9/1/2014

1

1FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

LIN - BBS

MATERI :1. Bilangan 4. Turunan dan aplikasinya2. Aljabar 5. Integral dan aplikasinya3. Fungsi dan Limit 6. Matriks dan VektorgDAFTAR PUSTAKA :A. Ayres, Frank. 2006. Schaum'S: Matematika Universitas Ed.3 . Penerbit ErlanggaB. Bird, John. 2006. Higher Engineering Mathematics. 5th Ed. Elsevier LtdC. Krantz, S.G. 2003. Calculus Demystified. Mc Graw Hill Company.D. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale. 2010. Kalkulus Jilid 1. Edisi kesembilan. (Alih

bahasa : I Nyoman Susila) . Penerbit Erlangga. JakartaE. Applikasi Matematika: MAPLE (sebagai alat bantu pembelajaran)

2FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

SISTEM PENILAIAN :1. Norma Penilaian : kombinasi PAP dan PAN2.    Bobot Nilai : Tugas dan kuis : 20% , TTS : 25 % , TAS : 30%, Asistensi : 25%3.    Batasan Nilai :  N<40 : E  ;  N>=80 : A ; 40<=N<80 : D – AB

3FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

LIN - BBS

4FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

9/1/2014

2

Bilangan kompleksBilangan kompleks

Bil R lBil R l Bil I jiBil I ji

2+3i

√Bil.RealBil.Real

Bil.RasionalBil.Rasional

Bil. BulatBil. Bulat

Bil Bulat negatifBil Bulat negatif Bil CacahBil Cacah

Bil. PecahanBil. Pecahan

Bil.IrrasionalBil.Irrasional

Bil.ImajinerBil.Imajiner

0, 1, 2, 3 , 4 , . . .

0, ± 1, ± 2, ± 3 , . . ¼, ½, ¾, . . .

9/3, 16/2, ‐5/2, . . . √3, √7, √19,..

i = √-1

5FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

Bil.Bulat negatifBil.Bulat negatif Bil. CacahBil. Cacah

NolNol Bil. AsliBil. Asli 1, 2, 3 , 4 , . . .

0

0, 1, 2, 3 , 4 , . . .

-1, -2, -3 , -4 , . .

Bilangan real :• bilangan rasional dan irrasional• sebagai penanda/label untuk titik‐titik di sepanjang garis lurusg p / p j g g

garis bilangan real

• menyatakan jarak terhadap titik asal/origin (nol)

• diantara sembarang 2 bilangan real a dan b, bagaimanapundekatnya, terdapat bilangan real lain , yaitu (a+b)/2

6FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

a b(a+b)/2

• relasi urutan, (< = > )a<b ⇔ b>a  ;   a<b ⇔ b‐a pos    ;    a ≤ b ⇔ b‐a pos atau nol

Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan :• sebagai p/q dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0• sebagai desimal berulang

Bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan sbg desimal berulang√2 = 1,4142135623…..         π = 3,1415926535 …..

½ = 0,5000… ; ⅜ = 0,375000… ; ⅔ = 0,66666…3/7 = 0,428571428571428571…….

Mengubah bilangan desimal ke bilangan rasional :x = 3 929292 100x = 392 929292

7FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

x =  3,929292 …         100x = 392,929292…..x =     3,929292 …

99 x = 389jadi x  =  389/99

Urutan Operasi Hitung :OPERATOR :  + (tambah) ; ‐ (kurang) ; x , • (kali) ; : , / (bagi) ; pangkat ; √ (akar)

URUTAN pengerjaan :• Jika ada tanda kurung ( ), kerjakan terlebih dahulu ekspresi yang 

berada dalam tanda kurung. Jika terdapat tanda kurungbersarang, kerjakan terlebih dahulu ekspresi dalam tandakurung yang paling dalam, dilanjutkan tingkat berikutnya dst.

