Sistem Koordinat

32
SISTEM KOORDINAT PERSEGI (Rectangular Coordinates) / Sistem Koordinat Kartesian

description

sistem koordinat rectangular, silinder dan bola

Transcript of Sistem Koordinat

Page 1: Sistem Koordinat

SISTEM KOORDINAT PERSEGI

(Rectangular Coordinates)

/

Sistem Koordinat Kartesian

Page 2: Sistem Koordinat

Representasi Koordinat Rectangular

Bentuk Umum vektor

dalam koordinat

Rectangular :

A = Ax ax + Ay ay + Az az

(x,y,z)

x

y

z

Page 3: Sistem Koordinat

SISTEM KOORDINAT SILINDER

(Cylindrical Coordinates)

Page 4: Sistem Koordinat

Representasi Koordinat Silinder

Representasi polar pada bidang :

φρ

Page 5: Sistem Koordinat

φρ

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

Page 6: Sistem Koordinat

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

φρ

Page 7: Sistem Koordinat

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

φρ

Page 8: Sistem Koordinat

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

φρ

Page 9: Sistem Koordinat

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

φρ

Page 10: Sistem Koordinat

Koordinat silinder hanya menambahkan sumbu z pada

koordinat polar (ρ,φ).

Representasi Koordinat Silinder

φρ

Page 11: Sistem Koordinat

(ρ,φ,z)

Representasi Koordinat Silinder

φρ

φρ

Bentuk Umum vektor

dalam koordinat

silinder :

A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az

Contoh penerapan :

persoalan pada kabel

Page 12: Sistem Koordinat

(ρ,φ,z)Rectangular → Silinder :

Silinder → Rectangular :

Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)

φρ

φρ

( )

zzxy

yx

=

=

+=

φ

ρ

tan

222

( )( )

zzyx

===

φρφρ

sincos

Page 13: Sistem Koordinat

Contoh (1) :

Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung

jarak dari A ke B.

Jawab :

Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih

dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.

Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)

Page 14: Sistem Koordinat

Jawab :

Titik B dalam koordinat Rectangular :

Konversi Rectangular↔Silinder (Skalar)

x = ρ cos φ = 4 cos (–50o) = 2,571

y = ρ sin φ = 4 sin (–50o) = - 3,064

z = z = 2

79,63)064,6()571,0(R

a3a064,6a571,0

a)12(a)3064,3(a)2571,2(R

222AB

zyx

zyxAB

=+−+=

+−=

++−−+−=

Page 15: Sistem Koordinat

Transformasi vektor :

Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)

aρ aφ az

ax cos φ - sin φ 0ay sin φ cos φ 0az 0 0 1

yx

x

aaaVertikalaaaHorisontal

φφ

φφ

ρ

φρ

sincos:sincos:

+=

−=

Page 16: Sistem Koordinat
Page 17: Sistem Koordinat

Contoh (2) :

Nyatakan vektor dalam sistem koordinat

silinder di titik A(2, 3, 5).

Jawab :

Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk

menghitung sudut φ di titik A, yaitu :

Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)

zyx aaaR 424 −−=

o11 3,5623tg

xytg ===φ −−

Page 18: Sistem Koordinat

Jawab :

Konversi Rectangular↔Silinder (Vektor)

aρ aφ azax cos φ = 0,555 - sin φ = - 0,832 0ay sin φ = 0,832 cos φ = 0,555 0az 0 0 1

z

z

aaaaaaaaR

4438,4556,04)555,0832,0(2)832,0555,0(4

−−=

−−−−=

φρ

φρφρ

Page 19: Sistem Koordinat

Komponen luas pada koordinat silinder :

Dimulai dengan gambarawal koordinat silinder.

Perluas radius silindersebesar ∆ ρ

ρ

ρ +∆ ρ

ρ

Koordinat Silinder : Eleman Luas

Page 20: Sistem Koordinat

r+∆r

r

Diperoleh radius silinder dalam sebesar ρ dan

radius silinder luar sebesar ρ +∆ ρ.

ρ

Koordinat Silinder : Eleman Luas

ρ +∆ ρ

Page 21: Sistem Koordinat

Selanjutnya perhatikan komponen sudut φ.

Kita tambahkan bagian kecil sebesar ∆ φ.

φ

φ∆ φ

Koordinat Silinder : Eleman Luas

Page 22: Sistem Koordinat

φ

Koordinat Silinder : Eleman Luas

Page 23: Sistem Koordinat

Selanjutnya diperoleh potongan ∆ z .

Koordinat Silinder : Eleman Luas

Page 24: Sistem Koordinat

Elemen luas diperoleh dari :

Koordinat Silinder : Eleman Luas

φρρ dddA ≈

Page 25: Sistem Koordinat

Elemen volume diperoleh dari :

Koordinat Silinder : Eleman Volume

dzdddV φρρ≈

So . . .

dzddzfS

φρρφρ∫∫∫ ),,(

Page 26: Sistem Koordinat

Integration in Cylindrical Coordinates.

dV r dr d dz≈ θ

We need to find the volume of this little solid.Since the volume is just the base times the height. . .

So . . .( , , )

S

f r z r dr d dzθ θ∫∫∫

Page 27: Sistem Koordinat

SISTEM KOORDINAT BOLA(Spherical Coordinates)

Page 28: Sistem Koordinat

(x,y,z)

Diketahui sebuah titik dalam

koordinat rectangular. Titik ini

dapat dinyatakan dalam

koordinat bola dgn komponen

sbb :

1. Jarak dari pusat koordinat

rectangular ke sembarang

titik → r

⥤ Permukaan r

merupakan sebuah

selubung bola

r

Representasi Koordinat Bola

Page 29: Sistem Koordinat

Komponen-komponen pada

sistem koordinat bola :

2. Sudut θ → merupakan

sudut antara sumbu z

dengan garis yang ditarik

dari pusat koordinat ke

titik yang dibicarakan.

Nilai θ :

θ

πθ ≤≤0

Representasi Koordinat Bola

Page 30: Sistem Koordinat

Angle is called φ.

Komponen-komponen pada

sistem koordinat bola :

3. Sudut φ → merupakan

sudut antara sumbu x

dengan proyeksi garis

dari pusat ke titik yang

dibicarakan pada bidang

z = 0

Nilai θ : πφ 20 ≤≤

Representasi Koordinat Bola

Page 31: Sistem Koordinat

Rectangular → Bola : Bola → Rectangular :

Konversi Rectangular↔Bola (Skalar)

xy

zyxz

rzyxr

1

222

1

222

tan

)1800(cos

)0(

=

≤≤++

=

≥++=

φ

θθ

θφθφθ

cossinsincossin

rzryrx

===

Page 32: Sistem Koordinat

TERIMA KASIH !!!!!