plásticas.

Figura 106: “O Sacramento da Última Ceia” 110

Repare nas linhas verde, branca e amarela que cortam o quadro, na figura 106. Todas elas dividem a figura na razão Áurea conforme mostrado pelos segmentos azuis e vermelhos. A linha verde passa exatamente sobre o tampo da mesa. As linhas, branca e amarela, passam cada uma delas, exatamente sobre a cabeça dos apóstolos situados logo à direita e esquerda de Jesus Cristo. A própria figura de Cristo, embora em posição diferente da pintada por Leonardo, pois Dali pintou Cristo com os braços dobrados, se inscreve perfeitamente em um triângulo Áureo obtusângulo.

Além disso, podemos observar que há um dodecaedro envolvendo a encenação, e como sabemos, o dodecaedro é um sólido platônico que também tem as proporções áureas.

Alguns estudos alegam que as obras não foram feitas baseadas na razão áurea e que o primeiro artista proeminente e teórico da arte a utilizar a razão foi, provavelmente, Paul Sérusier. Ele nasceu em Paris em 1864, estudou filosofia e entrou para a escola de arte Academie Julian.

Sérusier ouviu dizer sobre o número de ouro pela primeira vez, em uma de suas visitas, entre 1868 e 1903, a um amigo e pintor holandês Jan Verkade, um noviço no mosteiro beneditino de Beuron. Os monges pintores estavam seguindo teorias das grandes obras da antiguidade que foram baseadas em entidades geométricas simples, como o círculo, o triângulo eqüilátero e o hexágono. Com isso, Sérusier ficou fascinado pela matemática e se interessou pela Razão Áurea, porém, mais para o lado filosófico do que para o prático, mas utilizou as proporções áureas em algumas de suas obras.

Segundo Sérusier, a proporção áurea se propagou em vários círculos artísticos, principalmente no período cubista. De fato, os cubistas Jacques Villon, seus irmãos Marcel Raymond, Albert Gleizes e Francis Picabia, organizaram uma exposição em Paris chamada de “Section d’Or”, “A Seção Áurea”.

Outro artista Jacque Lipchitz, usou a Proporção áurea em alguns de seus trabalhos e escreveu “Naquele momento, eu estava muito interessado em teorias de proporções matemáticas, como os outros cubistas, e tentei aplicá-la às minhas esculturas”.

Lipchitz ajudou Juan Gris, um dos mais famosos pintores e escultores cubistas espanhóis, na construção da escultura “Arlequin”, mostrada na figura 107, na qual usaram o triângulo de Kepler que se baseia na Razão Áurea.

110 Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm

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Figura 107: “Arlequin” 111

Outro artista que usou a Razão Áurea foi Gino Severini, (l883-1966), por volta de

1920. Severini embora fosse um futurista, encontrou no cubismo a “noção de medida” e que segundo ele “enquadrava na sua ambição de fazer, por meio da pintura, um objeto com a mesma perfeição artística de um marceneiro fazendo móveis”. Esta busca pela perfeição fez com que Severini usasse a Razão Áurea em suas pinturas, como a obra “Maternidade”.

Figura 108: “Maternidade” 112

Um dos defensores da aplicação da Proporção Áurea na arte e na arquitetura foi o pintor e arquiteto Charles-Edouard Jeanneret-Gris, mais conhecido como Le Corbusier. Nasceu em La Chaux-de-Fonds, na Suíça, onde estudou arte e gravuras. Seu pai era relojoeiro e sua mãe pianista e professora de música que o incentivava na arte musical.

Inicialmente Le Corbusier desprezou o uso da proporção divina na arte, mas após a publicação do livro “Esthétique des proportions dans la nature et dans lês arts” (A estética de proporções na natureza e nas artes) de Matila Ghyka, que explora o número áureo, ritos e 111 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 194. 112 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 195.

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ritmos pitagóricos, fez com que passasse a admirar a matemática na arte. A fascinação pela beleza estética e pela Razão Áurea tinha duas origens, primeiro pelo interesse das formas e estruturas por trás da natureza e segundo pela música onde podia apreciar uma harmonia provocada por razões de números.

