Pertemuan 1 - Math edu Blog | Just another … · Web viewHasil dari perhitungan di atas dapat...

Pertemuan 1

PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR

A. Pangkat Rasional

Pangkat bilangan asli

Definisi:

Bilangan real a dipangkatkan bilangan asli n ditulis an didefinisikan sebagai:

Dari definisi di atas dapat diturunkan beberapa teorema berikut:Jika a, dan b bilangan real dan m, n bilangan asli, maka:

Buktikan teorema di atas!

Pangkat Bilangan Bulat

Pangkat bilangan nol dan bulat negatif dirancang sehingga sifat pangkat bilangan

asli masih dapat dipertahankan. Dari teorema pada pangkat bilangan asli

dapat diperluas untuk

a. m = n, sehingga diperoleh

b. m = 0 dan n bilangan asli, diperoleh

Dari uraian di atas dapat diperoleh teorema bahwa:

1

Jika a, dan b bilangan real, a, b ≠0, m, n bilangan bulat, maka:

Pangkat bilangan pecahan

Dari teorema no. 2 di atas, jika diperluas untuk dan terdefinisi,

diperoleh

Misalkan , maka atau , akibatnya

Definisi:

1. Misalkan a bilangan real, n bilangan asli, n > 1 sehingga terdefinisi, maka

bilangan a dipangkatkan 1/n ditulis , didefinisikan sebagai:

2. Misalkan a bilangan real, m,n bilangan asli, n > 1, (m,n) tidak mempunyai

faktor persekutuan selain 1 sehingga terdefinisi, maka bilangan a

dipangkatkan m/n ditulis , didefinisikan sebagai:

Dari definisi di atas, dapat diturunkan teorema sebagai berikut:

a. Bila a, b bilangan real, m,n bilangan asli, n > 1 sehingga semua besaran

bilangan berikut terdefinisi, maka:

b. Bila a, b bilangan real, a, b ≠ 0, r, s bilangan rasional sehingga semua

besaran bilangan berikut terdefinisi, maka:

2

B. Bentuk Akar

Definisi:

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan

bilangan irasional.

Akar dari bilangan real didefinisikan sebagai berikut:

akar kuadrat (akar kedua) dari bilangan real a ≥ 0, ditulis , didefinisikan sebagai bilangan real x ≥ 0 yang memenuhi

akar ke n dari bilangan real a ≥ 0, n bilangan asli, n ≥ 2 ditulis didefinisikan sebagai bilangan real x ≥ 0 yang memenuhi .

Untuk n = 2 , ditulis

untuk n bilangan ganjil, n ≥ 3, akar ke n dari bilangan real a < 0 ditulis didefinisikan sebagai bilangan x < 0 yang memenuhi

Jadi bentuk akar merupakan akar-akar dari suatu bilangan berpangkat yang jika

disederhanakan masih memuat bentuk akar.

Merasionalkan bentuk akar

Jika terdapat sebuah pecahan yang penyebutnya memuat sebuah bentuk akar,

dan dengan sejumlah berhingga operasi aljabar, penyebut dari pecahan tersebut

dapat dibuat sehingga tidak lagi memuat bentuk akar, maka proses ini disebut

merasionalkan bentuk akar.

a. Pecahan berbentuk

3

Pecahan berbentuk (a bilangan rasional dan merupakan bentuk

akar), bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan

itu dengan , sehingga pecahan itu menjadi:

Contoh.

b. Pecahan berbentuk

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akar sekawan,

penyebut pecahan yang berbentuk atau dapat dirasionalkan

dengan melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut:

1) untuk pecahan diubah menjadi

2) untuk pecahan diubah menjadi

Contoh.

c. Pecahan berbentuk

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akar sekawan,

penyebut pecahan yang berbentuk atau dapat

dirasionalkan dengan melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut:

4

1) Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan

menjadi:

2) Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan

menjadi:

Contoh.

Pertemuan 2

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan satu variabel real adalah:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a,b,c konstanta real

5

Bilangan real x1 yang bila digantikan ke persamaan di atas akan menghasilkan

pernyataan yang benar disebut akar persamaan kuadrat.

Akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan 3 cara yaitu:

1. pemfaktoran

2. melengkapkan kuadrat

3. rumus abc

Ketiga cara tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran

Cara ini dilakukan jika bentuk kuadratnya mempunyai dua faktor linier atau satu

faktor linier yang terulang dua kali. Prinsipnya adalah memfaktorkan bentuk

kuadratnya, sehingga diperoleh

ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2) = 0, a ≠ 0

Bentuk persamaan di atas menghasilkan dua akar, yaitu x = x1 dan x = x2

Contoh.

C. 1. Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x – 3 = 0 dengan cara pemfaktoran

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagi berikut:

- uraikan bilangan tetap -3 atas dua faktor sehingga jumlahnya -2

- hasil uraian tersebut adalah -3 dan 1, sebab (-3).1 = -3 dan (-3) + 1 = -2

- Berdasarkan uraian tersebut diperoleh x2 – 2x – 3 = (x -3)(x +1) = 0

- jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah x1 = 3 dan x2 = -1

C. 2. Akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 5 = 0 dengan cara

pemfaktoran dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagi berikut:

- kalikan 2 dengan -5 hasilnya adalah -10

- uraikan bilangan tetap -10 atas dua faktor sehingga jumlahnya -3

- Berdasarkan uraian di atas proses untuk menentukan akar dapat

digunakan cara sebagai berikut:

2x2 – 3x – 5 = 0

2x2 – 5x + 2x – 5 = 0

x(2x – 5) + (2x – 5) =0

6

(2x – 5)(x + 1) = 0

2(x – 2)(x + 1) = 0- jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah x1 = 2 dan x2 = -1

2. Menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat

Secara umum bentuk kuadrat lengkap dari suatu persamaan kuadrat adalah

(x – p)2, dengan p konstanta.

Pada persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Koefisien x2 selalu dapat dibuat satu dengan membagi setiap suku-suku dan

setiap ruas persamaannya dengan a ≠ 0. Setelah koefisien x dan konstantanya

diberi nama baru misalnya 2p dan q, maka diperoleh persamaan yang baru

x2 -2px + q= 0

dalam kasus bentuk kuadratnya mempunyai dua faktor linier atau satu faktor

linier yang terulang dua kali, maka persamaan kuadrat ini dapat ditulis menjadi

(x – p)2 – q = 0 dengan q > 0

Akar-akar persamaan kuadrat ini dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:

x1 = p + dan x2 = p - Contoh.

a. Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x – 3 = 0 dengan cara melengkapkan

kuadrat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagi berikut:

x2 – 2x – 3 = 0

x2 – 2x + 1 – 1 – 3 = 0

(x – 1)2 - 4 = 0

(x – 1)2 = 4

x – 1 = 2 atau x – 1 = -2

x = 3 atau x = -1

Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1 = 3 dan x2 = -1

b. Akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 5 = 0 dengan cara melengkapkan

kuadrat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagi berikut:

7

2x2 – 3x – 5 = 0

Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah x1 = dan x2 = -1

3. Menentukan akar persamaan kuadrat dengan cara rumus abc

Cara ini digunakan jika bentuk kuadratnya mempunyai dua faktor linier

atau satu faktor linier yang terulang dua kali. prinsipnya adalah memformalkan

proses menentukan akar dengan bentuk kuadrat lengkap sehingga menjadi satu

formula. Karena formulanya melibatkan koefisien-koefisien persamaan kuadrat

yang lambangnya a, b, dan c maka formula ini dikenal sebagai rumus abc.

Pada cara ini berlaku teorema berikut:

Akar-akar persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, b2 - 4ac ≥ 0 adalah

Akar-akar tersebut dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

8

Jadi akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah:

B. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

y = f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, a,b,c konstanta real

Kaitan in berlaku untuk setiap bilangan real x dan nilai y bergantung dari x.

Untuk setiap nilai x dikaitkan dengan tepat satu nilai y dan tidak sebaliknya.

Untuk sembarang nilai y terdapat paling banyak dua nilai x. Pada fungsi kuadrat

ini, x dengan nilai sembarang disebut variabel bebas, dan y yang tergantung

pada x disebut variabel tak bebas dari fungsi kuadrat.

Himpunan semua titik (x,y) di bidang disebut grafik fungsi kuadrat yang

dikenal dengan parabola.

Langkah-langkah menggambar parabola.

1. Cari titik potong dengan sumbu x (bila ada), syaratnya y = 0.

9

2. Cari titik potong dengan sumbu y (selalu ada), syaratnya x = 0→y =

c→(0,c)

3. Cari titik puncak

4. Tentukan beberapa titik bantu yang lain (bila perlu)

Contoh.

Gambarlah grafik fungsi y = x2 – 2x – 3

Penyelesaian

Langkah-langkah menggambar grafik:

• titik potong dengan sumbu x

y = 0 → x2 – 2x – 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x = 3 v x = -1 titiknya (3, 0) dan (-1,0)

• titik potong dengan sumbu y

x = 0→y = -3 titiknya (0, -3)

• titik puncak:

• Titik lain: untuk x = -2 →y=5 titiknya (-2,5)

untuk x = 4 →y=5 titiknya (4,5)

10

Secara skematik, parabola ditentukan oleh nilai a dan D

11

(3,0)(-1, 0)

a>0D>0

a>0D=0

a>0D<0

a<0D>0

a<0D=0 a<0

D<0

Membentuk fungsi kuadrat

Jika diketahui grafik atau ciri-ciri dari fungsi kuadrat tertentu, maka dapat

ditentukan rumus fungsi kuadrat tersebut.

a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0) dan melalui

sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai

berikut:

y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)

dengan nilai a ditentukan kemudian

b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melalui sebuah

titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

y = f(x) = a (x – x1)2


c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak P(xp, yp) dan melalui sebuah titik

tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

y = f(x) = a (x – xp)2 + yp


d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik a(x1,y1), B(x2,y2), dan C(x3,y3) maka

persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

y = f(x) = ax2 + bx + c

dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian

Contoh.

