MAKALAH TRIGONOMETRI
Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
Disusun Oleh :
Nama : AsmadiNPM : 0819038Program Studi : Pendidikan Matematika
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN(STKIP) MUHAMMADIYAH PAGARALAM
TAHUN AKADEMIK 2011/2012
Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
1. Rumus untuk sin 2α
(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.Untuk β = α, diperolehsin (α + α) = sin α cos α + cos α sin αsin 2 α = 2 sin α cos αJadi, sin 2α = 2 sin α cos α
2. Rumus untuk cos 2α
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin αcos 2α = cos2α – sin2αJadi, cos 2α = cos2α – sin2αUntuk rumus cos2α dapat juga dituliscos 2α = cos2α – sin2αcos 2α = (1 – sin2α) – sin2αcos 2α = 1 – 2 sin2αJadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α
3. Rumus untuk tan 2α
Dari rumus
tan(α + β) = tan
tan.tan1
tantan
Untuk β = α diperoleh
tan(α + α) =
tan.tan1
tantan
2tan1
tan22tan
Jadi,
2tan1
tan22tan
Contoh soal :
1. Sederhanakan bentuk dari:a. cos2 22,5 - sin2 22,5b. 4 sin 22,5 - cos 22,5
c.
15tan1
15tan22
2. Jika Aadalah sudut lancip, dengan sin A =5
3, hitunglah nilai berikut :
a. sin 2Ab. cos 2Ac. tan 2A
3. Dengan menyatakan 3a sebagai (2a + a)buktikan bahwa sin 3a = 3 sin a – 4 sin3a4. Dengan menyatakan 3a sebagai (2a + a)buktikan bahwa cos 3a = 4 cos3a – 3 cos a.
5. Buktikan bahwa2
cos1
2
1
Sin
Jawab
1. a. cos2 22,5 - sin2 22,5 = cos 2 (22,5) = cos 45 22
1
b. 4 sin 22,5 - cos 22,5 = 2 (2 sin 22,5 cos 22,5)= 2 sin 2 (22,5)= 2 sin 45
= 2 x 22
1= 2
c.
15tan1
15tan22
= tan (2 x 15) = tan 30 = 33
1
2. Dik : sin A =5
3, cos A =
5
4dan tan A =
4
3
a. sin 2A = 2 sin A cos A =25
24
5
4
5
32
b. cas 2A = cos2 A – sin2 A =25
7
5
3
5
422
c. tan 2A =7
24
7
16.
4
6
16
74
6
4
31
4
3.2
tan1
tan222
A
A
3. a. sin 3a = sin (2a + a)= sin 2a cos a + cos 2a sin a= 2 sin a cos a cos a + (cos2 a – sin2 a) sin a= 2 sin a cos2 a cos a + (cos2 a – sin2 a) sin a
= 3 sin a cos2 a – sin3 a= 3 sin a (1 - sin2 a) – sin3 a= 3 sin a – 3 sin3 a – sin3 a= 3 sin a – 4 sin3 a
4. cos 3a = cos (2a + a)= cos 2a cos a - sin 2a sin a= (2 cos2 a – 1) cos a – 2 sin a cos a sin a= 2 cos3 a – cos a – 2 sin2 a cos a= 2 cos3 a – cos a – 2 (1 – cos2 a) cos a= 2 cos3 a – cos a – 2 cos2 a + 2 cos3 a= 4 cos3 a – 3 cos a
5. 2 sin2α = 1 – cos 2α
sin2α =2
2cos1sin
2
cos1 2
Substitusikan 2
1ke persamaan tersebut, diperoleh
2
cos1
2
1sin
2
2
12cos1
2
1sin
Latihan
1. Jika sin A =10
6dengan 0 < A< =
2
1, tentukan sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.
2. Diketahui sin A =13
5, di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda,
hitunglah sin 2A
3. Diketahui cos A =25
24 , di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut
ganda, hitunglah nilai cos 2A.
4. Jika αsudut lancip dan cos5
4 , hitunglah tan 2α.
Jawab:1.
864610 22 x
5
3
10
6sin A
5
4
10
8
10cos
xA
4
3
8
66tan
xA
sin2A = 2 sin A cos A =25
24
5
4.
5
3.2
cos2A = cos2A – sin2A =25
7
25
9
25
16
5
3
5
422
tan2A =7
24
7
16.
4
6
16
74
6
4
31
4
3.2
tan1
tan222
A
A
2. r2 = x2 + y2 x2 = r2 – y2
= 132– (–5)2
= 168 – 25x2 = 144
x = 12, karena di kuadran III
cos A =r
x
cos A =13
12
sin 2A = 2 sin A cos A = 2 169
120
13
12
13
5
3. cos 2A = 2 cos2 A – 1
= 22
25
24
–1
= 2625
5271
625
152.11
625
276.
4. BC2 = AC2 – AB2
= 52 – 42
= 25 – 16 = 9
BC = 9 = 3
tan 2α
16
91
2
3
4
31
2
3
4
31
4
3.2
tan1
tan2222
A
A
16
72
3
16
9
16
162
3
7
24
7
16
2
3
Top Related