Le Corbusier, entre 1942 e 1948, desenvolveu um sistema de medição buscando uma proporção padronizada, assim criou o sistema proporcional chamado “Modulor”, módulo de ouro. Baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usando também as dimensões médias humanas, digamos que o “O Modulor” fornecia “uma medida harmônica”.

Figura 109: O Modulor 113

O Modulor publicado em 1950, era um homem com altura em média de 1,75m, com um de seus braços erguidos chegando à uma altura total de 2,16m, aproximadamente, representado no item 1 da figura. Já em 1955, Le Corbusier publicou o Modulor 2, com estatura de 1,83m de altura, item 3 da figura 109.

Podemos observar que a razão entre a altura do homem e a altura de sue umbigo foi escolhida precisamente em uma Razão Áurea, e que a altura total que vai dos pés até o braço levantado, também estava dividida na razão áurea. Estas razões estão interligadas com a seqüência de Fibonacci, cada número sendo igual à soma dos dois anteriores a ele. Na versão final do Modulor foram introduzidas duas escalas de dimensões de Fibonacci, dando o nome de “série azul” e “série vermelha”, sendo as dimensões da primeira o dobro das dimensões da segunda. Além disso, as divisões de cada escala estão baseadas em proporção dos números de Fibonacci.

A série vermelha é estabelecida a partir do plexo solar (o plexo solar, também conhecido como plexo celíaco, é um agrupamento autônomo de células nervosas no corpo humano localizado atrás do estômago e embaixo do diafragma perto do tronco celíaco na cavidade abdominal. Também é considerado pelo Hinduísmo como um ponto de energia chamado Manipura Chakra), sendo que a série vermelha é a altura média do homem. Já a série azul, é altura do homem com o braço levantado, que coincide com a adição dos três

113Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm

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termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries obtêm-se os valores de ocupação do corpo humano.

A princípio, Le Corbusier partiu da estatura média do homem para determinar os valores numéricos de vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram para a série vermelha. Os valores exatos pela divisão harmônica foram depois arredondados tendo-se assim obtidos os chamados valores de aplicação, tomados como base para o estudo das alturas da bancadas, cadeiras, mesas, balcões, janelas, muros, portas, etc.

Para construirmos as séries, seguiremos os seguintes passos: para a série vermelha, vamos considerar um segmento AB sendo a altura média do homem de 1,75m, com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB. Em seguida, construa dois triângulos retângulos no qual o lado menor é

igual à 41 do segmento AB, gerando os triângulos ACM e MDB, (figura 110).

Figura 110: Construindo a série vermelha (a) 114

Agora, dividida AM e MB em média razão gerando o ponto F e H, respectivamente,

da seguinte maneira: com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CM no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AM em F. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto F encontrando na hipotenusa o ponto E. Repita o processo no segmento HB, e assim sucessivamente, criando vários segmentos áureos.

114 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

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Figura 111: Construindo a série vermelha (b) 115

Na série azul, iremos seguir a mesma construção da série vermelha, tomando AB a

altura média do homem com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Trace uma perpendicular ao segmento AB passando por A e marque nela a metade de AB. Una os pontos

B e C, encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, 2

AB e hipotenusa 2

5AB .

Figura 112: Construindo a série azul (a) 116

Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a

hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e, com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa, trace um outro arco que corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E, e obtenha um novo triângulo BDE.

115 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php 116 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

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Figura 113: Construindo a série azul (b) 117

Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e, assim sucessivamente, dividindo todos os segmentos áureos resultantes em média razão.

Figura 114: Construindo a série azul (c) 118

As duas séries, azul e vermelha, se intercalam de forma que os pontos F, M, H, J, etc,

da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade, e os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média razão.

117 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php 118 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php

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Figura 115: Série vermelha e série azul 119

Compare as duas séries na figura abaixo. Elas representam o Modulor 2 que segundo

Le Corbusier, é a perfeita ocupação do homem no espaço. A série vermelha representa a altura média do homem enquanto a série azul representa a altura do homem com o braço levantado.