• Menarikan akar dan atau perpangkatan

8FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

• Menarikan akar dan atau perpangkatan• Pembagian dan atau perkalian• Penambahan dan atau pengurangan

9/1/2014

3

CONTOH  : 

1. (13 – 2) x 3 + 14 : (2 + 5) = 11 x 3 + 14 : 7 = 33 + 2 = 35 

2. 13 –2 x 3 + 14 : 2 + 5 =  13 – 6 + 7 + 5 = 2

3. 16:(2+6)+18 x [28: (6–2)–3]    = 16:8+ 18x[28:4‐3] 

= 2+18x(7‐3) = 74

4. 16:2+6+18 x 28:6 –2–3 = 8 + 6 + 504 : 6 – 2 – 3

9FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

4. 16:2+6+18 x 28:6  2 3     8 + 6 + 504 : 6  2  3 

=  14 + 84 – 5  =  93

Himpunan Interval Grafik Keterangan

{ x : a < x < b} (a b)( )

bterbuka

{ x : a < x < b} (a,b) a b

{ x : a ≤ x ≤ b} [a,b][ ]a b

tertutup

{ x : a ≤ x < b} [a,b)[ )a b

tertutup,terbuka

10FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

{ x : a < x ≤ b} (a,b]( ]a b

terbuka,tertutup

Himpunan Interval Grafik

{ x : x < b} (-∞,b))b{ } ( , ) b

{ x : x ≤ b} (-∞,b]]b

{ x : x > a } (a, ∞)( a

11FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

{ x : x ≥ a } [a, ∞)[ a

R (- ∞,∞)

Nilai mutlak suatu bilangan real  x, dinyatakan dengan |x| yang didefinisikan :

x jika x ≥ 0x ,  jika x ≥ 0| x | =

‐x ,  jika x< 0

|x| dapat diartikan sebagai jarak dari titik x ke titik asal pada garis bilanganreal.

|‐5|=  5 |5|= 5

12FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

0‐5 5

9/1/2014

4

|x - a| berarti jarak antara titik x dan a pada garis bil. real.

Misal : x = -3 dan a = 2, maka |x-a|=|-3 – 2|= |-5| = 5

|a-x|=|2 – (-3) |= |5| = 5

0‐3 2

| ‐3 ‐ 2 | = | 2 ‐ (‐3) | = 5

| x – a | = | a – x |

♦ |x|< a  ⇔ ‐ a < x < a ♦ |a+b| = |a| + |b|

13FSM - UKSWProgram Studi Matematika)(! Ω=∧=∀∃ xxyx α

♦ |x|> a  ⇔ x <‐ a dan x > a   ♦ |a‐b| ≥ | |a|-|b| |

♦ |ab| = |a||b| ♦ |a/b|=|a|/|b|, |b|≠0

14FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

LIN - BBS

Hukum-hukum Dasar : Misalkan a, b, c dan dmewakili empat bilangan sembarang, maka :

1 Komutatif : a + b = b + a ; ab = ba1. Komutatif : a + b = b + a ; ab = ba2. Asosiatif : a+(b+c) = (a+b)+c ; a(bc) = (ab)c 3. Distributif :

a(b + c) = ab + ac (a+b)/c = a/c + b/c(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

4 Sif t kh bil l (0)

15FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

4. Sifat khusus bilangan nol (0) :Jika a.b = 0 , maka a = 0 atau b = 0

Hukum‐hukum dasar bentuk pangkat :

=× +aaa nmnmnm

m

aa= − 10 =a

01)()(

≠

==

−

×

baabaa

n

mmm

nmnm

m

m

mm

n

bba

ba

aa

≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

0,

16FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

0, ≠= aa

an

nn mn aa =

9/1/2014

5

Bentuk-bentuk permasalahan :• penentuan hasil operasi ,

i l (3 +2 )( )misal: (3x+2y)(x-y)=

• penyederhanaan ekspresi, misal:

=−2

423

abccba ( )( )

( ) =2135

3 22

yxyxyx

17FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

• pemfaktoran,misal: 4a2bc3 – 2ac =

abc

CONTOH :

1. Jika a=2, b=-½ dan c=1½, tentukan nilai, ,dari 4a2bc3 – 2ac

2. Sederhanakan : (a2b+a3b)/a2b2

3. Sederhanakan : (x2y3z)(x3yz2)

18FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

4. Faktorkan : 21a2b2 - 28ab

• Pembagian PolinomialC b

n

n xaxaxaxaaxf +++++= ...)( 3

3

2

210

Cara bersusunCara Horner

Bagilah (5x4+3x3-2x+1) dengan (x-3)

• Teorema Faktor :Jika x=a adalah sebuah akar dari persamaan

19FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

Jika x a adalah sebuah akar dari persamaanf(x)=0, maka (x-a) merupakan faktor dari f(x)

Faktorkan : x3 + x2 + - 4x - 4

• Teorema Sisa :

