i
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( 12θ ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
INTER PLANET ANGLE ( 12θ ) EFFECT ON THE TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
Scription
Presented as Partial Fulfillment of the requirements to obtain the Sarjana Sains Degree
In Physics
PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
panas dinginnya dunia.
yang kuat.
Ku persembahkan skripsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku
Isbandini,Heriyanto dan Sri Astuti
vii
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( 12θ ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
ABSTRAK
Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut ( )12θ untuk sistem dua planet yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket program Maple 10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet ( )12θ menentukan bentuk lintasan planet.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
INTER PLANET ANGLE ( 12θ ) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
ABSTRACT
Inter planet angle ( )12θ effect to the trajectory form of two planets system which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10 program packet. The obtained results show that the inter planet angle ( )12θ value determine the planet trajectory form.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap
detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar
bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya
tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.
Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-
ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan
rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:
1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing
yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di
saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya
terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil
pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak
ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.
2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi
dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi
saya.
S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.
4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA.
Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si
(almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati,
S.Si.
5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang
banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi.
6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.
7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.
8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama
berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam
menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu.
Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.
9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur.
10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit
komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik
materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES
untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama.
11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti
menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi
dukungan dan semangat bagi saya.
12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan
satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena
itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.
Yoyakarta, Januari 2008
xii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak
memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka,
sebagaimana layaknya karya ilmiah.
xiii
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi
ABSTRAK ………………………………………………………….………. vii
ABSTRACT ………………………………………………………………… viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………….............. xiii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... xv
BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………....... 5
2.1. Hukum Kepler ………………………………………………... 5
2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13
2.4. Sistem Gerak Dua Planet ......................................................... 18
2.5. Polinomial Legendre …………………………………………. 20
xiv
4.1. Sistem Dua Planet …………………………………………….. 23
4.2. Bentuk Lintasan Planet ……………………………………..... 34
4.3. Pembahasan ………………………………………………….. 41
xv
Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu t 6
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet 19
Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi 23
Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 0=θ 35
Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 30=θ 35
Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 60=θ 36
Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 90=θ 36
Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 120=θ 37
Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 150=θ 37
Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 180=θ 38
Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 210=θ 38
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 240=θ 39
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 270=θ 39
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 300=θ 40
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 330=θ 40
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 360=θ 41
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet
yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum
Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu
sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah
berbentuk elips (Sears dkk, 1987).
Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan
antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes
Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan
data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara
matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.
Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan
gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara
tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet
terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips
(Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari
menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai
posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut
aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.
1
2
Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang
interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan
planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan
menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang
mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.
1.2. Perumusan Masalah
yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut
antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan
dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk
lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).
1.3. Batasan Masalah
Masalah yang diteliti dibatasi pada
1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama.
2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan
energi potensial gravitasi.
4. Bentuk lintasan gerak planet sebagai fungsi sudut antar planet.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik
pusat massa yang sama.
bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet
dengan menggunakan paket program Maple 10.
1.5. Manfaat Penelitian
planet yang mengorbit titik pusat yang sama.
1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian
Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:
BAB I. PENDAHULUAN
Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan
penelitian.
BAB II. DASAR TEORI
Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak
planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan
polinomial Legendre.
Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam
penelitian ini.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk
lintasan planet dan pembahasan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang
kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga
dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan
Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya
secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang
kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).
Hukum Kepler tersebut adalah:
1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan
matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti
kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari
matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut
perihelium.
5
6
2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang
sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan
AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas
A M B sama dengan C M D.
M rr
AA
θ vr
Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu . t
Jika jari-jari lintasan planet adalah r dan sudut yang dibentuk selama waktu
adalah t θ , maka
2 1 r . (2.1)
Jika , maka 0→t 0→θ , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi
2
7
3. Rasio kuadrat periode revolusi planet (T ) terhadap kubik dari sumbu elips
( r ) adalah sama untuk seluruh planet :
C r T
=3
2
. (2.3)
Nilai tetapan C dapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang
gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral.
Jika suatu benda bermassa bergerak melingkar dengan jari-jari m r , maka
periode (T ) adalah
dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan
gaya sentrifugal
2v r
GM = , (2.6)
dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan
(2.6) akhirnya diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem
aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah
hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda
dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua
1m
yang besarnya sama dan berlawanan
arah dengan )( 12F r
−=
Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik
antar dua buah benda bermassa dan berbanding lurus dengan massa dan
serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (
1m 2m 1m
2m r ) antar dan . 1m 2m
Jika benda bermassa m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik
yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu
menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya
yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang
mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton,
gaya yang dialami suatu benda bermassa dengan percepatan adalah F r
m ar
rrr ˆ= r , (2.10)
9
Perubahan r dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut θ
dt d
dt dr
θθ ˆˆ dt drr
Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh percepatan
planet
r r . (2.16)
Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai
ramrrf r =ˆ)( . (2.17)