Figura 116: As séries no Modulor 120

Este estudo feito por Le Corbusier é utilizado em diversos projetos, seja na construção

de um edifício ou até mesmo de um mobiliário. Por exemplo, a unidade de habitação Marseilles, feita por Lê Corbusier em 1946, a torre de Tatlin e muitos outros trabalhos envolvem o Modulor. Observe as figuras a seguir.

119 Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php 120 Fonte http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_4t.php

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Figura 117: Unidade de habitação, Marseilles, 1946 121

Figura 118: Um exemplo de um edifício espiral, por Le Corbusier 122

Figura 119: Torre de Tatlin 123 Figura 120: Residência em Paris projetada por Le Corbusier 124

Na figura 120, Lê Corbusier projetou dois retângulos áureos, sendo um deles representando “o corpo inteiro da casa” e o outro na vertical representado à esquerda da escada.

121

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm 122 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm 123 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm 124 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm

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Também foram produzidos móveis com estas proporções. Por exemplo, uma cadeira de trabalho, apresentada no 4º Congresso Internacional de Pesquisa em Design, no Rio de Janeiro de 11 à 13 de outubro de 2007.

“Os elementos gráficos que constituem o projeto, assim como as suas dimensões, estão baseados nas medidas encontradas nas proporções áureas criadas a partir da figura inicial do quadrado de lado de 800 mm. O sistema com todas as partes do objeto criado foi gerenciado com a técnica de coordenação modular. A técnica de coordenação modular na construção dos elementos da cadeira de trabalho forma a sua estrutura e seu corpo de acordo as dimensões especificadas na série adotada, a partir do seu maior valor”. 125

Figura 121: Projeto Modular. Vista Lateral 126

Figura 122: Maquete eletrônica da carteira de trabalho 127

125 Fonte: 4º Congresso internacional de Pesquisa em Design realizado no Rio de Janeiro em 2007, disponível em http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf 126 Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf 127 Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pd

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CAPÍTULO XI O NÚMERO ÁUREO NA MÚSICA

A Grécia, do período antigo até a era medieval, tinha no currículo a música como parte da matemática, e os músicos da época dedicavam seus estudos não só à música como também para a compreensão da matemática nos tons musicais. O filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibnitz escreveu: “A música é um exercício aritmético secreto, e a pessoa que se delicia com ela não percebe que está manipulando números”.

De acordo com o dicionário, a música é uma sucessão de sons agradáveis ao ouvido. Também podemos dizer que música é “ritmo e som”, ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. Para que a música seja agradável, precisa de uma harmonia entre os acordes e isto é obtido usando a matemática, nas razões entre os números, obtidos através do grande filósofo e matemático Pitágoras.

Os sons constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir de relações matemáticas que, quando combinados, podem produzir sons agradáveis. Tudo que soa ou impressiona o sentido do ouvido é chamado de som.

As oscilações produzidas pela vibração, por exemplo, da corda de violão, propagam-se pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido, que só perceberá se as ondas tiverem de 20 oscilações por segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro desta faixa dos sons audíveis, aqueles que têm oscilações mais baixas variando de 20 a 200 oscilações por segundo são chamados de graves, os que têm oscilações entre 200 a 5000 são chamados de médios e as mais altas que variam de 5.000 a 20.000 oscilações são chamados de agudos.

Para detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bastante complexo, e o interessante é que o elemento principal na detecção das oscilações dos sons é a "cóclea", uma pequena estrutura em espiral que atua seletivamente, espiral que tem a mesma estrutura que uma espiral logarítmica. Observe a figura 123.

