Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 13/11/01

Applicando il teorema cinematico dell’ analisi limite,determinare il carico di collasso Ps al variare del parametropositivo γ.

2/ p F L

ϑ 02πϑ< <

Comportamento el. pl. Von Mises

Applicando il Th. cinematico,determinare la migliore stima delcarico di collasso nella classe dimeccanismi assegnati

Domini di interazione N - M per travi elasto-plastiche.Definizione, proprietà, esempio.

2�

�

γ P

2�

P

0

0 costante

γ >M2�

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 8/01/02

�

2kk

p

Elementi finiti isoparametrici

Applicare il metodo diRitz per lo studio dellatrave di Timoshenkoin figura.

p

k� �

�

�

A

•Calcolare lospostamento delnodo A facendo usodi elementi CST

• ν = 0

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 25/01/02

A

P

k

�

32�

�

• ν = 0•1 EF CST1 EF a 4 nodi

Determinare lospostamentoverticale delpunto A

� �

�

�

p�

p Per la struttura infigura determinare ilvalore del carico dicollasso o una suaragionevoledelimitazione

Flessione elasto-plastica di travi

60°

324

k E=i

P

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 07/02/02

� �

� p

k�

1

1

�4EI

�2EI

�26EI

�312EI

�26EI

�26EI

�26EI

�312EI

A1

A2

A1

A2

σ2 L

σ−2 L

σ L

σ

σ

ε

ε

Impostare la soluzione del telaio in figura usando tre elementifiniti di trave di Eulero Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.

Determinare il diagramma di interazione M-N per lasezione in figura

Metodo misto per la determinazione di una delimitazionebilaterale del moltiplicatore di carico a collasso

=�

36EIk

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 21/02/02

Th. EPT, ECT: enunciati ed utilizzo nell’analisi strutturale

γ >0

0costanteM

Applicando il teoremacinematico dell’ analisilimite, determinare ilcarico di collasso Ps alvariare del parametropositivo γ.

�

2

�

γP

�

2

P

� 2

b b

b

b

pmax

p(x)

1 2

34

yx Determinare il vettore

dei carichi equivalentinodali per l’elementofinito in figura.

p(x) parabolico

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 15/04/02

A1 σ2 L

σ−2 L

σ

b

b

Th. Statico dell’analisi limite.Ipotesi, enunciato, dimostrazione, esempio.Soluzione mediante programmazione matematica.

Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

A2ε

b

Area b2

A1σ

A2σ L

ε

p

k2p

3

2

16

EA GA

EI GA

GAk

∗

∗

∗

=

=

=

Impostare la soluzione del telaio in figura usando due elementi finiti di trave di Timoshenko.

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/06/02

• g carico permanente

• P carico accidentale

• M0 costante

• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare della posizione xpdel carico P

• Si assuma:

xp

4 4

3

5

βP [F]g [F/L]

α= = =0p2

M 60 ; P g ; x 4 ;g 11

Assemblare il sistema risolvente della struttura in figura utilizzando 3 elementi finiti CST.

Sul retro è riportata la matrice di rigidezza di un generico CST.

Problema piano negli sforzi

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

___

Sci

enza

del

le C

ostr

uzio

ni 2

21

0DWULFH

�GL�ULJLGH]

]D�SHU�HOHPHQ

WR�&

67

() (

)(

)(

)(

)(

)(

)(

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)(

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)(

)(

)(

)

+++

++

++

++

++

++

++

++

++

++

=

2 333

2 311

33

333

312

2 333

2 311

32

333

211

32

332

312

2 233

2 211

32

333

212

32

333

211

22

332

212

2 233

2 211

31

333

111

31

333

112

21

332

111

21

332

112

2 133

2 111

31

333

112

31

333

111

12

332

112

21

332

111

11

331

112

2 133

2 111

4

EG

FG

FE

GF

EG

FG

EG

VLPP

EE

GF

FG

FE

GF

EG

EG

FG

EF

GF

EG

FF

GE

EG

FE

GF

EG

FG

EG

EE

GF

FG

FE

GE

FG

EE

GF

FG

FE

GE

FG

EG

FG

EF

GF

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FF

GE

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FE

GF

EG

FF

GE

EG

FE

GF

EG

FG

EG

$W

.

.

