Aljabar Linear Elementer - Asimtot's Blog · a, b a b a b. 07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear...

07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG

Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Dan lain-lain


Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arahNotasi vektor

( )321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccckcjcicccc

c =++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Notasi panjang vektor⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

ccc

c

adalah2

32

22

1 cccc ++=

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu


Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

• Hasil kali silang (Cross Product)


Penjumlahan Vektor

u

v vu +

u

{

u v

vu +

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka


u

u2

u2−

Perkalian vektor dengan skalar

u ( )uk

u

uu

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kalipanjang vektor dengan arah

Jika k > 0 searah denganJika k < 0 berlawanan arah dengan


Scaling

PP

PP’’


( )3211 , aaaa = ( )321 ,, bbbb =

( )332211 ,,.1 babababa +++=+

( )332211 ,,.2 babababa −−−=−

( )321 ,,.3 kakakaak =

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka

Misalkan


Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang samayang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)


Dot Product

Misalkanadalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang

: panjang

α : sudut keduanya

αcosbaba =•

,a b

a

b

a

b


Ilustrasi dot product vektor A dan B

αcosBABA =•


Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor

danJawab :

Karena tan α = 1 , artinya = 450

= 4

ia ˆ2= jib ˆ2ˆ2 +=

αcosbaba =•

2182=


Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos αac

bα

a

b

a

b

ab −

αcos2222

babaab −+=−

αb−


Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

=θcosba⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+

22221 abba

αcos1. baba =•

222

21

2....2 naaaa ++=

222

21

2....3 nbbbb +++=

( ) ( ) ( )2222

211

2....4 nn abababab −++−+−=−

nnnn

nn

abababaaabbb

2...22......

11

222

21

222

21

−−−−+++++++=

nnbabababa +++=• ...2211


Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor padacontoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2)= 4

Beberapa sifat hasilkali titik :

1.

2.

3.

2211 bababa +=•

nnbabababa +++=• ...2211

abba •=•

( ) ( ) ( )cabacba •+•=+•

( ) Rkbkabakbak ∈•=•=• dimana,


Proyeksi Ortogonal

Karena

aproyc b=

a

b

w

cwa += ( ) bcwba •+=•

bcbw •+•=

bk

bbk

=

•=

bkc =

bahwaterlihat

2bbak •

=


Jadi, rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=342

u

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

431

v

bb

baaoyb 2Pr •=


Jawab :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+−+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−•

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=

•=

431

431

2626

431

26)12()12(2

431

)4(31

431

342

Pr

222

2 vv

vwwoyv


Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektordi Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegaklurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

321

321

ˆˆˆ

BBBABAkji

=BxAC =

kBBAA

jBBAA

iBBAA ˆˆˆ

21

21

31

31

32

32 +−=


Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)

BxAC =


Contoh :Tentukan ,dimana

Jawab :

vuw ×=

321

321

ˆˆˆ

vvvuuukji

w =

( )2,2,1 −=u )1,0,3(=v

103221

ˆˆˆ

−=kji

( ) +−−= i)2(01.2 ( ) +−− j1.1)2(3 ( ) k2.30.1 −

kji ˆ6ˆ7ˆ2 −−=


Beberapa sifat Cross Product :

a.

b.

c. ( )2222 vuvuvu •−=×

( ) 0=• vxuu

( ) 0=• vxuv


Dari sifat ke-3 diperoleh

( )2222 vuvuvu •−=×

( )222 cosα⋅⋅−⋅= vuvu

( )α22222 cos⋅⋅−⋅= vuvu

( )α222 cos1−⋅= vu

α222 sin⋅⋅= vu

αsin, ⋅⋅= vuvxuJadi


Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebutadalah

u

v

α

αsinv

u

αsinGenjangJajaran Luas ⋅⋅== vuvxu

vu ×=21segitigaLuas


Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luassegitiga ABC !

Jawab :Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)= (3, 2, 2)= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)= (1, 4, 5)

AB

AC


Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB AC×541223

ˆˆˆ kji=

kji ˆ10ˆ13ˆ2 +−=

100169421

++=Luas

27321

=


Orientasi pada titik B

=BA ba −

=BC bc −

=× BCBA

322223

ˆˆˆ

−−−−

kjijki ˆ10ˆ13ˆ2 −+−=

== BCxBA21

100169421

++

27321

=

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :

=


Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh

pasangan vektor berikut :a. dan

b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan

b. dan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=8

6v

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=73

1u

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

22

8v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

23

b

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=31

2a

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

221

b


3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=2

3u

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

137

u⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

402

v

Aljabar Linear Elementer - Asimtot's Blog · a, b a b a b. 07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear...

Documents

Transcript of Aljabar Linear Elementer - Asimtot's Blog · a, b a b a b. 07/03/2007 12:16 MA-1223 Aljabar Linear...