Tecnica Delle Costruzioni 2 08 09.ppt [modalità compatibilità] pdf/Work/Corsi/TECNICA DELLE... ·...

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Lastre (I) Superficie media (piana o curva) definita da una funzione vettoriale : M (α, β) = O P(α, β) che genera 2 famiglie di curve (le α-linee e le β-linee). Ogni punto non singolare P (α, β) è l’intersezione delle corrispondenti α-e β-linee. Spessore (costante o variabile) t in P (α, β), nella direzione z ortogonale al piano tangente ed alle tangenti, generalmente z ortogonale al piano tangente ed alle tangenti, generalmente non fra loro ortogonali (angolo χ), alle corrispondenti α-e β- linee (derivate parziali di M, di modulo rispettivamente A, B ) Triedro dei versori antiorario Forze locali per unità di superficie media: X, Y, Z = -q i i 1 1 i i i sin z , , A B α β α β = = = ∂α ∂β χ M M

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Lastre (I)• Superficie media (piana o curva) definita da una funzione vettoriale : M (α, β) = O P(α, β) che genera 2 famiglie di curve (le α-linee e le β-linee). Ogni punto non singolare P (α, β) è l’intersezione delle corrispondenti α- e β-linee.

• Spessore (costante o variabile) t in P (α, β), nella direzione z ortogonale al piano tangente ed alle tangenti, generalmente z ortogonale al piano tangente ed alle tangenti, generalmente non fra loro ortogonali (angolo χ), alle corrispondenti α- e β-linee (derivate parziali di M, di modulo rispettivamente A, B )

• Triedro dei versori antiorario

• Forze locali per unità di superficie media: X, Y, Z = -q

i i1 1i i i

sinz, ,A B

α βα β

∧∂ ∂= = =

∂α ∂β χM M

Lastre II • le distanze sulle linee tracciate sul piano medio ed i loro angoli sono definiti dal modulo del differenziale primo

in ogni punto P. Il suo quadrato è una forma quadratica

d d d∂ ∂

= α + β∂α ∂β

M MM

in ogni punto P. Il suo quadrato è una forma quadratica definita positiva (ellittica), di coefficienti A, B e χ

• le curvature delle sezioni normali della superficie in ogni punto P dipendono da d2M e variano proporzionalmente ad una seconda forma quadratica che puo’ essere ellittica, parabolica o iperbolica

• alle direzioni principali, fra di loro ortogonali, di tale forma quadratica corrispondono la massima e minima curvatura (curvature principali)

Lastre III • la curvatura gaussiana C (prodotto delle curvature principali) può essere positiva (sfere, ellissoidi), nulla (coni o cilindri) o negativa (paraboloidi iperbolici); essa è invariante in ogni deformazione inestensionale.

• Se C = 0 la superficie contiene in ogni punto una direzione asintotica rettilinea con curvatura principale nulla ed è sviluppabile su di un piano;ed è sviluppabile su di un piano;

• Se C < 0 la superficie contiene in ogni punto due direzioni asintotiche (non ortogonali e non principali) con curvatura nulla;

Lastre (IV)

• Parametri di sollecitazione per unità di lunghezza su una sezione normale (nel fascio di piani avente per sostegno la direzione iz ) riferito al triedro anti-orario ortogonale in , it , iz :

• Sforzi membranali: normale N , tagliante S• Sforzi membranali: normale Nn , tagliante Snt

• Sforzi taglianti trasversali: - Vn

• Momenti (asse-vettori orari): torcente mn , flettente mnt

Lastre (V)

• con riferimento alle sezioni normali a due direzioni ortogonali (ad esempio le sezioni con curvature principali) si hanno pertanto, nel riferimento del triedro ora ortogonale iα, iβ , iz :

in = iα , it = iβ : (Nα , Sαβ ,- Vα) ; (mα , mαβ , 0) in = iα , it = iβ : (Nα , Sαβ ,- Vα) ; (mα , mαβ , 0)

in = iβ , it = -iα : (Nβ , -Sβα ,- Vβ) ; (mβ , -mβα , 0)

•si tratta quindi di 10 parametri di sollecitazioni vincolati da 6 equazioni differenziali di equilibrio (problema internamente iperstatico)

Lastre piane (I)

