KONSEP MUDAH MENENTUKAN NILAI TRIGONOMETRI SUDUT

BERELASI

MATERI

SUDUT

Genap Fungsi Genap

Ganjil Fungsi Berubah

Sin cos

Cos sin

Tan costan

Sec cosec

Cosec sec

TIP PRAKTIS MENGINGAT RUMUS

Sin ( 1800– α ) = Sin α

0

1. ( 1800 – α ) Kuadran II sinus positif

2. Sudut 180 dengan nol diabaikan berarti 18 ( genap ) fungsi tetap.

Fungsi sinus tetap,tidak berubah.

Cos ( 2700 – α ) – Sin α

0

( 2700 – α ) 270

0 Kuadrat ke II cosinus negatif sudutnya dengan nol diabaikan berarti

ganjil. Fungsi berubah.( cosinus berubah menjadi sinus )

Tan ( 900

– α ) = cot an α0

( 900 – α ) kuadran Inilai tan gen positif, sudutnya dengan nol diabaikan berarti ganjil

fungsi berubah tan gen berubah menjadi cot angen

MEMPERMUDAH MENENTUKAN NILAI SUDUT SEBAGAI BERIKUT

1. Sin 1350 = cos 1 3 5

0

= cos 450

=

Pertama kita lihat kuadrannya 1350 kuadran ke II, sin us positif.

Kemudian kita lihat sudutnya 1350 angka ratusannya 1 (ganjil ) fungsi berubah,

sehingga sin us berubah menjadi cosinus.

Selanjutnya 1 + 3 = 4 ( angka puluhan ), angka 5 tetap sebagai satuan.

tan 2100 = tan 2 1 0

0 = tan pertama lihat 120

0 kuadran III, 30

0 = tangen positif

kemudian kita lihat sudut 1200 angka ratusannya 2 ( genap ) fungsi tetap, shingga fungsi

tetap.

Selanjutnya 2 + 1 = 3 ( angka puluhan ), angka 0 tetap sebagai satuan.

Contoh soal:

Tentukan nilai sudut :

1. Sin 1500

Penyelesaian

Cara I Cara II

Sin 1500 = ( 180

0 – 30

0 ) sin 150

0 = cos 1 5 0

0

= sin 300 = cos 60

0

= =

2. Cosec 3000

Penyelesaian

Cara I Cara II

Cosec 3000 = cosec ( 360

0 – 60

0 ) Cos ec 300

0 = sec 3 0

00

= - cosec 600

= sec 300

= - = -

DAFTAR PUSTAKA

Kurniawan.2003.Fokus matematika untuk SMP dan MTs. Jakarta: Erlangga

www.agutidie.com/Trigonometri.html.

Disusun oleh :

Nama : Fitriyani

Nim : 06101408008

Dosen Pembimbing :

BUKU LEMMA-LEMMA ARCHIMEDES’ BOOK OF LEMMAS

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Dalam Kehidupan sehari-hari banyak sekali kita jumpaui masalah yang berkaitan dengan

bilangan. Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola-pola tertentu atau tersusun

oleh bilangan yang untuk menentukannya menggunakan cara tertentu. Dengan kata lain setiap

barisan bilangan memiliki ciri khas. Beberapa contoh:

1. Barisan bilangan genap yaitu: 2, 4, 6, 8,…memiliki pola yaitu terdiri dari bilangan genap

dengan bilangan pertama dua dan bilangan berikutnya bertambah 2 dari bilangan

sebelumnya

2. Barisan bilangan prima yaitu: 2, 3, 5,…

3. Barisan bilangan geometri dengan rasio 2 seperti:1, 2, 4, 8, 16,… atau yang merupakan

kelipatan 2.

Dan masih banyak lagi barisan bilangan lainnya.

Salah satu contoh barisan bilangan lainnya adalah bilangan bell. Barisan bilangan ini

istimewa karena barisan bilangan bell adalah bilangan tersusun dari bilangan yang menyatakan

banyaknya partisi dari sebuah himpunan dengan n anggota. Barisan bell ini adalah penerapan dari

kombinasi dan partisi dalam matematika.

Pada makalah ini akan disajikan tentang bilangan bell dan cara menentukan bilangan bell.