Figura 123: Ouvido 128

Os sons utilizados para produção de música possuem determinadas características

físicas, no que se refere às suas oscilações. Baseado nas sete notas musicais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, veremos que a Matemática tem forte influência na variação dos sons. Usando uma corda esticada, como num violão, podemos vibrá-la livremente e ela emitirá um determinado som, por exemplo, um Dó. Ao reduzirmos o comprimento desta corda ao meio iremos variar o som produzido, e este passará a produzir o mesmo tom (Dó), porém uma oitava acima. Uma oitava é um intervalo das 12 notas musicais (incluindo os sustenidos ou bemóis), ascendente ou descendente, entre duas notas do mesmo nome (por exemplo: Dó) e que corresponde a uma razão entre as respectivas freqüências igual a 2, isto é, a oitava justa superior de um som é produzida por um número de vibrações que é exatamente o dobro do som fundamental. 128Fonte: http://www.audionasigrejas.org/artigos/microfones.htm

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Figura 124: Disposição das notas musicais em uma oitava 129

De modo geral, se vibrar livremente a corda com um determinado valor de oscilações

por segundo, esta emitirá uma nota, e ao reduzir o comprimento desta corda à metade, mantendo a mesma tensão, ela irá vibrar com o dobro das oscilações iniciais, e será produzido a mesma nota, porém, uma oitava acima da nota anterior.

Se reduzirmos o comprimento para 2/3 do original, terá então a nota Sol, e se reduzirmos o comprimento para 3/4 do original, teremos a nota Fá. Nestes dois casos obtemos Sol e Fá, pois a corda esta emitindo um Dó no comprimento original. Como podemos perceber, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda, podemos obter as notas naturais da escala musical.

Pitágoras foi o primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical, formando uma série a partir da fração de 2/3, ou seja, na música corresponde ao intervalo musical chamado de “quinta”. Usando uma sucessão de “quintas”, ele definiu as doze notas musicais, sendo sete naturais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, e mais cinco notas acidentes, Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, e Lá#, cujo símbolo # é chamado de sustenido.

A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada por muitos séculos. Com o Renascimento, novas idéias surgiram nas Artes em geral, e na Música em particular, e os compositores começaram a inovar a teoria musical imposta até aquela época, devido à necessidade de transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala musical definida por Pitágoras, isso era impraticável, pois os intervalos só podiam ser usados numa única tonalidade. Em outras palavras, se mudasse a tonalidade de uma melodia, os intervalos entre as notas passariam a soarem desafinados.

Para que permitisse a transposição de um tom para outro, foi criada a “escala de temperamento igual”, de Andréas Werkmeister, em 1691. Hoje, esta escala é chamada de “escala temperada”, possuindo também doze notas (sete “naturais” e cinco “acidentes”), mas em vez de preservar os intervalos fracionários de 2/3, 3/4, etc., as notas foram levemente ajustadas, pois Werkmeister tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez com que a relação entre qualquer nota e sua vizinha anterior fosse sempre igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594631), o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer tonalidade. De modo geral, podemos dizer que a escala temperada é uma progressão geométrica de razão aproximadamente igual a 1,0594631.

Veja na figura 125, a seqüência com 13 termos dessa progressão geométrica que representa a seqüência das notas da escala musical igualmente temperada, pois, 12 são seus intervalos musicais compondo uma oitava. Por exemplo, o número 2 sobre o número 1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima oitava, ou seja, inicia novamente a seqüência das notas musicais com o dobro da freqüência anterior.

129Fonte: http://www.profcardy.com/cardicas/musical.php?&width=1024

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Figura 125: Progressão geométrica de razão 1,0594631 130 A primeira oitava das notas musicais vai de Dó = 16,352Hz à Si = 30,868Hz. Assim,

se tomarmos a nota Dó como 16,352 Hz e formos multiplicando sucessivamente pelo número 1,0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada. Veja a construção da primeira oitava abaixo.

Dó= 16,352 Hz Dó# = 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz Ré = 17,325 x 1,0594631 = 18,3545 Hz Ré# = 18,3545 x 1,0594631 = 19,445 HzMi = 19,445 x 1,0594631 = 20,602 Hz Fá = 20,620 x 1,0594631 = 21,827 Hz Fá# = 21,827 x 1,059461 = 23,125 Hz Sol = 23,125 x 1,0594631 = 24,500 Hz Sol# = 24,500 x 1,0594631 = 25,957 Hz Lá = 25,957 x 1,0594631 = 27,500 Hz Lá# = 27,500 x 1,0594631 = 29,135 Hz Si = 29,135 x 1,0594631 = 30,868 Hz Dó = 30,868 x 1,0594631 = 32,704 Hz

Tabela 2: Freqüência da notas musicais na primeira oitava Se escolhermos uma nota, por exemplo, a nota Lá da primeira oitava, teremos uma

freqüência de 27,5Hz, na quarta oitava teremos uma freqüência de 220 Hz. Quando tivermos percorrido mais uma oitava, a sua freqüência na quinta será de 440 Hz. Observe a escala da figura 126.

