LISTA DE EXERCÍCIOS

MATEMÁTICA CÉSAR

Q.01-(Famema 2020) O triângulo ABC é isósceles com

AB AC 4 cm, e o triângulo DBC é isósceles com

DB DC 2 cm, conforme a figura.

Seja β a medida do ângulo interno ˆDBC do triângulo DBC. Sabendo-

se que 6

sen ( ) ,4

β a área, em 2cm , do quadrilátero ABDC é

A) 35

B) 6

C) 4

D) 5

E) 15

Q.02-(G1 - cp2 2020) Ao se aposentar, Marcos decide comprar um lote retangular em uma área rural para construir seu sítio. O terreno apresenta

60 m de comprimento por 32 m de largura. Marcos planeja construir

uma casa, uma horta e uma garagem, além de deixar espaço para uma área

de lazer com 2480 m . Observe a figura com a situação descrita:

Sabendo que o comprimento da casa (3x) é o triplo da largura da

garagem (x), com x em metros, conclui-se que o perímetro da parte

destinada para a horta é igual a

A) 48 m.

B) 56 m.

C) 64 m.

D) 72 m.

E) 80 m.

Q.03-(Ufrgs 2020) Considere o hexágono regular ABCDEF de lado 1.

Sobre o lado AF do hexágono, constrói-se o quadrado AGHF, como

mostra a figura abaixo. Sendo M o ponto médio de GH, constrói-se o

triângulo CDM.

A área do triângulo CDM é

A) 3 1.

B) 3 1

.2

C) 3 1.

2

D) 3

.4

E) 3

.2

Q.04- (Fuvest 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração

desse objeto, associa‐se ,θ a medida do menor ângulo interno do

paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando

90θ é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A 2, o

valor de θ é, necessariamente, igual a

A) 15 .

B) 22,5 .

C) 30 .

D) 45 .

E) 60 .

LISTA DE EXERCÍCIOS

Q.05-(Uerj 2020) Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido

elevando-se ao quadrado 8

9 do seu diâmetro. Fazer esse cálculo

corresponde a substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por

um número racional. Esse número é igual a:

A) 128

9

B) 256

9

C) 128

81

D) 256

81

E) 30

Q.06-(Espcex (Aman) 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D,

possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e

CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em

2cm , desse trapézio mede

A) 120.

B) 60.

C) 180.

D) 30.

E) 240.

Q.07-(Ufrgs 2020) Considere dois círculos de centros A e C, raio 1 e

tangentes entre si. O segmento AC é

diagonal do quadrado ABCD. Os círculos de centros B e D são

tangentes aos círculos de

centros A e C, como mostra a figura abaixo.

O raio dos círculos de centros B e D é

A) 2 1.

B) 1.

C) 2.

D) 2 1.

E) 2 2.

Q.08-(Uece 2019) Considere um terreno com a forma de um triângulo

retângulo cuja medida dos dois menores lados são respectivamente 30 m

e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos

vértices sobre o maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.

Nessas condições, a medida da área do quadrado, em 2m , será,

aproximadamente, igual a

A) 294.

B) 302.

C) 290.

D) 298.

E) 306. Q.09-(G1 - ifpe 2019) O professor Wagner desafiou sua turma de

Matemática a determinar a área A(d) do retângulo que representa sua

sala de aula de acordo com a medida d da diagonal. Sabendo que o

perímetro da sala tem 36 m, a resposta ao desafio do professor Wagner

é

A) 2A(d) 1296 d

B)

2dA(d) 324

2

C) 2A(d) 324 d

D)

2dA(d) 162

2

E)

2dA(d) 648

2

Q.10. (G1 - ifsc 2019) Uma escola pretende colocar lajotas para construir um pátio com o formato abaixo. A parte pintada vai ser onde deverá ser colocado as lajotas. Sabe-se que não será preciso cobrir dois quadrados de

lado b, onde se plantarão algumas flores. A área total a ser coberta é de

273 m e o comprimento do lado a menos 1m é igual ao triplo do

comprimento do lado b. Dessa forma, podemos afirmar que a área que

será destinada ao plantio das flores é:

A) 24 m

B) 28 m

C) 249 m

D) 281m

E) 298 m

LISTA DE EXERCÍCIOS

Respostas Resposta da questão 1: [E] Considere a figura.