Pada makalah ini juga akan ditampilkan bell triangle atau aitken's array atau peirce triangle.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk menentukan angka- angka pada Bilangan Bell

serta cara menentukannya.

II. MATERI PENDUKUNG

1. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang telah terdefinisi dengan jelas.

2. Himpunan kosong

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong,

dan dinotasikan sebagai atau {}.

3. Himpunan Bagian

Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan B

A atau A B, jika setiap elemen B merupakan elemen A. Contoh: Misalkan S = {a, b, c}, maka S

memiliki 8 macam himpunan bagian yakni {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

4. Partisi

Himpunan S, dengan sub-himpunan Ai (i {1, 2, …, n})

Himpunan {A1, A2, A3, …., An } disebut partisi dari S dan harus memenuhi 3 kriteria berikut:

1. Ai { }

2. Ai Aj = { }

3. A1 A2 A3 …. An = S

5. Notasi Sigma

Notasi sigma atau digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan.

n

i

n

i

ni nkkkkkaaaa1 1

21 ...dan

6. Kombinasi.

Banyaknya kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah:

nkknk

n

k

nCknC kn ,

!!

!,

6. Faktorial

Hasil kali dari bilangan positif dari 1 sampai n dilambangkan dengan n! (dibaca: n faktorial).

nnnn x )1( x 2)( x...x 3 x 2 x 1 !

0! = 1

1! = 1

7. Bilangan Stirling

Bilangan Stirling S(n,k) adalah banyaknya cara mempartisi sebuah himpunan dari n elemen ke

dalam k himpunan bagian tidak kosong.

Contoh:

Untuk n= 3, misalnya {a,b,c}

- ada 0 cara untuk mempartisinya ke dalam k=0 himpunan bagian tidak kosong.

- Ada 1 cara untuk mempartisinya ke dalam k=1 himpunan bagian tidak kosong. Yaitu {{a, b,

c}}

- Ada 3 cara untuk mempartisinya ke dalam k = 2 himpunan bagian tidak kosong . yaitu:

{{a},{b,c}}, {{b},{a,c}}, {{c},{a,b}}.

- Ada 1 cara untuk mempartisinya ke dalam k = 3 himpunan bagian tidak kosong. Yaitu:

{{a},{b},{c}}.

Catatan: Untuk n= 0 elemen , k =0 himpunan bagian tidak kosong maka ada 1 cara

mempartisinya.

II. MATERI POKOK

Bilangan Bell diambil dari nama Eric Temple Bell. Barisan Bell adalah pola bilangan

{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,…}. Bilangan Bell dapat didefinisikan juga sebagai banyaknya

partisi dari sebuah himpunan dengan n anggota. Di mulai dari 110 BB .

Secara umum nB adalah banyaknya partisi dari sebuah himpunan dengan ukuran n. Sebuah

partisi dari sebuah himpunan tidak kosong. Sebagai contoh, 53B karena 3 elemen himpunan {a,

b, c} dapat di pecah dalam 5 cara tertentu, yaitu:

{ {a}, {b}, {c} }

{ {a}, {b, c} }

{ {b}, {a, c} }

{ {c}, {a, b} }

{ {a, b, c} }

0B adalah 1 karena ada tepat satu partisi dari himpunan kosong. Setiap anggota dari

himpunan kosong adalah sebuah himpunan tidak kosong (secara hampa benar), dan kesatuaannya

adalah himpunan kosong. Jadi, himpunan kosong adalah satu-satunya partisi dengan dirinya sendiri.

Catatan:

{ {}, {a,c}, {b} } adalah bukan partisi (karena berisi himpunan kosong).

{ {a, b}, {b, c} } adalah bukan partisi (dari beberapa himpunan) karena elemen b terisi ke dalam

lebih dari 1 himpunan bagian yang berbeda.

{ {a}, {b} } adalah bukan partisi dari {a, b, c} karena tidak ada dalam himpunan itu yang berisi

elemen c;{{a},{b}} adalah partisi dari {a, b}.

Bilangan Bell juga bisa diperlihatkan sebagai banyaknya cara tertentu yang mungkin dari

meletakkan n bola berbeda ke dalam satu atau lebih kotak berbeda. Sebagai contoh, misalkan n=3.

