Bilangan Kompleks dan Fasor - · PDF filemutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua...

1

Bilangan Kompleks

dan Fasor

oleh: Sudaryatno Sudirham

1. Bilangan Kompleks

1.1. Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan

kompleks sebagai berikut [1]

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari

bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

),( yxz =

Kita namakan x bagian nyata (real part) dari z dan y bagian

khayal (imaginary part) dari z dan kita lambangkan

yzxz == Im Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari

pengertian tentang bilangan nyata.

Bilangan �yata. Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3

dan seterusnya; bilangan nyata rasional ¼, ½, ¾ dan seterusnya,

serta bilangan nyata irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai

rasio bilangan bulat, seperti π yang nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu

sumbu yang disebut sumbu nyata, seperti diperlihatkan oleh Gb.1.1.

2 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor

Gb.1.1. Posisi bilangan nyata di sumbu nyata.

Tinjaulah suatu fungsi xy = dengan x adalah bilangan bulat. Jika

kita plot nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti

Gb.1.2.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gb.1.2. Plot xy =

Pada Gb.1.2. ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana

bilangan-bilangan nyata di posisikan. Sumbu tegak juga merupakan

sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai

y diposisikan. Bidang yang dibatasi oleh kedua sumbu–nyata ini

disebut bidang-nyata. Kita lihat di bidang-nyata ini bahwa kita

hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x = 0, karena

untuk x < 0 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan

nyata.

Walaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif,

namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu

bilangan imajiner (khayal).

Jika didefinisikan bahwa

| | | | | | | |

-2 -1 0 1 2 3 4 5

m

3

j=−1 (1.1).

maka

dst. 10100

981

3 919

241414

j

j

j

j

=−

=−

=×−=−

=×−=×−=−

Sekarang kita dapat memandang j sebagai sebuah operator; artinya

jika j beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan

bilangan imajiner j5 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita

mendapatkan bilangan imajiner jb.

Sumbu tegak pada Gb.1.2. dapat diubah menjadi sumbu imajiner

untuk memosisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang

membatasi bidang sekarang adalah sumbu nyata (diberi tanda Re)

dan sumbu imajiner (diberi tanda Im); bidang yang dibatasi oleh

kedua sumbu ini disebut bidang kompleks.

Jika setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-

kompleks (x,,y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah

komponen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian

bilangan kompleks yang diberikan di awal sub-bab ini.

1.2. Pernyataan Bilangan Kompleks

Jika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu

bilangan-kompleks juga mempunyai satu nilai namun satu nilai ini

terdiri dari dua komponen yaitu komponen nyata dan komponen

imajiner. Jadi satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari

komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

jbaz += (1.2)

dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, dan jb adalah

bilangan imajiner.

Perhatikan Gb.1.3. yang merupakan plot dari satu bilangan

kompleks z.


Gb.1.3. Representasi grafis bilangan kompleks.

Bentuk penulisan bilangan kompleks seperti (1.1) disebut bentuk

sudut siku. Sebutan ini mudah difahami jika kita melihat Gb.1.3 di

mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a

dan jb.

Bilangan kompleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu

dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik

asal dengan z, yang dalam Gb.1.3. diberi nama ρ, dan sudut yang dibentuk oleh garis ini dengan sumbu nyata yang pada Gb.1.3.

diberi tanda θ. Dari Gb.1.3. jelas terlihat bahwa

θρ=θρ= sindan cos ba (1.3)

sehingga bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai

)sin(cos θ+θρ= jz (1.4)

Sudut θ disebut argumen (ditulis argz) dan penggal garis yang

menghubungkan titik z ke titik awal disebut modulus. Dari Gb.1.3.

jelas bahwa

=θ= −

a

bz

1tan arg (1.5)

sedangakan modulus z adalah ρ

22 modulus baz +=ρ= (1.6)

Dengan demikian maka (1.2) dapat ditulis sebagai

)sin(cos22 θ+θ+= jbaz (1.7)

jbaz +=•

Re

Im

a

jb

ρ

θ

5

CO�TOH:

1). Suatu bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku

431 jz +=

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o11 1,53)3/4(tan ≈=θ −

Pernyataan z1 dapat kita tuliskan

( )( )oo

oo221

1,53sin1,53cos5

1,53sin1,53cos43

j

jz

+=

++=

2). Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

( )oo2 20sin20cos10 jz +=

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

( ))4,34,9)34,094,0(10

20sin20cos10oo

2

jj

jz

+=+≈

+=

Kesamaan Bilangan Kompleks. 22 ba +=ρ merupakan nilai

mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua atau lebih

bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. Dua bilangan kompleks sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata dan bagian

imajiner yang sama besar..