Sabendo que os triângulos ABC e BDC são isósceles, podemos concluir

que A,D e M estão alinhados e, portanto, M é o ponto médio de BC.

Sendo BD 2cm, do triângulo BDM, vem

DM 6 DMsen

4 2BD

6DM cm

2

Ainda do triângulo BDM, pelo Teorema de Pitágoras, temos

22 2 2 2 6

BM BD DM BM 22

10BM cm.

2

Portanto, segue que BC 10 cm e, assim, a área do triângulo BCD

é igual a

2

1 1 6BC DM 10

2 2 2

15cm .

2

Por outro lado, do triângulo ABM, pelo Teorema de Pitágoras, vem

22 2 2 2 10

AM AB BM AM 42

3 6AM cm.

2

Em consequência, a área do triângulo ABC é

2

1 1 3 6BC AM 10

2 2 2

3 15cm .

2

A resposta é igual a

2

(ABDC) (ABC) (BCD)

3 15 15

2 2

15 cm .

Resposta da questão 2: [D] Calculando a área da área de lazer em função de x, obtemos:

2

2

(60 3x) (32 x) 480

3 (20 x) (32 x) 480

(20 x) (32 x) 160

640 20x 32x x 160

x 52x 480 0

52 784x x 40 (não convém) ou x 12

2

Portanto, o perímetro da horta será dado por:

2x 2 (60 3x) 24 2 (60 36) 72 m

Resposta da questão 3: [B]

Tomando o triângulo isósceles ABC, temos ABC 120 e

ACB 30 . Logo, pela Lei dos Senos, vem

AC AB AC 1

sen120 sen30senABC senACB

AC 1

1322

AC 3.

Em consequência, a altura do triângulo CDM é AC AG 3 1 e,

portanto, a resposta é

1 3 11 ( 3 1) .

2 2

Resposta da questão 4: [C]

Sejam b e h, respectivamente, as dimensões do paralelogramo quando

90 .θ Logo, temos A b h.

Quando varia no intervalo ]0 , 90 [, a altura do paralelogramo é dada

por hsen . Desse modo, para que a área seja A

,2

devemos ter

A b hb hsen b hsen

2 2

1sen

2

30 .

θ θ

θ

θ

Resposta da questão 5: [D]

Se d é o diâmetro do círculo, então sua área é dada por

LISTA DE EXERCÍCIOS

2 2d d.

2 4π π

Por outro lado, segundo o enunciado, a área pode ser aproximada por

228 64

d d .9 81

Desse modo, vem

64 256.

4 81 81

ππ

Resposta da questão 6: [B] Sabendo que a altura de todo trapézio retângulo de diagonais perpendiculares é dada pela média geométrica das bases, temos

h 2 18 6cm.

Portanto, segue que a resposta é igual a

21(ABCD) (2 18) 6 60cm .

2

Resposta da questão 7: [A]

Seja r a medida do raio dos círculos de centros B e D. Assim, o lado do

quadrado ABCD mede r 1 e, portanto, temos

AC 2 AB 2 2 (r 1)

r 2 1.

Resposta da questão 8: [A]

Considere a figura, em que AC 40 m e AB 30 m.

Desde que AEFD é um quadrado, podemos concluir que os triângulos

EBF e ABC são semelhantes por AA. Logo, temos

EF 30 AE3EF 120 4EF

40 30

120EF m.

