STRUKTUR ALJABAR 1

Kristiana Wijaya

i

ii

Daftar Isi

Judul i

Daftar Isi iii

1 Himpunan 1

2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3

3 Grup 6

4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan GrupFaktor 11

Indeks 14

iii

BAB 1

Himpunan

Himpunan adalah koleksi dari objek yang well-defined. Himpunan S terdiri dari

elemen-elemen. Jika a adalah elemen di S maka kita tulis a ∈ S. Himpunan yang

tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅.

Definisi 1.1 Himpunan B adalah subset dari himpunan A dinotasikan B ⊆ A atau

A ⊇ B jika setiap elemen di B ada di A. Notasi B ⊂ A digunakan jika B ⊆ A tetapi

B 6= A.

Definisi 1.2 Jika A himpunan maka A adalah improper subset dari A. Setiap subset

dari A adalah subset sejati dari A.

Contoh 1.1 Misalkan S = {1, 2, 3}. Hipunan S mempunyai 8 subset, yaitu , {1}, {2},

{3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}

Beberapa himpunan yang digunakan dalam buku ini akan dinotasikan dengan

simbol standart, sebagai berikut:

• Himpunan bilangan bulat Z := {0, 1,−1, 2,−2, · · · },

1

• Himpunan bilangan bulat positif Z+ := {1, , 2, 3, · · · },

• Himpunan bilangan rasional Q := {mn| m, n ∈ Z dan n 6= 0},

• Himpunan bilangan rasional positif Q+ := {mn| m, n ∈ Z+ dan n 6= 0},

• Himpunan bilangan real R.

• Himpunan bilangan real positif R+.

• Himpunan bilangan real yang tidak 0 R∗.

• Himpunan bilangan komplek C.

• Himpunan bilangan komplek yang tidak 0 C∗.

2

BAB 2

Partisi dan Relasi Ekuivalen

Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan rasional Q dapat digambarkan seba-

gai himpunan S dari semua ekspresi quotient mn

dengan m, n ∈ Z dan n 6= 0. Dengan

demikian kita mempunyai 23

dan 46

adalah ekspresi dari quotient yang sama. Faktanya

setiap elemen dari Q dapat direpresentasikan oleh sejumlah tak hingga dari elemen

berbeda di S.

Ilustrasi di atas membawa kita pada fakta bahwa himpunan Q dapat di partisi ke

dalam subset yang dapat dipandang sebagai single arithmetic. Jika b adalah elemen

dari sebuah himpunan partisi maka b mereprensentasikan subset dari semua elemen

yang sama dengan b.

Contoh 2.1 23

= {23, −2−3

, 46, −4−6

, 69, −6−9

, · · · }

Definisi 2.1 Partisi dari himpunan S adalah decomposisi dari S ke dalam subset

tak kosong sehingga setiap elemen dari himpunan adalah satu dan hanya satu dari

subset. Subset ini kita namakan cells dari partisi.

3

Contoh 2.2 Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satu partisi dari S diberikan oleh cells

{1, 6}, {3}, {2, 4, 5}.

Subset {1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6} bukan partisi dari S karena 4 menjadi anggota dari

kedua subset. Subset {1, 2, 3} dan {5, 6} juga bukan partisi dari S karena 4 bukan

anggota dari keduanya.

Dua himpunan yang tidak mempunyai elemen bersama dikatakan disjoint. De-

ngan demikian cells dari partisi suatu himpunan adalah disjoint.

Bagaimana kita mengetahui apakah dua quotient mn

dan rs

dalam himpunan partisi

S pada contoh 2.1 adalah cell yang sama, yaitu merepresentasikan bilangan rasional

yang sama? Salah satu cara untuk mengetahuinya adalah dengan menyederhanakan

kedua pecahan. Hal ini mungkin tidak mudah dikerjakan; sebagai contoh, 19094897

dan

14033599

merepresentasikan bilangan rasional yang sama, karena

1909

4897=

23 · 83

59 · 83dan

1403

3599=

23 · 61

59 · 61.

Pada pecahan aritmatik kita mempunyai mn

= rs

jika dan hanya jika ms = nr. Ini

memberikan kepada kita kriteria yang lebih efisien dari masalah kita, yaitu

(1999)(3599) = (4897)(1403) = 6870491.

Misalkan a ∼ b menotasikan bahwa a ada dalam cell yang sama dengan b untuk

partisi dari himpunan S yang memuat a dan b. Jelas sifat berikut selalu dipenuhi:

• a ∼ a. Elemen a ada dalam cell yang sama dengan dirinya sendiri.

