5. Apabila x= tg2α−sin2 αcotg2 α−cos2 α

dan tg α=1, nyatakanlah x sebagai fungsi dari t

6. Didalam lingkaran yang jari-jarinya r, ditarik suatu talibusur yang panjangnya sama dengan r. Nyatakanlah luas O dari tembereng lingkaran yang terkecil, yang terbentuk oleh talibusur yang memotong lingkaran itu sehingga terbagi dua, dalam r.

7. Nyatakanlah jari-jari suatu lingkaran sebagai fungsi dari panah p dan tali busur 2k dari sebuah tembereng limkaran itu.

8. Nyatakanlah sisi–sisi tegak dari suatu segitiga siku-siku sebagai fungsi dari sisi miring a dan luas

p2

9. Suatu kerucut yang tingginya h dilukiskan hingga menyelubungi bola yang berjari-jari a. Nyatakanlah jari-jari r dari alas kerucut itu sebagai fungsi dari a dan h; nyatakanlah pula h dalam a dan r ketiga, nyatakanlah a sebagai fungsi dari h dan r.

10. Sebuah kapal terbang P (lihat gambar 6; terbang setinggi h di atas permukaan bumi, yang dipandang sebagai: bola (M,r). Dari P kaki langit nampaak membuat sudut o dengan garis mendatar l, yang ditarik melalui P. Buktikanlah rumus:

cos ϕ= rr+h

(ϕ disebut silam batas pemandangan). Nyatakanlah h sebagai fungsi dari ϕ .

Koordinat

Kita lukiskan dua garis lukis yang tegak lurus timbal balik dan yang satu biasanya kita tarik dari kiri kekanan. Garis-garis itu dua-duanya disebut sumbu, maka tempat sebuah titik P pada bidang itu dapat dinyatakan dengan jarak kedua sumbu itu terhadap P. Tapi dalam pada itu mestilah jarak-jarak itu diberi tanda. Artinya kita mempergunakan jarak yang berarah guna menentukan tempat Pitu, sebab

T

p p

h p

MN

φ p

Q

Q

II y

E

F

RIII

OG

X

I

IV

D

Gmb. 6

bila tidak demikian halnya, maka jara-jarak itu untuk titik-titik Q an S umpanya akan sama pula. Untuk menghindarkan kejadian serupa itu, dibuatlah perjanjian sebagai berikut:

Jarak dari sumbu tegak lurus kepada P, yang dapat diukur melalui sumbu yang mendatar, diambil positif, apabila titik P terletak disebelah kiri dari sumbu itu. Jarak dari sumbu medatar kepada P, yang dapat diukur melalui sumbu yang tegak lurus, iambil positif, apabila titik P terletak diatas sumbu mendatar itu dan diambil negative, apabila titik P terletak dibawah sumbu itu. Jarak berarah dari sumbu tegak lurus dan sumbu mendatar kepada P itu berturut-turut disebut absis dan ordinat P. sebab itu pula

sumbu X−¿ X+¿dan Y−¿Y+ ¿¿¿ ¿¿ disebut sumbu koordinat; titik perpotongannya 0 disebut titik asal . gambar yang

dibentuk oleh kedua sumbu itu disebut salih sumbu. Susuna koordinat itu disebut telah ditentukan, apabila diberikan salih sumbu serta kesatuan panjang pada kedua sumbu itu; pada umumnya ua kesatuan panjang

itu diambil sama. Biasanya sumbu mendatar X−¿ X+¿¿ ¿ dan sumbu tegak lurus Y−¿ Y+¿¿ ¿ berturut-turut

dinamakan sumbu-x dan sumbu-y. absis suatu titik, yang diukur melalui X−¿ X+¿¿ ¿ acap kali disebut ,,x’’

dari titik P itu; ordinatnya yang diukur melalui Y−¿ Y+¿¿ ¿ disebut ,,y’’ dari P. garis lurus setengah OX+¿ ¿

dan O X−¿¿berturut-turut dinamakan sumbu x yang positif dan yang negative, sedang arahnya berturut-

turut disebut arah x yang positif dan arah yang x negative. Demikian pula OY−¿ ¿ dan OY +¿ ¿ dinamakn sunbu y yang positif dan yang negative, sedang arahnya disebut arah y yang positif dang yang negative.

Yang dimaksud dengan sudu-arah (atau sudut saja,bila tidak menimbulkan kekacauan), yang dibuat oleh garis lurus (garis lurus tengah) m dengan garis lurus (garis lurus setengah) l dan yang

dinyatakan sebagai ∠ ( l ,m), yaitu putaran yang harus dikerjakan atas l, agar l searah dengan m. maka

kecuali kelipatan yang bulat (positif, nol atau negative) dari 180 ° atau 360 ° (sesuai dengan ketentuan tentang l dan m, garis lurus ataupun garis lurus setengah), yang harus ditambahkan kepadanya, besarnya sudutyang diarahkan itu telah ditentukan oleh definisi yang diatas. Arah putaran yang positif diambil sama seperti dalam ilmu ukur sudut, sehingga sudut yang diarahkan, yang dibuat oleh sumbu y yang

positif dengan sumbu x yang positif itu umpamanya sama dengan +90 ° (+k .360 ° ) .

Pada gambar, a ialah absi dab b adalah ordinat dari P; maka titik P itu kita sebut titik P (a,b). dalam gambar, dimana sebagai kesatuan panjang kedua sumbu itu telah diambil 1 cm, dilukiskan pula

titik-titik: Q(-4,3), R(-2,-2), S(4,-3), E(0,1),F(-3,0), G(0,-112

), O(0,0).

Kedua sumbu itu membagi bidang dalam empat kuadran, yang inomori menurut cara yang sama seperti dalam ilmu ukur; dalam gambar, keempatan kuadran itu berturut-turut dinyatakan dengan I, II, III, IV. Nampaknya kedua koordinat dari sebuah titik yang terletak di I itu positif, dari titik yang terletak di II absinya negate dan ordinta nya positif, dari titik yang terletak di III kedua koordinatnya negative, sedang dari titik yang terletak di IV itu absisnya positif dan ordinatnya negative. Lain daripada itu ordinat dari sebuah titik yang terletak pada sumbu x itu sama dengan nol, sedang absis titik yang terletak pada sumbu y itu sama dengan nol pula.

Soal – soal

1. Gambarkan titik-titik yang berikut :A(20,5); B(-10,20); C(-20,-10); D(30,-20); E(17,23); F(-30,-20); G(-40,0); H(0,-25); K(28,0); L(0,5); M(15,-15); N(-25,25); O(0,0).

2. Tentukanlah (lihat soal 1) panjang mutlak dari penggal garis GK (jadi hanya panjangnya saja, dengan tidak mengingat tandanya ); demikian pula panjang mutlak dari HL, OA, OB, OC, dan OD. Tentukan pulalah jarak antara P(a,0) dan Q(b,0) untuk harga-harga a dan b yang positif maupun yang negative. Juga dari R(0,c) dan S(0,d).

3. Hitunglah jarak-jarak AB, BC, CD dan DE (lihat soal 1). Tentukan pula jarak dari titik-titik P(a,b) dan Q(c,d). apakah koordinat-koordinat titik yang yang terletak ditengah-tengah PQ?