Figura 126: Freqüência da nota Lá 131

Para obter a freqüência de uma nota na oitava acima, basta multiplicá-la por

(1,0594631)12, ou seja, 2212

121

=

, por isto a freqüência da nota na oitava acima é o dobro

da freqüência da nota na oitava anterior. Segue a tabela 3 do exemplo anterior:

Nota Freqüência em Hz Nota Freqüência em Hz Nota Freqüência em Hz Lá 220,0000 Ré 293,6647 Sol 391,9954 Lá# 233,0818 Ré# 311,1269 Sol# 415,3047 Si 246,9416 Mi 329,6276 Lá 440,0000 Dó 261,6255 Fá 349,2282 Dó# 277,1826 Fá# 369,9944

Tabela 3: Freqüências das notas musicais 130 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm 131 Figura adaptada pela autora usando uma imagem disponível em http://br.geocities.com/pk_000000000/mus/teclado/2.htm

220 Hz 440 Hz110 Hz 55 Hz 880 Hz

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Podemos ilustrar este exemplo na figura abaixo, representando a escala desta oitava,

em que a freqüência da nota Lá é 220Hz e na oitava acima é 440Hz. Podemos ver que a razão entre as oitavas é igual a 2.

Figura 127: Escala musical 132

Estas figuras mostram a representação da escala musical temperada feita pelo professor Luiz Netto graduado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Santo André, em São Paulo, e também formado em Música.

A figura 128 mostra como cresce as freqüências das notas musicais, ou seja, o número de oscilações por segundo, de um som emitido por qualquer instrumento musical, em notação polar. Percorremos a partir da nota Dó no gráfico em sentido anti-horário e para cada nota temos um crescimento do valor da freqüência de um modo exponencial, dado pela expressão

θk

iff

= 12

1

2. , onde f é a freqüência da nota, fi é o valor da freqüência inicial musical na

escala temperada, k é uma constante adotada para que todos os valores de uma oitava sejam mostrados no desenvolvimento de π2 radianos e θ é o ângulo associado ao valor de r, considerando πθ 20 << .

Construindo a escala musical temperada de 12 intervalos, através da representação em

coordenadas polares teremos que cada ângulo corresponde a 30° ou rad6π .

132 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm

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Figura 128: Gráfico das freqüências das notas musicais 133

Observe que estão indicados para cada nota dois números que representam o valor das freqüências destas notas distanciadas de uma oitava, ou seja, a freqüência das notas de mesmo “nome” é o dobro da outra, percorrendo πθ 2= . O comportamento gráfico que a freqüência (em Hz) de cada nota musical possui ao mudar de tom, é dado pela multiplicação da freqüência por 1,0594631 e daí, o raio varia de acordo com a equação

θ

θ

k

k

r 0594631,12121

=

= .

Figura 129: Raio da espiral 134

Abaixo podemos ver a espiral logarítmica, obtida em uma oitava (de Dó à Dó) e

também os termos da progressão geométrica em cada nota de uma oitava.

