2012 1 Matematika II Pusat Bahan Ajar dan eLearning Dian Widi Astuti http://www.mercubuana.ac.id

1

Sistem koordinat silinder – lingkaran

Sistem koordinat silinder – lingkaran adalah sebuah versi tiga dimensi dari sistem

koordinat polar. Di dalam sistem koordinat polar dua dimensi, sebuah titik dikenali

letaknya dengan mendefinisikan jarak ρ dari titik tersebut ke pusat koordinat, dan

sebuah sudut φ yang terbentuk antara garis yang menghubungkan titik itu ke pusat

koordinat dengan suatu garis rujukan yang didefinisikan sebagai

φ = 0 . Sistem

koordinat silinder-lingkaran, yang merupakan sebuah sistem tiga dimensi, diperoleh

dengan cara mendefinisikan pula jarak z dari titik tersebut ke suatu bidang rujukan

z = 0 ,

yang mana bidang ini tegak lurus dengan garis

ρ = 0 . Untuk meringkaskan penamaan,

kita akan menyebut sistem koordinat silinder-lingkaran sebagai sistem koordinat silinder

saja. Untuk pembahasan kita di sini tidak kita bahas, tetapi perlu kita mengetahui bahwa

terdapat sistem-sistem koordinat silinder lainnya seperti koordinat silinder-elips, silinder-

hiperbola, koordinat silinder-parabola dan sebagainya.

Berbeda dengan sistem koordinat persegi, kita tidak lagi menarik tiga garis sumbu

untuk koordinat silinder. Seperti telah disinggung sebelumnya, kita harus memandang

sebuah titik sebagai perpotongan antara tiga buah permukaan yang saling tegak lurus.

Permukaan-permukaan ini adalah sebuah permukaan selubung silinder beralas

lingkaran ( ρ = konstanta), sebuah bidang datar ( φ = konstanta) dan sebuah bidang

datar lainnya (z = konstanta). Kita telah berkenalan dengan konsep padanannya untuk

koordinat persegi, di mana sebuah titik merupakan lokasi perpotongan antara tiga buah

bidang datar (x = konstanta, y = konstanta, dan z = konstanta). Tiga permukaan

konseptual untuk koordinat silinder ditampilkan sketsanya dalam gambar 2a. Perhatikan

bahwa ketiga permukaan ini dapat mendefinisikan titik manapun di dalam ruang,

terkecuali titik-titik yang berada pada sumbu z, yang dapat didefinisikan dengan

permukaan saja.

2012 2 Matematika II Pusat Bahan Ajar dan eLearning Dian Widi Astuti http://www.mercubuana.ac.id

2

Gambar 2. (a) Tiga permukaan yang saling tegak lurus di dalam sistem koordinat silinder-

lingkaran. (b) Tiga vektor satuan untuk sistem koordinat silinder-lingkaran. (c) Satuan volume

diferensial di dalam sistem koordinat silinder-lingkaran;

elemen panjang.

dρ , ρdφ dan dz

adalah elemen-

Vektor satuan a ρ

di titik P(ρ1 ,φ1 , z1 ) mengarah radial ’keluar’ dari pusat koordinat, dan

normal atau tegak lurus terhadap permukaan ρ = ρ1 . Vektor ini terletak pada

permukaan φ = φ1

dan permukaan

z = z1 . Vektor satuan aφ

adalah normal terhadap

permukaan φ = φ1 , mengarah menuju pertambahan nilai koordinat φ, terletak pula di

permukaan

z = z1

dan merupakan garis tangen bagi permukaan selubung silinder

ρ = ρ1 . Vektor satuan a z sama dengan vektor satuan a z

dalam sistem koordinat

persegi. Gambar 2b menampilkan ketiga vektor satuan untuk sistem koordinat silinder

ini.

2012 3 Matematika II Pusat Bahan Ajar dan eLearning Dian Widi Astuti http://www.mercubuana.ac.id

3

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z

(1)

Gambar 3. Hubungan antara variabel-variabel koordinat persegi x, y dan z dan variabel-variabel

koordinat silinder ρ, φ dan z. Tidak ada perbedaan untuk varibel z antara kedua sistem

koordinat.

Dari sudut pandang yang sebaliknya, kita dapat pula menyatakan variabel-variabel

koordinat silinder dalam suku-suku x, y dan z

ρ = x 2 + y 2

φ = tan −1 y x

(2)

z = z

Kita akan memandang variabel jarak dari titik yang bersangkutan ke titik pusat koordinat

yaitu ρ sebagai selalu bernilai positif, sehingga hanya tanda positif yang digunakan

untuk nilai akar pada persamaan (2). Nilai yang benar untuk sudut φ ditentukan dengan

menilik tanda positif/negatif dari nilai-nilai x dan y. Maka, jika x = −3 dan y = 4 , pastilah

titik yang bersangkutan berada di kuadran kedua sehingga

ρ = 5 dan φ = 126.9° . Untuk

2012 4 Matematika II Pusat Bahan Ajar dan eLearning Dian Widi Astuti http://www.mercubuana.ac.id

4