• la direzione della normale al piano medio è ora invariante; i parametri (α , β) possono coincidere con le coordinate (x, y) di un riferimento cartesiano ortogonale nel piano; si ha pertanto: A = 1, B = 1; χ = π/2 e le curvature delle sezioni normali sono identicamente nulle;

• la reciprocità delle tensioni tangenziali (equilibrio attorno all’asse z ) consente di porre:

S = Sxy = -Syx ; m = mx = -my

• si tratta quindi di 8 parametri di sollecitazioni vincolati da 6 – 1 = 5 equazioni differenziali di equilibrio (problema internamente iperstatico)

Lastre piane (II)

• si possono considerare due sotto-problemi fra loro indipendenti ed iperstatici:

Lastra caricata nel piano medio (stato membranale- scheibe)

Lastra inflessa (stato flessionale - platte)

mm ∂∂( )0

0

x

y

N SX

x yNS

Yx y

∂ ∂ −− + =

∂ ∂∂∂

+ + =∂ ∂

0

( )0

0

yxy

xyx

yx

mmV

x ym m

Vx y

VVq

x y

∂∂− + =

∂ ∂∂ ∂ −

+ − =∂ ∂

∂∂+ + =

∂ ∂

Lastre curve

• In ogni caso nelle lastre curve non si ha disaccoppiamento fra stati membranali e stati flessionali;

• Se si assume nulla la rigidezza flessionale della lastra e quindi/o nulle le sollecitazioni flessionali, le sollecitazioni membranali possono essere determinate isostaticamente

• Le membrane sono l’equivalente bidimensionale delle funi, che peraltro sono sistemi ipostatici stabili solo in trazione;

•Le reti di funi sono equivalenti a membrane non dotate di rigidezza tagliante nel piano; sono sistemi ipostatici stabili in trazione in condizione di curvatura gaussiana negativa.

•Le proprietà fondamentali vengono dimostrate considerando il caso molto semplice della lastra cilindrica

Lastra cilindrica • Essendo sviluppabile in un rettangolo piano si può ancora assumere: α = x, A = 1; β = y, B = 1;

•1/R1 = 0; 1/R2 = 1/R

Equilibrio alla traslazione nelle direzioni del triedro locale

Equilibrio alla rotazione attorno agli assi del triedro locale

∂∂ m( )0

0

0

∂∂− + =

∂ ∂∂ ∂

+ − + =∂ ∂

∂∂+ + + =

∂ ∂

yxx

xy y y

y yx

SNX

x yS N V

Yx y R

N VVq

R x y

0

( )0

0

∂∂− + =

∂ ∂∂ ∂

+ − =∂ ∂

+ + =

yxxy

xy yx

yxy yx

mmV

x ym m

Vx y

mS S

R

Membrana cilindrica • assunta trascurabile la rigidezza flessionale/torsionale (proporzionale a t 3) rispetto a quella estensionale (proporzionale a t ) e quindi/o in alternativa:

• assunti nulli i momenti flettenti e torcenti

Equilibrio alla traslazione nelle direzioni del triedro locale

Equilibrio alla rotazione attorno agli assi del triedro locale

( )0

0

0

∂∂− + =

∂ ∂∂ ∂

+ + =∂ ∂

+ =

yxx

xy y

y

SNX

x yS N

Yx y

Nq

R

0

0

0

=

=+ =

y

x

xy yx

V

V

S S

Lastra cilindrica con carichi/vincoli in simmetria di rotazione : effetti d’orlo

• assunti nulli i momenti flettenti e torcenti

Equazioni di Equilibrio Relazioni di elasticità e geometriche

0 ; 0 ;

0 ; 0

= =

= − =

yx

yx xy

dNdNdx dydm dm

V ( )

2

3 2

= ⋅ = −

= − ⋅ =

y

wN Et

R

Et d wm k

ε

0 ; 0

0

= − =

+ =

yx xyx

y x

dm dmV

dy dxN dVR dx

( )

( )

1 22

3 2

1 22

12 1

12 1

= − ⋅ =

= − ⋅ = =

xy

yx xy

Et d wm k

dx

Et d wm k m

dx

ν

ν νν

( ) ( )

4 24

4 2 2

1 1 2 2

3 14 0

d

w(x) = c e sin + c e sin α −α

− ν+ ⋅ α = =

⇒ α + ψ α + ψx x

d w ( )w

x t R

x x

Criteri generali sulla distribuzione

delle armature nelle lastre di c.a.