Diketahui sebuah fungsi kuadrat melalui titik puncak P(3, -5) dan melalui titik

(2, 2), tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

Jawab.

Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dengan

y = f(x) = a (x – xp)2 + yp

melalui titik pncak P(3, -5) berarti

y = a(x – 3)2 + (-5)

melalui titik (2,2) berarti

12

2 = a(2 – 3)2 – 5

2 = a(-1)2 – 5

2 = a – 5

a = 2 + 5 = 7

Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah:

y = 7 (x – 3)2 – 5

= 7(x2 - 6x + 9) – 5

= 7x2 – 42x + 58

13

Pertemuan 3

PERSAMAAN DAN PERTAKSAMAAN DENGAN NILAI MUTLAK

A. Persamaan dengan Nilai Mutlak

Definisi:

Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan sebagai

Sifat-sifat nilai mutlak:

1. Untuk setiap bilangan real x berlaku:

a. |x| ≥ 0

b. |x| = |-x|

c. - |x| ≤ x ≤ |x|

d. |x|2 = |x2| = x2

2. untuk setiap bilangan real x dan y berlaku:

a. |x – y| = |y – x|

b. |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2

c. |xy| = |x| |y|

Contoh.

Akan ditentukan penyelesaian dari persamaan |x2 – x – 1| = 1

Berdasarkan sifat nilai mutlak diperoleh x2 – x – 1 = 1 atau -1, yang menghasilkan

persamaan x2 – x – 1 = 1 atau x2 – x – 1 = -1

Persamaan pertama dapat diselesaikan sebagai berikut:

x2 – x – 1 = 1

x2 – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = -1

14

Persamaan kedua dapat diselesaikan sebagai berikut:

x2 – x – 1 = -1

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 atau x – 1

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {-1, 0, 1, 2}

B. Pertaksamaan Dengan Nilai Mutlak

Suatu pertaksamaan yang memuat nilai mutlak seringkali dapat

diselesaikan dengan menggunakan sifat nilai mutlak berikut.

Jika a > 0 , maka jawab pertaksamaan kuadrat x2 ≤ a2 adalah –a ≤ x

≤ a. Karena –a ≤ x ≤ a, maka jarak x ke 0 selalu kurang dari a yang

dapat dituliskan sebagai |x| ≤ a.

Sifat nilai mutlak untuk pertaksamaan adalah:

Jika a > 0 maka: 1) |x| ≤ a ↔ –a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a2

2) |x| ≥ a ↔ x ≥ a atau x ≤ -a ↔ x2 ≥ a2

Contoh.

1. Tentukan himpunan solusi dari pertaksamaan |2x – 1| < 3

Jawab.

Dengan menggunakan sifat di atas, diperoleh:

|2x – 1| < 3

-3 < 2x – 1 < 3

-2 < 2x < 4

-1 < x < 2

Jadi himpunan solusi pertaksamaan adalah {x: -1 < x < 2}

Pertemuan 4

15

PERSAMAAN RASIONAL DAN PERTAKSAMAAN PECAH

A. Persamaan rasional

B. Pertaksamaan Pecah

Bentuk umum pertaksamaan pecahan diantaranya:

dengan tanda < dapat diganti dengan >, atau ≤ atau ≥.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

tersebut adalah sebagai berikut.

a. Ubahlah bentuk peraksamaan menjadi bentuk kemudian

samakan penyebutnya

b. Uraikan P(x) dan Q(x) atas factor linier

c. Gambarkan urutan titik-titik batas pertaksamaan pada garis bilangan yang

membagi garis bilangan atas beberapa daerah

d. Tentukan tanda ruas kiri pertaksamaan di setiap daerah dengan cara

tentukan tanda di suatu daerah bila melintasi batas factor linier tanda

berubah dan bila melintasi batas factor kuadrat tanda tetap.

e. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan dengan cara menentukan daerah

yang bertanda sama dengan tanda pertaksamaan.

Contoh.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan

Jawab.

16

Karena 2x2 + 2x + 3 definit positif, maka pertaksamaan terakhir tesebut setara

dengan

++++++++++ -------------------- ++++++++

-3 2

Jadi himpunan penyelesaian dari pertaksamaan di atas adalah {x| -3 ≤ x ≤ 2

Pertemuan 5.

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI, FUNGSI TRIGONOMETRI

17

A. Perbandingan Trigonometri

Definisi:

Ukuran sudut dalam derajad

Satu derajat (ditulis 1°) didefinisikan sebagai ukuran besar sudut yang disapu

oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran

1 derajat = 60 menit

Ukuran sudut dalam radian

Satu radian (ditulis 1 rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar

yang berada di antara dua jari-jari lingkaran denagn panjang busur sama dengan

panjang jari-jari lingkaran itu.

Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan titik sudut siku-siku di C pada gambar di

bawah ini.

B

a c

C b A

Panjang sisi (dalam satuan panjang) di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di

hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

18

Dari 3 besaran panjang sisi segitiga siku-siku ABC tersebut (yaitu a, b, dan c)

dapat ditentukan enam buah perbandingan yang disebut sebagai perbandingan-

perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Definisi:

Menentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut khusus

Sudut khusus (sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan

trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar

trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah sudut-

sudut yang besarnya adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Nilai perbandingan

trigonometri untuk sudut-sudut khusus ini dapat ditentukan dengan

menggunakan konsep lngkaran satuan.

Lingkaran satuan. P(x, y)

Perhatikan gambar di samping.

Berdasarkan definisi perbandingan

trigonometri, diperoleh hubungan:

19

Dengan demikian, dalam lingkaran satuan itu koordinat titik P(x, y) dapat

dinyatakan sebagai P(cos α°, sin α°)

1. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°

Perhatikan gambar di samping. Koordinat titik

P adalah (1,0) sehingga (1,0) = (cos 0°, sin 0°)

Dengan demikian, diperoleh:

sin 0° = 0, cos 0° = 1,


Perhatikan gambar di samping. Jika α° = 30°,

maka . Akibatnya

merupakan segitiga sama sisi dengan panjang

sisi OP = OQ = PQ = 1. Karena

kongruen dengan , maka PP’ = QP’

= atau ordinat y = .

Segitiga OPP’ siku-siku di P’, dengan menggunakan teorema Pythagoras

diperoleh hubungan:

OP’ menyatakan absis titik P atau x =

Untuk α° = 30° maka koordinat titik P adalah , sehingga diperoleh

20

sin 30° = , cos 30° = ,


Jika α° = 45°, maka merupakan segitiga siku-siku di P’ dan sama kaki

dengan OP’ = PP’ atau x = y. dengan menggunakan teorema Pytagoras diperoleh

hubungan:

Karena x = y maka y =

Untuk α° = 45° maka koordinat titik P adalah , sehingga diperoleh

sin 45° = , cos 45° = ,


Jika α° = 60°, maka merupakan segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ

= 1. Karena konruen dengan , maka OP’ = QP’ = sehingga

absis x = . Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada dapat

ditunjukkan bahwa PP’ = , sehingga ordinat y = .

Untuk sudut α° = 60° maka koordinat titik P adalah ( , ), sehingga

( , ) = ( cos 60°, sin 60°). Dengan demikian diperoleh:

sin 60° = , cos 60° = , dan


21

Jika α° = 90°, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu y positif atau titik P

berada pada sumbu y positif. Koordinat titik P adalah (0, 1), sehingga (0, 1) =

(cos 90°, sin 90°). Dengan demikian diperoleh

sin 90° = 1, cos 90° = 0, dan

Nilai-nilai perbandingan trigonometri kotangen, sekan, dan kosekan untuk

sudut-sudut khusus dapat ditentukan dengan menggunakan hasil-hasil yang

telah dibahas dan dengan menggunakan rumus-rumus kebalikan dari rumus

yang telah dibahas di atas.

Hasil dari perhitungan di atas dapat disajikan dengan tabel di bawah ini.

Besar sudut α°

0° 30° 45° 60° 90°

sin α° 0 1

cos α° 1 0

tan α° 0 1 -

cot α° - 1 0

sec α° 1 2 -

cosec α° - 2 1

Definisi:

Perbandingan Trigonometri berdasarkan tinjauan geometri analitis

Tanda-tanda perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran dapat

disajikan pada tabel berikut:

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di kuadran

22

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

cot + - + -

sec + - - +

cosec + + - -

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90° - α°) dengan sudut α° dapat

dirangkum sebagai berikut.

a. sin (90° - α°) = cos α° d. cot (90° - α°) = tan α°

b. cos (90° - α°) = sin α° e. sec (90° - α°) = cosec α°

c. tan (90° - α°) = cot α° f. cosec (90° - α°) = sec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90° + α°) dengan sudut α° dapat

dirangkum sebagai berikut.

a. sin (90° + α°) = cos α° d. cot (90° + α°) = - tan α°

b. cos (90° + α°) = - sin α° e. sec (90° + α°) = - cosec α°

c. tan (90° + α°) = - cot α° f. cosec (90° + α°) = sec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180° - α°) dengan sudut α°

dapat dirangkum sebagai berikut.

a. sin (180° - α°) = sin α° d. cot (180° - α°) = - cot α°

b. cos (180° - α°) = - cos α° e. sec (180° - α°) = - sec α°

c. tan (180° - α°) = - tan α° f. cosec (180° - α°) = cosec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180° + α°) dengan sudut α°


a. sin (180° + α°) = - sin α° d. cot (180° + α°) = cot α°

b. cos (180° + α°) = - cos α° e. sec (180° + α°) = - sec α°

c. tan (180° + α°) = tan α° f. cosec (180° + α°) = - cosec α°

23

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270° - α°) dengan sudut α°


a. sin (270° - α°) = - cos α° d. cot (270° - α°) = tan α°

b. cos (270° - α°) = - sin α° e. sec (270° - α°) = - cosec α°

c. tan (270° - α°) = cot α° f. cosec (270° - α°) = - sec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270° + α°) dengan sudut α°


a. sin (270° + α°) = - cos α° d. cot (270° + α°) = - tan α°

b. cos (270° + α°) = sin α° e. sec (270° + α°) = cosec α°

c. tan (270° + α°) = - cot α° f. cosec (270° + α°) = - sec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut negatif (-α°) dapat dirangkum

sebagai berikut.

a. sin (- α°) = - sin α° d. cot (- α°) = - cot α°

b. cos (- α°) = cos α° e. sec (- α°) = sec α°

c. tan (- α°) = - tan α° f. cosec (- α°) = - cosec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (n.360° - α°) sama dengan rumus

perbandingan trigonometri untuk sudut negatif (α°)

a. sin (n. 360 - α°) = - sin α° d. cot (n. 360 - α°) = - cot α°

b. cos (n. 360 - α°) = cos α° e. sec (n. 360 - α°) = sec α°

c. tan (n. 360 - α°) = - tan α° f. cosec (n. 360 - α°) = - cosec α°

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (n.360° + α°) sama dengan

rumus perbandingan trigonometri untuk sudut α°

a. sin (n. 360 + α°) = sin α° d. cot (n. 360 + α°) = cot α°

b. cos (n. 360 + α°) = cos α° e. sec (n. 360 + α°) = sec α°

c. tan (n. 360 + α°) = tan α° f. cosec (n. 360 + α°) = cosec α°

24

B. Fungsi dan grafik fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri f(x°) = sin x°, f(x°) = cos x°, f(x°) = tan x°, mempunyai

persamaan grafik berturut-turut y = sin x°, y = cos x°, y = tan x°.

