TD: R egime transitoire d’un circuit R-L-C; emploi d’une...
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TD: R´ egime transitoire d’un circuit R-L-C; emploi d’une r´ esistance n´ egative 1 Position du probl` eme On consid` ere un circuit form´ e d’une r´ esistance R = 20 Ω, d’un condensateur C = 0,1 μF, d’une bobine d’inductance L = 1 H et d’un dipˆ ole (D) tous en s´ erie avec un interrupteur et un g´ en´ erateur de tension continue U 0 = 2 V d’imp´ edance interne n´ egligeable. (D) est un dipˆ ole non-lin´ eaire, sch´ ematisant des dispositifs ´ electroniques du genre transistor unijonction. Sa caract´ eristique est d´ ecrite par la fonction V = V 0 + k.i.(i - i 0 ) avec V 0 = 1 V, k = 1000 Ω.A -1 et i 0 = 100 mA. 1. ´ Ecrire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par la charge q dans le circuit. 2. Calculer la p´ eriode T des oscillations libres du circuit (en l’absence de (D) et de la r´ esistance). 3. On choisit comme conditions initiales q init = 0 et i init = 10 mA. Calculer num´ eriquement le courant i(t). Expliquer le ph´ enom` ene. Solution 1. D’apr` es la loi des mailles: L. d 2 q dt 2 + R. dq dt + V + q C = U 0 . 2. En l’absence du dipˆole (D) et de la r´ esistance R, on a: L. d 2 q dt 2 + q C = U 0 ; ce qui donne une solution sinuso¨ ıdale de p´ eriode T =2.π. √ L.C. 3. En pr´ esence d’un dipˆole (D) qui pr´ esente une r´ esistance dynamique dV di = k.(i - i 0 )+ k.i = k.(2.i - i 0 ) qui peut ˆ etre n´ egative (si 2.i < i 0 ), on peut avoir une amplification des oscillations si l’effet de cette r´ esistance n´ egative l’emporte sur la r´ esistance R. 2 Code avec Mathematica Circuit RLC In[1]:=tmax=.;t=.;i=.;q=.; R=20;Capa=0.1 10^-6;L=1;U0=2; In[3]:= V0=1; k=1000;i0=0.1; UDipole[i ]:=V0+k i[t] (i[t]-i0); tmax=0.03; i[t]:=q’[t]; Sol=NDSolve[{ L q’’[t]==U0-UDipole[i]-q[t]/Capa-R i[t], q’[0]==0.01, q[0]==0}, q[t],{t,0,tmax}]; charge=q[t]/.Sol[[1]]; courant=D[charge,t]; Plot[courant,{t,0,tmax}] Out[10]= t i 1
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TD: Regime transitoire d’un circuit R-L-C;emploi d’une resistance negative
1 Position du probleme
On considere un circuit forme d’une resistance R = 20 Ω, d’un condensateur C = 0,1 µF, d’une bobined’inductance L = 1 H et d’un dipole (D) tous en serie avec un interrupteur et un generateur de tension continueU0 = 2 V d’impedance interne negligeable.
(D) est un dipole non-lineaire, schematisant des dispositifs electroniques du genre transistor unijonction. Sacaracteristique est decrite par la fonction V = V0 + k.i.(i− i0) avec V0 = 1 V, k = 1000 Ω.A−1 et i0 = 100 mA.
1. Ecrire l’equation differentielle verifiee par la charge q dans le circuit.
2. Calculer la periode T des oscillations libres du circuit (en l’absence de (D) et de la resistance).
3. On choisit comme conditions initiales qinit = 0 et iinit = 10 mA.Calculer numeriquement le courant i(t). Expliquer le phenomene.
Solution
1. D’apres la loi des mailles: L.d2q
dt2 +R.dqdt + V + qC = U0.
2. En l’absence du dipole (D) et de la resistance R, on a: L.d2q
dt2 + qC = U0; ce qui donne une solution
sinusoıdale de periode T = 2.π.√L.C.
3. En presence d’un dipole (D) qui presente une resistance dynamique dVdi = k.(i− i0) + k.i = k.(2.i− i0) qui
peut etre negative (si 2.i < i0), on peut avoir une amplification des oscillations si l’effet de cette resistancenegative l’emporte sur la resistance R.
2 Code avec Mathematica
Circuit RLC
In[1]:=tmax=.;t=.;i=.;q=.;
R=20;Capa=0.1 10^-6;L=1;U0=2;
In[3]:= V0=1; k=1000;i0=0.1;
UDipole[i ]:=V0+k i[t] (i[t]-i0);
tmax=0.03; i[t]:=q’[t]; Sol=NDSolve[ L q’’[t]==U0-UDipole[i]-q[t]/Capa-R i[t],
q’[0]==0.01, q[0]==0, q[t],t,0,tmax]; charge=q[t]/.Sol[[1]]; courant=D[charge,t];
Plot[courant,t,0,tmax]
Out[10]=
t
i
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ISEN-Brest. Kany. TD: Regime transitoire d’un circuit R-L-C; emploi d’une resistance negative
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from pylab import *
from scipy.integrate import odeint
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.0300.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
4 Complement: interet du calcul
Le dispositif (D) a une caracteristique qui schematise une partie de celle du transistor unijonction. Celle-cipresente un pic, pour un courant ip ' 4 mA et une d.d.p. Vp ' 10 V, puis il possede un domaine a resistancenegative, qui s’acheve en un point V de coordonnees (iv ' 20 mA, V ' 4 V).
Ie
VeP
V
Ce qui a ete etudie ici, c’est le comportement au voisinage du point V , moyennant une polarisation appro-priee du systeme.
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