Kita mempunyai 3 kotak dan 3 bola, misal kita lambangkan a,b, dan c. Jika kotak-kotak tidak bisa

dibedakan satu sama lain, maka ada 5 jalan meletakkan bola ke dalam kotak:

1. masing-masing bola dimasukkan kedalam kotak yang berbeda ketiganya

2. semua bola dimasukkan ke dalam 1 kotak yang sama

3. a dimasukkan ke dalam 1 kotak, b dan c bersama-sama ke dalam 1 kotak lain

4. b dimasukkan ke dalam 1 kotak, a dan c bersama-sama ke dalam 1 kotak lain

5. c dimasukkan ke dalam 1 kotak, a dan b bersama-sama ke dalam 1 kotak lain

Bilangan Bell memenuhi rekursif formula berikut.

k

n

k

n Bk

nB

0

1

Contoh :

10B ( karena ada tepat satu partisi dari himpunan kosong.). bilangan-bilangan bell selanjutnya

dapat dicari.

Untuk 0.n maka ,1B

1

1 x 1

!0!0

!0

0

0

1

1

01

0

0

0

10

B

B

BB

BBk

Untuk 1 n maka ,2B

2

11

11 x 1

11

1 x 1

1

1!1!0

!11

!0!1

!1

!1)!11(

!1

!0)!01(

!1

1

1

0

1

1

2

2

2

2

102

102

1

0

11

B

B

B

B

BBB

BBB

Bk

B k

k

Untuk 2n maka ,3B

5

221

21 x 2 x 1

1 x 21

1 x 1

1 x 21

1 x 1 x 2

1 x 2

2!2!0

!21

1!1!

2!1

!0!2

! 2

!2!22

!2

!1)!12(

!2

!0)!02(

!2

2

2

1

2

0

2

2

3

3

3

3

2103

2103

2

0

12

B

B

B

B

BBBB

BBBB

Bk

B k

k

Dan seterusnya.

Setiap Bilangan Bell adalah sebuah penjumlahan dari Bilangan Stirling dari jenis kedua

n

k

n knSB1

,

Barisan bilangna stirling. k = kolom, n = baris.

k = 1 2 3 4 5 6 7 8

n=1 1

2 1 1

3 1 3 1

4 1 7 6 1

5 1 15 25 10 1

6 1 31 90 65 15 1

7 1 63 301 350 140 21 1

8 1 127 966 1701 1050 266 28 1

Contoh: S(3,1). Lihat baris 3 kolom 1. hasilnya 1.

S(3,2). Lihat baris 3 kolom 2. hasilnya 3.

S(3,3). Lihat baris 3 kolom 3. Hasilnya 1.

Jumlah dari S(3,1) + S(3,2) + S(3,3) = 5, yang adalah merupakan bilngan bell yaitu 53B .

Atau lebih mudahnya dapat dilihat pada tabel berikut ini.

N Himpunan bilangan stirling Bilangan bell

1 1 1

2 1 1 2

3 1 3 1 5

4 1 7 6 1 15

5 1 15 25 10 1 52

6 1 31 90 65 15 1 203

★ Segitiga Bell

Bilangan Bell dapat ditentukan dengan menggunakan Segitiga Bell atau juaga disebut

Aitken’s array atau Segitiga Peirce.

1. Mulai dengan angka 1. Letakkan angka satu di baris pertama sendirian

2. Mulai sebuah baris baru dengan elemen pertamanya di bagian kanan yaitu angka di baris

sebelumnya di bagian kiri

3. angka selanjutnya adalah hasil penjumlahan angka sebelumnya dengan 1 angka di atas

angkanya

4. begitu seterusnya

Daftar Pustaka

Bell Number. http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number. Diakses tanggal 4 april 2008

Stirling Number.

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=stirlingNumbersSecondKind.

Diakses pada tanggal 4 april 2008.

Bell Number. http://mathforum.org/. Di akses pada tanggal 4 april 2008.

Bell’s Triangle. http://planetmath.org/encyclopedia/Bell’sTriangle. Di akses pada tanggal 7 Juni 2008.

Combinatorics. http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics. Diakses pada tanggal 4 april 2008

Bell Numbers. http://www.pballew.net/Bellno. Diakses pada tanggal 5 juni 2008.

Partition of Set. http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(set_theory). Diakses pada tanggal 7 Juni

2008.