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri digunakan langkah-langkah

sebagai berikut.

1. Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara x dengan y = f(x°). Pilihlah

nilai sudut x sehingga nilai y = f(x°) dengan mudah dapat ditentukan.

2. Titik-titik (x,y) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang

Cartesius. Agar skala pada sumbu x dan sumbu y sama, maka nilai 360° pada

sumbu x dibuat kira –kira mendekati nilai 6,28 cm atau kelipatannya.

3. Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang Cartesuis pada

langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh sketsa grafik

fungsi trigonometri y =f(x°)

Contoh.

1. Grafik fungsi y = sin x° (0≤ x ≤ 360)

Pilihlah sudut-sudut x: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360.

Kemudian dicari nilai y = sin x°. Tulis dalam tabel hubungan antara x dan y sebagai

berikut:

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y = sin x 0 1 0 -1 0

Titik-titik (x, y) pada table di atas digambar pada bidang Cartesius, kemudian

dihubungkan dengan kurva yang smooth sehingga diperoleh grafik fungsi y = sin

x yang dicari

25

2. Grafik fungsi y = cos x° (0≤ x ≤ 360)

Jawab.Sudut-sudut yang dipilih seperti pada grafik y = sin x, dan buat table hubungan antara x dengan y = cos x sebagai berikut.

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y = cos x 1 0 - 1 0 1


dihubungkan dengan kurva yang smooth sehingga diperoleh grafik fungsi y = cos

x yang dicari

26

3. Grafik fungsi y = tan x° (0≤ x ≤ 360)

Jawab.Pilihlah sudut-sudut x = 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360 kemudian dicari nilai y = tan x dan disajikan dalam table berikut.

x 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y = cos x 0 1 - -1 0 1 - -1 0


dihubungkan dengan kurva yang smooth sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan

x yang dicari

Berdasarkan pada grafik fungsi y = sin x, y = cos x, dan y = tan x di atas dapat

disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

1. Fungsi-fungsi trigonometri sinus, cosines, dan tangent merupakan fungsi

periodic atau fungsi berkala

27

a. Fungsi sinus y = sin x dan fungsi cosinus y = cos x mempunyai periode

360°

b. Fungsi tangent y = tan x mempunyaiperiode 180°

2. Fungsi sinus y = sin x dan fungsi cosinus y = cos x mempunyai nilai minimum -

1 dan nilai maksimum 1, sedangkan fungsi tangen y = tan x tidak mempunyai

nilai maksimum maupun minimum

3. Khusus untuk fungsi tangen y = tan x

a. Untuk x mendekati 90° atau 270 dari arah kanan, nilai tan x menuju ke

negatif tak berhingga

b. Untuk x mendekati 90° atau 270 dari arah kiri, nilai tan x menuju ke

positif tak berhingga

c. Garis-garis x = 90 dan x = 270 disebut garis asimtot

d. Fungsi tangen y = tan x dikatakan diskontinu di x = 90 dan x = 270

Pertemuan 6.

TRIGONOMETRI

A. Kesamaan Trigonometri

1. Kesamaan Trigonometri yang merupakan hubungan kebalikan

2. Kesamaan Trigonometri yang merupakan hubungan perbandingan

28

3. Kesamaan Trigonometri yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras

B. Rumus Segitiga

Aturan Sinus

Untuk mendapatkan aturan sinus, perhatikan segitiga pada gambar di

bawah ini.

C

Q

Q b

a

A c R B

Garis-garis AP, BQ, dan CR merupakan garis tinggi pada sisi a, b, dan c.

Pada

29

Pada

Persamaan (1) = (2) sehingga diperoleh

Pada

Pada



Persamaan inilah yang disebut aturan atau dalil sinus.

Dalam setiap segitiga ABC perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang

berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.

Secara umum, aturan sinus dapat digunakan unuk menentukan unsur-unsur

dalam suatu segitiga jika unsur-unsur yang lain sudah diketahui, misalnya:

a. sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd

b. sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd

c. sisi, sisi, sudut disingkat ss, ss, sd

Aturan Cosinus

30

Untuk menurunkan aturan cosinus, perhatikan segitiga pada gambar di

bawah ini.

C

b a

A c D B

Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD

diperoleh:

Pada segitiga siku-siku ACD diperoleh:

Dan AD = b cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b cos A ………………..(3)

Substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1) diperoleh:

Dengan mengunakan analogi cara di atas dapat juga diperoleh:

Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus yang dapat dinyatakan dengan

persamaan:

31

Penggunaan aturan cosinus diantaranya:

a. untuk menentukan panjang sisi dari suatu segitiga, apabila dua sisi yang lain

dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu diketahui atau disingkat ss, sd,

ss.

b. untuk menentukan besar sudut dalam sebuah segitga jika panjang ketiga

buah sisinya diketahui (ss, ss, ss)

Jika dalam segitiga ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (ss, ss, ss) maka besar sudut

A, B, dan C dapat ditentukan dengan menggunakan aturan cosinus sebagai

berikut.

Luas segitiga.

Luas segitiga dapat ditentukan jika panjang alas dan tinggi segitiga

diketahui dengan menggunakan umus L = ½at

Selain menggunakan rumus diatas, luas segitiga juga dapat ditentukan

jika t iga usur dalam segitiga diketahui, yaitu:

1) panjang dua sisi dan besar satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu (ss, sd,

ss)

2) besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu

(sd, ss, sd)

3) panjang dua sisi dan besar satu sudut yang berhadapan dengan salah satu

sisi itu (ss, ss, sd)

4) panjang ketiga sisinya (ss, ss, ss)

32

Berikut akan dijelaskan cara menentukan luas segitiga.

1) luas segitiga dengan dua sisi dan satu sudut diketahui

Untuk menurunkan rumus luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan besar

satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, perhatikan segitiga di bawah ini.

A

c b

B D a C

Garis AD = t adalah garis tinggi dari titik A ke sisi BC.

Dalam segitiga ACD :

Substitusi t = b sin C ke diperoleh:

Dalam segitiga ABD :

33

Substitusi t = c sin B ke diperoleh:

Dari aturan sinus pada segiriga ABC;

Substitusi ke

Berdasarkan bukti di atas, luas segitiga ABC jika diketahui panjang dua sisi dan

besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, dapat ditentukan dengan

menggunakan salah satu rumus berikut:

2) Luas segitiga dengan dua sisi dan sebuah sudut di hadapan sisi diketahui.

Jika dalam sebuah segitiga diketahui panjang dua buah sisi dan besar sau sudut

di hadapan salah satu sisi, maka luas segitiga itu dapat ditentukan menggunakan

langkah-langkah sebagai berikut.

a) Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan menggunakan

aturan sinus

34

b) setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan

salah satu rumus yang sudah diketahui di atas.

3) luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi diketahui

Dengan menggunakan rumus luas segitiga dan aturan sinus dapat ditentukan

luas segitiga berikut.

Berdasarkan pada sturan sinus diperoleh

Substitusi diperoleh

Dengan cara yang sama dapat diperoleh bahwa

Sehingga luas segitiga ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi

yang terletah di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan

salah satu rumus berikut.

4) luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

35

Luas segitiga ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, b, c) dapat

ditentukan dengan rumus dengan

atau s adalah setengah keliling segitiga.

Bukti.

Ingat kembali identitas trigonometri

sin2 A + cos2 A = 1

sin2 A = 1 - cos2 A

sin2 A = (1 – cos A)(1 + cos A)

Substitusi persamaan ke persamaan sin2 A = (1 – cos A)(1

+ cos A) sehingga diperoleh.

Setengah keliling segitiga ABC adalah sehingga diperoleh:

(a + b + c) = 2s ………………………..(1)

(b + c – a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a) …………………(2)

(a + b – c) = (a + b + c) – 2c = 2s – 2c = 2(s – c) …………………(3)

(a – b + c) = (a + b + c) – 2b = 2s – 2b = 2 (s – b) …………………(4)

Substitusi persamaan (1), (2), (3) dan (4) ke sin A diperoleh:

36

Substitusi ke rumus luas segitiga ABC

sehingga diperoleh:

37

Pertemuan 7

IRISAN KERUCUT

LINGKARAN

A Defenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap

sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.

Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.