4. Hitunglah luas segi empat, yang titik-titiknya sudutnya; A(20,15), B(-12,15), C(12,-14) dan D(20,-4); demikian pula dari segiempat yang titik titik sudutnya E(25,5), F(0,5), G(-10,-15) dan H(15,-15).

5. Hitunglah sisi-sisi serta luas segitiga-segitiga, yang titik-titik sudutnya:a) A(-16,-8), B(-16,14) dan C(24,14);b) D(-30,-30), E(30,-30), dan F(0,20);c) G(32,24), H(-20,0) dan (32,-24).

6. Tariklah garis-garis lurus GE, BK dan HC pada gambar yang dimaksud dalam soal 1; kemudian tentukanlah titik potong garis-garis ini dengan kedua sumbu gambar itu. Kerjaka demikian pula dengan AB, BC dan DA. (hendaklah soal-soal ini dipecahkan dengan mempergunakan sifat-sifat segitiga yang sebangun.

7. Tentukanlah koordinat-koordinat dari titik cermin P (p,q): a) Terhadap sumbu xb) Terhadap sumbu yc) Terhadap 0d) Terhadap garis bagi dari kuadran pertama dan ketiga e) Terhadap garis-garis dari kuadran kedua dan keempat

8. Segitiga sama sisi ABC seluruhnya terletak dalam kuadran pertama. Apabila ditentukan titik-titik

sudut A(a,0) dan B(b,0) (a>b≫0 ), carilah koordinat-koordinat dari titik-sudut yang ketiga C.

9. Bujursangkar ABCD seluruhnya terletak dalam kuadran ke-2. Apabila titik-titik sudut A(a,0) dan B(0,b) ditentukan (a<0,b<0), carilah koordinat-koordinat dari titik-titik C dan D.

10. Dari parallelogram ABCD ditentuka titik-titik sudut A( 3,5), B(7,-2), dan C(1,-7); tetapkanlah titik sudut D

11. Tentukanlah titik berat segitiga, yang titik-titik sudutnya A(-2,3), B(4,-1), C(-2,-2).

Fungsi linier y=px+q

Guna mengetahui lebih banyak tentang fungsi yang diatas, baiklah grafiknya kita gambar. Maka ibuatlah daftar yang di bawah ini:

X 0 1 2 3 4 DstY q P+q 2p+q 3p+q 4p+q Dst

Y

Ap

CE

F LG

BD

p1

11

p

p

p

pp

p

y1

q

Jadi apabila kepada x diberikan harga-harga yang naik dengan teratur, maka akan didapatlah eretan harga untuk y yang naik dengan bilangan yang sama pula. Kita akan mendapat gambar seperti yang tertera disamping ini, sudah tentu

∆ ABC ≅ ∆CDE ( AB=CD; BC=DE ;∠B=∠D ) sehingga∠CAB=∠ECD;jadi A, C dan E

terletak pada satu garis lurus; jadi juga A, C, E, F, G, dst terletak pada satu garis lurus. Apakah garis-lurus PQ itu benar-benar gambar dari grafik dari fungsi linier y=px+q ?

Akan kita buktikan, bahwa memang demikian halnya. Kita katakana, bahwa:

Dalil 1. Tiap tiap garis lurus yang tidak tegsk lurus pada salah satu sumbu ialah grafik dari fungsi linier.

Diketahui: garis lurus l , yang tidak tegak lurus pada salah sebuah sumbu.

Harus dibuktikan: l ialah grafik dari suatu fungsi linier

p

l p’

c l’ y

a o a

Bukti. Apabial l tidak tegak lurus pada sumbu x, maka l akan di potong oleh tiap-tiap garis lurus, yang membuat sudut siku-siku dengan sumbu x itu. Maka tiap-tiap titik Qpada sumbu x itu akan merupakan projeksi titik P dari l pada sumbu x, artinya, bahwa untuk setiap harga x yang diberikan, akan didapat titik P pada l, yang absisnya sama dengan x. Tinggallah kita membuktikan, bahwa untuk titikP yang di ambil sarangpada l, ordinat y dari P itu merupakan fungsi linierdari x. untuk itu maka melalui O di tarik garis lurus l, yang sejajar (atau berimpit) dengan l dan yang memotong garis lurus melalui P yang tegak lurus pada OX di P’. selanjutnya namakanlah titik potong l dengan OY itu C(0,q) dan sudut arah

yang dibuat oleh l (jadi juga oleh l)dan sumbu x itu α (−90 °<α<90 °° ) . oleh sebab itu l dan l’ sejajar

(atau berimpit), maka kedua garis lurus itu akan memotong bagian-bagian yang sama dari segala garis yang tegak lurus pada OX, sehingga bagian-bagian garis OC dan P’P itu akan sama pula (juga tandanya sama). Jadi juga perbedaan antara ordinat dari O dan C akan sama dengan perbedaan antara P’ dan P, sehingga orinat P sama dengan y-p. Apabila untuk sementara dianggap, bahwa Q terletak pada sumbu x yang positif , maka menurut ilmu ukur sudut QP’=OQ tg α , asal QP’ berturut-turut diambil positif atau negative, sesuai dengan letak P, diatas atau dibawah sumbu x, sehingga QP’ itu merupakan ordinat P’. Maka terdapatlah: y-p=x tg α. Hal ini berlaku pula, kalau Q dan O berimpit dan juga kalau Q terletak pada sumbu x yang negative. Apabila Q tidak diambil disebelah kanan, melainkan disebelah kiri O, maka

tanda absis maupun tanda ordinat P’ akan berbalik, sedang menurut ilmu ukur sudut |QP '|=|OQ|.|tg α|,

atau |y−q|=|tg α|, tetap berlaku. Umumnya akan berlaku:

OXK

x1

x xq

q’

Q

Gmb. 8.

Gmb. 9.

y=x tgα+q

Dalam hal mana tgα ≠0, oleh karena l tidak tegak lurus pada sumbu y. Nyatakanlah l itu merupakan grafik dari suatu fungsi linier.

Dalil 2. Grafik sebuah fungsi linier itu ialah garis lurus, yang tidak tegak lurus pada salah satu sumbu.

Diketahui. Fungsi linier y=px+q

Harus dibuktikan. Grafik fungsi itu garis lurus, yang tidak tegak lurus pada sumbu x dan sumbu y.

Bukti. Ada suatu sudut α , yang memenuhi syarat (−90 °<α<90 ° ) dan tg α=p; oleh karena p≠0,

maka a≠0. Menurut garis pertama garis lurus l yang melalui titik C (0 , q) dan yang membuat sudut a

dengan sumbu x ialah grafik dari fungsi linier y=x tg a+q, atau y=px+q. Oleh karena −90 °<a<90 ° dan a≠0, maka l tidak tegak lurus pada salah stu dari kedua sumbu itu. Inilah bukti dalil yang diatas. Pembaca dipersilahkan memberikan buktinya menurut gambar 9, tapi tidak dengan mempergunakan dalil pertama.