• Le lastre piane, caricate nel piano medio o soggette a carichi ortogonali alla superficie media, sono sistemi strutturali internamente iperstatici. internamente iperstatici.

• La soluzione lineare elastica è staticamente ammissibile se le armature vengono dimensionate nello stato II o III fessurato per le sollecitazioni corrispondenti al comportamento elastico.

• Le armature peraltro possono essere dimensionate sulla base di altre sollecitazioni staticamente ammissibili o, per lastre inflesse, anche cinematicamente sufficienti.

Armature nelle lastre piane di c.a.Reti bidirezionali (generalmente elettrosaldate a maglia

rettangolare) disposte in prossimità delle due facce edimensionate:

-sui valori massimi delle sollecitazioni su ampi campi,

-in base a valori minimi della percentuale di armatura (adesempio 1 ‰ in ognuna delle due direzioni e facce).esempio 1 ‰ in ognuna delle due direzioni e facce).

-passo abbastanza piccolo in assoluto ( < 350 mm) e rispettoallo spessore t (CEB Model Code 1993):

< 1.2 t per le armature principali nelle zone fessurate incondizioni di esercizio;

< 2t per le armature secondarie nelle zone e direzionisicuramente non fessurate

Armature nelle lastre curve di c.a.

• con curvatura gaussiana nulla (cilindri e coni) armature nelledirezioni delle generatrici rettilinee e dei paralleli (previasagomatura); trattandosi di superfici sviluppabili possono ancheessere utilizzate reti elettrosaldate (in particolare nei cilindri).

• con curvatura gaussiana negativa “rigata” (ad esempio iparaboloidi iperbolici) armature rettilinee nelle direzioniparaboloidi iperbolici) armature rettilinee nelle direzioniasintotiche (generalmente non ortogonali), che possono ancheessere utilizzate per la casseratura con tavole rettilinee.

• con superficie gaussiana positiva (ad esempio cupole sferiche)armature pre-sagomate in entrambe le direzioni (ad esempio ledirezioni fra loro ortogonali dei meridiani e dei paralleli).

Dimensionamento delle Armature

Si distinguono i due casi seguenti:

- Armature (ortogonali) disposte nelle direzioni principali;principali;

- Armature (ancora generalmente ortogonali) disposte in direzioni deviate rispetto alle direzioni principali.

Fessurazione al bordo inferiore di lastra quadrata in semplice appoggio; carico uniforme; armatura isotropa e parallela ai parallela ai

lati.

(Favre e altri ,1994) p. 187

Armature parallele alle direzioni principali.

Barre dimensionate per gli sforzi principali, secondo le procedure(TA o SPSL) per le travi di sezione rettangolare di altezza pari a t elarghezza unitaria.

Verifica a compressione indipendente. Nel caso la tensioneortogonale sia di trazione (EC2):

f

Per stati flessionali in lastre di spessore costante (non alleggerite o nervate) generalmente percentuali di armatura tesa inferiori a quelle “normali; non è pertanto conveniente armatura compressa superiore ai minimi.

0.7 1250

ckcd cd

ff f ′ = −

Armature parallele alle direzioni principali (II)

Per stati piani di compressione: armatura minima, simmetricasulle due facce.

Per stati piani di trazione (ad esempio nelle pareti di serbatoi):

- armatura, simmetrica sulle due facce, progettata trascurandoil contributo resistente del calcestruzzo teso;

- spessore t progettato in modo da rispettare stati limite diformazione delle fessure, sulla base di valori stimati dellaresistenza a trazione del calcestruzzo.

Caso generale con rete ortogonale di armature

• Si considerano forze meccanicamente equivalenti sul pianomedio di due lastre virtuali:

- spessore pari ad esempio ad 1/3 t o 2 (c+ds)

- armate con le reti superiore ed inferiore supposte perapprossimazione nel loro piano medio.approssimazione nel loro piano medio.

• La ripartizione delle sollecitazioni fra i due ordini diarmature nello stato II non può essere ricavato con solerelazioni di equilibrio, in quanto non è nota a priori ladirezione della fessura nel punto considerato.