B. Persamaan lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

P(x, y)

38

Misalkan titik P(xP, yP) terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan

teorema Pythagoras diperoleh . Untuk sembarang titik (x, y) pada

lingkaran berlaku x2 + y2 = r2

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

x2 + y2 = r2

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari: 4

Jawab: a. persamaan lingkaran pusat di 0(0, 0) dan r =4 adalah x2 + y2 = 16

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

y

P(x, y)

AA

x

Misalkan titik P(xP, yP) terletak pada lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r,

maka akan dipenuhi (xP – a)2 + (yP – b)2 = r2. Untuk sembarang titik (x, y) pada

lingkaran berlaku (x - a)2 + (y - b)2 = r2 . Jadi persamaan lingkaran dengan pusat

A(a,b) dari jari-jari r adalah

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

39

Contoh:

Tentukan persamaan setiap lingkaran dengan pusat (4, 3) dan jari-jari = 6

Jawab:

pusat (4, 3) dan r = 6; r2= 36

Persamaan lingkaran (x - 4)2+(y - 3)2 = 36

3. Bentuk Umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Dengan menjabarkan persamaan tersebut diperoleh:

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

Persamaan lingkaran tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Yaitu lingkaran dengan pusat (-a, -b) dan jari-jari r dengan

C. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Jika persamaan suatu lingkaran diketahui, maka koordinat titik pusat dan

panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan.

1. jika persamaan lingkaran berbentuk maka

pusatnya (-a, -b) dan jari-jari r dengan

2. jika persamaan lingkaran berbentuk maka

pusatnya adalah dan jari-jarinya

D. Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran

40

Lingkaran dengan persamaan umum

membagi bidang menjadi 3 daerah bagian yaitu:

1. daerah di dalam lingkaran

2. daerah pada lingkran

3. daerah di luar lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini.

a. titik P1 terletak di luar lingkaran

b. titik P2 terletak pada lingkaran

c. titik P3 terletak di dalam lingkaran

sehingga:

a. himpunan semua titik yang terletak di luar lingkaran adalah

b. himpunan semua titik yang terletak pada lingkaran adalah

c. himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran adalah

Kedudukan garis trehadap lingkaran dapat digambarkan sebagai berikut.

41

Jika diketahui persamaan umum lingkaran dan

persamaan garis y = mx + n maka kemungkinan kedudukan garis terhadap

lingkaran adalah

a. garis di luar lingkaran, dengan D< 0

b. garis menyinggung lingkaran dengan D = 0

c. garis memotong lingkaran dengan D > 0

E. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran

Persamaan garis singgung pada lada lingkaran x2 + y2 = r2 di titik singgung (x1, y1)

adalah x1x + y1y = r2

Persamaan garis singgung pada lada lingkaran di

titik singgung (x1, y1) adalah x1x + y1y + a(x + x1) + b(y + y1) + c = 0

F. Persamaan garis singgung yang gradiennya dikeyahui

Persamaan garis singgung pada lada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m

adalah

Persamaan garis singgung pada lada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2

dengan gradien m adalah

Pertemuan 8.

PELUANG

42

A. Kaidah pencacahan

Jika sebuah himpunan A memuat r elemen dan himpunan B memuat s elemen

maka yang dimaksud rs adalah pasangan berurutan (a, b) dengan a

Prinsip di atas dapat digunakan pada sembarang anggota suatu himpunan

berhingga manapun dan dapat digunakan untuk menghitung dalam berbagai

situasi.

Contoh.

Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun dari

angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 tanpa pengulangan.

Untuk menyelesaikan masalah tersebut dibuat 4 tempat yang kosong sebagai

berikut.

Untuk memilih angka ribuan hanya dapat dipilh angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 sebab

angka 0 tidak mungkin ditempatkan pada kotak paling kiri sehingga posisi

pertaman hanya ditempati dengan 6 cara.

Karena salah satu angka sudah menempati posisi pertama maka posisi kedua

dapat ditempati dengan 6 cara yaitu angka 0, dan sisa dari 6 angka yang telah

dipakai pada posisi pertama.

43

Posisi ketiga dapat ditempati dengan 5 cara dan selanjutnya posisi keempat

ditempati dengan 4 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah 6 x

6 x 5 x 4 atau 720 bilangan.

Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam p cara yang berbeda, kemudian terjadi

peristiwa yang lain dalam q cara yang berbeda, kemudian terjadi lagi peristiwa

lain dalam r cara yang berbeda, maka ketiga peristiwa dalam urutan itu dapat

terjadi dalam (p x q x r) cara yang berbeda. Peristiwa ini dapat diperluas menjadi

lebih dari 3 peristiwa yang berurutan.

Faktorial

Definisi:

n faktorial (ditulis n!) adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n

yang didefinisikan sebagai n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … 3.2.1

dengan n bilangan asli dan 0! = 1

Contoh.

5! = 5.4.3.2.1 = 120

4! = 4.3.2.1 = 24

B. Permutasi

Definisi.

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur yang

diambil dari n unsur atau sebagian unsur.

Permutasi merupakan susunan elemen-elemen dari suatu himpunan yang

memperhatikan urutannya.

Teorema 1.

Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur maka banyk susunan (permutasi)

yang berbeda dari n unsur tersebut adalah P(n, n) = n!

P(n, n) = nPn dibaca permutasi tingkat n dari n unsur

44

Teorema 2.

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah

Permutasi dengan beberapa elemen yang sama

Misalkan terdapat n objek dengan n1 jenis pertama, n2 jenis kedua, …, dan nk

jenis ke-k. dengan adanya n objek maka terdapat n! permutasi. Jika P adalah

banyak permutasi yang berbeda, jenis pertama mempunyai n1! Dan seterusnya,

maka dengan kaidah pencacahan diperoleh permutasi berikut ini.

P.n1! . n2! . n3! . … . nk!

Karena banyaknya unsur ada n objek maka

P.n1! . n2! . n3! . … . nk! = n!

Sehingga

Permutasi Cyclis

Permutasi cyclis adalah permutasi melingkar atau urutannya melingkar.

Banyaknya permutasi cyclis dari n objek adalah (n – 1) !

C. Kombinasi

Kombinasi r elemen dari himpunan yang mempunyai n anggota (r ≤ n)

(ditulis nKr )adalah semua susunan yang mungkn terdiri atas r elemen berbeda

diambil dari n anggota himpunan itu, tanpa memperhatikan urutannya.

Perhatikan hubungan antara kombinasi dan permutasi pada tabel berikut.

Kombinasi Permutasi

AB AB, BA

ABC ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

45

Dari tabel di atas nampak terdapat hubungan sebagai berikut.

a. Sebuah kombinasi 2 elemen terdapat 2! Permutasu 2 elemen

b. Sebuah kombinasi 3 elemen terdapat 3! Permutasu 3 elemen

Berdasarkan contoh di atas, dengan cara yang sama dapat ditentukan bahwa

sebuah kombinasi r elemen terdapat r! permutasi r elemen. Jika terdapat x

kombinasi r elemen maka diperoleh x.r! permutasi r elemen. Jika terdapat nKr

kombinasi r elemen maka diperoleh nKr. r! permutasi r elemen. Padahal jika

setiap kombinasi r elemen dari nKr dipermutasikan maka terdapat nPr permutasi.

Jadi

nKr. r! = nPr

D. Ruang sampel

Titik sampel adalah semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Ruang sampel adalah himpunan dari semua titik sampel. Banyaknya anggota

ruang sampel ditulis n(S). Himpunan bagian dari suatu ruang sampel disebut

kejadian. Kejadian yang beranggotakan satu titik sampel disebut kejadian

sederhana

Contoh.

Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari suatu peristiwa pelemparan sebuah

dadu sebanyak satu kali.

Jawab.

Titik sampel dalam percobaan tersebut adalah setiap sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4,

5, dan 6. Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

E. Peluang

46

Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dengan n hasil yang mungkin

dan masing-masing mempunyai kesempatan muncul yang sama. Jika kejadian A

adalah himpunan bagian dari S demikian sehingga A memuat a elemen, maka

peluang kejadian A adalah P(A) dengan

Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi maka n(A) = n(S) sehingga

besarnya peluang kejadian A adalah

Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi maka n(A) = 0

sehingga besarnya peluang kejadian A adalah

Jadi nilai peluang adalah terbatas yaitu 0 ≤ P(A) ≤ 1

Frekuensi harapan terjadinya kejadian A (ditulis F(A)) pada suatu percobaan yang

dilakukan n kali adalah F(A) = n x P(A)

Dengan P(A) = peluang kejadian A dan F(A) = frekuensi harapan terjadinya

kejadian A

Peluang komplemen suatu kejadian

Beberapa kejadian dasar yang digabungkan dapat membentuk kejadian-kejadian

majemuk yang meliputi komplemen, gabungan dan irisan. Jika himpunan dari

semua kejadian dalam suatu percobaan adalah S, dan AC merupakan kejadian

yang terjadi jika dan hanya jika A tidak terjadi, seperti ditunjukkan pada gambar

di bawah ini.

Maka hubungan dari peluang masing-masing adalah:

P(A) + P(AC) = 1 -> P(AC) = 1 – P(A)

47

A

AC

S

P(AC) = P( ) = P(S) – P(A)

Peluang kejadian majemuk

a. Peluang gabungan dua kejadian

Keladian A dan B bersama-sama dilambangkan A ∩ B, sedangkan gabungan

antara kejadian A atau B dilambangkan A U B

Sesuai dengan kaitan peluang maka diperoleh:

P(A U B) = P(A terjadi tetapi B tidak) + P(B terjadi tetapi A tidak) + P(A ∩ B) …..(1)

P(A) = P(A terjadi tetapi B tidak) + P(A ∩ B) ……………………………………… (2)

P(B) = P(B terjadi tetapi A tidak) + P(A ∩ B) ……………………………………… (3)

Jika persamaan (2) dan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh

P(A U B) = P(A) - P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B) + P(A ∩ B)

= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Jadi: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

b. peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas

Kejadian A dan B disebut dua kejadian saling lepas bila irisan dari dua kejadian

itu sama dengan himpuna kosong. Bila A dan B merupakan dua kejadian yang

saling lepas maka (A ∩ B) = { } sehingan P(A ∩ B) = 0.