7

A resposta é

22 2120

EF 294 m .7

Resposta da questão 9: [D]

Considerando que x e y sejam as medidas dos lados do retângulo,

podemos escrever as seguintes relações:

2 2 2

2x 2y 36 x y 18

x y d

Área : A x y

Considerando, agora, do quadrado da soma das medidas dos lados do retângulo, temos:

2 2 2

2 2

2

2xy x y (x y)

2 A(d) d 18

dA(d) 162

2

Resposta da questão 10: [B] Calculando:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2 2

a 1 3b a 3b 1

a b 2b 73 a 2ab b 73

3b 1 2b 3b 1 b 73 9b 6b 1 6b 2b b 73

14b 8b 72 0

8 4 14 ( 72) 4096

72b (não convém)

8 4096 28b

562 14b 2 b 2 a 7

28

área com flores 2b 8 m

LISTA DE EXERCÍCIOS

HAWLEY Q.01- (Treinamento Vestibular UFU)Simplificando a expressão

y = )65)(27)(42)(42(

)2)(93)(9)(8(232

2223

xxxxxx

xxxxxx

obtém-se

A) y = 2

1x B) y =

3

1

x C) y =

3

2

x

x D) y =

2

x

Q.02- (Treinamento Vestibular UFU)Numa vinícola produziram-se 9080 litros de vinho, que foram colocados em 3400 garrafões, alguns de 2 litros, outros de 3 litros. Então a quantidade de garrafões de 3 litros excede a quantidade de garrafões de 2 litros em quantas unidades? A) 102 B) 840 C) 1160 D) 1420 Q.03- (Treinamento Vestibular UFU)

Sabendo-se que x + y = 7

15 e x – y =

14

1 , qual o valor da expressão

E = ))((

))(2(2222

3322

yxyxyx

yxyxyx

÷

x

xyx

2

)( 2 ?

A) 30 B) 7

30 C) 60 D)

7

60

Q.04- (Treinamento Vestibular UFU)Um criador de aves verificou que, após colocar n + 2 aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas

uma ave. O números total de aves, para qualquer valor de n IN, é sempre A) um número par B) um número ímpar C) um quadrado perfeito D) um número divisível por três Q.05- (Treinamento Vestibular UFU)Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6.000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em A) 8 dias. B) 8 dias e 12 horas. C) 9 dias. D) 9 dias e 6 horas. Q.06- (Treinamento ENEM)Dois tropeiros A e B alugaram um pasto por R$350,00. O tropeiro A pôs ali 4 cavalos durante duas semanas. Já o tropeiro B teve lá 3 cavalos durante quatro semanas. Quanto deverão pagar A e B, respectivamente, em R$? A) 175,00 e 175,00 B) 140,00 e 210,00 C) 105,00 e 245,00 D) 245,00 e 105,00 E) 210,00 e 140,00 Q.07- (Treinamento ENEM)O litro de leite tipo A custa R$2,00 e o tipo B custa R$1,50. Misturando-se o tipo A com o tipo B consegue-se um terceiro tipo que custa R$1,80 o litro. Então, nessa mistura, a proporção do tipo mais caro para o tipo mais barato é igual a A) 1 : 2 B) 2 : 3 C) 3 : 2 D) 3 : 4 E) 1 : 3 Q.08- (Treinamento ENEM)Um negociante reuniu num tonel 50 litros de vinho a R$80,00 o litro, 80 litros ao preço de R$90,00 o litro e 70 litros a R$100,00 o litro. A quanto ele deve vender o litro da mistura, em reais, a fim de obter um lucro de 25% no preço do vinho? A) 91,00 B) 112,50 C) 113,75 D) 125,00 E) 127,00 Q.09- (Treinamento ENEM)Antônio, Benedito e Cremilda formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$2.500,00 ; R$3.500,00 e R$4.000,00 num fundo de investimento. Após um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores resgatarem somente o rendimento e dividirem-no em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferença entre os valores recebidos por Benedito e Antônio será igual a A) R$ 125,00 B) R$ 1.000,00 C) R$ 250,00 D) R$ 500,00 E) R$ 425,00

Q.10- (Treinamento ENEM)Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, é igual a A)15 B)16 C)17 D)18 E)26 RESPOSTAS: Q.01-D Q.02-C Q.03-C Q.04-C Q.05-A Q.06-B Q.07-C Q.08-C Q.09-C Q.10-B

ZÉ MARIA Q.01- Na figura abaixo está representado um trecho do gráfico de uma

função real da forma y m sen (nx) k, com n 0.