Caso generale con rete ortogonale di armature (II)

Z

Nx S

S Ny

α Sxy

α φ

cosφ

senφ

N2 φ

tg

cotgx x

y y

Z N S

Z N S

φ

φ

= +

= +

Zy

N2 Ny Nx. N1

Syx

1 Zx N1

Zx

Zy

Caso I (iperstatico)

La determinazione di φ può avvenire:

• accoppiando alle relazioni di equilibrio una opportunacondizione di congruenza elastica (Baumann);

• prefissando un valore ragionevolmente attendibile di φ, adesempio α = φ.esempio α = φ.

Il Model Code 1990 ( CEB 1993) seguendo (Wood 1968), propone di assumere in ogni caso (e cioè per ogni α) φ= ±45? :

x x

y y

Z N S

Z N S

= +

= +

Casi II e III (isostatici): armatura unidirezionale

Quando Nx, (o Ny) < -|S| il Caso I fornisce Zx (o rispettivamenteZy ) negativi, in contraddizione con l’ipotesi che tali armatureattraversino una fessura aperta.

In tali casi è più conveniente la disposizione di armaturaunidirezionale. Rispettivamente:unidirezionale. Rispettivamente:

2x y

yx

N N SZ

N

−=

2x y

xy

N N SZ

N

−=

Caso IV : nessuna fessurazione

Il numeratore di tali relazioni (casi II e III) diventa positivo ( equindi, con Nx, (o Ny), Zy (o rispettivamente Zx ) negativo)quando risulti:

2

21 0

2 2x y x yN N N N

N S+ −

= + + <

Riassunto dei Casi

Verifica dello stato limite di compressione con lo sforzo principale N2 (tenendo conto del segno di N1).

Tabella adimensionale di

flessione semplice (SPSL)

Campo 3secondo NCT 2008(cfr. Vitaliani e altri,

op. cit.)

eps,c2 2 eps,cu 3,5 eps,su 75 betaalfa 0,810 ka 0,416 0,571429Es (Gpa) 200,000 fyd 391,304

CAMPO epsc eps, s x/d mu mu;VIT omega omega,VIT

3 -3,5 67,50 0,049 0,039 0,033 0,040 0,0343 -3,5 57,50 0,057 0,045 0,039 0,046 0,0393 -3,5 47,50 0,069 0,054 0,046 0,056 0,0473 -3,5 37,50 0,085 0,067 0,057 0,069 0,0593 -3,5 27,50 0,113 0,087 0,074 0,091 0,0783 -3,5 17,50 0,167 0,126 0,107 0,135 0,1153 -3,5 15,00 0,189 0,141 0,120 0,153 0,1303 -3,5 12,50 0,219 0,161 0,137 0,177 0,1513 -3,5 11,00 0,241 0,176 0,149 0,195 0,1663 -3,5 10,00 0,259 0,187 0,159 0,210 0,1783 -3,5 9,50 0,269 0,194 0,165 0,218 0,1853 -3,5 9,00 0,280 0,200 0,170 0,227 0,1933 -3,5 8,50 0,292 0,207 0,176 0,236 0,2013 -3,5 8,00 0,304 0,215 0,183 0,246 0,209

op. cit.)3 -3,5 7,50 0,318 0,223 0,190 0,258 0,2193 -3,5 7,00 0,333 0,232 0,198 0,270 0,2293 -3,5 6,50 0,350 0,242 0,206 0,283 0,2413 -3,5 6,00 0,368 0,253 0,215 0,298 0,2543 -3,5 5,50 0,389 0,264 0,224 0,315 0,2683 -3,5 5,00 0,412 0,276 0,235 0,333 0,2833 -3,5 4,50 0,438 0,290 0,246 0,354 0,3013 -3,5 4,00 0,467 0,304 0,259 0,378 0,3213 -3,5 3,50 0,500 0,321 0,272 0,405 0,3443 -3,5 3,00 0,538 0,338 0,288 0,436 0,3713 -3,5 2,50 0,583 0,358 0,304 0,472 0,4013 -3,5 2,00 0,636 0,379 0,322 0,515 0,4383 -3,5 1,96 0,641 0,381 0,324 0,519 0,4414 -3,5 1,5 0,700 0,402 0,341 0,739 0,6284 -3,5 1,4 0,714 0,406 0,345 0,808 0,6874 -3,5 1,3 0,729 0,411 0,350 0,888 0,7554 -3,5 1,2 0,745 0,416 0,354 0,983 0,8354 -3,5 1,1 0,761 0,421 0,358 1,096 0,9314 -3,5 1 0,778 0,426 0,362 1,232 1,047