Jadi P(A U B) = P(A) + P(B)

c. peluang dua kejadian yang saling bebas stokastik

Sebuah kotak di dalamnya terdapat 3 bola hijau dan 4 bola biru. Misalkan kita

akan mengambil sebuah bola secara acak dari dalam kotak itu. Jika yang terambil

bola hijau, maka disebut kejadian H, dan jika terambil bola biru, maka disebut

kejadian B. Bola hijau yang diambil pada kejadian H tadi dikembalikan, kemudian

mengambil lagi sebuah bola dari kotak. Kejadian H dan B disebut dua kejadian

yang saling bebas, sebab bola hijau yang terambil pada pengambilan pertama

tidak mempengaruhi pengambilan bola biru pada pengambilan kedua. Bila K1

dan K2 merupakan 2 kejadian saling bebas maka:

48

P(K1 ∩ K2) = P(K1) x P(K2)

Perluasannya:

Bila K1, K2, K3, . . . , Kn merupakan kejadian-kejadian bebas, maka:

P(K1 ∩ K2 ∩ K3 ∩ . . . ∩ Kn) = P(K1) x P(K2) x P(K3) x . . . x Kn

Jadi Untuk contoh di atas peluang terambilnya bola hijau dan biru secara

berturut-turut adalah:

P(H ∩ B) = P(H) x P(B)

Bila pada pengambilan pertama bola hijau tidak dikembalikan lagi maka

pengambilan kedua dipengaruhi oleh kejadian pertama. Peluang keduanya bola

pertama hijau dan kedua biru adalah:

P(H ∩ B) = P(H) x P(B)

Jadi jika K1 dan K2 dua peristiwa yang bergantung maka:

P(K1 ∩ K2) = P(K1) x P(K2/K1)

P(K2/K1) dibaca peluang terjadinya K2 setelah terjadi K1

Pertemuan 9

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

49

A. Pengertian Fungsi

Definisi fungsi dapat ditinjau dari 2 hal berikut.

1. Fungsi sebagai pemetaan.

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan pengawanan yang

memetakan setiap x є A dengan tunggal y є B.

Himpunan A disebut daerah asal (domain)

Himpunan B disebut daerah kawan (ko domain)

Himpunan anggota B yang menjadi kawan di A disebut daerah hasil (range)

Fungsi f dari A ke B digambarkan sebagai.

Fungsi f dari A ke B dinotasikan sebagai:

f : x є A→y єB atau y = f(x)

2. Fungsi sebagai pasagan terurut dua bilangan real x dan y adalah himpunan (x,

y) dengan x paling banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan.

Syarat keanggotaan himpunan fungsi f biasanya ditentukan oleh pemetaan x ke y

dan pada umumnya dinyatakan dengan suatu aturan y = f(x)

Domain : Df = {x | (x, y) є f}

Range : Rf = {y | (x, y) є f}

50

Fungsi : f = {(x, y) | (x, y1) dan (x, y2) є f → y1 = y2}

Jika diketahui suatu fungsi dengan bentuk y = f(x) maka fungsi tersebut dapat

dipandang sebagai pemetaan atau himpunan pasangan terurut

Jika fungsi diketahui sebagai pasangan terurut, maka diperoleh suatu aturan

fungsi yang berlaku pada domain, dan sebaliknya jika diketahui aturan fungsi

sebagai pemetaan, maka diperoleh himpunan pasangan terurut.

Contoh.

Misalkan f(x) = 2x – 3 maka

untuk x = 0, nilai fungsinya y = f(0) = 2.0 – 3 = -3

x = 1, nilai fungsinya y = f(1) = 2.1 – 3 = -1

x = -2, nilai fungsinya y = f(-2) = 2.(-2) – 3 = -7, dan lain-lain

B. Jenis-jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita pelajari di antaranya sebagai berikut.

1. Fungsi konstan 4. Fungsi modulus

2. Fungsi identitas 5. Fungsi linier

3. Fungsi bilangan bulat terbesar 6. Fungsi kuadrat, dan lain-lain

Penjelasan dari masing-masing fungsi tersebut adalah sebagai berikut.

1. Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dengan rumus

f(x) = a dengan a suatu konstanta.

Contoh.

Fungsi f dinyatakan dengan f(x) = 5 maka untuk setiap nilai x є himpunan

bilangan real nilai dari fungsi tersebut tetap yaitu 5. Grafik fungsi konstan

tersebut sebagai berikut.

51

f(x) = 5

2. Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dengan rumus f(x)

= x yang dapat digambarkan sebagai berikut.

3. Fungsi bilangan bulat terbesar

Fungsi bilangan bulat terbesar dinotasikan dengan f(x) = , x є R yang

didefinisikan sebagai berikut.

Dengan Df = R dan Rf = himpunan bilangan bulat

Contoh.

52

f(x) = x

Grafik fungsi f(x) = untuk -2 ≤ x < 5 dapat digambar sebagai berikut

4. Fungsi Modulus

Fungsi modulus adalah fungsi M yang memuat bentuk nilai mutlak dan

dinyatakan dengan rumus M(x) = |x|

Atau

y

a

53

-a a x

5. Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi f yang dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, a dan b

konstanta, dengan a ≠ 0.

Bentuk umum: y = mx + n, atau ax + by + c = 0.

Grafik fungsi linear berupa garis lurus.

Beberapa kemungkinan dari nilai m dan n:

• bila m > 0, garisnya condong ke kanan/naik

• bila m <0, garisnya condong ke kiri/turun

• bila m = 0, garisnya sejajar sumbu x

bila garisnya sejajar sumbu y, m tak terdefinisi

bila n >0, garis memotong sumbu y di atas O

bila n<0, garis memotong sumbu y di bawah O

bila n = 0, garis melalui O

Contoh.

Gambarlah grafik 2x +3y = 12

• Titik potong dengan sumbu x: y = 0→x = 6

• Titik potong dengan sumbu y: x = 0→y = 4

54

Rumus umum persamaan garis.

• Garis melalui titik 0 gradiennya m: y = mx

• Garis memotong sumbu y sejauh n gradien m:

y = mx + n

• Garis melalui titik (x1, y1) gradien m:

y – y1 = m (x – x1)

• Garis melalui 2 titik (x1, y1) dan (x2, y2) :

C. Fungsi Komposisi

Perhatikan sketsa berikut.

Diketahui.

f :x є A →y є B, maka y = f(x)

g :y є B →z є C, maka z = g(y)

h :x є A →z є C, maka z = h(x)

Sekarang h (x) = z = g(y) = g(f(x)) atau h (x) = g(f(x)) ini disebut fungsi komposisi,

ditulis h = g ◦ f

Pada umumnya g ◦ f ≠ f ◦ g

55

Contoh.

Diketahui f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 1. Tentukan g ◦ f dan f ◦ g

Jawab.

g◦ f = g(f(x)) = g(2x – 3)

= (2x – 3)2 + (2x – 3) – 1

= 4x2-8x+2

f ◦ g = f(g(x) = f(x2 + 2x – 1)

= 2(x2 + 2x – 1) – 3

= 2x2 + 4x - 5

Ternyata g◦ f ≠ f ◦ g

C. Fungsi Invers

f :x є A →y є B, maka y = f(x)

h :y є B →x є A, maka x = h(y) padahal h = f -1 maka

x = f -1(y) sehingga f -1 (x) dapat ditentukan

Contoh.

Diketahui f(x) = ½ x3+ 1, tentukan f-1 (x)

Jawab.

56

Pertemuan 10

LIMIT FUNGSI

A. Limit fungsi aljabar:

57

Teorema 2.

Contoh.

58

B. Limit fungsi untuk x→+∞ dan x→-∞

Contoh.

C. Limit fungsi Trigonometri

Teorema

Ingat kembali!

59

Contoh.

D. Kontinuitas

Definisi

Jika salah satu saja dari syarat di atas tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) dikatakan

diskontinu (tidak kontinu) di titik x = a

60

Contoh.

1. Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = 2x3-3x2+7 di titik x=1

Penyelesaian:

2.Diberikan fungsi

Tentukan harga a dan b agar f(x) kontinu untuk semua harga x.

Penyelesaian.

a. Selidiki untuk x= 0

Agar f(x) kontinu di x=0 maka harga limitnya harus ada yaitu limit kiri = limit

kanan

61

b. Selidiki untuk x = 2

Agar f(x) kontinu di x=2 maka harga limitnya harus ada yaitu limit kiri = limit

kanan

Jadi 4 – b = 6 atau b = -2……………….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = - 4 dan b = - 2 dan f(x) kontinu untuk

setiap harga x.

Pertemuan 11

FUNGSI DAN TURUNAN

A. Turunan Fungsi Aljabar

Definisi

Turunan ke x dari fungsi y = f(x) adalah

62

Teorema 2.

Contoh.

Turunan fungsi komposisi:

Aturan rantai untuk mencari turunan fungsi komposisi

Bila y = f(u), u = u(x) maka

63

Contoh.

B. Turunan Fungsi Trigonometri.

Teorema:

a. y = sin x →y’ = cos x

b. y = cos x → y’ = - sin x

c. y = tan x → y’ = sec2 x

d. y = cosec x → y’= -cosec x cot x

e. y = sec x → y’ = sec x tan x

f. y = cot x → y’ = - cosec2 x

Contoh.

1. y = 2sin x

y’ =2cos x

2. y = sin 2x

64

y’ = 2 cos 2x

3. y = sin 2 x

y’ = 2sin x cos x

4. y = 2 sin 2 2x → y’ = ….?

Teorema L’Hospital

Bila f(x) dan g(x) dapat didiferensialkan di sekitar x = c, f(c) = g(c) = 0, dan f’(c)

dan g’ ( c) tidak keduanya nol, maka

Contoh.

C. Turunan Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponensial

Diketahui , akan ditentukan y’

65

Jadi untuk maka

Untuk a = e maka

Diketahui , akan ditentukan y’

Dari definisi

66

xeyea 'makaJika

Pertemuan 12

PERSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. Persamaan Eksponen

1. Persamaan eksponen berbentuk

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk

digunakan sifat berikut.

67

Contoh.

Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab.

3x + 1 = 4

3x = 4 – 1

3x = 3

x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}


Untuk menyelesaikan persamaan eksponen yang berbentuk

digunakan sifat berikut.