()

()

()

()

()

()

1 12 1

33 1

1 12

2 13 1

1

2 21 2

31 2

3 22

3 22 2

1

[[

F[

[F

[[

F

[[

E[

[E

[[

E

−=

−=

−=

−=

−=

−=

(

)(

)(

) ∗+

=∗

−=

∗−

=∗

∗∗

∗

ννν

ν1

21

133

212

211

(G

(G

(G

,,

X1

X2

U4

U1

U2

U6

U3

U5

1

23

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 04/07/02

• g carico permanente

• P carico accidentale

• M0 costante

• β > 0

• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del valore del momento M0 α= =2

0M g ; P g ;

Risolvere il telaio in figura usando elementi finiti di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.

= 3k 6EI

Introduzione al legame costitutivo elasto-plastico

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/07/02

Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Risolvere il problema piano in figura utilizzando 2 elementi finiti CST (ν=0)

Il teorema cinematico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione, esempio

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 10/09/02

• M0 costante

• β > 0

•

• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare dell’angolo α.

α π≤ ≤0 2

Problemi a potenziale risolti mediante elementi finiti

Risolvere il telaio in figura usando elementi finiti di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.

= =3 2k 3EI ; W 2p

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 12/11/02

γ≤ ≤0 1• M0 costante

•

a) Per g = 1/2: scelto un meccanismo lecito, determinare una delimitazione bilaterale del moltiplicatore di collasso applicando il metodo misto.

b) Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del parametro g.

Calcolare il fattore di forma a della sezione in figura al variare del parametro g tra 0 e 1.Quanto vale a per gÆ1?

Problemi elastici piani nelle tensioni e nelle deformazioni

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 07/01/03

Utilizzando un EF quadrato a 4 nodi, discutere la soluzione al variare di r.

• Problema piano nelle tensioni

• Molla estensionale

• Cedimento[ [= ∈ +∞k rE 8, r 0,

ν= =t 1 , 1 3

µ = 8 p E

Risolvere la struttura in figura facendo uso di EF di trave di Eulero-Bernoulli

• aste inestensibili

• molla rotazionale

=h EI

Illustrare la procedura di creazione della matrice di rigidezza globale all’interno di un codice di calcolo ad Elementi Finiti per problemi piani con EF triangolari a deformazione costante

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 23/01/03

p

kA

p•Calcolare lo spostamento del nodo A facendo uso di elementi CST

• ν = 0

• k = ¾ E

•Per la struttura in figura determinare il valore del carico di collasso o una sua ragionevole delimitazione.

•Eseguire il calcolo per due meccanismi distinti.

• M0 costante

• g carico permanente2= 0g 2M

Elementi finiti isoparametrici

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 4/02/03

Risolvere il telaio in figura usando 3 EF di trave di Eulero-Bernoulli

• asta BD estensibile

• aste AB, BC inestensibili

• ϕ = =3

225 p I; A 4 ;9 EI

A1

A2 σ2 L

σ−2 L

σ− L

σ

σ

ε

ε

b b b

A1

A2

2b

b

Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Lineamenti generali del metodo degli elementi di contorno

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 17/02/03

Risolvere il problema piano in figura sfruttando la simmetria del sistema

•

•

=A 2 t

=t 1

Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Teorema cinematico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione, esempi.

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/02/03

Determinare il meccanismo e il moltiplicatore di collasso per la struttura in figura utilizzando il metodo cinematico

Risolvere il problema piano in figura sfruttando la simmetria del sistema

• n=0

• k=E/4

Comportamento elasto-plastico dei materiali

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 15/04/03

Sfruttando le simmetrie del problema, risolvere la struttura in figura facendo uso di elementi finiti piani CST (n=0)

Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Il teorema statico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 16/06/03

Applicando il metodo misto, calcolare il moltiplicatore di collasso od una sua ragionevole delimitazione.

Risolvere la struttura dell’esercizio 1 utilizzando EF di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste assialmente rigide

Problemi a potenziale risolti mediante elementi finiti

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 30/06/03

Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Risolvere il problema piano in figura facendo uso di due EF CST (n=0)

Procedimento di analisi per sottostrutture

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 23/07/03

• Calcolare lo spostamento verticale del punto A facendo uso di EF piani

• Calcolare l’E.P.T. e l’energia elastica in soluzione

• Commentare i risultati

Per almeno due delle tre meshindicate in figura:

Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura

Teorema cinematico del calcolo a rottura

Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 19/09/03

Applicando il teorema cinematico del calcolo a rottura determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del parametro g.

γ≤ ≤0 1• M0 costante

•

Calcolare matrice di rigidezza e vettore dei termini noti per lastruttura in figura facendo uso di EF di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste estensibili.

Modello di trave di Timoshenko: formulazione della teoria e del relativo elemento finito