Armature per gli sforzi trasversali Vx e Vy

Nelle sezioni la cui normale n formi l’angolo ϕ con la direzione x( π/2 - ϕ con la direzione y) lo sforzo di taglio trasversale resta determinato dalla condizione di equilibrio

e raggiunge, per tgϕ = V / V , il valore massimo:

cos cos( )2n x yV V Vπ

ϕ ϕ= + −

e raggiunge, per tgϕ = Vy/ Vx, il valore massimo:

2 2max x yV V V= +

Le τ (nello stato I 1.5 Vmax/t; nello stato II Vmax/0.9d) sonogeneralmente piccole ( inferiori a τc0 del metodo TA o al limiteτRd del metodo SPSL); non si richiede quindi la disposizione diarmature particolari

Punzonamento per carichi concentrati

Il parametro principale per valutare la necessitàdi armature aggiuntive è la tensione media su unasezione di altezza pari a t (o all’altezza “utile” d) elunghezza u di una linea chiusa che contiene all’internolunghezza u di una linea chiusa che contiene all’internol’impronta del carico concentrato.

Ad esempio il NCT/2008 § 4.1.2.1.3.4 assumeper u il perimetro di un capitello “virtuale” risultante dauna diffusione su una larghezza pari a due l’altezza utiled, a partire dall’area di impronta.

Punzonamento (II): basso rischio

non è richiesta armatura specifica (ma consigliabile una rete ben distribuita (percentuale > 0.5 % in due direzioni ortogonali ed interassi < t/2)

SdRd

Fd u

= <⋅

τ τSe:

Punzonamento (III): alto rischio

Alternativa: capitelli di raccordo; mensole di acciaio

Solai a fungo

Sollecitazione elastiche per campata interna, maglia quadrata.

Solai a fungo (II): metodo DIN

( 3/4< lx/ly<4/3).

Muri di c.a.: appoggio discontinuo.

Soluzioni elastiche per Travi-Soluzioni elastiche per Travi-parete uniformemente caricate dall’alto

(Collins & Mitchell, o.c., adapted from Leonhardt & Walther)

Soluzione elastica della trave-parete

uniformemente caricata dall’alto, di caricata dall’alto, di altezza indefinita

(Collins & Mitchell, o.c., adapted from Leonhardt &

Walther)

Armature principali delle travi-parete: appoggio semplice e carico superiore

( )0.315 se 1 / 20.630 se / 1

o t t

t

l h l hh

l l h+ ≤ ≤

=<

80% dell’armatura

80% dell’armatura principale va portata ed efficacemente ancorata sugli appoggi

Leggera armatura diffusa (1 ‰), rinforzata nella zona angolare appoggiata (2 ‰).

Armature complementari delle travi-parete: appoggio su diaframma laterale

Dettagli di armatura di una trave parete caricata al bordo inferiore.

Travi parete a più campateSi utilizzano per il dimensionamento delle armature principalitese:

- i momenti ricavati dalla teoria delle travi,

- bracci delle forze interne più piccoli in campata e più grandisugli appoggi di quelli reali, assumendoli uguali e dati delle

( )0.220 se 1 / 2.50.550 se / 1

o t t

t

l h l hh

l l h+ ≤ ≤

=<

sugli appoggi di quelli reali, assumendoli uguali e dati delleespressioni :

- l’armatura tesa di campata va totalmente estesa fino agli appoggi;

- L’armatura tesa sugli appoggi va ben diffusa sull’altezza e parzialmente estesa in campata.

Verifica delle tensioni di compressione sul calcestruzzo

Le tensioni longitudinali di compressione per flessione e quelle verticali sono dello stesso ordine di grandezza e quindi generalmente largamente inferiori alle tensioni ammissibili, in generalmente largamente inferiori alle tensioni ammissibili, in quanto lo spessore della lastra deve essere scelto in modo da:

- assicurare la funzionalità della parete,

- la protezione delle armature

- la stabilità rispetto al pericolo di imbozzamento.