Arti koefisien-koefisien p dan q dari fungsi itu di dalam gambar grafik hendaklah diperhatikan benar-benar: p itu sama dengan tagens sudut yang dibuat oleh grafik dan sumbu x, sedang q ialah bagian yang dipotong oleh grafik itu dari sumbu y yang positif dan yang negative, dengan mengingat pula tandanya; p disebut koefisien arah garis lurus itu dan y=px+q disebut persamaan garis lurus 1; yang lebih umum lagi, yaitu:

Yang disebut persamaan sutu garis lengkung yaitu hubungan tetap antara koordinat-koordinat setiap titik pada garis lengkung itu, tapi yang tidak dipeenuhi oleh koordinat-koordinat titik mana juga, yang terletak pada garis lengkung itu.

Dalil 1a. persamaan tiap-tiap garis lurus bersifat linier.

Menurut dalil pertama, tiap-tiap garis lurus yang tidak tegak lurus pada sebuah sumbu, merupakan grafik dari suatu fungsi linier dan karena itu ia mempunyai persamaan linier yang bentuknya y=px+q. Sedang sebuah garis yang tegak lurus pada sumbu x (sumbu y) itu mempunyai persamaan yang

bentuyknya x=a ( y=a), oleh karena absis (ordinat) tiap-tiap titik pada garis lurus itu sama dengan a

dan sebaliknya tiap-tiap titik yang absisnya (ordinatnya) sama dengan a, terletak pada garis itu; akan tetapi persamaan yang terakhir itupun bersifat linier (akan tetapi garis lurus ini tidak boleh dipandang sebagai grafik suatu fungsi linier, oleh karena y(x) tak ada didalam persamaan itu dank arena itu pulalah dikecualikn dalam dalil 1).

Dalil 2a. selanjutunya dalil 2 boleh diberi bentuk yang demikian:

Tiap-tiap persamaan linier dalam x dan (atau) y itu melukiskan sebuah garis lurus.

Bentuk yang umum sekali lagi bagi sebuah persamaan linier dalam x dan y ialah: ax+by+c=0, sedang a dan b dalm bentuk itu tidak kedua-duanya sam dengan nol.

Apabila b≠0, maka persamaan itu dapat ditulis sebagai:

y=−ab

x− cb

Sehingga y itu merupakan fungsi linier dari x, apabila a≠0 pula. Maka menurut dalil 2 grafik persamaan itu berbentuk garis lurus. Itu belaku pula, apabila a=0; dalm hal ini persamaan berubah menjadi

by+c=0 dan x tidak terdapat lagi dalam persamaan yang terakhir itu. Dalam hal yang demikian tiap-tiap

titik pada grafik itu harus dipenuhi oleh y=−cb

, sedangkan absisnya boleh diambil sebarang. Oleh

karena ordinat tiap-tiap titik grafik itu sama, maka bentuk grafik itu sebuah garis lurus yang sejajar atau berimpit dengan sumbu x. koefisien arah dari garis lurus ini sama dengan 0.

Apabila b=0, sedangkan a≠0, maka persamaan berubah menjadiax+c=0. Persamaan ini tidak

lagi mengandung y , dan kita boleh menulisnya sebagai x=−ca

, sehinggan grafiknya merupakan garis

lurus yang sejajar atau berimpit sumbu y. kepada garis lurus ini diberikan koefisien arah yang sama dengan ∞, sesuai dengan perjanijian dalm ilmu ukur sudut, yang menetapkan, bahwa tangens sudut 90 ° itu sama dengan ∞.

Baiklah kita perhatikan pula soal c=0 ,b≠0. Maka persamaan itu menjadi y=−ab

x. Oleh karena

−ab

x itu melukiskan fungsi linier dari x, maka grafik yang dinyatakannya berbentuk garis lurus pula;

garis lurus itu melalui O(0,0), sebab koordinat-koordinat O memenuhi pada persamaannya. Sebaliknya setiap garis lurus yang melalui O akan mempunyai persamaan yang bentuknya y=mx, kecuali sumbu y, yang persamaannya dinyatakan oleh x=0. Dalam persamaan itu m menyatakan tangens dari sudut, yang dibuat oleh garis lurus itu dengan sumbu x

Setelah kita mengatahui, bahwa bentuk grafik dari fungsi linier itu sebuah garis lurus, maka mudahlah kita menggambar grafik dari fungsi linier y=px+q; maka garis lurus yang melalui kedua titik itu ialah grafik yang ditanyakan. Biasanya kita mengambil titik-titik potong grafik dengan kedua sumbu koordinat (apabila titik-titik itu ada), kecuali jika kedua titik itu berimpit, letaknya berekatan sekali, atau jatuh diluar gambar. Ordinat titik potong dengan sumbu x itu sama dengan nol, sehingga absisnya sama

dengan –qp

(titik nol dari px+q), sedang titik potong dengan sumbu y itu absisnya 0, jadi ordinatnya

sama dengan q. Maka kemudian ditariklah garis lurus melalui titik-titik A(−qp

,0) dan B (0.q ) (lihat

Y

B

q

OA φ

X

Y

X

P

O φ

pa

P’Gmb. 10. Gmb. 11.

gmb.10); garis lurus melalui titik-titik A dan B tak dapat ditarik setepat-tepatnya, apabila titik-titik itu sangat berdekatan; dalam hal itu maka ditentukan titik-titik yang ketiga

pada garis lurus, umpamanya titik C (2,2 p+q ) .

Jika q=0, maka A dan B berimpit di 0, (lihat gbr. 11); selanjutnya grafik y=px

dapat ditentukan oleh titik yang lain P(a , pa); dalam bentuk yang terakhir itu

harga a boleh diambil sebarang (asal≠0).

Apabila p=0, maka ymerupakan bilangan yang tetap, sedang harganya sama dengan q; gambar grafiknya merupakan garis lurus yang sejajar dengan sumbu x. Bila juga q=0, sehingga y=0, maka sumbu x itulah yang menggambarkan grafiknya.

Contoh: Guna menjelaskan uraian yang diatas itu, dibawah ini diberikan beberapa contoh.

1. Gambarlah grafik fungsi y=−2x+5 dan hitunglah sudut yang dibentuk oleh grafik itu dengan sumbu x.

Jalan (lihat gmb.12). Grafik itu memotong sumbu x dititik A, yang ordinatnya 0, jai yang

absisnya 212

(hal itu dapat dicari dari bentuk −2 x+5=0), sedang sumbu y dipotong nya di titik

B, yang ab sisinya 0, sehingga ordinatnya sama dengan 5. Dengan demikian garis lurus itu telah

ditentukan oleh dua titik A(212

,0) dan B (0,5 ). Guna menyelidiki kebenaranya telah

digambarkan pulatitik C dari grafik, yang mempunyai absis 1, jadi yang ordinat nya −2+5=3. Sesudah itu misalkanlah, bahwa sudut yang dibentuk oleh garis lurus itu dengan sumbu x sama dengan φ; maka tg φ=−2, sehingga diperoleh φ=−63 ° 26 ' 6 ' '.

2. Gambarlah garis lurus l, yang dinyatakan denagn persamaan x+3 y−3=0; grafik fungsi linier yang manakah garis lurus itu? Gambarkan pulalah garis lurus m, yang dinyatakan dengan persamaan x−2 y+7=0 dan tentukankah titik potong serta sudut, yang dibuat oleh m dengan l.