2Jika (ax2 + bx + c) dibagi (x-p), maka sisanyaadalah ap2 + bp + c

Tentukan sisa pembagian (x3-6x2+x-5) oleh (x+2)

20FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

9/1/2014

6

• Persamaan Sederhanamenyelesaikan persamaan : menentukan/mencariakar-akar persamaan atau himpunan penyelesaianp p p y

Contoh : tentukan akar persamaan :

• Transposisi formula/rumus :C h Ub h b ik d L b b k

035

123

1=

++

− aa

21FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

Contoh : Ubah rumus berikut dengan L sbg subyeknya.

rCRLLm

+=

μ

• Sebuah kotak yang 2 sisi berhadapannya berbentukpersegi mempunyai panjang 15 cm lebih besar darilebarnya, sedangkan panjang total rusuk-rusuknya 2,04 y , g p j g y ,m. Hitung lebar dan volume kotak.

• Seorang tukang cat dibayar Rp.8400,-- per jam untukbekerja 36 jam dalam seminggu, dan untuk lembur iadibayar satu sepertiga kali lebih tinggi. Tentukanb j i h b k j d l i k

22FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

berapa jam ia harus bekerja dalam seminggu untukmendapatkan upah Rp.425600,--

• Sistem Persamaan Linear mencari HPCara eliminasiCara substitusi

Selesaikan sistem pers. berikut : 8x – 3y = 51 ; 3x + 4y = 14

• Persamaan Kuadrat mencari akar-akar pers.Cara pemfaktoranRumus ABC

Tentukan akar akar persamaan kuadrat berikut :

23FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut :o 8x2 + 2x – 15 = 0o 4t2 – 11t + 3 = 0

• Hukum yang menghubungkan gaya gesek F dan bebanL dalam suatu percobaan adalah F= aL + b, dimana adan b adalah konstanta. Jika F=5,6 maka L=8 dan jikajF=4,4 maka L=2,0. Berapakah nilai a dan b, juga nilaiF jika nilai L=6,5?

• Kapasitas panas molar dari suatu senyawa padatdinyatakan melalui persamaan c=a+bT dimana a dan bd l h k Jik 52 T 100 d k ik 172

24FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

adalah konstatnta. Jika c=52, T=100 dan ketika c=172T=400. Tentukanlah nilai a dan b.

9/1/2014

7

Menyelesaikan pertaksamaan : menentukan semua nilai darivariabel yang membuat pertaksamaan bernilai benar.

Sifat dan aturan dasar :

1. Penambahan atau pengurangan dengan bilangan yang sama pada kedua sisi pertaksamaan, tidak akanmerubah pertaksamaan tsb.

25FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

Contoh : Jika p > 3, maka p+5>3+5 dan p-5>3-5

Sifat dan aturan dasar :

2. Pengalian atau pembagian dengan bilanga positifyang sama pada kedua sisi pertaksamaan, tidak akanmerubah pertaksamaan tsb.Contoh : Jika p > 3, maka 2p>6 dan p/2 > 3/2

3. Pengalian atau pembagian dengan bilanga negatifyang sama pada kedua sisi pertaksamaan maka tanda

26FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

yang sama pada kedua sisi pertaksamaan, maka tandapertaksamaan berubah menjadi sebaliknya.Contoh : Jika p > 3, maka -2p<-6 dan -p/2 < -3/2

Sifat dan aturan dasar :4. Jika p/q>0, maka p/q pasti bernilai positif , dimana p

dan q masing-masing bernilai positif atau p dan qmasing-masing bernilai negatif

+/+ = + dan -/-= -

5. Jika p/q<0, maka p/q pasti bernilai negatif , dimanabila p positif maka q negatif atau bila p negatif maka

27FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

q positif+/- = - dan -/+ = -

Contoh : Selesaikan pertaksamaan berikut :

1 4+x1.

2.

0264≥

−+

xx

2543≤

+−

zz

28FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

5+z

9/1/2014

8

Aturan dasar :

• Jika x2>k maka x>√ k atau x< - √ k• Jika x >k maka x>√ k atau x< - √ k

• Jika x2<k maka -√ k < x < √ k

Penyelesaian:

• Faktorisasi

29FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx

Faktorisasi

• Melengkapkan bentuk kuadrat

Contoh:

1 x2 x 6 > 01. x – x – 6 > 0

2. t2 + 6t + 6 ≤ 0

30FSM - UKSW)(! Ω=∧Α=∀∃ xxyx