�egatif dari Bilangan Kompleks. Nilai negatif dari suatu bilangan

kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya. Jadi jika

jbaz += maka jbaz −−=− . Perhatikan representasi grafis pada

Gb.1.4.


Gb.1.4. Negatif dari suatu bilangan kompleks.

CO�TOH:

1). Jika 641 jz += maka 6412 jzz −−=−=

2). Sudut dengan sumbu nyata

o11 3,56)4/6(tan ==θ −

ooo2 3,2361803,56 =+=θ

3). z1 dapat dinyatakan sebagai

( )( )oo

oo221

3,56sin3,56cos2,7

3,56sin3,56cos64

j

jz

+=

++=

( )( ) 696,383,055,02,7

)1803,56sin()1803,56cos(2,7oooo

1

jj

jz

−−=−−=

+++=−

Konjugat Bilangan Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan

kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen

nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif

dari komponen imajiner z.

jbazjbaz −=+= ∗ maka Jika (1.8)

Perhatikan Gb.1.5.

jbaz +=•

Re

Im

a

jb

jbaz −−=−

θo180+θ

ρ

ρ

•

7

Gb.1.5. Kompleks konjugat.

CO�TOH:

1). Jika 65 jz += maka 65 jz −=∗

2). Sudut dengan sumbu nyata

o1 2,50)5/6(tan ==θ −

o2,50−=θ∗

3). z dapat dinyatakan sebagai

( )( )oo

oo22

2,50sin2,50cos8,7

2,50sin2,50cos65

j

jz

+=

++=

( )oo 2,50sin2,50cos8,7 jz −=∗

4). Jika 65 jz −−= maka 65 jz +−=∗

jbaz +=•

Re

Im

ρ

θ

θ−

jb

jb−

a

jbaz −=• ∗


5). Jika 65 jz −= maka 65 jz +=∗

•−−= 65 jz

Re

Im

•+−=∗ 65 jz

65 jz −=•

Re

Im

65 jz +=• ∗

9

2. Operasi-Operasi Aljabar

Seperti halnya bilangan nyata, operasi aljabar juga dapat dilakukan

pada bilangan kompleks

2.1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Karena bilangan kompleks terdiri dari dua komponen maka operasi

penjumlahan harus dilakukan pada kedua komponen. Hasil

penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks

yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan

komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Demikian pula selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan

kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen

nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen

imajiner.

)()(

)()(

)()(

)()(

2121

221121

2121

221121

bbjaa

jbajbazz

bbjaa

jbajbazz

−+−=

+−+=−

+++=

+++=+

(2.1)

CO�TOH:

Jika 43dan 32 21 jsjs +=+= maka

11

)43()32(

75

)43()32(

21

21

j

jjss

j

jjss

−−=

+−+=−

+=

+++=+


2.2. Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita

melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan

perkalian komponen per komponen.

212121

21212121

221121

2

))(())((

bbajbaa

bbajbajbaa

jbajbazz

−+=

−++=

++=

(2.2)

Jika ∗= 12 zz maka ∗× 11 zz adalah

22

22

11

))((

ba

bjbajbaa

jbajbazz

+=

++−=

−+=× ∗

(2.3)

CO�TOH:

Jika 43dan 32 21 jzjz +=+= maka

186

12996

)43)(32())(( 21

j

jj

jjzz

+−=

−++=

++=

CO�TOH:

Jika 32dan 32 121 jzzjz −==+= ∗ maka

495

9664

)32)(32())(( 11

=+−=

++−=

−+=∗

jj

jjzz

Jadi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan

menghasilkan bilangan nyata. Sifat ini akan kita manfaatkan dalam

melakukan pembagian bilangan kompleks.

11

2.3. Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu

dikalikan dengan 1. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan

kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan 1 dan bilangan 1 ini

kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi

dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan

memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah

bilangan nyata.

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

)()(

ba

ababjbbaa

jba

jba

jba

jba

z

z

+

−++=

−

−×

+

+=

(2.3)

CO�TOH:

Jika 43dan 32 21 jzjz +=+= maka

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

32

222

1 jj

j

j

j

j

z

z+=

+

+−++=

−

−×

+

+=

2.4. Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

Pernyataan bilangan kompleks bentuk sudut siku adalah seperti yang

kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu

jbaz += . Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui

relasi geometri sederhana. Relasi (1.3), (1.5), dan (1.6), yaitu

σ

ω=θω+σ=ρ

θρ=ωθρ=σ

−122 tandan

sindan cos

Memungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk polar

dan juga sebaliknya. Bentuk polar diturunkan dari fungsi

eksponensial kompleks yang akan kita lihat lebih dulu.