• Jika a ∼ b maka b ∼ a. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b maka b ada

dalam cell yang sama dengan a.

4

• Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c. Jika a ada dalam cell yang sama dengan

b dan b ada dalam cell yang sama dengan c maka a ada dalam cell yang sama

dengan c.

Teorema 2.1 Misalkan S himpunan tak kosong dan ∼ adalah relasi antara elemen

di S yang memenuhi sifat-sifat bahwa untuk setiap a, b, c ∈ S

1. (Refleksif) a ∼ a

2. (Symetrik) Jika a ∼ b maka b ∼ a.

3. (Transitif) Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c.

Maka ∼ membentuk partisi natural dari S, dimana

a = {a ∈ S|x ∼ a}

adalah cell yang memuat a untuk setiap a ∈ S.

Sebaliknya setiap partisi S memberikan relasi natural ∼ yang memenuhi sifat re-

fleksif, symetrik dan transitif dengan a ∼ b jika dan hanya jika a ∈ b.

Bukti:

5

BAB 3

Grup

Definisi 3.1 (Grup) Suatu grup (G, ∗) adalah sebuah himpunan tak kosong G

dengan satu operasi biner ∗, yang didefinisikan pada G, dimana untuk setiap a, b, c ∈

G memenuhi aksioma-aksioma berikut.

1. a ∗ b ∈ G,

2. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

3. Terdapat unsur e ∈ G, sehingga untuk setiap a ∈ G, berlaku e ∗ a = a ∗ e = a

(unsur e ini dinamakan unsur identitas dari grup G),

4. Untuk setiap a ∈ G, terdapat unsur a−1 ∈ R, sehingga

a ∗ a−1 = (a−1 ∗ a = e,

Grup G dikatakan komutatif jika a ∗ b = b ∗ a untuk setiap a, b ∈ G.

Selanjutnya notasi untuk grup (G, ∗) kita tulis G saja.

Contoh 3.1 Himpunan Z = (Z, +) dan M2 = (M2,×) merupakan grup. Dalam hal

ini Z merupakan grup komutatif, sedangkan M2 bukan.

6

Banyaknya unsur yang terkandung dalam suatu grup dinamakan order.

Teorema 3.1 Suatu grup G hanya memuat satu unsur identitas.

Bukti: Misalkan e dan d adalah unsur identitas di G maka untuk setiap g ∈ G

berlaku ge = eg = g dan gd = dg = g. Jadi e = ed = d.

Teorema 3.2 Setiap unsur di G hanya mempunyai satu unsur invers.

Bukti: Misalkan unsur a ∈ G mempunyai invers b dan c. Maka berlaku ab = ba = e

dan ac = ca = e. Sehingga kita punya

b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c.

Teorema 3.3 Untuk setiap a dan b di G berlaku (a−1)−1 = a dan (ab)−1 = b−1a−1.

Bukti: Untuk setiap unsur a ∈ G berlaku aa−1 = a−1a = e. Karena unsur a−1 hanya

mempunyai satu invers maka (a−1)−1 = a. Untuk unsur a dan b dengan menerapkan

sifat assosiatif kita peroleh (ab)(b−1a−1) = e dan (b−1a−1)(ab) = e. Karena invers

unsur ab tunggal maka (ab)−1 = b−1a−1.

Definisi 3.2 (Subgrup) Misal G grup dan H subhimpunan tak kosong dari G.

Maka H dikatakan subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi biner

yang sama pada G.

Teorema 3.4 Sebuah subset H pada suatu grup G disebut subgrup dari G jika dan

hanya jika e ∈ H dan untuk setiap a, b ∈ H memenuhi ab−1 ∈ H.

7

Definisi 3.3 Misalkan G grup dan a ∈ G. Subgrup yang dibangun oleh unsur a

dinotasikan (a) dinamakan grup siklik, yaitu (a) = {an|n ∈ Z. Unsur a dinamakan

generator dari G.

Contoh 3.2 1. Z = (Z, +) adalah grup siklik dengan generator 1 dan −1.

2. Z4 adalah grup siklik dengan genarator 1 dan 3, yaitu (1) = (3) = Z4.

3. Grup 4-Klein V yang dgambarkan dalam Tabel Cayley berikut adalah tidak

siklik.

· e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Semua subgrup tak trivial dari V adalah {e, a}, {e, b}, {e, c}. Diagram Lattice

dari grup 4-Klein diperlihatkan pada Gambar ??.