133 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm 134 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm

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Figura 130: Espira logarítmica em uma oitava 135

A tabela abaixo indica o ângulo de inclinação do vetor na espiral, para cada termo da progressão geométrica.

xr Ângulo xr Ângulo

( ) 11,0594631 0 = 0° ( ) 4983071,11,0594631 7 = 210°

( ) 0594631,11,0594631 1 = 30° ( ) 5874011,11,0594631 8 = 240°

( ) 1224621,11,0594631 2 = 60° ( ) 6817929,11,0594631 9 = 270°

( ) 1892071,11,0594631 3 = 90° ( ) 7818042,11,0594631 10 = 300°

( ) 2599211,11,0594631 4 = 120° ( ) 8877558,11,0594631 11 = 330°

( ) 3348399,11,0594631 5 = 150° ( ) 0000000,21,0594631 12 = 360°

( ) 41421361,11,0594631 6 = 180° Tabela 4: Variação do raio de acordo com o ângulo

Mas, o que tudo isto tem a ver com a razão áurea? Nas figuras acima podemos observar a espiral logarítmica, que tem relação com o

número áureo e, além disso, podemos expressar a equação da escala musical temperada na base áurea.

Na escala temperada temos que para r = 2,

135 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm

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9098593,1212

212

112

22

22

112

121

=⇒=

==

=

=

=

=

kk

sendok

k

r

k

k

π

πθθ

θ

θ

θ

Portanto, θ

θ

9098593,1

9098593,1

121

0594631,12 =

=r

Para colocar esta equação da escala musical temperada de base 1,0594631 na base áurea, ou seja, na base Φ , vamos considerar θ tal que πθ 20 << , e m uma constante, de modo que 2=Φ θm . Resolvendo a equação para m = 1, teremos:

440483,130103,0208978,0.

2loglog.2loglog

2

==

=Φ=Φ

=Φ

θθθ

θ

θ

Fazendo mθ = 1,440483, podemos calcular o valor para m, quando πθ 2= .

2292599,0440483,12.

2

==

=

mm π

πθ

Então, θ2292599,0Φ=r Daí, θθ 2292599,09098593,10594631,1 Φ==r Junto do número áureo, vem a seqüência de Fibonacci, que está presente na música e

também associado ao piano. Na primeira oitava temos os números 0, 1, 2, 3, 5 e 8, na segunda oitava temos 13 e 21, na terceira oitava temos o 34 e o próximo número da seqüência de Fibonacci é o 55 que está na quinta oitava e assim sucessivamente.

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Figura: 131: Números de Fibonacci na escala musical 136

Os números de Fibonacci produzem efeitos na música que são os sons com intervalos

musicais mais agradáveis que aparecem na sexta maior. Sexta maior é a distância das notas em 4 tons e meio ou 9 semitons. Por exemplo, podemos obter uma sexta maior por uma combinação de Dó e Lá, sendo a freqüência de Dó aproximadamente 264Hz e a de Lá de

440Hz. A razão entre estas duas freqüências, 35

264440

= , é uma razão entre dois números de

Fibonacci. Temos também que o som é agradável na sexta menor, ou seja, na distância em 4 tons ou 8 semitons. Por exemplo, considerando um Dó com freqüência aproximada de 528Hz

e um Mi com freqüência de 330Hz, a razão entre estas freqüências, 58

330528

= , que é outra

razão entre dois números de Fibonacci, que é bem próxima do número Φ . A sexta maior e a menor nos dão estas combinações que se aproximam de Φ e isto nos dá uma harmonia agradável. Em geral, na contagem de notas e pulsos frequentemente aparecem relações com a matemática que vêm sendo estudadas atualmente.

Recentemente em Michigan, em 1995, o matemático John F. Putz, sabendo a possibilidade do uso da Razão Áurea na música, analisou a música de Mozart nos vinte e nove movimentos de suas sonatas para piano. Estas sonatas geralmente são divididas em duas partes: a Exposição e o Desenvolvimento e Recapitulação. Na primeira, o tema musical é introduzido e na segunda, em que o tema principal é desenvolvido e recapitulado, estas peças musicais são divididas em compassos. Putz examinou as razões entre os números dos compassos nas duas seções das sonatas.

Nestes estudos, Putz obteve resultados favoráveis, pois na Sonata Nº 1 em Dó maior, a primeira parte que é a Exposição, consiste em 38 compassos e na segunda a do

Desenvolvimento e Recapitulação, possui 62 compassos, a razão 63,13862

= é próxima de Φ .