Fungsi Eksponensial Kompleks. Kita telah mengenal fungsi

eksponensial nyata. Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi

ekponensial xey =

merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata.

Jika z adalah bilangan kompleks θ+σ= jz maka didefinisikan

fungsi eksponensial kompleks

riil` aleksponensi fungsiadalah dengan

; )sin(cos)(

σ

σθ+σ θ+θ==

e

jeee jz

(2.4)

Melalui identitas Euler, θ+θ=θ sincos je j fungsi exponensial

kompleks (2.4) dapat kita tuliskan

θσ= jz eee (2.5)

Bentuk Polar. Relasi (2.5) memberikan memberikan jalan untuk

representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar

θρ= jez (2.6)

Modulus z (nilai absolut) adalah ρ, ditulis 22 || θ+σ=ρ=z dan

argumen z kita dituliskan juga sebagai ∠z. Perhatikan representasi

grafis Gb.2.1.

Gb.2.1. θρ= jez ; θ=∠= zzarg .

Re

Im

z •

θ

ρ

13

CO�TOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5.

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya

∠z = 0,5 rad.

Bentuk sudut sikunya adalah:

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jz

+=+=

+=

CO�TOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4.

Modulus z adalah 543 || 22 =+=ρ=z

Argumennya adalah rad 93,03

4tan 1 ==θ=∠ −z .

Representasi polar adalah: z = 5e j0,93

Re

Im

93,05 jez =•

rad 93,0

5

Re

Im

5,05 jez =•

rad 5,010


CO�TOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks 02 jz +−= .

Modulus z adalah 204 || =+=ρ=z .

Argumen ( ) π±=−=θ − 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal. Kita

harus berhati-hati menentukan argumennya. Di sini kita harus

memilih θ = π rad karena komponen imajiner 0 sedangkan

komponen nyata −2. Representasi polar adalah π= jez 2 .

CO�TOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks 20 jz −= .

Modulus z adalah 240 || =+=ρ=z .

Argumen ( ) 2/0/2tan 1 π−=−=θ − ; komponen imajiner 0

sedangkan komponen nyata −2.

Representasi polar adalah 2/2 π−= jez .

Re

Im

π= jez 2

2−•

Re

Im

2/2 π−= jez2j− •

15

2.5. Manfaat Bentuk Polar

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks. Representasi polar

dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan

pembagian.

)(

2

1

2

1

2

1

)(21

2121

21

2

1

21

21

))((

θ−θθ

θ

θ+θ

θθ

ρ

ρ=

ρ

ρ=

ρρ=

ρρ=

j

j

j

j

jj

ee

e

z

z

e

eezz

(2.7)

CO�TOH:

Misalkan bilangan kompleks z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e

j0,4.

9,04,05,021 50510 jjj eeezz =×=

1,0

4,0

5,0

2

1 25

10 j

j

j

ee

e

z

z==

Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks yang

dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperoleh dengan mengganti j

dengan −j seperti diperlihatkan secara grafis pada Gb.2.2.a; hal ini telah kita pelajari.

a) b)

Gb. 2.2. Bilangan kompleks konjugat.

Re

Im

Re

Im θρ=• jez

θ−∗ ρ=• jez

θ

θ−

θ+σ=• jz

θ+σ=• ∗ jz


Jika dinyatakan dalam bentuk polar, sudut argumen konjugat

berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya, seperti

diperlihatkan secara grafis oleh Gb.2.2.b.

Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya

adalah sebagai berikut.

[ ] ( )( )

*

**

*

* atau ||*))((

2

1

2

1

2121

2

**

z

z

z

z

zzzz

ss|z|zzz

=

=

==

(2.7)

CO�TOH:

4,02

5,01 5dan 10 jj ezez ==

1). 25

100 10 10

22

5,05,011

=

=×=∗

−∗

zz

eezz jj

2). [ ] [ ] [ ]

9,04,05,0

9,09,04,05,021

505 10

0505 5 10

jjj

jjjj

eee

eeeezz

−−−

−∗∗∗

=×=

==×=

3).