+++




.)( mrf =
10
dan
0 =
dt drm θθθ . (2.20)
Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan
hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial ( rar )
sedangkan percepatan sudut ( θar ) sama dengan nol.
Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut ( l r
) yang
prl rrr ×= , (2.21)
dengan rvmp rr = adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke
persamaan (2.21), maka diperoleh
dt drmr
sebab dan . 0ˆˆ =× rr kr ˆˆˆ =×θ
Jika nilai mutlak l r
pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan
(2.19), maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
θd

=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
32
2
2
2
22
pada persamaan (2.29) menjadi
energi potensial
Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara
matematis
22
2
berbentuk
13
dengan A tetapan. Karena r
u 1 = dan , maka persamaan (2.35) dapat ditulis
menjadi
Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum
kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi
kinetik (T ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan
VTE += . (2.40)
benda lain sejauh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
2
dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan
(2.40) menghasilkan


m r& . (2.43)
Dari kecepatan diperoleh waktu tempuh planet sebagai fungsi dari posisi )(t )(r
22
Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk
persamaan (2.44.c) dengan memisalkan m Ea 2
= , GMb 2= , dan 2
15
−++ . (2.45)
Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari
persamaan (2.22), yaitu
Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan
maka diperoleh
Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48),
menjadi
2 l mkf = , 2
menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah
GMmk =
16
dengan γ adalah tetapan integral (konstanta).






+
− =


2
Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka 0=e , sehingga
021 2
17
VE 2 1
= . (2.57)
Jadi energi total ( E ) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet
yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.
Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh
24
2
221 mk Ele += .
Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0< e <1
(Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa yang
bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya
gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah
m
2
r GMmT
2 1
Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40),
maka energi total ( E ) sistem lintasan planet
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
r
Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem
dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain
(Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi
2
Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi
planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu
adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa
dan yang masing-masing planet terletak di
1m
2m 1r r
dan 2r r
, dengan matahari sebagai
pusat dengan massa M . Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu
massa dan terhadap matahari dengan massa 1m 2m M ditulis
12 1
yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu
berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa
M mempunyai gaya sebagai berikut:
12 1
19
r MGmF −=
r , (2.66)
Jadi momentum sudut gerak relatif massa mengelilingi 1m M (pusat gaya) bernilai
tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).
Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu
timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung
pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya
yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.
Ditinjau dua planet dan yang mengelilingi pusat massa 1m 2m M yang sama,
kedudukan masing-masing adalah 1r r
dan 2r r
, kedudukan relatif terhadap
2m 21rr , maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet
dengan 2112 rrr rrr += , 1212 θθθ += , dan
1212 2
1 2
20
1212 1
+= , (2.69)
dengan dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara
dengan berlawanan arah maka
−= , (Halliday dan Resnick, 1984).
∑ ∞
=
Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna
untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa
adalah polinomial dengan derajat )(xPj j (Boas, 1966). Beberapa polinomial
Legendre pertama ditulis sebagai berikut:
, 1)(0 =xP )35( 2 1)( 3
3 xxxP −= ,
4 +−= xxxP ,
21
5 xxxxP +−= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian
studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .
3.2 Sarana Penelitian
Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan
internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum
Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan
gerak planet.
2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar
planet.
planet ke
4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik.
5. Menarik kesimpulan.
BAB IV
Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi
Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis
=1T 2 11
212211 VVTVTE ++++= . (4.6)
24
maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi
21
12
2
2
1
Jika jarak relatif antara dengan dari persamaan (2.67) dimasukkan ke
persamaan (4.7), maka diperoleh
diperoleh
2
2
2
1
25
Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa dan dalam bentuk
polinomial Legendre
1m 2m
21 cosθ . (4.11)
Dari memisalkan rasio jarak antara massa dan terhadap pusat massa 1m 2m M
diperoleh
21 rhr && = , (4.13)
Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka
diperoleh bentuk kekekalan energi
21 cosθ . (4.14)
Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa dan kita dapat
mencari kecepatan dari planet untuk massa
2m
2m
26
Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi
antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:
2m
(4.16) menjadi
∫ −+
27
Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan
(4.18) adalah
ditulis
2m



++




+−

+=
28



++




+−
−
+=
Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian di-
integralkan, maka diperoleh
29




++
+−= ∫
12 2 1
2 1θ . (4.26)



+ −
+ − −

30
31
Dengan memisalkan


32
(4.35)






++
+
−⋅





++
⋅=
∑
∑
=
=
22
33
α β ⋅= , 2
1 Mm h
22
34
. (4.41)
Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada
orbit tertutup dimana energi total sistem ( 0<E ). Maka eksentrisitas diperoleh
2
Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka
persamaan (4.40) menjadi
4.2 Bentuk Lintasan Planet
Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka
jika dihitung dan dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut 2r 1r
12θ diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya
maka diperoleh hasil:
35
Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 0=θ
Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 30=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 60=θ
Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 90=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 120=θ
Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 150=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 180=θ
Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 210=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 240=θ
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 270=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 300=θ
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 330=θ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 360=θ
4.3 Pembahasan
Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik
memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C
diperoleh nilai pada Lampiran A ( Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai
gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang
berinteraksi untuk berbagai sudut
12θ dengan interval . 030
Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai
jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 0=θ 0
12 360=θ
00
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Pada gambar 4.3 dan gambar 4.13 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai
jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 30=θ 0
12 330=θ
00
0180 2θ dari sampai .0180 0360
Pada gambar 4.4 dan gambar 4.12 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan , nilai jarak
kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 60=θ 0
12 300=θ
00
0180 2θ dari sampai .0180 0360
Pada gambar 4.5 dan gambar 4.11 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai
jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 90=θ 0
12 270=θ
00
0180 2θ dari sampai .0180 0360
Pada gambar 4.6 dan gambar 4.10 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai
jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 120=θ 0
12 240=θ
00
0180 2θ dari sampai .0180 0360
Pada gambar 4.7 dan gambar 4.9 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai
jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 150=θ 0
12 210=θ
00
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut , nilai jarak
kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 180=θ
00
0180 2θ dari sampai .0180 0360
Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar
4.7 dan gambar 4.8, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut
. Nilai jarak kedua planet yaitu dan
mengalami kenaikan untuk sudut
penurunan untuk sudut
kembali untuk sudut
2θ dari sampai .0230 0360
Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan
gambar 4.14, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut
. Nilai jarak kedua planet yaitu dan
mengalami penurunan untuk sudut
1r 2θ dari sampai dan mengalami
penurunan untuk sudut
kembali untuk sudut
Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup.
Perubahan sudut ( 12θ ) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan
perubahan pada nilai jarak planet dan dengan pusat massa 2r 1r M .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah
sebagai berikut:
1. Sudut ( 12θ )yang terbentuk antar dua planet dan menyebabkan nilai
eksentrisitas lintasan planet berubah yaitu maksimum saat sudut
( ) dan sudut ( ) dan minimum saat sudut ( ).
1m 2m
12 360=θ 0 12 180=θ
2. Jarak planet dengan pusat massa M terjauh pada sudut ( ) saat
sudut ( ).
5.2 Saran
tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut
( 2θ ) terhadap jarak planet ( dengan pusat massa )r M terkait dengan perubahan
sudut ( 12θ ).
DAFTAR PUSTAKA
Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2, Jakarta: Erlangga. Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York: McGraw-Hill Book Company. Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company. Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.
Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 6, Jakarta: Erlangga. Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).
Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja. Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.
45
LAMPIRAN A
TABEL A
No. 1 0 4.078497889 4.208437347 4.376425342 2 5 4.08552778 4.215617006 4.383788355 3 10 4.106709465 4.237248423 4.405970102 4 15 4.142321367 4.273611275 4.443250971 5 20 4.19283564 4.392634147 4.496105975 6 25 4.258930659 4.392634147 4.565216547 7 30 4.34150927 4.476879959 4.651487732 8 35 4.441723511 4.579070706 4.756071355 9 40 4.561006921 4.700639946 4.880396069 10 45 4.701115815 4.843341152 5.026205481 11 50 4.864181381 5.009297949 5.195605802 12 55 5.052775021 5.201066861 5.391124884 13 60 5.269989917 5.421715149 5.615784995 14 65 5.519542733 5.674917308 5.873192085 15 70 5.805900318 5.965074261 6.167644982 16 75 6.134437472 6.29746051 6.504268322 17 80 6.511633281 6.678405247 6.889173728 18 85 6.945314998 7.115514372 7.329653592 19 90 7.444959862 7.617940941 7.834411572 20 95 8.022066026 8.196710803 8.413831682 21 100 8.690602905 8.865107716 9.080283407 22 105 9.467546588 9.639114784 9.848450568 23 110 10.37349329 10.53789332 10.73565313 24 115 11.43331608 11.58424882 11.76209773 25 120 12.67677228 12.80497352 12.95093298 26 125 14.13885817 14.23084654 14.32788652 27 130 15.85950301 15.89588533 15.92010079 28 135 17.88183897 17.83513762 17.75354968 29 140 20.24771642 20.07986057 19.84811939 30 145 22.98835482 22.64840902 22.20917263 31 150 26.10729432 25.53085987 24.81449359 32 155 29.55310351 28.66618983 27.59659831 33 160 33.18285764 31.9143537 30.42350426 34 165 36.72745662 35.03364099 33.08675546 35 170 39.78648761 37.68476523 35.31168511
)( 122 θr 2θ )0(2r )30(2r )60(2r
46
47
)0(2r )30(2r )60(2r )( 122 θr
2θ
48
No. 1 0 4.479057202 4.536093318 4.564954707 2 5 4.486526364 4.543619503 4.572509203 3 10 4.509026562 4.566290709 4.595265301 4 15 4.546838125 4.604387077 4.633502994 5 20 4.600435791 4.658382914 4.6876963 6 25 4.670500228 4.728958055 4.758524524 7 30 4.757934778 4.817014354 4.846888624 8 35 4.863888005 4.923697868 4.95393319 9 40 4.989782847 5.050427481 5.081074818 10 45 5.137353516 5.198931082 5.230037915 11 50 5.308691408 5.371290507 5.402899101 12 55 5.506301789 5.569996831 5.60214185 13 60 5.733173249 5.798017987 5.830723109 14 65 5.99286246 6.0588809 6.092154142 15 70 6.289596989 6.35677079 6.390597994 16 75 6.628399481 6.696650409 6.73098629 17 80 7.015236574 7.084402183 7.119157892 18 85 7.457195618 7.526995522 7.562021514 19 90 7.962691325 8.032680495 8.067742902 20 95 8.541701687 8.611205798 8.645953873 21 100 9.206027019 9.2740532 9.307974587 22 105 9.969555343 10.03466948 10.06702905 23 110 10.84849792 10.90865715 10.93841407 24 115 11.86152509 11.91385208 11.93954882 25 120 13.02967518 13.07015993 13.08977699 26 125 14.37581736 14.39893647 14.409709 27 130 15.92330827 15.92156619 15.91976644 28 135 17.69328821 17.65672074 17.63742864 29 140 19.69983911 19.61559383 19.57251407 30 145 21.9420854 21.79432394 21.71977035 31 150 24.39254248 24.16310011 24.04835506 32 155 26.98215577 26.65258208 26.48891857 33 160 29.58523203 29.14082162 28.92145247 34 165 32.01198151 31.44781024 31.17073415 35 170 34.02054802 33.348053 33.01908191
2θ )( 122 θr
)90(2r )120(2r )150(2r
49
2θ )( 122 θr
)90(2r )120(2r )150(2r
50
No. 1 0 4.573778766 4.564954707 4.536093318 2 5 4.581341845 4.572509203 4.543619503 3 10 4.604123674 4.595265301 4.566290709 4 15 4.6424042 4.633502994 4.604387077 5 20 4.696657337 4.6876963 4.658382914 6 25 4.767562219 4.758524524 4.728958055 7 30 4.856019503 4.846888624 4.817014354 8 35 4.963173312 4.95393319 4.923697868 9 40 5.090439513 5.081074818 5.050427481 10 45 5.239541394 5.230037915 5.198931082 11 50 5.412553954 5.402899101 5.371290507 12 55 5.611958265 5.60214185 5.569996831 13 60 5.840707862 5.830723109 5.798017987 14 65 6.102309124 6.092154142 6.0588809 15 70 6.400918237 6.390597994 6.35677079 16 75 6.741457178 6.73098629 6.696650409 17 80 7.129751382 7.119157892 7.084402183 18 85 7.572690868 7.562021514 7.526995522 19 90 8.078415482 8.067742902 8.032680495 20 95 8.656521191 8.645953873 8.611205798 21 100 9.318278702 9.307974587 9.2740532 22 105 10.076844 10.06702905 10.03466948 23 110 10.94742076 10.93841407 10.90865715 24 115 11.9473015 11.93954882 11.91385208 25 120 13.09565964 13.08977699 13.07015993 26 125 14.41288043 14.409709 14.39893647 27 130 15.91909574 15.91976644 15.92156619 28 135 17.63142779 17.63742864 17.65672074 29 140 19.55928582 19.57251407 19.61559383 30 145 21.69700762 21.71977035 21.79432394 31 150 24.01345384 24.04835506 24.16310011 32 155 26.4392886 26.48891857 26.65258208 33 160 28.85510126 28.92145247 29.14082162 34 165 31.0871105 31.17073415 31.44781024 35 170 32.91996369 33.01908191 33.348053
2θ )( 122 θr
)180(2r )210(2r )240(2r
51
2θ )( 122 θr )180(2r )210(2r )240(2r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
2θ )( 122 θr
53
2θ )( 122 θr
24
Tabel B
No. 12θ e 1 0 0.825417118 2 30 0.810159048 3 60 0.790139431 4 90 0.777760579 5 120 0.770836694 6 150 0.767321566 7 180 0.766245351 8 210 0.767321566 9 240 0.770836694
10 270 0.777760579 11 300 0.790139431 12 330 0.810159048 13 360 0.825417118
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran B
ini (Burington, 1948).
Lampiran B.4 Rumus Trigonometri
θθ cos)90sin( =− , θθ cos)90sin( =+ .
LAMPIRAN C
“Sintaks sistem dua Planet Berinteraksi”
> G := 0.0000002 : M := 150 : m1 := 20 : m2 := 40 : l1 := 0.2 : l2 := 0.7 : h := 0.5 : E := 0.00008 :
print evalf
b = 0.5 $
;
print(evalf( a = 0.5 $ (m1$ h2 C m2) ) ); print(evalf( X = m1 $ m2) ) ;
print0 evalf0 W = 0 M $m1
h 1 C M $ m21 1 ;
> b := 33.06122449 : a := 22.500 : X := 800 : W := 12000.00000 :
print0 evalf0 N = b
> N := 1.469387755 : K := 1.012500000 105 : H := 0.06666666667 :
print0 evalf0 R = K W1 1
;
G2 $ m22
57
;
print evalf
Q (i) = >
j = 0