Misalkan G grup dan a ∈ G. Jika subgrup siklik (a) dari G finite maka order

dari a adalah |(a)|. Jika tidak maka a mempunyai order infinite. Dengan demikian

jika a ∈ G mempunyai order finite m, maka m adalah bilangan bulat positif terkecil

sehingga am = e.

Dapat dibuktikan bahwa grup siklik adalah grup yang komutatif.

Teorema 3.5 (Algoritma Pembagian) Misalkan a, b ∈ Z dengan a > 0. Maka terda-

pat secara tunggal q, r ∈ Z sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a.

Contoh 3.3 Dapatkan q, r ∈ Z jika

8

1. 38 dibagi 7.

Jawab: 38 = (5)7 + 3. Jadi q = 5 dan r = 3.

2. −38 dibagi 7.

Jawab: −38 = (−6)7 + 4. Jadi q = −6 dan r = 4.

Definisi 3.4 Permutasi σ dari himpunan A ke A adalah fungsi σ : A −→ A, σ : 1−1,

pada.

Contoh 3.4 A = {1, 2, 3}. Fungsi σ : A −→ A yang didefinisikan oleh σ(1) =

2, σ(2) = 3 dan σ(3) = 1 mrupakan permutasi karena σ : 1 − 1, pada, dan ditulis

σ =

1 2 3

2 3 1

.

Definisikan operasi perkalian permutasi pada A sebagai berikut. Misal σ dan τ

adalah permutasi pada A. Maka fungsi komposisi στ) adalah permutasi di A jika

στ : 1− 1, pada.

Contoh 3.5 Misal A = {1, 2, 3, 4} dan σ =

1 2 3 4

4 2 1 3

dan τ =

1 2 3 4

3 1 4 2

.

Maka στ =

1 2 3 4

4 2 1 3

1 2 3 4

3 1 4 2

=

1 2 3 4

1 4 3 2

.

Teorema 3.6 Misal A himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan dari semua

permutasi pada A. Maka SA membentuk grup terhadap operasi perkalian permutasi.

Definisi 3.5 Misal A = {1, 2, · · · , n}. Grup semua permutasi pada A dinamakan

grup symetric pada n letter dan dinotasikan Sn. Sn mempunyai n! unsur dengan

n! = 1 · 2 · 3 · · · n.

9

Definisi 3.6 Misal σ permutasi pada A. Kelas ekivalensi dalam A yang ditentukan

oleh relasi ekivalensi, untuk setiap a, b ∈ A berlaku a ∼ b jika dan hanya jika b = σn(a)

untuk suatu n ∈ Z adalah orbit dari σ.

Definisi 3.7 Permutasi σ ∈ Sn adalah cycle jika mempunyai paling banyak 1 orbit

yang memuat lebih dari satu unsur. Panjang cycle adalah banyaknya unsur dalam

orbit terpanjang. Permutasi σ dapat ditulis sebagai hasil kali ganda cycle-cycle.

Contoh 3.6 Orbit dari permutasi σ =

1 2 3 4 5 6 7 8

4 7 8 6 1 5 2 3

dalam S8 adalah

{1, 4, 6, 5}, {2, 7}, {3, 8}. Permutasi ini bisa kita tuliskan sebagai

σ =

1 2 3 4 5 6 7 8

4 7 8 6 1 5 2 3

= (1, 4, 6, 5)(2, 7)(3. 8).

Definisi 3.8 Cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Permutasi dikatakan

genap (atau ganjil) tergantung apakah ia dapat dinyatakan sebagai hasil kali ganda

transposisi-transposisi sebanyak genap (atau ganjil).

Contoh 3.7 Dalam S6, σ = (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) = (1, 6)(1, 5)(1, 4)(2, 5)(2, 1). Jadi σ

merupakan permutasi ganjil.

Jika n ≥ 2, koleksi dari semua permutasi genap dari {1, 2, · · · , n} membentuk

subgrup dengan order 12n! dari grup symetric Sn. Jadi banyaknya permutasi genap

dalam Sn sama dengan banyaknya permutasi ganjil dalam Sn.

10

BAB 4

Koset Dan Teorema Lagrange,

Homomorphisma Grup Dan Grup

Faktor

Teorema 4.1 Di dalam grup G terhadap subgrup H dari G, relasi ≡ ( mod H)

adalah sutu relasi ekivalensi.

Relasi ≡ ( mod H) pada grup G mengakibatkan suatu partisi pada grup.

Definisi 4.1 (Koset Kanan) Misal G grup, a ∈ G dan H subgrup dari G. Sub-

himpunan Ha = {ha | h ∈ H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan

koset kiri terhadap subgrup H adalah aH = {ah | h ∈ H}.