Verifica al taglio in prossimità degli appoggi

Il valore di calcolo dello sforzo di taglio (cioè dellarisultante sull'altezza totale degli sforzi S), determinabileisostaticamente o mediante un modello a trave ordinaria nelisostaticamente o mediante un modello a trave ordinaria nelcaso di più campate, non deve superare

0.09 t ht fcd.

Questa limitazione consente di evitare che le tensioni principalidi trazione in prossimità dell'appoggio raggiungano valoricritici, con possibili fessurazioni già sotto i carichi di esercizio.

Calcolo limite di lastre di c.a.

- Modelli struts & ties per stati piani di tensione;tensione;

- Metodo cinematico di Johansen per

lastre piane inflesse

“Strut and ties Models” delle

zone perturbate.

Esempio 1: trave parete con carichi

concentraticoncentrati(Muttoni & altri,

o.c.)

Esempio 2: trave parete con

carichi concentrati

multipli (Muttoni & altri, o.c.)

Esempio 2: trave parete con

carichi concentrati

multipli (Muttoni & altri, o.c.)

Riferimento: Muttoni e altri (op. cit.) § 2.2.2 pg 24 (Figures 2.11 e 2.12)

fce 20 b 200

P (kN) a (m) p (mm) M (kNm) d (mm) alfa x/d x (mm) C (kN)Ctot (kN)

h°=d-x/2 (mm)

Z (M/h°) (kN) xd (mm) D (kN)

200 0,2 50 40,00 1.000,00 0,01000 0,01005 10,1 40,2 40,2 995,0 40,2 51,0 204,0200 0,6 50 120,00 989,95 0,03061 0,03110 30,8 123,1 163,3 974,6 123,1 58,7 234,9200 1 50 200,00 959,17 0,05435 0,05591 53,6 214,5 377,8 932,4 214,5 73,3 293,3200 1,4 50 280,00 905,54 0,08537 0,08936 80,9 323,7 701,5 865,1 323,7 95,1 380,5

175,4 701,5 701,5

Totale meccanicamente equivalente con una sola coppia di forze (cfr $2.2.1)800 0,8 200 640,00 1.000,00 0,16000 0,17538 175,4 701,5 701,5 912,3 701,5 266,0 1.064,0

Esempio 3: trave parete con carico distribuito(Muttoni & altri, o.c.)

Elementi Generalizzati:- ventagli (fan) in stato monoassiale varabile;- nodi con stati biassiali non idrostatici

rbN

rbN

r ⋅≈⋅

+⋅

ϑαα

σ2

/cossin22/2

α θr

Metodo cinematico di Johansen per lastre piane piane

inflesse

(Favre e altri ,1994) p. 187

Criterio di plasticizzazione (Johansen)In (Johansen, 1962) si fa l'ipotesi che nella deformazione plasticale barre si mantengano rettilinee attraverso la linea diarticolazione, mantenendo la direzione originale. Per ognidirezione i di armatura passante una linea di articolazione, si ha,indicando con mi il relativo momento di plasticizzazione:

2cos

cos sen

ns i ii

n i i ii

m m

m m

φ

φ φ

=

=

Criterio di plasticizzazione (Wood)

Se si fa invece l'ipotesi (Wood, 1968) che le barre si plasticizzinodeformandosi ortogonalmente alla linea di articolazione, siottiene:

cosns i im m φ= ∑0

ns i ii

nm =

In realtà il comportamento rilevabile sperimentalmente è intermedio fraquesti due criteri; l'adozione del criterio di Johansen risulta pertanto afavore della sicurezza.

Metodo di Johansen

- si stabiliscono le possibili "famiglie" di meccanismi, compatibilicon la forma della lastra, l'armatura, i carichi e le condizioni divincolo, ciascuna caratterizzata da un certo numero k di parametrigeometrici;geometrici;

-si determina per ogni famiglia il meccanismo, definito daparticolari valori dei parametri, cui corrisponde il minor valore delcarico esterno;

-il minore dei carichi così determinati per ogni famiglia si assumecome carico di rottura.