Assim, comprova que a sonata não foi feita baseada na razão áurea e apesar de ter um resultado sonoro agradável tudo indica que quanto mais perto esta razão estiver do número ouro, mais bela será a sonata.

Um compositor que provavelmente usou a Razão Áurea de forma proposital foi o húngaro Béla Bartók, um pianista que misturava o clássico com o folclore. O musicólogo Ernö Lendvai analisou a música de Bartók e concluiu que a principal característica de sua técnica é a “obediência” às leis da “Seção Áurea” em cada movimento. Exemplo disso é um movimento da fuga de “Música para cordas, percussão e celesta” em que 89 compassos dos movimentos são divididos em duas partes, uma com 55 compassos e a outra com 34 compassos. Esta divisão foi feira no mais alto, em termos do volume da sonoridade. Veja na figura: 136 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/sons_fibonacci.htm

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Figura 132: Divisão dos 89 compassos em duas partes 137

Dentro destas divisões foram feitas outras, uma marcada pela colocação ou retirada de

surdinas, ou seja, a diminuição do som dos instrumentos, e outra na mudança de textura. A primeira divisão (com 55 compassos) foi dividida em duas partes, a primeira com 34 compassos e a segunda com 21 compassos, onde as cordas removem surdinas. Já na segunda divisão dos 89 compassos, contendo 34 compassos, foram divididos em 13 e 21 compassos, e as cordas substituem surdinas. A figura abaixo expõe as divisões desses compassos.

Figura 133: Divisão dos 55 compassos e dos 34 compassos 138

Continuando a divisão dos compassos teremos que nesta última, os 34 compassos em

que as cordas removem surdinas, ficaram divididos em 21 compassos sendo o tema e na outra divisão em que as cordas substituem surdinas, os 21 compassos foram divididos em 13 e 8 compassos. A figura 134 retrata todo o procedimento:

Figura 134: Divisão dos 34 compassos e dos 21 compassos 139

137 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214. 138 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214. 139 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.

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Todos os números dos compassos são números da seqüência de Fibonacci, com as

razões próximas da Razão Áurea e como sabemos a seqüência converge para Φ . Não é só nesta obra que encontramos a seqüência de Fibonacci, ela também aparece na peça de piano solo Reflets dans l’eau (reflexos na água), a mesma semelhança nos esboços sinfônicos La Mer (O Mar), na peça para piano Jardins sous la pluie (Jardins sob a chuva), todas do compositor francês Claude Debussy. Ele comenta a obra Jardins sous la pluie em uma carta enviada ao seu editor Jacque Durand, nela ressalta o uso de um compasso que faltava na composição e escreveu: “Contudo, ele é necessário, no que diz respeito ao número; o numero divino”. Tudo indica que Debussy se referia à razão áurea e o “número divino” tinha um papel importante.

Visto anteriormente que as freqüências das notas musicais caminham em torno de uma equação exponencial e analisando a espiral de freqüências de uma oitava, podemos ter uma relação entre os números de Fibonacci e a espiral, ou melhor teremos uma espiral de Fibonacci em que as linhas poligonais da figura abaixo guardam uma relação métrica que se relaciona com o número de ouro, ou relação áurea, Φ .

A envoltória dessas linhas é uma espiral cuja equação é θΦ=r , πθ 20 ≤≤ , na forma Polar. Todos os sucessivos triângulos obtidos são triângulos semelhantes, portanto seus respectivos ângulos correspondentes são iguais entre si.

Figura 135: Espiral logarítmica formada por triângulos 140

No primeiro triângulo consideramos 1=θ radiano, calculamos o seu valor em graus,

temos que °≅=⇒°

= 5714,3

1801801

xx

π .

Como ângulo de inclinação vale aproximadamente 57°, aplicando relações trigonométricas temos que os outros ângulos são iguais a 38º e 85°.

140 Cenas da animação disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/espiralogaritmica.htm

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Figura 136: Construção da espiral 141

O raio, da espiral é dada pela expressão θΦ=r , onde 1=θ rad. Daí, Φ=r ou

podemos dizer, r = 1,618 aproximadamente. Os outros são conseqüências do produto do valor da primeira seguidamente.