Contoh.


Jawab.

2 – x = x + 4

2 – 4 = x + x

-2 = 2x

x = -1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1}

68


Persamaan eksponen berbentuk akan benar jika dan

hanya jika

1. f(x) = g(x)

2. h(x) = 1

3. h(x) = 0 f(x) dan g(x) > 0

4. h(x) = -1

Untuk hasil nomor 3 dan 4 perlu dicek kebenaranya

Contoh.


Jawab.

Misalkan h(x) = 2x – 5, f(x) = x2 + 1, g(x) = x + 7

Kasus (1): f(x) = g(x)

x2 + 1 = x + 7

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

x1 = 3 atau x2 = -2

Kasus (2): h(x) = 1

2x – 5 = 1

2x = 1 + 5

2x = 6

x3 = 3

Kasus (3) : h(x) = 0

2x – 5 = 0

2x = 5

2x = 5

69

x4 =

untuk x = maka

Jadi x = memenuhi penyelesaian 3.

Kasus (4): h(x) = -1

2x – 5 = - 1

2x = - 1 + 5

2x = 4

x5 = 2

Untuk x = 2 maka f(2) = 22 + 1 = 5 dan g(2) = 2 + 7 = 9

ruas kiri: (-1)9 = -1, dan ruas kanan (-1)5 = -1

Jadi x = 2 memenuhi penyelesaian 4.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 2, , 3}

4. Persamaan eksponen benbentuk

Persamaan eksponen berbentuk benar jika dan hanya jika

1. f(x) = g(x)

2. h(x) = 0 f(x) dan g(x) ≠ 0

Untuk hasil 2 perlu dicek kebenarannya.

Contoh.

Selesaikan persamaan eksponen berikut.

Jawab.

70

Misalkan f(x) = x2 + 2x – 3, g(x) = x2 + 3x – 10, dan h(x) = x2 - 4

kasus (1) : f(x) = g(x)

x2 + 2x – 3 = x2 + 3x – 10

2x – 3x = 3 – 10

-x = -7

x1 = 7

Kasus (2): h(x) = 0

x2 – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x2 = 2 atau x3 = -2

Untuk x = 2 maka

f(2) = 22 + 2.2 – 3 = 5 ≠ 0

g(2) = 22 + 3.2 – 10 = 0

Jadi x = 2 tidak memenuhi penyelesaian (2)

Untuk x = -2 maka

f(- 2) = (-2)2 + 2.(-2) – 3 = -3 ≠ 0

g(-2) = (-2)2 + 3.(-2) – 10 = -12 ≠ 0

jadi x = -2 memenuhi penyelesaian 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 7}


Persamaan berbentuk merupakan persamaan

kuadrat.

Contoh.


Jawab.

71

Misalkan y = 2x. maka

4y2 + y -18 = 0

(4y + 9)(y – 2) = 0

y = atau y = 2

Untuk y = tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan

tersebut.

Untuk y = 2

x = 1


B. Persamaan Logaritma

1. persamaan Logaritma berbentuk

Untuk menyelesaikan persamaan di atas digunakan sifat

Contoh.

Tentukan hinpunan penyelesaian dari persamaan

Jawab.

Persamaan tersebut terdefinisi jika dan hanya jika x + 1 > 0 x > -1

x + 1 = 4

x = 3


72

2. Persamaan Logaritma berbentuk


Contoh.

Tentukan Hinpunan penyelesaian dari persamaan

Jawab.

persamaan tersebut terdefinisi jika dan hanya jika

a. 2x - 3 > 0 dan

b. x + 1 > 0 x > -1

Daerah definisi yang memenuhi a dan b di atas adalah x >

2x – 3 = x + 1

2x – x = 1 + 3

x = 4


3. Persamaan logaritma berbentuk


Contoh.

Tentukan Hinpunan penyelesaian dari persamaan

73

Jawab.

Persamaan tersebut terdefinisi jika dan hanya jika

(a) x > 0 dan x ≠ 1

(b) x2 – 5x + 6 > 0

(x – 2)(x – 3) > 0

x < 2 atau x > 3

(c) 2x – 4 > 0

x > 2

Daerah definisi yang memenuhi (a), (b), dan (c) adalah x > 3

x2 – 5x + 6 = 2x – 4

x2 – 7x + 10 = 0

(x – 2)(x – 5) = 0

x = 2 atau x = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 5}

4. Persamaan logaritma yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadrat

Bentuk umum:

Contoh.

Selesaikan persamaan

Jawab.

terdefinisi untuk x > 0

Misalkan

y2 – 3y – 10 = 0

(y + 2)(y – 5) = 0

y = -2 atau y = 5

Untuk y = -2 maka

74

Untuk y = 5 maka

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 32}

Pertemuan 13

FUNGSI EKSPONEN, LOGARITMA, DAN PECAH

A. F ungsi eksponen

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstanta) adalah fungsi yang

didefinisikan denagn rumus:

1. Grafik fungsi f(x) = ax, untuk a > 1

Contoh.

Lukislah grafik fungsi f(x) = 2x

75

Jawab.

Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut dapat digambarkan grafik

fungsi f(x) = ax

x . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 . . .

ax . . . 1 2 4 8 . . .

2. Grafik fungsi f(x) = ax, untuk 0 < a < 1

Contoh.

Lukislah grafik fungsi f(x) =

Jawab.

Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut dapat digambarkan grafik

fungsi f(x) =

x . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 . . .

. . . 8 4 2 1 . . .

76

Secara umum grafik f(x) = ax naik untuk a > 1 dan turun untuk 0 < a < 1.

Karkteristik fungsi ax dan a-x (untuk a > 1)

77

Untuk grafik f(x) = ax, a > 1 Untuk grafik f(x) = ax, 0 < a < 1

Domain (- ∞, ∞) * Domain (- ∞, ∞)

Range (0, ∞) * Range (0, ∞)

Melalui (0, 1) * Melalui (0, 1)

Fungsi naik * Fungsi turun

sumbu x sebagai asimtot datar * sumbu x sebagai asimtot datar

Mempunyai invers * Mempunyai invers

B. Fungsi Logaritma

Definisi:

Jika x > 0, a > 0 dan a ≠ 1 maka

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dinyatakan dengan rumus f(x) = alog x

Grafik fungsi f(x) = alog x untuk a > 1 dan 0 < a < 1 mempunyai karakteristik

sebagai berikut:

78

Grafik fungsi f(x) = alog x untuk a > 1 Untuk grafik f(x) = alog x, 0 < a < 1

* Domain (0, ∞) * Domain (0, ∞)

* Range (- ∞, ∞) * Range (- ∞, ∞)

* Melalui (1, 0) * Melalui (1, 0)

* Fungsi naik * Fungsi turun

* sumbu y sebagai asimtot tegak * sumbu y sebagai asimtot tegak

* mempunyai invers * mempunyai invers

C. Fungsi pecah

Fungsi yang berbentuk dengan k konstanta atau dengan

p, q, dan k bilangan real dikenal sebagai fungsi pecah atau fungsi rasional.

1. Grafik fungsi rasional untuk x ≠ 0

Contoh.

Grafik fungsi untuk domain {x | -4 < x < 4} dapat digambarkan dengan

menggunakan nilai dalam tabel berikut.

x -4 -2 -1 1 2 4

-1 -2 -8 16 2 1

79

Secara umum sumbu x dan sumbu y masing-masing merupakan asimtot datar

dan asimtot tegak untuk kurva , x ≠ 0, dan k konstanta.

2. Grafik fungsi rasional untuk x + p ≠ 0

Contoh.

Grafik fungsi

80

Secara umum grafik fungsi rasional untuk x + p ≠ 0 adalah

bayangan dari grafik dengan translasi dan memiliki

* asimtot datar y + q = 0 dan aasimtot tegak x + p = 0.

Fungsi rasional yang berbentuk ekuivalen dengan fungsi yang

memiliki

* asimtot tegak cx + d = 0

* asimtot datar ax + b = 0

Untuk memudahkan menggambar grafik fungsi dapat dengan

mengubah terlebih dahulu menjadi bentuk

81

3. Grafik fungsi rasional

Contoh.

Gambar grafik fungsi

Jawab.

x . . . -3 -2 -1 1 2 3 . . .

y . . . 4,1 5,5 13 13 5,5 4,1 . . .

Asimtot datar y – 3 = 0 y = 3 dan asimtot tegaknya sumbu y

82

4. Grafik fungsi rasional berbentuk untuk a, b, c, p, q, r R,

dan a ≠ 0 , p ≠ 0.

Grafik dari fungsi di atas sangat beragam, perlu diperhatikan beberapa hal

berikut:

1. titik potong dengan sumbu koordinat

a. titik potong dengan sumbu x adalah dengan mensubstitusikan nilai y = 0

b. titik potong dengan sumbu y adalah dengan mensubstitusikan nilai x = 0

2. Asimtot

a. asimtot datar dapat diperoleh dengan limit berikut:

Jadi asimtot datar adalah

b. asimtot tegak dapat diperoleh dengan menentukan akar persamaan kuadrat

px2 + qx + r = 0

3. Kurva pada umumnya memotong asimtot datar, maka untuk menentukan titik

tersebut adalah dengan mensubstitusikan nilai ke persamaan

dan akan diperoleh nilai

4. Titik balik maksimum/minimum dapat ditentukan dengan mencari batas-batas

nilai y untuk x bilangan real dengan menentukan D ≥0 pada persamaan kuadrat

dalam x, yaitu persamaan ax2 + bx + c – y(px2 + qx + r) = 0

83

5. Menentukan letak kurva terhadap sumbu x dengan menentukan tanda pada

fungsi

a. Jika y > 0 maka grafik berada di atas sumbu x

b. Jika y < 0 maka grafik berada di bawah sumbu x

5. Grafik fungsi rasional berbentuk untuk a, b, c, p, q R,

dan a ≠ 0 , p ≠ 0.

Grafik fungsi di atas mempunyai satu asimtot tegak untuk px + q = 0, namun

tidak mempunyai asimtot datar.