[ ]

1,0

4,0

5,0

1,01,0

4,0

5,0

2

1

2 5

10

052 5

10

j

j

j

jj

j

j

ee

e

eee

e

z

z

−−

−

−∗∗∗

==

==

=

17

3. Bilangan Kompleks untuk Menyatakan Fugsi Sinus

Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kompleks untuk

menyatakan fungsi sinus. Tindakan demikian ini kita jumpai dalam

analisis rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Sinus

Sinyal listrik sebagai fungsi waktu yang berbentuk sinusoidal

adalah

)sin( tAy ω= (3.1)

dengan A adalah amplitudo (simpangan maksimum), ω adalah frekuensi sudut fπ=ω 2 dengan f frekuensi siklus. Namun

pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi

cosinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap normal:

)cos( θ−ω= tAy (3.2)

jika puncak pertama fungsi terjadi pada ωt > 0 dan θ disebut sudut fasa.

seperti terlihat pada Gb.3.1.

a) tAy ω= cos b) )cos( θ−ω= tAy

Gb.3.1. Fungsi sinusoidal dinyatakan dengan fungsi cosinus.

Dengan bentuk normal ini maka fungsi

)sin( tAy ω= dituliskan sebagai

)2/cos( π−ω= tAy

di mana θ = π/2 pada Gb.3.1.b.

0 0

yA

A−

0 0 tω tωθ

yA

A−


3.2. Fasor

Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk

( )θ+θ== θ sincos jAAez j (3.3)

Dengan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus dan

sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu

zAexA

zAeA

jx

j

dariimajiner komponen Imsin

dan , dari nyatakomponen Recos

==

==θ θ

(3.4)

Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan

dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan

bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks Aejx saja yang

diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal sinus

y = Acos(ωt+θ) dapat kita tulis sebagai

tjj

tjjtj

eAe

eAeAetAy

ωθ

ωθθ+ω

=

==θ+ω=

Re Re )cos( )(

(3.5)

tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.

Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktor e

jωt pada pernyataan fungsi sinus (3.5)

tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus

cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi

θ=

θ+ω=

jAe

tAv

V

dengan dinyatakan

)cos( sinus sinyal

(3.6)

Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor

yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya.

Fasor ini merupakan bilangan kompleks dan dapat digambarkan

secara grafis seperti terlihat pada Gb.3.2. Gambar grafis seperti ini

disebut diagram fasor.

19

Gb.3.1. Fasor θ= jAeV

Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan

sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa

frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan

amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan

menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen

dengan modulus dan argumen pada bilangan kompleks. Jadi

penulisan fasor dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk polar

adalah

θ∠== θ AAe j VV sebagai ditulis (3.7)

Fasor θ∠= AV kita gambarkan dalam bidang kompleks, seperti

terlihat pada Gb.3.1.

Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor

dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu :

( ) sincos θ+θ=θ∠= jAAV (3.8)

Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah

ke bentuk polar

∠+=+= −

a

bbajba 122 tanV (3.9)

Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-

siku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-

operasi fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya

sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah

kita pelajari.

|A|

θ

Im

Re

V


3.3. Operasi Fasor

Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor

dituliskan dalam bentuk polar.

)(

maka dan Jika

21

21

θ+θ∠==

θ∠=θ∠=

AB

BA

BAC

BA (3.10)

)( maka

dan

menuliskan kita jika karena difahami,mudah ini Hal

21)( 2121

21

θ+θ∠===

==θ+θθθ

θθ

ABABeBeAe

BeAe

jjj

jj

C

BA

Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor

dituliskan dalam bentuk polar.

)(

maka dan Jika

212

1

21

θ−θ∠=θ∠

θ∠==

θ∠=θ∠=

B

A

B

A

BA

B

AD

BA

(3.11)

)( maka

dan

menuliskan kita Jika difahami.mudah juga ini Hal

21)( 2121

2

1

21

θ−θ∠====

==

θ−θθ−θθ

θ

θθ

B

Ae

B

Aee

B

A

Be

Ae

BeAe

jjj

j

j

jj

D

BA

Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan

ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan

fasor dalam bentuk sudut-siku.

21

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−

−∠−+−=

+−+=−=

+

+∠+++=

+++=+=

+=+=

−

−

21

211221

221

2211

21

211221

221

2121

2211

tan

tan

maka

dan Jika

aa

bbbbaa

jbajba

aa

bbbbaa

bbjaa

jbajba

BAD

BAC

BA

(3.12)

Jika fasor dinyatakan dalam bentuk polar, kita ubah dulu ke bentuk

sudut siku untuk mudah dijumlahkan / dikurangkan

( ) ( )

( ) ( )2121

2121

21

sinsincoscos

sinsincoscos

maka dan Jika

θ−θ+θ−θ=

−=

θ+θ+θ+θ=

+=

θ∠=θ∠=

BAjBA

BAjBA

BA

BAD

BAC

BA

(3.13)

Fasor �egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk

sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing

komponen riil dan imajiner.