Para calcular o comprimento da linha z, calcularemos as medidas dos catetos do triângulo retângulo pela relação trigonométrica e Teorema de Pitágoras.

Calculando a:

8742091,05403023,0.618,1

57cos

==

°=

aa

ra

Figura 136: Triângulo retângulo (a) 142 Calculando b:

3614738,18536109,1

764313,0617924,2

8742091,0618,1

2

2

222

222

==

+=

+=

+=

bb

b

b

bar

Figura 137: Triângulo retângulo (b) 143 Calculando z:

3672725,18694342,1

1257909,03614738,1

1257909,08742191,01

2

222

222

==

+=

+=

=−=

zz

z

dbz

d

Figura 138: Triângulo retângulo (c) 144

141 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm 142 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm 143 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm 144 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm

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Portanto a primeira linha poligonal de Fibonacci é aproximadamente 1,37. Para

calcular as demais linhas, basta saber o valor do próximo raio da espiral e usar o Teorema de Pitágoras.

Figura 139: Linhas Poligonais de Fibonacci 145

De maneira geral, podemos representar a espira logarítmica e a espiral de Fibonacci

em um mesmo plano.

Figura 140: Exponencial Fibonacciana 146

A estrutura é a mesma da concha do náutilo, (observe as espirais da figura 141), e podemos concluir que espiral logarítmica está presente não só na musica como também na natureza.

145 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm 146 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm

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Figura 141: Comparando as estruturas das espirais logarítmicas 147

Além disso, encontramos a mesma curva no violino, um instrumento musical que

chama a atenção por sua beleza tanto no som que ele emite quanto na sua aparência. Alguns violinos famosos foram feitos por Antonio Stradivari, (1644-1737) que é o

nome mais conhecido da luteria (arte de fabricar instrumentos musicais). Ele trabalhou numa oficina de Cremona, na Itália, e revolucionou a produção de violinos, violas e violoncelos. Um dos vários segredos da beleza estética dos violinos de Stradivari reside em que o seu construtor desenhava-os utilizando Seção Áurea, que representa um elemento de equilíbrio estético. O arco plano na base é centrado no ponto da Seção Áurea, a partir da linha do centro.

Desenhos originais de Stradivari, na figura abaixo, mostram que ele se preocupava em dispor geometricamente e em posições determinadas pela Razão Áurea, o lugar dos ouvidos ou das aberturas acústicas, os “efes”, estes orifícios que deixam os sons amplificados pelo corpo do instrumento atingir o espaço externo.

Figura 142: Desenho de Stradivari 148

As outras partes do violino assim como as aberturas acústicas, também estão nas proporções áureas. Como a razão entre o tamanho do braço e o comprimento total do instrumento, bem como a voluta que obedece a mesma proporção que as conchas de nautilus, na forma de uma espiral logarítmica.

147 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm 148 Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 209.

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Figura 143: As proporções no violino 149

Portanto, vimos que número de ouro está presente na música de modo geral, seja nas

escalas musicais, na divisão dos compassos, nas famosas sinfonias como a Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras, também na estrutura do violino. Outro exemplo interessante, registrado na Revista Batera em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que em seus solos curtos, aparecem tal número, se considerar as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

“A música é ao mesmo tempo um sentimento e uma ciência. Ela exige da parte daqueles que cultivam, interpretes ou compositores, uma inspiração natural que só se adquirem através de longos estudos e profundas meditações. A reunião do saber e da inspiração constitui a arte.” Berlioz.

“O homem que dedilha Bach ou Beethoven dedilha sobre logaritmos.” Frase do Prof. Luiz Barco.

149 Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• ALENCAR, Maria Efigênia Gomes de, O Número Φ e a seqüência de Fibonacci; In Física na Escola, v.5, n.2, 2004.

• BOYER, História da Matemática, 3ª ed, Ed. Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1974. • HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora

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Record, 2007. • PEREIRA, G. M. R; CÂMARA, M. A. O Pentagrama. FAMAT em Revista nº 7,

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