Os valores de m, n e k, são, respectivamente

A) 3,3

π e 1.

B) 6,6

π e 1.

C) 3,6

π e 1.

D) 3,3

π e 1.

E) 3,6

π e 1.

Q.02- A figura indica os gráficos de uma reta r e uma senoide s, de

equações 5

y2

e y 1 3sen(2x), em um plano cartesiano de eixos

ortogonais.

LISTA DE EXERCÍCIOS

Sendo P um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a

A) a) 275

B) b) 240

C) c) 225

D) d) 210

E) e) 195

Q.03- Seja a função 2 senx

f(x) ,2 cos x

definida para todo número real

x.

A) Mostre que f f f( )f .2 2 4

π π ππ

B) Seja θ um número real tal que f( ) 2.θ Determine os possíveis

valores para sen .θ

Q.04-O conjunto solução da inequação 22 cos x sen x 2, no

intervalo [0, ],π é

A) 0,6

π

B) 5

,6

ππ

C) 2

0, ,3 3

π ππ

D) 0,3

π

E) 5

0, ,6 6

π ππ

Q.05- Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função

trigonométrica de período 2 ,π cujo gráfico está representado na figura

abaixo é

A) f(x) 1 sen ( x).π

B) f(x) 1 cos ( x).π

C) f(x) 2 cos ( x).π

D) f(x) 2 sen ( x).π

E) f(x) 1 cos ( x).π

Q.06- Uma empresa de produtos alimentícios recebeu de seu contador uma planilha com os lucros mensais referentes ao ano de 2017. Ao analisar a planilha, a empresa constatou que, no mês 4 (abril), teve

R$ 50.000,00 de lucro e que, no mês 6 (junho), o lucro foi de

R$ 30.000,00.

Determine o lucro da empresa, em dezembro de 2017, sabendo que a

função que descreve o lucro L no mês t daquele ano é definida por

L(t) a cos t b3 2

π π

em que 1 t 12, a 0 e b 0.

Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. Q.07-Considerando a função real de variável real definida por

f(x) (cosx sec x 2) cosx, onde x é tal que cosx 0, é

correto afirmar que a imagem de f (isto é, o conjunto de valores de f ) é

A) [0, 4] {1}.

B) [0, 2] {1}.

C) [ 2, 2] {1}.

D) [ 2, 4] {1}.

LISTA DE EXERCÍCIOS

Q.08- No plano cartesiano abaixo, estão representados os gráficos das

funções f : [0, 2 ] [ 1,1],π definida por f(x) cos(x), e

g : [0, 2 ] ,π definida por 3

g(x) .2

Os elementos do domínio dessas funções para os quais se tem

f(x) g(x) são

A) 11

,6 6

π π

B) 5

,3 3

π π

C) 3

0, , 22 2

π ππ

D) 5

0, , 23 3

π ππ

E) 11

0, , 26 6

π ππ

Q.09- Os valores de x, 0 x 2 ,π para os quais 1

| sen x |2

são

A) 5

x6 6

π π e

7 11x

6 6

π π

B) 7

x6 6

π π

C) 0 x π

D) 5 7

x6 6

π π

E) 2

x3 3

π π e

4 5x

3 3

π π

Q.10- Observe o gráfico de uma função trigonométrica cosseno, dada pela

expressão f(x) m ncos(2x), sendo m, n e p números reais, com

ponto de mínimo em x p, que é a abscissa do ponto Q.

O valor de mnp é igual a

A) 2

1

4π

B) 2

1

π

C)

2

4

π

D) 2π

E) 24π

Respostas Resposta da questão 1: [D]

Do gráfico, temos f(0) 1. Logo, vem

1 m sen(n 0) k k 1

Sabendo que a função seno é crescente no primeiro quadrante, podemos

concluir que m 0. Ademais, como 1 senx 1, temos

1 senx 1 1 sen(nx) 1

m msen(nx) m

m 1 msen(nx) 1 m 1.

Mas sabemos que 2 msen(nx) 1 4 e, portanto, vem m 3.