Pertemuan 14

VEKTOR R2 DAN R3

A. Pengertian

Kita mengenal ada 2 macam besaran yaitu:

a. Besaran skalar

Yaitu besaran yang hanya mempunyai besar atau nilai saja tanpa arah.

Contoh: panjang, tinggi, isi, dan lain-lain

b.Besaran vektor

yaitu besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah

contoh: perpindahan, kecepatan, gaya, dan lain-lain.

Secara grafis, vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah.

Error: Reference source not foundError: Reference source not found

Diketahui vektor seperti pada gambar di atas. Titik O disebut titik asal atau

pangkal dan titik P disebut titik terminal.

84

Besar/panjang vektor dinyatakan oleh panjang ruas garis OP, dan arah dari

vektor ditunjukkan oleh arah anak panah pada gambar

B. Notasi vektor

Dari gambar vektor di bawah ini, secara analitis vektor dapat dinotasikan sebagai

berikut.

P

O

Error: Reference source not founda. atau OP

Menunjukkan bahwa arah vektor dari titik O ke titik P.Besar vektor OP

dinyatakan dengan | OP|

b. a atau a atau a

C. Macam-macam vektor

Ada beberapa macam vektor, diantaranya:

1. Vektor nol

Yaitu vektor yang besarnya nol, dan arahnya tak tentu

2. Vektor satuan

Yaitu vektor yang besarnya satu satuan.

Jika a adalah sebuah vektor yang besarnya |a| ≠ 0 maka adalah sebuah

vektor satuan yang arahnya sama dengan arah a

85

Vektor satuan sepanjang sumbu koordinat.

• i adalah vektor satuan sepanjang sumbu x positif

• j adalah vektor satuan sepanjang sumbu y positif

• k adalah vektor satuan sepanjang sumbu z positif

Error: Reference source not found

3. Vektor posisi

Jika diketahui sebuah vektor dengan titik awal titik O dan titik terminalnya titik

P(x,y,z) maka disebut sebagai vektor posisi dari titik P, ditulis p = xi + yj + zk

yang besarnya adalah

86

P(x, y, z)

y

z

Secara analitis arah dari vektor ditunjukkan oleh besar sudut yang dibentuk

oleh ruas garis OP dengan sumbu-sumbu koordinat.

α, β, γ disebut sudut arah dari vektor OP.

cos α, cos β, cos γ disebut cosinus arah dari vektor OP

Dalam Alqur’an Surat Adz Dzariyaat: 56 berbunyi:

Artinya:

Dan Aku tidak ciptakan jin dan manusia melainkan supaya mereka beribadah

kepada-Ku.

Dari ayat di atas dijelaskan bahwa jin dan manusia hidup di dunia

hanyalah untuk beribadah kepada Alloh. Ibadah dari setiap manusia dapat

digambarkan sebagai suatu vektor. Sebagaimana dijelaskan di atas, bahwa

vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah, dan dapat

digambarkan sebagai ruas garis berarah. Titik awal dari vektor ibadah adalah niat

87

x

p = xi + yj + zk|p| =

kita untuk beribadah, seadngkan titik terminalnya adalah tujuan kita beribadah.

Besar dari vektor ibadah kita ditunjukkan oleh kesungguhan kita dalam

berikhtiar untuk mencapai tujuan dari ibadah.

Soal latihan.

1. Tentukan manakah dari besaran berikut yang termasuk besaran vektor

dan yang termasuk besaran skalar

a.Berat b. Panas c. Volume d. Jarak e. energi

f. kalori g. Momentum h. kerapatan i. Tinggi j. Panjang

k. entropi l. Usaha m. Suhu n. Muatan o. gaya

2. Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200km ke arah barat dan

kemudian 150 km dalam arah 60° di sebelah utara dari barat. Tentukan

pergesaran resultan

a. secara grafis

b. secara analitis

3. Carilah resultan dari perpindahan-perpindahan berikut: A. 20 km dalam

arah 30° di sebelah utara dari timur, B. 50 km ke arah barat, C. 30 km ke

arah 60° di sebelah selatan dari barat

4. Seorang yang berjalan ke arah selatan dengan laju 15 km/jam mengamati

bahwa angin kelihatannya bertiup dari arah barat. Dengan

menambahkan kecepatannya hingga 25 km/jam angin kelihatannya

bertiup dari arah barat daya. Carilah arah dan laju dari angin.

5. Dua buah kota A dan B terletak saling berhadapan di tepi sebuah sungai

yang lebarnya 8 km dan laju aliran sungainya 4 km/jam. Seorang yang

berdiam di A ingin mencapai kota C yang berada 6 km ke arah hulu

sungai pada tepi yang sama dengan kota B. Bila kapalnya dapat berlayar

dengan laju maksimum10 km/jam dan bila ia ingin mencapai C dalam

waktu yang sesingkat mungkin, maka dalam arah manakah harus ia

tempuh dan berapa lama perjalanannya?

88

D. Operasi Dasar Pada Vektor

Operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian yang ada

pada aljabar bilangan skalar dapat diperluas dalam aljabar vektor.

1. Kesamaan 2 vektor

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika keduanya memiliki besar dan arah

yang sama, dan ditulis a = b.


Jika diketahui a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k , maka a = b jika dan

hanya jika a1 = b1, a2 = b2 , dan a3 = b3

Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor a, tetapi memiliki besar

yang sama dengan besar vektor a disebut negasi dari a, ditulis - a

Contoh.

1. Diketahui a = 2i + 6j – k, dan b = 2i + 6j – k, maka a = b

2. Jika diketahui a = 3i + (2a -3)j – 9k dan b = 3i + 5j -9k, maka tentukan konstanta

a demikian sehingga a = b

Jawab.

a = b maka 2a – 3 = 5

2a = 8

a = 4

Jadi diperoleh a = 4

2. Penjumlahan vektor

Jumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah sebuah vektor c yang

dibentuk dengan menempatkan titik awal dari b pada titik terminal dari a dan

kemudian menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal dari b

Jumlah ini ditulis a + b = c

89


Sifat-sifat penjumlahan pada vektor.1. Sifat komutatif, a + b = b + a


Jika diketahui a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k , maka

a + b = (a1 i + a2 j + a3 k) + (b1 i + b2 j + b3 k)

= (a1 + b1 ) i + (a2 + b2 ) j + (a3 + b3 ) k

= (b1 + a1) i + (b2 + a2)j + (b3 + a3) k

= b + a

2. Sifaf asosiatif. (a + b) + c = a + (b + c)


Jika diketahui a = a1 i + a2 j + a3 k , b = b1 i + b2 j + b3 k , dan c = c1i + c2j + c3 k maka

silahkan dibuktikan bahwa (a + b) + c = a + (b + c)

Contoh.

Diketahui a = 3i – 4j + 2k, b = 8i + j – k , c = i + 4j + 7k, maka

(a + b) + c = ((3i – 4j + 2k ) + (8i + j – k )) + (i + 4j + 7k)

= ((3 + 8)i + (-4 +1)j + (2 + (-1))k ) + (i + 4j + 7k)

= (11i + (-3)j + k ) + (i + 4j + 7k)

= (11+1)i + (-3 + 4)j +(1 + 7k

90

= (12i + j + 8k)

a + (b + c) = (3i – 4j + 2k ) + ((8i + j – k ) + (i + 4j + 7k))

= (3i – 4j + 2k ) + ((8 + 1)i + (1 + 4)j + (-1 + 7)k )

= (3i – 4j + 2k ) + (9i + 5j + 6k )

= (3 + 9)i + (– 4 + 5)j + (2 + 6)k

= (12i + j + 2k )

Dari perhitungan di atas tampak bahwa (a + b) + c = a + (b + c)

3.. Pengurangan vektor

Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah vektor c yang apabila

ditambahkan pada b menghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat ditulis a – b

= a + (-b)

Pengurangan vektor tidak bersifat komutatif dan asosiatif


Contoh.

Diketahui a = 4i +3j + 5k, dan b = i + 6j – 3k

a – b = (4i +3j + 5k ) + (i + 6j – 3k)

= (4 – 1)i + (3 – 6)j + (5 – (– 3)k

= 3i - 3j + 8k

b – a = (i + 6j – 3k ) – (4i +3j + 5k )

= (1 – 4)i +(6 – 3)j + ((-3 + 5)k

= -3i +3j + 2k

Dari perhitungan di atas nampak bahwa a – b ≠ b – a

4. Perkalian vektor

91

Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah vektor ma yang besarnya |m|

kali besar vektor a dan arahnya

• searah dengan a jika m > 0

• berlawanan arah dengan a jika m < 0

• tak tentu jika m = 0

Jika a dan b vektor, sedangkan m dan n skalar, maka berlaku

a. ma = am

b. m (na) = (mn) a

c. (m + n ) a = ma + na

d. m (a + b) = ma + mb

Contoh soal.

1. Ditentukan a = 3i -2j + k,

b = 2i -4j -3k,

c = i +2j + 2k

a, hitunglah p = 2a + 3b -5c

b. tentukan | p |

c. tentukan besar cosinus arah dari | p |

Jawab .

a. p = 2a + 3b -5c

= 2 (3i -2j + k ) + 3 (2i -4j -3k ) – 5 (i +2j + 2k )

= (6i – 4j + 2k) + (6i – 12j – 9k ) – (5i + 10j +10k)

= 7i -26j – 17k

92

Semua ibadah/amalan manusia yang baik digambarkan sebagai vektor

positif, sedangkan amalah yang buruk digambarkan sebagai negasi dari vektor

positif. Semua amalah kita dihitung dari titik O yaitu setelah seseorang akil baligh

dan berangkat dari titik awal yang sama yaitu niat beribadah, dan pada akhirnya

semua amalan kita akan menuju pada satu titik terminal yaitu surga. Tetapi

dalam perjalanan hidupnya terkadang kita lupa sehingga arah dari vektor kita

berlawanan dengan vektor yang menuju ke surga. Oleh karena itu ada manusia

yang bisa sampai tujuan atau titik terminal vektor ibadahnya yaitu surga, tapi

ada juga yang tidak sampai ke surga justru masuk ke neraka. Na’udzubillah.