;
end do;
> N := 1.469387755 : H := 0.06666666667 : R := 8.437500000 : Y := 0.6818529672 : Q (0 ) ...Q (360) : for i from 0 by 30 to 360 do for j from 0 by 5 to 360 do
print
(1 CH$ Q (i) ) 1 1 C
sqrtsqrt(N ) K Y (1 CH$ Q (i) )2



;
58
> r20, 0...r2360, 360 : for i from 0 by 30 to 360 do for j from 0 by 5 to 360 do print(evalf(B(i, j ) = [r2[ i, j ]$ evalf(cos(convert( j, units, degrees, radians) ) ) ,
r2[ i, j ]$ evalf(sin(convert( j, units, degrees, radians) ) ) ] ) ) ; end do; end do;
> B(0, 0 ) ...B(360, 360 ) : h := 0.5 : for i from 0 by 30 to 360 do with(plots) : a := plot( { [h$ seq(B( i, j ) , j = 0 ..360, 5 ) ] } , style= line, color = blue) : b := plot( { [seq(B(i, j ) , j = 0 ..360, 5 ) ] }, style= line, color = red) : display( [a, b ] , view= [K43 ..43, K43 ..43 ] ) ;
end do;
> N := 1.469387755 : H := 0.06666666667 : R := 8.437500000 : Y := 0.6818529672 : Q (0 )...Q (360 ) for i from 0 by 30 to 360 do
evalf0 e( i) = R 1CH$ Q (i) 1
;