MAKALAH TRIGONOMETRI

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

Disusun Oleh :

Nama : AsmadiNPM : 0819038Program Studi : Pendidikan Matematika

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN(STKIP) MUHAMMADIYAH PAGARALAM

TAHUN AKADEMIK 2011/2012

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

1. Rumus untuk sin 2α

(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.Untuk β = α, diperolehsin (α + α) = sin α cos α + cos α sin αsin 2 α = 2 sin α cos αJadi, sin 2α = 2 sin α cos α

2. Rumus untuk cos 2α

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin αcos 2α = cos2α – sin2αJadi, cos 2α = cos2α – sin2αUntuk rumus cos2α dapat juga dituliscos 2α = cos2α – sin2αcos 2α = (1 – sin2α) – sin2αcos 2α = 1 – 2 sin2αJadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α

3. Rumus untuk tan 2α

Dari rumus

tan(α + β) = tan

tan.tan1

tantan

Untuk β = α diperoleh

tan(α + α) =

tan.tan1

tantan

2tan1

tan22tan

Jadi,

2tan1

tan22tan

Contoh soal :

1. Sederhanakan bentuk dari:a. cos2 22,5 - sin2 22,5b. 4 sin 22,5 - cos 22,5

c.

15tan1

15tan22

2. Jika Aadalah sudut lancip, dengan sin A =5

3, hitunglah nilai berikut :

a. sin 2Ab. cos 2Ac. tan 2A

3. Dengan menyatakan 3a sebagai (2a + a)buktikan bahwa sin 3a = 3 sin a – 4 sin3a4. Dengan menyatakan 3a sebagai (2a + a)buktikan bahwa cos 3a = 4 cos3a – 3 cos a.

5. Buktikan bahwa2

cos1

2

1

Sin

Jawab

1. a. cos2 22,5 - sin2 22,5 = cos 2 (22,5) = cos 45 22

1

b. 4 sin 22,5 - cos 22,5 = 2 (2 sin 22,5 cos 22,5)= 2 sin 2 (22,5)= 2 sin 45

= 2 x 22

1= 2

c.

15tan1

15tan22

= tan (2 x 15) = tan 30 = 33

1

2. Dik : sin A =5

3, cos A =

5

4dan tan A =

4

3

a. sin 2A = 2 sin A cos A =25

24

5

4

5

32

b. cas 2A = cos2 A – sin2 A =25

7

5

3

5

422

c. tan 2A =7

24

7

16.

4

6

16

74

6

4

31

4

3.2

tan1

tan222

A

A

3. a. sin 3a = sin (2a + a)= sin 2a cos a + cos 2a sin a= 2 sin a cos a cos a + (cos2 a – sin2 a) sin a= 2 sin a cos2 a cos a + (cos2 a – sin2 a) sin a

= 3 sin a cos2 a – sin3 a= 3 sin a (1 - sin2 a) – sin3 a= 3 sin a – 3 sin3 a – sin3 a= 3 sin a – 4 sin3 a

4. cos 3a = cos (2a + a)= cos 2a cos a - sin 2a sin a= (2 cos2 a – 1) cos a – 2 sin a cos a sin a= 2 cos3 a – cos a – 2 sin2 a cos a= 2 cos3 a – cos a – 2 (1 – cos2 a) cos a= 2 cos3 a – cos a – 2 cos2 a + 2 cos3 a= 4 cos3 a – 3 cos a

5. 2 sin2α = 1 – cos 2α

sin2α =2

2cos1sin

2

cos1 2

Substitusikan 2

1ke persamaan tersebut, diperoleh

2

cos1

2

1sin

2

2

12cos1

2

1sin

Latihan

1. Jika sin A =10

6dengan 0 < A< =

2

1, tentukan sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.

2. Diketahui sin A =13

5, di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda,

hitunglah sin 2A

3. Diketahui cos A =25

24 , di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut

ganda, hitunglah nilai cos 2A.

4. Jika αsudut lancip dan cos5

4 , hitunglah tan 2α.

Jawab:1.

864610 22 x

5

3

10

6sin A

5

4

10

8

10cos

xA

4

3

8

66tan

xA

sin2A = 2 sin A cos A =25

24

5

4.

5

3.2

cos2A = cos2A – sin2A =25

7

25

9

25

16

5

3

5

422

tan2A =7

24

7

16.

4

6

16

74

6

4

31

4

3.2

tan1

tan222

A

A

2. r2 = x2 + y2 x2 = r2 – y2

= 132– (–5)2

= 168 – 25x2 = 144

x = 12, karena di kuadran III

cos A =r

x

cos A =13

12

sin 2A = 2 sin A cos A = 2 169

120

13

12

13

5

3. cos 2A = 2 cos2 A – 1

= 22

25

24

–1

= 2625

5271

625

152.11

625

276.

4. BC2 = AC2 – AB2

= 52 – 42

= 25 – 16 = 9

BC = 9 = 3

tan 2α

16

91

2

3

4

31

2

3

4

31

4

3.2

tan1

tan2222

A

A

16

72

3

16

9

16

162

3

7

24

7

16

2

3