Soal Latihan.

1. Ditentukan a = 3i -2j + k, b = 2i -4j -3k, dan c = i +2j + 2k

a. Tentukan vektor satuan yang searah dengan d = 2a – b + 2c

b. Jika e = 3i + 2j + 5k, maka tentukan konstanta p, q, dan r sehingga

2e = pa + qb + rc

2. Perlihatkan secara grafis bahwa – (a – b) = -a + b

3. Sederhanakan: 2a + b + 3c – {a – 2b – 2 (2a – 3b – c)}

4. Buktikan bahwa:

a. garis-garis berat sebuah segitiga saling berpotongan pada sebuah titik yang

sama yang mana adalah titik pembagi tiga garis-garis berat itu.

93

Neraka SurgaO

b. garis-garis bagi sebuah segitiga berpotongan pada sebuah titik yang sama.

5. Diketahui vertor a = 3i + j – 2k, b = - i + 3j + 4k, c = 4i – 2j – 6k

a. Buktikan bahwa ketiga vektor di atas membentuk sisi-sisi dari sebuah

segitiga

b. Carilah panjang dari garis-garis berat segitiga itu.

E.Hasil Kali titik

Definisi

Hasil kali titik atau skalar dari dua vektor a dan b ditulis a ◦ b didefinisikan

sebagai hasil kali antara besarnya vektor a dan b dan cosinus sudut θ antara

keduanya

Simbol

Hasil kali titik dari dua vektor adalah suatu skalar

Interpretasi geometris


Jika F adalah gaya yang bekerja pada suatu partikel sepanjang garis kerja searah

dengan F maka :

Usaha = besar gaya x panjang lintasan


94

Sifat-Sifat perkalian titik

a. a ◦ b = b ◦ a

b. a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ c

(a + b) ◦ c = a ◦ c + b ◦ c

c. jika m adalah skalar, maka

m(a ◦ b) = (ma) ◦ b = a ◦ (mb) = (a ◦ b)m

d. i ◦ i = j ◦ j = k ◦ k = 1

i ◦ j = j ◦ k = k ◦ i = 0

f. jika a dan b bukan vektor nol, dan a ◦ b = 0, maka a tegak lurus b

Contoh soal.

1. Tentukan nilai t sehingga a= 2i + tj + k dan b = 4i – 2j -2k tegak lurus

Jawab.

a dan b tegak lurus jika a ◦ b = 0

(2)(4) +(t)(-2) + (1)(-2) = 0

8 -2t -2 = 0

-2t = -6

t = 3

jadi t = 3

2. Diketahui titik A(1, 0, 1) dan B(4, 2, 3). Tentukan persamaan garis melalui titik

A dan B

Jawab.


Vektor posisi dari ketiga titik di atas adalah sebagai berikut.

a = i + k

95

b = 4i + 2j + 3k

p = xi + yj + zk

Karena ketiga titik A, P, dan B segaris maka dapat dibentuk persamaan berikut.

p – a = m ( b – a )

(xi + yj + zk ) – ( i + k ) = m [(4i + 2j + 3k) – (i + k)]

(x – 1) i + (yj) + (z – 1) k = m (3i + 2j + 2k)

= (3m)i + 2mj + 2 mk

Dari kesamaan 2 vektor didapat:

Didapat persamaan garis yang dicari, yaitu:

Soal Latihan.

1. Diketahui a = i + 3j – 2k, dan b = 4i – 2j + 4k

Carilah:

a. a ◦ b b. |3a + 2b| c. (2a + b) ◦ (a – 2b)

2. Tentukan sudut antara vektor a = 3i + 2j – 6k dan b = 4i – 3j + k

3. Tentukan nilai a demikian sehingga vektor a = ai – 2j + k dan b = 2ai + aj – 4k

saling tegak lurus

4.Tentukan proyeksi vektor

a. p = 2i – 3j + 6k pada vektor i + 2j + 2k

b. r = 4i – 3j + k pada garis yang melalui titik (2, 3, -1) dan (-2, -4, 3)

5. Diketahui titik A(3, 1,2) dan B(1, -2, -4). Tentukan persamaan bidang melalui B

dan tegak lurus AB

96

F. Hasil Kali silang

Definisi.

Hasil kali silang (cross product) dari 2 vektor a dan b ditulis a × b adalah sebuah

vektor c yang besarnya didefinisikan sebagai hasilkali antara besarnya a dan b

dan sinus sudut θ antara keduanya, dan arahnya tegak lurus pada bidang yang

memuat a dan b demikian sehingga a, b, dan c membentuk sebuah sistem

tangan kanan

Simbol.

a × b = |a |. |b | . sin θ. u, 0 ≤ θ ≤ π

dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari a × b


Interpretasi geometri


Luas jajargenjang = alas x tinggi

= | a |. |b| sin θ

= | a x b |

Jadi | a x b | menyatakan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor a dan b.

97

Sifat-sifat perkalian silang

a. a x b = - b x a

b. a x (b + c) = a x b + a x c

(a + b) x c = a x c + b x c

c. jika m suatu skalar, maka

m(a x b) = (ma) x b = a x (mb) = (a x b)m

d. i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k, j x k = i, k x i = j

f. jika a dan b bukan vektor nol, dan a x b = 0, maka a sejajar b.

g. besar dari a x b menyatakan luas jajargenjang dengan sisi a dan b.

Contoh soal.

1.Diketahui titik A(0,0,1), B(1, -2, 3), dan C(4, 2, 0). Tentukan luas segitiga ABC.

Jawab.


Vektor posisi dari titik A, B, C adalah sebagai berikut.

98

Luas segitiga ABC sama dengan setengah luas jajargenjang

Jadi Luas segitiga ABC = ½ √185

Ada tertulis dalam hadis bahwa orang yang paling baik adalah orang yang paling

banyak berguna bagi orang lain, yaitu orang yang dapat mengamalkan ilmu yang

dimilikinya untuk kepentingan orang banyak. Kita harus dapat mengamalkan apa

yang kita ketahui untuk orang lain. Analisis vektor dapat juga diterapkan dalam

disiplin ilmu lain, misalnya pada geometri, fisika, dan lain-lain.

Soal Latihan

1. Diketahui a = 3i – j – 2k dan b = 2i + 3j + k

Carilah: a. a x b

b. | a x b|

c. (a + 2b) x (2a – b)

d. (a + b) x (a – b)

2. Tentukan Luas jajargenjang yang memiliki diagonal-diagonal vektor a = 3i + j –

2k dan b = i – 3j + 4k

3. Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudutnya pada A(3, -1, 2), B(1, -1, -3),

C(4, -3, 1)

99

4. Tentukan jarak dari titik P(1,1,1) ke garis yang melalui titik A(0, 4, 3) dan

B(4, 1, 0)

Hasil kali titik dan silang dari 3 buah vektor a, b, dan c, diantaranya:

a ◦ (b x c) tripel skalar product

a x (b x c) tripel vektor product

Sifat-sifat.

a. a ◦ (b x c ) = b ◦ (c x a ) = c ◦ (a x b )

b. a x (b x c ) ≠ (a x b ) x c

Interpretasi geometris.


100

Perhatikan paralel epipidum di atas yang dibentuk oleh vektor a, b, dan c.

Alas dibentuk oleh vektor b dan c, tinggi t = | a | cos α sehingga luas alasnya = |

b x c |

Isi ppd = luas alas x tinggi

= | b x c | .| a | cos α

= | a |. | b x c | cos α

= a ◦ (b x c)

Jika a ◦ (b x c) = 0, maka isi ppd = 0 sehingga α = π/2.

Jadi a, b, dan c terletak sebidang / koplanar

(Buktikan)

Contoh soal.

1.Diketahui titik A(0, 1, 5), B(4, 2, 3), dan C(1, 4, 2).

Hitunglah :

a. Isi paralel epipidum OABC

b. Jarak titik A ke bidang OBC

c. Persamaan bidang melalui titik A, B, dan C.

Jawab.

a.


Ppd dibentuk oleh vektor

dengan a = 0i + j + k = j + k

b = 4i +2 j + 3k

101

c = 1i + 4j + 2k

b. Jarak titik A ke bidang OBC adalah t dengan

c. Persamaan bidang melalui A, B, C.

102


Soal Latihan.

1.Diketahui a = i -2j – 3k, b = 2i + j – k dan c = i + 3j – 2k

Carilah: a. a ◦ (b x c)

b. (a x b) ◦ c

c. | a ◦ (b x c)|

d. |(a x b) ◦ c|

e. a x b x c

2. Carilah volum paralelepipidum yang sisi-sisinya dinyatakan oleh vektor a = 2i –

3j + 4k, b = i + 2j – k, c = 3i – j + 2k

3. Tentukan konstanta p demikian sehingga vektor p = 2i – j + k, q = i + 2j – 3k,

dan r = 3i + pj + 5k koplanar.

103

4. Diketahui titik A(3, -2, -1), B(1, 3, 4), dan C(2, 1, -2).

a. Tentukan jarak titik A ke bidang OBC

b. Tentukan persamaan bidang melalui titik A, B, dan C

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan,M. 2008. Matematika SMA Kelas 1,2, dan 3. Grafindo. Jakarta.

May, O. K. 1962. Elements of Modern Mathematics. London. Addison Wesley.

Ruseffendi, E.T. 2005. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito. Bandung.

Noormandiri, B.K., Endar Sucipto. 2008. Matematika untuk SMU Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam. Erlangga. Jakarta.

Sartono Wirodikromo. 2008. Matematika Untuk SMA kelas X. Erlangga. Jakarta.

Sartono Wirodikromo. 2008. Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Alam. Erlangga. Jakarta.

104

Pertemuan 1 - Math edu Blog | Just another … · Web viewHasil dari perhitungan di atas dapat...

Documents

Transcript of Pertemuan 1 - Math edu Blog | Just another … · Web viewHasil dari perhitungan di atas dapat...