Jalan(lihat gmb.13). garis lurus l melewati titik-titik A (3,0 ) dan B(0,1), sehingga

mudahlah ia digambarkan. x+3 y−3=0 memberikan y=−13

x+1, sehingga l itu merupakan

grafik fungsi linier −13

x+1.

O

B

Y

A φ X

C

Gambar 12

φD

B

Y

Garis lurus m melalui titik-titik C (−7,0) dan D(0,312). Umpamakanlah bahwa l dan m

itu potong memotong dititik S; maka koordinat-koordinat S haruslah memenuhi kedua persamaan yang diberikan diatas. Maka koordinat-koordinat S itu dapat diperoleh dengan mencari x dan y

dari: { x+3 y=3x−2 y=−7

, sehingga didapatlah x=−3, y=2. Maka l dan m itu akan berpotongan

dititik S(−3,2).

Akhirnya koefisien arah dari l dan m itu berturut-turut −13

dan −12

; namakanlah sudut

arah yang dibuat oleh garis-garis itu dengan sumbu x α dan β, maka akan diperolehlah tg α=−13

dan tg β=12

. Sudut φ yang dnyatakan itu sama dengan α−β, sehingga

tg φ=tg (α−β )= tg β−tgα1+tg β tg α

=

12+1

3

1−16

=1, alhasil φ=45 °.

3. Tentukanlah persamaan garis lurus yang membuat sudut 135 ° dengan sumbu x yang melalui titik

P(3 ,−2). Jalan. Persamaan yang dinyatakan itu dapat ditulis dalam bentuk y=px+q;Dalam bentuk itu p=tg135 °=−1, sedang koordinat-koordinat titik P harus pula memenuhi persamaan itu, sehingga didapatlah:

−2=3 p+qJadi q=−2−3 p=1, sehingga persamaan yang diminta itu ialah:

y=− x+1 , atau x+ y−1=04. Tentukanlah persamaan garis lurus yang dihitung dari titik 0, memotong bagian-bagian a dan b dari

kedua sumbu itu (a≠0≠b). Jalan. Garis lurus yang dimaksud itu melalui titik-titik (a ,0) dan (0 , b), sehingga persamaannya

dinyatakan oleh xa

÷yb=1, sebab bentuk ini dipenuhi oleh koordinat-koordinat dari titik-titik

yang diatas.

βAOC X

O O

Y

XS

X

Y

S

Gmb. 13.

Gambar grafik dari y=px+q (dalam persamaan ini p dianggap ≠0) itu ternyata

melukiskan sebuah garis lurus, yang memotong sumbu x dititik S(−qp

,0). Garis lurus itu oleh

titik S dibagi menjadi 2 buah garis lurus putus; garis lurus putus yang terletak di atas sumbu x baiklah dinamakan bagian grafik yang positif, sedang garis lurus putus yang terletak dibawah sumbu x dinamakan bagian grafik yang negative.

Jika p itu positif, maka bagisn grafik yang positif terletak disebelah kanan S(lihat gm.14), sedang jika p negatif, bagian grafik yang negative itulah yang terletak dikanan S (liaht gmb. 15).

Maka nyatalah pula kebenaran pendapat yang kita peroleh pada hal. 14, yang boleh pula dikatakan demikian:

Apabila p pos, maka y=px+q(lihat gmb. 14) { 1.¬. untuk x dikiri titik nol ;

2.noluntuk x=−qp

;

3. pos .untuk x dikanantitik nol .

Apabila p neg, maka y=px+q(lihat gmb. 15) {1. pos .untuk x dikiri titik nol ;

2.nol untuk x=−qp

;

3.¬. untuk xdikanan titik nol .

Soal-soal1. Gambarlah grafik dari fungsi-fungsi yang berikut: 1) y=2x+16; 2) y=2x−14 ; 3) y=2x; 4)

y=23

x−5; 5) y=−23

x+15; 6) y=x ; 7) y=− x

2. Gambarlah garis lurus yang mempunyai persamaan:

1) y=2x+18; 2) y=−12

x+5; 3) y=67

x−13; 4) y=−116

x+12

Apakah yang dapat diketahui dari 1) dan 2)? Dan dari 3) dan 4)?3. Gambarlah garis lurus yang mempunyai persamaan 3 x−4 y+7=0; grafik fungsi linier yang

manakah garis lurus itu? Tentukan sudut φ, yang dibuat oleh garis-garis lurus dengan sumbu x?4. Diketahui titik-titik G(0,12), H(0,-17) dan K(17,5). Tentukanlah persamaan garis lurus yang

melalui G, yang koefisien arahnya 112

; demikian pula dari garis-garis lurus melalui H, yang

koefisien arahnya −34

dan begitu pula garis lurus melalui K yang koefisien arahnya −234

5. Tentukanlah persamaan-persamaan (lihat nomor 4) garis lurus GH,GK dan HK. Grafik fungsi linier yang manakah HK itu?

6. Selidiki, adakah titik-titik yang dibawah ini terletak pada garis lurus yang diberikana) A(-5,-6) pada 4 x+2 y+3=0b) B(3,-19) pada 7 x− y=40c) C(-12,-4) pada 3 x−9 y+1=0

Gmb. 14. Gmb. 15.

d) D(a+b,a-b) pada ax+by+b2=a2+2ab

e) E(12

a ,−12

b) pada 2ax−2by=a2+b2

7. Berapakah harga absis titik P, apabila diketahui, bahwa P(x1 ,5) terletak pada garis lurus

y=8x−19? Berapakah ordinat R apabila R(5, y1) terletak pada garis lurus 12 y=11 x−19; dan

ordinat S, apabila S(-4,y2) terletak pada garis lurus 3 x+2 y+5=0?

8. Tentukanlah koordinat-koordinat titik A( p ,2 p), apabila titik itu terletak pada garis lurus

x+3 y−7=0. Demikian pula dari B(3 x ,2q) apbila B terletak pada garis lurus 4 x+2 y=199. Tentukanlah tempat kedudukan segala titik-titik, yang absisnya 3 kali sebesar ordinatnya. Grafik

fungsi yang manakah tempat kedudukan itu?10. Buatlah sebuah fungsi linier dalam x, yang positif untuk x>a dan negative untuk x<a. Buat

pulalah sebuah fungsi lain, yang positif untuk x<b dan negative untuk x>b.11. Untuk harga-harga x yang manakah fungsi-fungsi yang berikut nol, positif dan negative?

a) y=2x−30;

b) y=3 x−15;

c) y=−12

x+14;

d) y=−12

x−3

12. Untuk harga-harga x yang manakah fungsi-fungsi yang berikut nol, positif dan negative?

a) y=px+q;

b) y=−px+q;

c) y=px−q;

d) y=−px−q(p dan q menyatakan bilangan positif).

13. Untuk harga-harga x yang manakah bentuk 3 x+5maupun bentuk 5−12

x itu lebih besar daripada

no? pertanyaan serupapula untuk 3 x+5 dan 12

x−5; juga untuk 16−2xdan 13−13

x.

14. Untuk harga-harga x yang manakah pecahan-pecahan yang dibawah itu positif? Dan untuk harga-harga x yang mana negative

a) x+62x−8

;b¿6−x

2x−8;c ¿

6−12

x

5−x

15. Untuk harga-harga x yang manakah pecahan px−qrx−s

itu negative?(p,q,r dan s itu menyatakan

bilangan yang positif).16. Pecahan ketidaksamaanyang berikut:

a)5−2 x

7−13

x←5; b¿

x−312

2−3 x>12.