Ricerca di un meccanismo di rottura

cinematicamente ammissibile

- La linea di articolazione fra due elementi rigidi passa per il puntodi intersezione dei loro assi di rotazione assoluta;

-note le rotazioni φj degli elementi, è determinata la configurazionedi rottura, in quanto le linee di articolazione devono risultaredi rottura, in quanto le linee di articolazione devono risultareparallele all'asse vettore della rotazione relativa;

- viceversa nota la configurazione di rottura, si possono calcolaregli angoli φj a meno di un comune fattore moltiplicativo.

Ricerca di un meccanismo di rottura

cinematicamente ammissibile (II)

- se sono noti gli assi di rotazione degli n elementi rigidi, laconfigurazione di rottura dipende da n-1 parametri geometriciindipendenti ;indipendenti ;

-se più in generale r è il numero di assi la cui posizione non èdefinita dalle condizioni di vincolo degli elementi rigidi, il numerodei parametri indipendenti della famiglia di meccanismiconsiderata sarà k= n-1+r.

Ricerca del carico critico minimo per ogni famiglia

Lo spostamento di ogni punto e le rotazioni degli elementisono proporzionali allo spostamento di un punto prefissato, edipendono dai k parametri. Uguagliando il lavoro virtualeinterno ed esterno su tali spostamenti, si ha:

( ) ( ) , , e j j i ns rL P w p x y w x y dxdy L m dsϕ= + = =∑ ∫∫ ∫( ) ( ) , , e j j i ns rj

L P w p x y w x y dxdy L m dsϕ= + = =∑ ∫∫ ∫

I valori dei parametri che rendono minimo un comune moltiplicato-re λ delle forze applicate, ovvero massimo m si ottengono o con procedure iterative, ovvero risolvendo uno dei seguenti sistemi:

1 2

1 2

0 ; , ,....

0 ; , ,....

k

k

p p p ppm

p p p pp

λ∂= =

∂∂

= =∂

Esempi di meccanismi per lastra quadrata incastrata sui lati e soggetta a carico uniforme; armatura superiore ed

inferiore isotropa (Favre e altri , 1994; p. 211)

Esempio: lastra rettangolare appoggiata su tre lati; armatura anisotropa

( ) ( )1 1 12 2 3 2

3 2 6

1 12 2

e

i

L p xa b a xa b pab x

xa bL m xa m b m

b xa b xaµ

µ

= ⋅ ⋅ + − = − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +

22

2

19 4 2

24a

m pbbµ

= + −

Esempio: lastra rettangolare appoggiata su tre lati; armatura anisotropa

2

2

2

1 1 11 1 1 ;

4 4 4

1 216 4

1

bx

a

xm pb

x

= + − + − − =

+

=+

γ µγ γ γ

γ

Esempio: lastra rettangolare appoggiata su tre lati; armatura anisotropa

Meccanismo 1 Meccanismo 2a b mu gamma x Q/m alfa Q/m

8 4 0,5 0,125 0,28 7,15 -0,16 8,88

8 4 0 0 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!8 4 0,4 0,1 0,26 6,24 -0,21 8,228 4 0,8 0,2 0,33 9,60 -0,05 10,788 4 1,2 0,3 0,38 12,53 0,05 13,198 4 1,6 0,4 0,42 15,25 0,12 15,498 4 2 0,5 0,45 17,84 0,18 17,728 4 2,4 0,6 0,47 20,35 0,22 19,908 4 2,4 0,6 0,47 20,35 0,22 19,908 4 2,8 0,7 0,49 22,79 0,26 22,048 4 3,2 0,8 0,51 25,20 0,30 24,158 4 3,6 0,9 0,52 27,56 0,32 26,238 4 4 1 0,54 29,90 0,35 28,288 4 4,4 1,1 0,55 32,21 0,37 30,328 4 4,8 1,2 0,56 34,50 0,39 32,338 4 5,2 1,3 0,57 36,78 0,41 34,338 4 5,6 1,4 0,57 39,05 0,43 36,328 4 6 1,5 0,58 41,30 0,44 38,298 4 6,4 1,6 0,59 43,54 0,45 40,258 4 6,8 1,7 0,59 45,77 0,47 42,20

Esempio: lastra rettangolare appoggiata su tre lati; armatura anisotropa

Meccanismi 1 e 2

20

25

30Q1/m

Q2/m

0

5

10

15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

gamma

Q/m