STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

A. DISTRIBUSI T – STUDENT ( DISTRIBUSI T )

Untuk sampel nukuran n ≥ 3, taksiran σ 2 dapat diperoleh dengan menghitung nilai S2.

Bila n ≥ 30, maka S2 memberikan taksiran σ 2 yang baik dan tidak berubah dan distribusi

statistik ¿ masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah normal baku z.

Bila ukuran sampel ( n < 30 ), nilai S2 berubah cukup besar dari sampel ke sampel dan

distribusi peubah acak ¿ tidak lagi distribusi normal baku.

Dalam hal ini didapatkan distribusi statistik yang disebut T

Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampel acak berasal dari populasi

normal.

T=¿¿

Dengan ,

Z= X−μσ /√n

Berdistribusi normal baku,dan

V=(n−1 ) S2

σ2

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat

kebebasan v. Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

Diberikan oleh,

Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

1 Kelompok 6

T= X−μS/√n

T= Z√V /v

h (t )=Γ [ ( v+1 ) /2 ]Γ (v /2 ) √πv (1+ t 2

v )− ( v+1 )/ 2

0

α

tt tt 1

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan

variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel n→ ∞ kedua distribusi

menjadi sama. Pada gambar dibawah diperlihatkan hubungan antara distribusi normal baku (

v=∞) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2 dan 5.

Karena distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t 1−α=−t α;

yaitu, nilai t yang luas sebelah kanannya 1−α, atau luas sebelah kirinya α , sama

dengan minus nilai t yang luas bagian kanannya α .

Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung pada bagaimana pentingnya μ.

Bila μ ingin ditaksir dengan ketelitian yang tinggi, sebaiknya digunakan selang yang lebih

pendek seperti −t 0,05 sampai t 0,05.

Contoh soal

1. Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata – rata

selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu.

Bila nilai t yang dihitung terletak antara −t 0,05 dan t 0,05 maka pengusahan pabrik tadi akan

mempertahankan kenyakinannya. Kesimpulan apa yang seharusnya dia ambil dari sampel

dengan rataan x= 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam? Anggap bahwa distribusi

waktu menyala, secara hampiran, noramal.

Jawab :

Dari tabel 5 diperoleh t 0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan 24. Jadi pengusaha tadi akan

puas dengan keyakinananya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711

dan 1,711. Bila memang μ = 500, maka

t=518−50040 /√25

=2,25

2 Kelompok 6

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat

kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila

μ>500, nilai t yang di hitung dari sampel akan lebih wajar. Jadi pengusaha tali

kemungkinan besar akan menyimpilkan bahwa produksinya lebih nbaik daripada yang

diduganya semula.

B. Distribusi F

Statistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang bebas, masing

– masing dibagi dengan derajat kebebasannya.

Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing – masing berdistribusi khi-kuadrat

dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Maka distribusi peubah acak :

Diberikan oleh

ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan v1 dan v2

3 Kelompok 6

F=

Uv1

Vv2

h ( f )=Γ [ (v1+v2) /2 ] ( v1/v2 )v1 /2

Γ ( v1/2 ) Γ (v2/2 )f

12 ( v1−2)

(1+v1 fv2 )

12 ( v1+ v2)

= 0 , 0 < f < ∞ , untuk f lainnya

6 dan 24 d. k

6 dan 10 d. k

0 f

0f f

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada kedua parameter v1 dan v2 tapi juga pada

urutan keduanya ditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka kurvanya menjadi

tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F

Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F

Lambang f α nilai f tertentu peubah acak F sehingga disebelah kanannya terdapat luas

sebesar α . Ini digambarkan dengan daerah yang dihitami pada gambar 2. Pada tabel

memberikan nilai f α hanya untuk α=0,05 dan α=0,01 untuk berbagai pasangan derajat

kebebasan v1 dan v2 Jadi, nilai f untuk derajat kebebasan 6 dan 10 , sehingga luas daerah

sebelah kanannya 0,05 adalah f 0,05=3,22.

4 Kelompok 6

Gambar 1

Gambar 2

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

Tulislah f α (v1 , v2) untuk f α dengan derajat kebebasan v1 dan v2, maka

Bila S12 dan S2

2 variansi sampel acak ukuran n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi

normal, masing-masing dengan variansi σ 12 dan σ 2

2, maka

Berdistribusi F dengan derajat kebebasan v1=n1−1 dan v2=n2−1

Contoh :

Tentukan nilai dari F 0,05 (12,20)

Penyelesaian :

Diketahui :

p = 0,05

V 1=12 , V 2=20

Ditanya : F = . . . . ?

Jawab :

F 0,05 (12,20) = 2,28

P = 1 – 0,05 = 0,95

F 0,95 (20,12) = 1

F 0,05(12,20)= 1

2,28=0,04

Jadi nilai F 0,05 (12,20) adalah 0,04

5 Kelompok 6

f 1−α ( v1 , v2 )= 1f α ( v2 , v1 )

F=S1

2/σ12

S22/σ2

2 =σ2

2 S12

σ12 S2

2

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

KESIMPULAN

6 Kelompok 6

STATISTIKA MATEMATIKA I 2011

DAFTAR PUSTAKA

Budiyono . 2004 . STATISTIK UNTUK PENELITIAN . Surakarta : Sebelas Maret

Univercity.

Sudjana . 1992 . METODA STATISTIKA . Bandung : Tarsito Bandung

7 Kelompok 6