17. Buktikanlah, bahwa dua garis lurus yang koefisien arahnya sama, berjalan sejajar. Apakah perhubungannya antara koefisien arah dari dua garis lurus yang tegak lurus timbale balik?

18. Tentukanlah koordinat-koordinat titik potong garis-garis yang berikut:

a) { 9x−16 y=4513x−17 y=10

; b) { 38

y=12

x−24

27

y=−13

x−11

19. Tentukanlah persamaan garis lurus, yang menghubungkan titik asal dengan titik potong garis-garis lurus 2 x+5 y−3=0 dan 3 x−2 y+6=0

20. Buktikanlah, bahwa grafik-grafik y=2x+1 , y=4 x−1 dan y=12(7 x−1) melalui satu titik.

Kemudian gambarlah ketiga grafik itu.21. Tentukanlah persamaan-persamaan garis lurus, yang digambar pada gmb. 16-19 (kesatuan

panjang : 12

cm

Telah kita lihat, bahwa fungsi y=ax+b(a≠0) terus menerus naik atau terus menerus turun,

apabila kepada x diberikan harga-harga yang semakin lama semakin besar; fungsi itu naik, jika a positif dan turun, jika a itu negative. Maka fungsi itu akan melalui segal mjacam harga dari −∞hingga +∞ (a pos), atau dari +∞ hingga −∞ (a neg). jadi pada suatu ketika fungsi itu mestilah mencapai harga nol;

Oa X

Y

p

O

Y

OX

X

O X

Y Y

hanya sekali saja harga itu dicapai, sebab fungsi itu terus menerus naik atau terus menerus turun. Dengan demikian akar persamaan ax+b=0 hanyalah ada sebuah. Dengan gambar hal ini mudah sekali diperlihatkan. Bila a≠0, grafik fungsi y=ax+b itu merupakan sebuah garis lurus, yang memotong sunbu x disatu titik saja; ordinat titik itu sama dengan nol ; jadi oleh absis titik itu ax+b disamakan dengan nol; maka apabila a≠0. Akar persamaan ax+b itu tidaklebih daripada sebuah saja.

Selanjutnya hendak kita selidiki pecahan dua persamaan, yang mengandung dua bilangan, yaitu:

{ax+by=c ……….(1)px+qy=r ……….(2)

Dalam gambar 20 telah kita lihat, bahea tiap-tiap persamaan itu menyatakn sebuah garis lurus (lihat gmb.20). maka x dan y dapat ditentukan dari kedua persamaan itu dengan mencari koordinat-koordinat sebuah titik S, yang terletak pada garis lurus yang pertama, maupun pada garis lurus yang kedua, jadi yang merupakan titik potong garis-garis itu. Umpamakanlah bahwa koordinat-koordinat titik potong S itu, sehingga diperoleh:

{a x1+b y1−c=0p x1+q y1−r=0

Tentang titik potong S itu, nampaklah dua hal yang istimewa yakni (lihat gnb. 20):

1. Kedua garis lurus itu berjalan sejajar.

Dalam hal itu koefisien arahnya tentu sama, sehingga: −ab

=−pq

,atauap=b

q, sedang

garis-garis itu akan memotong sumbu y (atau sumbu x) pada titik-titik yang berlainan, jadi ab

≠rq

(atau ca

≠rp

), atau ≠cr

(atau ap

≠cr

).

Jadi apabila ap=b

q≠

cr

, maka kedua garis lurus itu berjalan sejajar dan tidak mempunyai titik

potong (dalam daerah yang terbatas); sesungguhnyalah persamaanb (1) dan (2) dalam hal itu berlawanan (lihat gmb 7), atau dengan kata-kata lain: susunan itu tidak dapat dipecahkan.

2. Kedua garis lurus itu berimpitDalam hal ini tidak hanya koefisien arahnya yang harus sama, titik potongnya dengan

sumbu y (atau dengan sumbu x) pun harus pula berimpit, sehingga dipenuhilah syarat yang berikut:

ap=b

q= c

rMaka persamaan-persamaan (1) dan (2) itu bergantung (lihat gmb. 7) dan pemecah

susunan banyaknya tidak berhingga. Sesungguhnyalah jumlah titik-titik yang terletak pada kedua garis itu banyaknya tidaka berhingga, yaitu segala titik dari salah satu garis lurus yang diketahui itu.

SOAL-SOAL

1. Gambarlah grafik fungsi y=1a

x+5; untuk a hendaklah berturut-turut diambil harga 1,2,3,5,10.

Tentukanlah titik nol fungsi bagi tiap-tiap grafik itu.

Carilah x dan y dari susunan-susunan persamaan yang diberikan dibawah ini dan gambar pula grafiknya:

2. {7 x−2 y=65x+3 y=22

3. { 3x+5 y=721x+35 y=50

4. { 4 x−3 y=1312x−9 y=39

5. Selidiki, apakah garis lurus 3 x−2 y=5 itu telah melalui titik potong 13 x+43 y=37 dan

74 x+209 y=200.

6. Tentukanlah persamaan garis lurus, yang menghubungkan 0 dengan titik potong 2 x−3 y=7 dan

5 x+ y=3, tapi tiada dengan menentukan titik potong kedua garis lurus yang terakhir itu.

PERSAMAAN KUADRATPemecahnya

Pada hal 4 telah kita lihat, bahwa bentuk umum persamaan kuadrat itu diwujudkan oleh:

a x2+bx+c=0 (a≠0)Dalam pada itu biasanya diusahakan, agar supaya a positif; maksud itu dapat tercapai jua,

meskipun tanda a itu negative, yaitu dengan jalan memperbanyak segala suku ruas pertama dengan

bilangan -. Apabila kofaktor a dari x2 itu sama dengan 1, maka diperolehlah bentuknya yang biasa:

x2+bx+c=0Suatu persamaan disebut persamaan kuadrat yang sejati, bila kofaktor b dari x itu sama dengan nol

dan disebut persamaan kuadrat yang tidak lengkap, apabila suku yang diketahui c sama dengan nol. Adakalanya persamaan disebut persamaan kuadrat yang tercampur, jika b≠0. Untuk selanjutnya perkataan ‘persamaan kuadrat’ itu sekali-kali disingkat menjadi p.k. Maka didapatlah ikhtisar yang berikut:

Bentuk umum ax2+bx+c=c {p . k . sejati{ax2+c=0x2+c=0

bentuk biasa x2+bx+c=0 {p . k . tak lengkap {ax2+bx=0x2+bx=0

pemecahnya p.k. yang tak lengkap ax2+bx=0 itu mudah saja, sebab persamaan ini ekivalen (lihat

dalil ke-3 hal. 7) dengan susunan dua persamaan: ax+b=0 , x=0, yang kedua-duanya bersifat linier.

Maka unutk persamaan itu didapatlah akar-akar x1=−ba

dan x2=0.