Ainda do gráfico, podemos afirmar que o período da função é 6. Logo,

sendo n 0, temos

26 n .

| n | 3

π π

LISTA DE EXERCÍCIOS

Resposta da questão 2: [E] Tem-se que

5 11 3sen2x sen2x

2 2

sen2x sen6

2x 2k6

ou

2x 2k6

x k , k12

ou .

5x k , k

12

π

ππ

ππ π

ππ

ππ

Logo, sendo x12

π a menor raiz positiva da função e

2

| 2 |

ππ o seu

período, podemos concluir que a abscissa de P é 13

rad,12 12

π ππ

ou seja,

13 180

195 .12

Resposta da questão 3: a) Tem-se que

2 sen32f

2 22 cos

2

ππ

π

e

2 sen12

f .2 2

2 cos2

ππ

π

Daí, vem

3 1f f 2.

2 2 2 2

π π

Por outro lado, temos

2 senf( ) 2

2 cos

ππ

π

e

22 sen 2

4 2f 1.4 22 cos 2

4 2

ππ

π

Logo, segue que f( )f 2 1 2.4

ππ

A identidade é verdadeira.

b) Se f( ) 2,θ então

2 2

2 2

2 sen2 2cos sen 2

2 cos

4cos sen 4sen 4

4(1 sen ) sen 4sen 4

sen (5sen 4) 0

4sen 0 ou sen .

5

θθ θ

θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ θ

Portanto, como os valores obtidos para sen produzem valores

compatíveis para cos ,θ segue o resultado.

Resposta da questão 4: [E]

Sabendo que 2 2cos x 1 sen x, temos

2 22cos x senx 2 2(1 sen x) senx 2

1senx senx 0

2

10 senx .

2

Assim, como os arcos da primeira volta que possuem seno igual a 1

2 são

6

π e

5,

6

π vem

5S 0, , .

6 6

π ππ

Resposta da questão 5: [E] Sabemos que π é uma raiz desta função, portanto:

[A] f( ) 1 sen ( ) 1 0 1π π π

[B] f( ) 1 cos ( ) 1 1 2π π π

[C] f( ) 2 cos ( ) 2 1 1π π π

[D] f( ) 2 sen ( ) 2 0 2π π π

[E] f( ) 1 cos ( ) 1 1 0π π π

Logo, a opção [E] é a correta. Resposta da questão 6: O período da função dada é:

2P 4

2

L(12) L(8) L(4) 50.000

π

π

Resposta: O lucro da empresa em Janeiro de 2017 será R$ 50.000,00.

LISTA DE EXERCÍCIOS

Resposta da questão 7: [A]

Como 1

sec x ,cosx

segue que (2k 1)

x ,2

π com k .

Ademais, temos

2

2

f(x) (cosx sec x 2) cosx

cos x 2cosx 1

(cosx 1) .

De acordo com a restrição, podemos concluir que (2k 1)

f 12

π

não

pertence ao conjunto imagem de f. Portanto, como 1 cosx 1,

segue que 0 cosx 1 2 e, assim, vem 20 (cosx 1) 4.

A imagem de f é [0, 4] {1}.

Resposta da questão 8: [E]

Em 6

π radianos (ou 30°),

3cos(x) .

2 Portanto no intervalo

0,6

π

tem-se f(x) g(x). De mesmo modo, em 11

6

π radianos (ou

330°), 3

cos(x) .2

Portanto no intervalo 11

, 26

ππ

tem-

se f(x) g(x). Assim os elementos do domínio dessas funções para os

quais se tem f(x) g(x) são 11

0, , 2 .6 6

π ππ

Resposta da questão 9: [A] Tem-se que

1 1 1| senx | senx ou senx .

2 2 2

Logo, sendo 7

6

π e

11

6

π os arcos cujo seno é igual a

1,

2 bem como

6

π

e 5

6

π os arcos cujo seno é igual a

1,

2 podemos afirmar que a resposta é

5x

6 6

π π ou

7 11x .

6 6

π π

Resposta da questão 10: [D] Calculando:

2p

2

f(0) 3 m n 3

m 2 n 1f 1 m n 1

2

ππ

π

Logo:

2 1mn 2p π π