Perlu kita perhatikan bahwa a ≡ b( mod H) didefinisikan oleh persyaratan ab−1 ∈

H. Pengertian koset kanan Ha = {ha | h ∈ H} pada hakekatnya ditimbulkan oleh

persyaratan ab−1 ∈ H ini.

Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G kita punya

11

himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}.

Catatan: Misal G grup dan H subgrup dari G.

• Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H

selalu sama, kita namakan indeks subgrup H di G yang dinotasikan dengan

[G : H]

• Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu untuk setiap a, b ∈

G berlaku Ha = Hb atau Ha ∩Hb = ∅ dan⋃

a∈G

Ha = G.

Teorema 4.2 (Teorema Lagrange) Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup

G. Maka order H adalah pembagi order G, yaitu |H|\|G|. Akibatnya grup dengan

order prim selalu siklis.

Definisi 4.2 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg = gH untuk setiap

g ∈ G.

Teorema 4.3 Misalkan G grup dan H subgrup G. Maka pernyataan berikut eki-

valen:

1. H subgrup normal di G.

2. gHg−1 ⊆ H untuk setiap g ∈ G.

3. gHg−1 = H untuk setiap g ∈ G.

Definisi 4.3 (Homomorphisma Grup) Suatu pemetaan ϕ dari grup G ke

grup G′ disebut homomorphisma grup jika untuk setiap a, b ∈ G memenuhi ϕ(ab) =

ϕ(a)ϕ(b).

Teorema 4.4 Misalkan ϕ : G −→ G′ suatu homomorphisma grup, maka:

12

1. ϕ(e) = e′.

2. ϕ(a−1) = (ϕ(a))−1 untuk setiap a ∈ G

Definisi 4.4 (Kernel) Misalkan ϕ : G −→ G′ merupakan homomorphisma grup,

maka kernel dari ϕ dinotasikan Ker(ϕ), didefinisikan sebagai

Ker(ϕ) = ϕ−1[e′] = {a ∈ G | ϕ(a) = e′}

dengan e′ adalah identitas di G′.

Teorema 4.5 Misalkan ϕ : G −→ G′ suatu homomorphisma grup, maka ϕ : 1 − 1

jika dan hanya jika Ker(ϕ) = e.

Definisi 4.5 (Isomorphisma Grup) Jika ϕ : G −→ G′ adalah homomorphisma

yang satu-satu dan pada, maka ϕ disebut isomorphisma. Grup G dan G′ dikatakan

isomorphic jika ada isomorphisma ϕ dari G ke G′, dan dinotasikan dengan G ∼= G′.

Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G′ isomorphic adalah:

1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G′.

2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada.

3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorphisma.

Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G′ tidak isomorphic, pada prinsipnya

adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorphisma yang bersifat satu-satu dan

pada dari G ke G′. Namun tidak mungkin kita mencoba setiap kemungkinan yang

ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak bisa dibuat. Cara praktis untuk

menunjukkan dua grup G dan G′ tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat

aljabar yang tidak dipenuhi oleh kedua grup.

13

Contoh 4.1 Grup Z tidak isomorphic dengan grup Q karena Z adalah siklik sedan-

gkan Q tidak.

Misal G grup dan N subgrup normal dari G. Himpunan semua koset terhadap N di

G kita nyatakan dengan G/N . Operasi pada G/N yaitu pemetaan

× : G/N ×G/N −→ G/N

(Na,Nb) −→ N(ab)untuk setiap (Na,Nb) ∈ G/N ×G/N .

Teorema 4.6 Sistem matematika G/N = (G/N,×) membentuk grup. Grup ini kita

namakan grup kuosien atau grup faktor di G terhadap subgrup normal N .

Koset Na = aN di G/N kita tuliskan juga dengan a. Dengan notasi ini kita

punya ab = ab dan N = Ne + eN = e′ dan (a)−1 = (a−1).

Contoh 4.2 Karena Z grup komutatif, maka semua subgrup dari Z bersifat normal.

Misalkan n ∈ Z dengan n > 1 dan H = {kn | k ∈ Z}, maka H subgrup normal di Z.

Grup fakor di Z terhadap H adalah:

Z/H = {0, 1, 2, · · · , n− 1}.

Grup Z/H ini tidak lain adalah Zn.

14

Indeks

assosiatif, 6

bilangan

bulat, 1, 2

rasional, 2

real, 2

grup, 6

homomorphisma, 12

isomorphisma, 13

homomorphisma, 12

identitas, 6

invers, 6

isomorphisma, 13

kernel, 13

tertutup, 6

15