Juga p.k. yang sejati mudah dikembalikan menjadi dua persamaan linier, yang ekivalen dengan persamaan yang asli itu. Setelah diperbanyak dengan a, persamaan itu menjadi:

a2 x2+ac=0,atau a2 x2−(√−ac)2=0, atau:

(ax−√−ac ) ( ax+√−ac )=0

Nyatakanlah persamaan itu (lihat pila hal 7) ekivalen dengan susunan persamaan-persamaan:

(ax−√−ac )=0 , (ax+√−ac )=0, sehingga untuk akar-akar itu didaptkanlah harga-harga:

x1=√−ac

a, x2=

−√−aca

Akar-akar itu dapat segera diketahui dari:

x2=−ca

=−ac

a2 ; akan tetapi cara ini tidak memperlihatkan, bahwa persaam itu tidak mempunyai akar-

akar yang lain daripada yang didapatkan diatas. Agaknya persamaan kuadrat sejati mempunyai dua akar riil yang berlawanan, bila tanda a dan c itu sama, sedang kedua akar itu sama dengan nol, jika c=0.

Juga pemecahan persamaan kuadrat dalam bentuk umumnya dapat dikembalikan menjadi pemecahan dua persamaan linier. Adakalanya ruas pertama dari persamaan yang telah dijabarkan kepada nol itu mudah diuraikan menjadi factor-faktor linier. Misalnya demikian:

1. x2−17 x+60=0; setelah diuraikan, diapatlah ( x−5 )(x−12), yang memberikan x1=5 , x2=12

2. x2−x−30=0; setelah diuraikan, diapatlah ( x+6 )(x−5), yang memberikan x1=−6 , x2=5

3. 3 x2−x−2=0; setelah diuraikan, diapatlah ( x−1 )(3 x+2), yang memberikan x1=1 , x2=−23

.

Jika ruas pertama bisa ditulis sebagai selisih dua bilangan kuadrat, maka penguraianpun dapat pula segera ditulis, misalnya:

4. 4 x2+4 x−5=0; yaitu (2 x+1 )2−(√6 )2=0, jadi (2 x+1+√6 ) ( 2x+1−√6 ).5. 5 x2−6 x+9=0; ruas pertama diperbanyak dengan 5, sehingga diperoleh: 25 x2−30 x+45=0;

yaitu (5 x−3)2+36=0, atau (5 x−3)2−(6 t)2=0,sehingga penguraian itu menjadi:

5 x−3−6 i¿ (5 x−3+6 t )=0, yang memberikan x1.2=13(3±6 i)

Dengan jalan yag sama seperti dalam contoh yang terakhir, soal yang umum kita pecahkan, yakni demikian:

a x2+bx+c=04 a2 x2+4 abx+4 ac=0

×4 a

(2ax+b)2−(b2−4ac )=0Sehingga diperoleh:

2ax+b=±√b2−4 ac… ……………………………… (1)Dari bentuk yang terakhir itu untuk akar-akar persamaan didapatlah rumus:

x1.2=−b±√b2−4ac

2a………… ……………………………… (2)

Apabila b2−4 ac=0, maka kedua persamaan linier (1) itu menjadi 2ax+b=0. Dalam hal itu dikatakan,

bahwa persamaan mempunyai dua akar yang sama −b2a

, atau bahwa persamaan itu mempunyai akar

kembar −b2a

. Demikianlah persamaan x2−6 x+9=0 mempunyai dua akar yang sama 3, sedang x2=0

mempunyai akar kembar, yang sama dengan 0.

6. 7 x2+13x−2=014 x+13=±√169+56=±15

14 x1=2, jadi x1=17

;14 x2=−28, jadi x2=−2

7. x2−3 x√3+4−√6=0

2 x−3√3=±√27−16+4√6=±√11+2√24=±(√8+√3) Sehingga : 2 x1=¿ 3√3+2√2+√3¿, jadi x1=¿2√3+√2¿

2 x2=¿ 3√3−2√2−√3¿, jadi x2=¿√3−√2¿

8. ( p+q ) x2+rx−p−q=0

2 ( p+q ) x+r=±√r2+4 ( p+q )( p+q+r )=±√4 ( p+q )2+( p+q ) r+r2

¿±(2 p+2q+r )

Sehingga: x1=2 p+2q+r−r

2( p+q)=1 dan

x2=−2 p−2q−2r

2( p+q)=−p+q+r

p+q

9. (a2−b2 ) x2−2a2 bx+a2 b2=0

2 (a2−b2 ) x−2a2 b=±√4 a4 b2−4 a2 b2(a2−b2) , jadi:

2 (a2−b2 ) x=2a2 b±√4a2 b4=2a2 b±2ab2, sehingga:

(a2−b2 ) x1=a2b+ab2=ab (a+b ) , jadi x1=ab

a−b

(a2−b2 ) x2=a2b−ab2=ab (a−b ) , jadi x2=ab

a+b

10. 6 x2+19xy+3 x−7 y2+22 y−3=0

6 x2+(19 y+3)x−7 y2+22 y−3=0,jadi:

12 x+19 y+3=±√361 y2+114 y+9+168 y2−528 y+72=±(23 y−9),yang memberikan:12 x1=−19 y−3+23 y−9=4 y−12, jadi

x1=13( y−3) dan

12 x2=−19 y−3−23 y+9=−42 y+6, jadi

x2=12(−7 y+1)

Dalam uaraian yang diatas itu ternyata, bahwa persamaan kuadrat itu(jadi yang koefisien x2nya

tidaka sama dengan nol) hanya mempunyai dua buah dan tidaka lebih daripada dua buah akar saja(yang dalam hal yang luar biasa mungkin sama). Bahwasanya persamaan persamaan semacam itu tidak dapat

mempunyai akar-akar yang berlainan lebih daripada dua buah, mudah pula iperlihatkan dengan bukti khayal.Umpama saja persamaan:

a x2+bx+c=0(a,b dan c itu tidak ketiga-tiganya sama dengan nol) mempunyai tiga akar yang berlainan, misalnya x1 , x2

dan x3, maka akan diperolehlah:

a x12+b x1+c=0 1 a ( x1

2−x22 )+b (x1−x2 )=0

a x22+b x2+c=0 -1 1 a ( x2

2−x32 )+b ( x2−x3 )=0

a x22+b x2+c=0 -1

Oleh karena x1−x2≠0 dan x2−x3≠0, maka akan didapatlah:

a (x¿¿1+x2)+b=0¿ 1

Maka tentu akan diapat a=0; dan bila demikian halnya, bentuk a (x¿¿1+x2)+b=0¿ akan berubah

menjadi b=0 dan menurut ketentuan-ketentuan yang diperoleh tentulah c=0Kesimpulan ialah: apabla dari suatu persamaan yang derajatnya tidak lebih daripada dua diketahui,

bahwa ia dipenuhi oleh harga-harga anu, yang banyaknya lebih daripada dua, maka segala koefisiennya sama dengan nol.