Gb.12.2. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya

maka Jika 1111 jbajba −−=−+= AA

maka Jika 11*

11 jbajba −=+= AA

AA

∗A

θ

Im

Re

A−


Dalam bentuk polar,

( )( ) dan 180

180 maka

Jika

*o

o

θ−∠=−θ∠=

+θ∠=−

θ∠=

AA

A

A

A

A

A

(3.14)

Fasor Dengan Sudut Fasa 90o dan 0

o. Bentuk sudut-siku dari

fasor dengan sudut 90o dan 0

o adalah

0

; 90

; 90

o

o

o

CC

jBB

jAA

=∠=

−=−∠=

=∠=

C

B

A

(3.15)

CO�TOH:

)45500cos(10)( a). o1 −= ttv

Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan

bentuk sudut siku adalah

07,707,7 )45sin(10)45cos(10

atau 4510

oo1

o1

jj −=−+−=

−∠=

V

V

)30500cos(15)( b). o2 += ttv

Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan

bentuk sudut siku adalah

5,799,12)30sin(15)30cos(15

atau 3015

oo2

o2

jj +=+=

∠=

V

V

tti 1000cos4)( c). 1 −=

Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku

adalah

4)0sin(4)0cos(4atau 04 oo1

o1 −=−−=∠−= jII

23

)901000cos(3)( d). o2 −= tti

Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku

adalah

3)90sin(3)90cos(3atau 903 oo2

o2 jj −=−+−=−∠= II

213 e). III += dari c) dan d)

Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama.

Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka

fasornya dapat kita jumlahkan 34213 j−−=+= III .

Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk

polar menjadi

o1223 9,216 5

4

3tan)3()4( ∠=

−−

∠−+−= −I

*222

*111 ; f). IVIV == SS

ooo*111 4540)04()4510( −∠−=∠−×−∠== IVS

ooo*222 12045)903()3015( ∠=∠×∠== IVS

2

22

1

11 Z; Zg).

I

V

I

V==

; 455.204

4510 o

o

o

1

11 −∠−=

∠−

−∠==

I

VZ

o

o

o

2

22 605

903

3015−∠=

∠

∠==

I

VZ


3.3. Konsekuensi Pernyataan Sinyal Sinus dalam Fasor

Karakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan oleh

hubungan antara arus dan tegangannya. Untuk resistor , induktor,

dan kapasitor hubungan tersebut adalah:

1

atau :Kapasitor

:Induktor

:Resistor

∫==

=

=

dtiC

vdt

dvCi

dt

diLv

Riv

CCC

C

LL

RR

(3.16)

R, L, dan C berturut-turut adalah resistansi, induktansi, dan

kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. Relasi-relasi ini adalah

relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. Jika

tegangan dan arus dinyatakan dalam bentuk fasor maka harus

dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut.

Resistor. Jika arus pada resistor adalah

)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjRmRmR eItIti

maka tegangannya adalah

)()()( θ+ω== tjRmRR eRItRitv

Jika dinyatakan dalam fasor maka

RR RIV = (3.17)

Hubungan arus dan tegangan resistor ini mirip dengan hubungan

tegangan dan arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu.

Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalah

)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjLmLmL eItIti

maka tegangan induktor adalah

( ))(

)()( )(

)(θ+ω

θ+ωω=== tj

m

tjLmL

L eILjdt

eIdL

dt

tdiLtv

25

Dalam bentuk fasor,

LjZLX

ZjXLj

LL

LLLLLL

ω=ω=

==ω=

dan :dengan

IIIV (3.18)

Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan

arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan

berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZL = jXL ;

XL disebut reaktansi induktif , ZL disebut impedansi induktor.

Kapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah

)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjCmCmC eVtVtv

maka arus kapasitor adalah

( ) )(

()( )(

)(θ+ω

θ+ωω=== tj

Cm

tjCmC

C eVCjdt

eVdC

dt

dvCti

yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai

C

jZ

CX

ZjXC

j

Cj

Cj

CC

CCCCCCC

CC

ω−=

ω=

==ω

−=ω

=

ω=

dan 1

:dengan

1

atau

IIIIV

VI

(3.19)

Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan

arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan

berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZC =

jXC ; XC kita sebut reaktansi kapasitif, ZC kita sebut impedansi

kapasitor.

Pembaca dapat mempelajari lebih lanjut analisis rangkaian listrik

dengan buku ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1” oleh Sudaryatno

Sudirham.

Bilangan Kompleks dan Fasor - · PDF filemutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua...

Documents

Transcript of Bilangan Kompleks dan Fasor - · PDF filemutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua...