SYNTHÈSE D’UN PID NUMÉRIQUE

T. CHATEAU, POLYTECH CF

R(z)S(z)

yc(z) y(z)+-

!(z)!GBO(z)

PID numérique :

• Combine trois actions correctives : proportionnelle, intégrale et dérivée

• Permet de corriger des systèmes d’ordre <= 2 avec peu de retard

• Peut se synthétiser à partir d’une structure RST

Introduction

Méthode simplifiée de détermination d’un correcteur PID numérique

Relation temporelle d’un PID

u(t) = kp

!!(t) +

1"i

" t

0!(#)d# + "d

d!

dt

#

Equivalent numérique

uk = kp

!

"!k +Te

"i

k#

j=0

!j +"d

Te(!k ! !k!1)

$

%

uk : signal de commande!k : signal d’erreur

Méthode simplifiée de détermination d’un correcteur PID numérique

Généralisation du critère de Ziegler-Nichols

En boucle ouverte

Méthode simplifiée de détermination d’un correcteur PID numérique

En boucle ouverte

P

PI

PID

Méthode simplifiée de détermination d’un correcteur PID numérique

Généralisation du critère de Ziegler-Nichols

En boucle fermée

Méthode simplifiée de détermination d’un correcteur PID numérique

En boucle fermée

P

PI

PID

Synthèse d’un PID numérique à partir d’une structure RST

yc(z) y(z)+-

!(z)!GBO(z)

R(z)

1S(z)

T (z)

Du PID analogique vers le PID numérique

CPID(p) = K

!1 +

1!ip

+!dp

1 + (!d/N)p

"

avec :

• K : gain proportionnel,

• !i : action integrale,

• !d : action derivee,

•!d

N: filtrage de l’action derivee

Du PID analogique vers le PID numérique

CPID(p) = K

!1 +

1!ip

+!dp

1 + (!d/N)p

"

Approximation de l’opérateur dérivée :

Approximation de l’opérateur intégral :

p!1" z!1

Te

1p!

Te

1" z!1

Formulation générale du PID numérique

C(z) =R(z)S(z)

S(z) = (1! z!1)(1 + s1z!1)

R(z) = r0 + r1z!1 + r2z

!2

C(Z) = K

!

""#1 +Te

!i

1(1! z!1)

+

N!d

!d + NTe(1! z!1)

1!!d

!d + NTez!1

$

%%&

soit,

Synthèse d’un PID numérique à partir d’une structure RST

yc(z) y(z)+-

!(z)!GBO(z)

R(z)

1S(z)

T (z)

T (z) = R(z)

R(z)S(z)

yc(z) y(z)+-

!(z)!GBO(z)

PID Structure 1

Synthèse d’un correcteur PID numérique

En trois temps :

•Calcul du modèle à obtenir

•Calcul de l’équation caractéristique (identité de Bezout)

•Identification

Synthèse d’un correcteur PID numérique1/3 : Calcul du modèle à obtenir

H+D(z) = (1! Z1z

!1)(1! Z"1z!1)

H+D(z) = 1! (Z1 + Z!

1 )z"1 + Z1Z!1z"2

h1 = !(Z1 + Z!1 )

h2 = Z1Z!1

Z1, Z!1 = exp(!!"nTe± j

!1! !2"nTe)Avec

Avec

H+D(z) = 1 + h1z

!1 + h2z!2

Synthèse d’un correcteur PID numérique2/3 : identité de Bezout

R(z)S(z)

yc(z) y(z)+-

!(z) B(z)A(z)

y

yc=

BR

AS + BR=

HN

H+D

AS + BR = H+DIdentité de Bezout

A(z) = 1 + a1z!1 + a2z

!2 + ...anz!n

B(z) = b1z!1 + b2z

!2 + ...bmz!m

(1 + a1z!1 + a2z

!2)(1! z!1)(1 + s1z!1) + (b1z

!1 + b2z!2)(r0 + r1z

!1 + r2z!2) = 1 + h1z

!1 + h2z!2

Synthèse d’un correcteur PID numérique3/3 : identification

1 + A1z!1 + A2z

!2 + A3z!3 + A4z

!4 = 1 + h1z!1 + h2z

!2

Résolution du système linéaire :

AX = B

X = A!1B

!

""#

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m34

m41 m42 m43 m44

$

%%&

!

""#

s1

r0

r1

r2

$

%%& =

!

""#

h1 + ...h2 + ...

..

..

$

%%&

PID structure 2

yc(z) y(z)+-

!(z)B(z)A(z)

R(z)

1S(z)

T (z)

yc2(z)

T (z) =H+

D(1)B(1)

PID1

• Robuste aux petites variations de modèle

• Dépassement indiciel modifié par la présence de zéros au numérateur de la FTBF

Conclusion

PID 2 :

• Pas de zéros ajoutés au système

• sensible à la variation gain statique du modèle

Exercice d’application

Correction d’un système d’ordre 1 avec retard.

yc(z) y(z)+-

!(z)B(z)A(z)

R(z)

1S(z)

T (z)

yc2(z)

!GB0(z) =B(z)A(z)

pour Te = 1sCalculez la transmittance bloquée

On veut un dépassement inférieur à 5% et un temps de pic de 4 secondes

G(p) =e!p

1 + 3p

Calculez le correcteur PID correspondant (structure 1 et structure 2)