Sifat yang terakhir itu adalah suatu hal yang luar biasa dari salah satu akibat dalil sisaPemecahan suatu persamaan tingkat tinggi, yang dapat dijabarkan kedalam bentuk:

a p2+bp+c=0Sedang P itu merupakan bentuk, yang pada umumnya mengandung anu dalam setinggi-tingginya

derajat kedua, dapat ikembalikan kepada pemecah beberapa persamaan kuadrat. Untuk itu P dari persamaan kuadrat yang diatas (dalam P) dipecahkan seperti biasa, kemudian dicarilah bilangan anu itu

dari tiap-tiap persamaan: P=P1 , P=P2

Sekedar sebagai penjelasan, dibawah diberikan sebuah contoh:

11. Pecahkanlah persamaan:

(x2+x+1 ) (x2+x−33 )+93=0Jalan. Misalkanlah y=x2+x+1, maka persamaan itu menjadi:

y ( y−34 )+93=0, atau y2−34 y+93=0Persamaan yang terakhir itu memberikan: y1=3 dan y2=31.

Dari x2+ x+1=3 didapat x2+ x−2=0, yang menghasilkan x1=−2 dan x2=1.

Dari x2+ x+1=31 didapat x2+ x−30=0, yang menghasilkan x3=−6 dan x4=−5.

Maka hasil yang dinyatakan itu ialah: x1=−2, x2=1,x3=−6 dan x4=−5.

Dalam contoh yang diatas, bentuk x2+ x+1 telah kita misalkan y; dalam hal yang demikian

dikatakan, bahwa kita telah memasukan anu yang baru (yaitu y).

Pemecahan umum dari persamaan kuadrat

a x2+bx+c=0Itu memberikan jalan pula kepada kita untuk menguraikan bentuk a x2+bx+c=0 kedalam dua factor

linier. Demikian jalannya:

a x2+bx+c=014

a ( 4a2 x2+4abx+4ac )= 14

a {(2ax+b )2−(b2−4ac )}

= 14

a (2ax+b+√b2−4ac ) (2ax+b−√b2−4ac )

=a (x+ b+√b2−4ac2a )(x+ b−√b2−4ac

2a )Dalam bentuk itu b+√b2−4 ac

2a dan b−√b2−4 ac

2a adalah lawan daripada akar-akar persamaan

a x2+bx+c=0, yaitu x1 dan x2

Maka telah terdapatlah:

a x2+bx+c=a (x−x1 ) (x−x2 )…………… (3)Sedang x1 dan x2 dalam bentuk ini merupakan akar-akar dari a x2+bx+c=0

Cara mempergunakan metode yang diatas itu hendak kita jelaskan dengan contoh, terutama

bentuk-bentuk seperti a P2+bP+c, yang mengandung bentuk sebarang P.

12. Uraikanlah: 6 x2+ x−35jalan. Bentuk itu sama dengan 6 (x−x1 ) (x−x2 ), sedang x1 dan x2 itu akar-akar persamaan

kuadrat 6 x2+ x−35=0.

Rumus itu dipecahkan dengan rumus (1), yang menghasilkan 12 x1,2+1=±√841=±29,

sehingga x1=−212

dan x2=213

; maka 6 x2+ x−35=6(x+212 )( x−2

13 )=(2 x+5 )(3x−7).

13. Uraikanlah: 3 x2−17 xy+10 y2.

Jalan. Suku tiga yang diatas itu kita pandang sebagai suatu bentuk dalam x; maka penguraiannya

menjadi 3 (x−x1 ) (x−x2 ), sedang x1 dan x2 itu menyatakan akar-akar dari persamaan kuadrat:

3 x2−17 xy+10 y2=0

Persamaan itu memberikan: 6 x1,2−17 y=±√169 y2=±13 y, sehingga x1=23

y dan x2=5 y.

Maka persamaan itu menjadi:

3(x−23

y) ( x−5 y )=(3 x−2 y )(x−5 y ).

14. Uraikanlah: a2+ab−3 ab−c2−2b2.

Jalan. Bentuk yang diatas itu dipandang sebagai bentuk berpangkat dua dari a; penguraiannya

yaitu: (a−a1 )(a−a2), sedang a1dan a2 itu merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat:

a2+b .a=(2b2+3bc+c2 )=0

Kita mendapat: 2a1.2+b=±√9b2+12bc+4c2=±(36−2c ), sehingga a1=−2b−c dan

a2=b+c. Maka penguraian itu menjadi: (a+2b+c )(a−b−c). Bentuk yang diberikan itu boleh

pula dipandang sebagai bentuk dalam b atau bentuk dalam c.

15. Uraikanlah: x ( y+z)2+ y (z+x )2+z (x+ y )2−4 xyz.

Jalan. Bentuk ini dipandang sebagai fungsi pangkat kedua dalam x; setelah disusun, bentuk itu menjadi:

( y+z ) x2+( y+z)2 x+ yz ( y+ z)Factor y+z itu mudah sekali terlihat, sehingga tinggalah kita menguraikan:

x2+ ( y+ z ) x+ yz=( x+ y )(x+z )Jadi bentuk yang diberikan itu ternyata dapat diuraikan menjadi:

( x+ y ) ( y+z )(x+z )Hal mana mudah pula diperoleh dengan mempergunakan dalil sisa. Dalam hal ini persamaan kuadrat yang bersangkutan agakny a tidak perlu dipecahkan terlebih dahulu.

16. Uraikanlah kedalam factor-faktornya (atau: ubahlah kedalam bentuk logaritma):

sin2 α−sin2 β+sin2 γ−2 sinαcosβsinγ .Jalan. Bentuk ini dipandang sebagai fungsi derajat kedua dalam sinα; mula-mula ditentukanlah akar-akar persamaan kuadrat dalam sinα, yaitu:

sin2 α−2cosβsinγ . sinα−sin2 β+sin2 γ=0Maka didapatlah:

2 sinα1.2−2cosβsinγ=±√4 cos2 β sin2 γ+4 sin2 β−4sin2 γ

(sinα)1.2=cosβsinγ ±√sin2 β−sin2 β sin2 γ

¿cosβsinγ ± sinβcosγ=sin (γ ±β ) Jadi penguraian itu:

{sinα−sin ( β+γ ) } {sinα+sin ( β−γ ) }

¿4 cos12

(α+ β+γ )sin12

(α−β−γ ) sin12

(α+β−γ )cos12(α−β+γ )

Bentuk yang diberikan itu boleh juga dipandang sebagai fungsi derajat kedua dalam sinγ; akan tetapi bentuk itu bukan suatu fungsi derajat kedua dalam sinβ(melainkan dalam cosβ).

SOAL-SOAL

1. ( x+2a ) ( x+18 a )=(2x+5a)2

2. 3 x (2 x−8 )=x (5 x−24 )+2(x2−4 )3. 27(a−x )2−43=77−3(a−x )2

4. x2−bx=cx5. ( x−1 ) ( x−2 )+( x−1 ) ( x−3 )+( x+1 ) (x−5 )=0

6. ( x+6 ) ( x+7 )=( 3x−√21 ) (x−√21 )+21

7. ( x−a )2+ ( x−b )2=a2+b2

8. x2+2x (a−b )+(a−b)2=a (a−2b )+(b−x )(b+2x )9. (x−1)2+3x−3=0

10. x2−201 x+200=0 ; x2−2ax+a2−b2

11. x3+8 x2+16 x−1=(x+3)3

12. ( px+q)2−(qx+p)2=0( p2 ≠q2)( px+q)2+(qx+ p)2=0 (p2+q2 ≠0)

13. p(x+a)2−q(x+b)2=014. 4 x2−43 x+108=0 ;255 x2−431x+182=015. 117 x2−10 x−187=0 ;6 x2+7 x√2−6=016. (x−1)3+( x−1 )2 ( x−2 )−2(x+1)3=0

17. x2−(a+b−1 ) x+ab−b=0

18. (b+1 ) x2−(b2+b+1 ) x+b=0(b≠−1)19. (a+b ) (ab x2−2 )=(a2+b2)x20. (a−b ) x2−(a2+ab+b2 )x+ab (2a+b )=0

21. x2−2 x∑ a2+∑ a4+∑ a2 b2=2ab∑ a(tigabilangan)22. x6−35 x3+216=023. x8−97 x4+1296=024. (x2−3 x+5 ) (x2−3 x−7 )+27=0

25. (x2+5 x+2 ) (3 x2+15 x+7 )=1426. ( x−2 ) ¿27. ( x+3 ) ( x+8 ) (x+13 ) ( x+18 )=51

28. (2 x+1)8−13 (4 x2+4 x+1)2+36=0Uraikanlah bentuk-bentuk yang berikut kedalam factor linier:

29. a)2 x2+89 x−5913; b)26 x2+17 xy−15 y2.

30. a) a2b2+ab√3−18; b) 12 p3+7 p√ p−1031. x2+2xy−4 xz−2 yz+3 z2

32. 6 x2−xy+x−2 y2+11 y−1533. (a−b)2 x2+(a4−2a2b2+b4+1 )xy+2(a2+b2) y2

34. (a2−4 b2 ) x2+2(a3+2b2)x+a4−b4

35. (a2∓b2) x2+(a2+6 ab+b2) xy−2(a2−b2) y2

36. x2 ( y2−z2)−2 x ( y2−z2−4 yz )−3 y2−8 yz+3 z2

37. a) x2+2x √ p+q+2q ;b¿ 9x2+9 x √3−19+5√3

Sifat-sifat akarKetika mencari akar-akar persamaan kuadrat

a x2+bx+c=0 ,(a≠0)Telah ternyata, bahwa persamaan itu sederajat dengan kedua persamaan linier 2ax+b=±√b2−4 ac.

Meskipun kita menganggap, bahwa koefisie-koefisien a,b dan c itu riil, akar-akar persamaan itu

belum tentu riil pula. Hal itu tergantung daripada tanda b2−4 ac; jika tandanya positif maka √b2−4ac

itu riil dan tidak sama dengan nol, sehingga persamaan mempunyai dua akar yang riil serta berlainan. Jika

b2−4 ac=0, maka akar-akarnya riil, tapi sama, sedang harganya sama dengan −b2a

(bandingkanlah

dengan hal. 64-64). Bila b2−4 ac negatif, bentuk √b2−4ac bersifat khayal, sehingga persamaan itu

tidak mempunyai akar. Rupa-rupanya hal riil atau tidaknya daripada akar-akar itu ditentukan oleh tanda

dari bentuk b2−4 ac. Bentuk itu disebut diskriminan dari persamaan a x2+bx+c dan biasanya ia

dinyatakan dengan huruf D; bentuk itu pada pemecahan persamaan terdapat dibelakang tanda akar.Maka kita telah mendapatkan:

Akar-akar persamaan a x2+bx+c=0 (a≠0 ;a , bdanc riil) itu:

Riil dan berlainan, jika D=b2−4ac >0;

Riil dan sama , jika D=b2−4ac =0;

Tidak riil, jika D=b2−4ac <0.

Hal rasional atau atau tidaknya dari aka-akar persamaan itu ditentukan oleh diskriminan. Sebabnya,

bila D itu merupakan kuadrat dari bilangan yang rasional, maka √D itu rasional pula dan sifat itu berlaku

juga bagi akar-akar persamaan; dalam hal yang sebaliknya √D (jika D>0) tidak rasional, sehingga akar-

akar persamaan tidak terukur pula.

Jika a, b dan c itu bilangan-bilangan yang riil (a≠0),sedang ,sedang D≥0, jadi akar-akar

a x2+bx+c=0 itu riil juga, maka dapatlah selanjutnya kita menyelidiki tanda akar-akar itu. Pemeriksaan

itu biasanya dilakukan dengan pertolongan tanda-tanda jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan. Dari:

{2a x1=−b+√b2−4 ac

2ax2=−b−√b2−4 ac

Diperoleh dengan jalan menjumlah dan memperbanyakkan:

x1+ x2=−ba

: x1 x2=ca

Selanjutnya didapatkan pula:

(x1−x2 )2=¿¿Sehingga:

D≡b2−4 ac=a2 (x1−x2 )2

Maka ternyatalah pula, bahwa jika akar-akar persamaan itu riil dan berlainan, sedang a itu suatu bilangan yang riil pula D>0: bahwa D=0, jika akar-akarnya sama, dan bahwa D<0, jika a riil, sedang akar-akarnya tidak riil.

Bila persamaan a x2+bx+c=0 tidak mempunyai akar yang sama dengan nol, maka bilangan a itu

riil, tanda akar-akar persamaan itu (setelah dianggap, bahwa akar-akar itu riil) memberikan:1 °. Kedua akar persamaan itu positif, sehingga jumlah dan hasil kalinyapositif2 °. Sebuah akar positif, sedang akar yang kedua negative, sehingga hasil kalinya negative dan

jumlahnya positif atau negative, tergantung dari akar yang harga mutlaknya terbesar,positif atau negative (apabila harga mutlak dari kedua akar itu sama, artinya bila akar yang pertama berlawanan dari akar yang kedua., maka jumlahnya sama dengan nol).

3 °. Kedua akar itu negative; jumlahnya bertanda negative dan hasil kalinya positif.Apabila akar-akar persamaan itu riil, maka sebaliknya tanda akar-akar itu ditentukan oleh tanda

junlah dan hasil kalinya. Oleh sebab tanda jumlah dan hasil kali akar-akar itu dapat diketahui dengan

segera dari tanda koefisienkoefisien persamaan, tanda akar itupun dapat diketahui dari tanda koefisien-koefisien itu.

Pembicaraan yang diats itu hendak kita jelaskan dengan beberapa buah contoh:

1. Buktikan, bahwa persamaan yang koefisien-koefisien riil

(a−b+c ) x2+4 ( a−b ) x+( a−b−c )=0Mempunyai aka-akar yang riil pula.bilamana akar-akarnya sama?Jalan. Mula-mula kita menentukan diskriminannya:14

D= {2 ( a−b ) }2−(a−b+c ) (a−b−c )=4 (a−b )2−{(a−b )2−c2 } ¿3(a−b)2+c2 ≥0,

Sehingga akar-akarnya mestinya riil. Akar-akar itu hanya akan sama, apabila D=0, jadi jika a=b dan c=0. Tapi bila demikian halnya, maka segala koefisien persamaan yang diberikan itu menjadi nol, sehingga kejadian ini tidak perlu dipandang lebih lanjut. Lain daripada itu akar-akar persamaan merupakan bilangan yang riil yang harganya berlainan.

2. Untuk harga-harga m yang manakah, akar-akar persamaan x2−2 (1+3m ) x+7 (3+2m )=0itu

sama?Jalan. Diskriminan persamaan itu m mesti sama dengan nol; maka diperoleh pulalah: 14

D=(1+3m)2−21+14 m=0, atau 9m2