Geometria Plana 1. Tringulo

Relaes mtricas em um tringulo retngulo

Em um tringulo retngulo qualquer:

* 2 2 2a b c= + * 2b ma= * 2c na= * 2h mn= * ah bc=

rea de um tringulo

2bhS =

2ab senS =

( )( )( )S p p a p b p c= , 2

cbap ++=

4abcS

R=

S pr= , em que 2

cbap ++=

Sejam A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) trs pontos de um plano cartesiano. Sendo D o determinante obtido por

111

yx yx yx

D

CC

BB

AA

= , tem-se que:

* D = 0 A, B e C so colineares; * D 0 A, B e C so vrtices de um tringulo

cuja rea S dada por: 12

S | D |=

Teorema dos senos (ou lei dos senos)

2a b c Rsen sen sen

= = =

Teorema dos cossenos (ou lei dos cossenos)

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2

a b c bccos

b a c accos

c a b abcos

2

= +

= +

= +

A

C D Ba

ch

nm

b

h

b C B

A

b

a

A

B Ca

bc

a

bc

A

B C

R

O

A

B Ca

bc r r

rO

A

B Ca

b

c

RO

A

B Ca

b

c

Teorema da bissetriz

Interna

AB ACBS CS

=

Externa

AB ACBS CS

=

2. Quadrilteros reas dos quadrilteros notveis

Trapzio

( )2

B b hS

+=

Paralelogramo

S a h=

Retngulo

S a b=

Losango

2d DS =

Quadrado

2S =

Diagrama de incluso dos quadrilteros

QuadrilterosTrapzios

Paralelogramos

Retngulos Losangos

Quadrados

3. Polgonos

Em um polgono convexo de n lados:

* o nmero de diagonais ( )32

n nd

=

* a soma dos ngulos internos ( )2 180iS n= * a soma dos ngulos externos 360eS = Em um polgono regular de n lados:

* cada ngulo interno ( )2 180i nSn n

= =

* cada ngulo externo 360eSn n

= =

4. Crculo reas das partes do crculo

Crculo

* 2S R= * 2C R=

Setor circular

22

2RCRS == , em radianos

Coroa circular

( )22 rRS =

A

CB Sp da bissetriz interna

p da bissetriz externa

SCB

A

B

h

b

bb

a

a

h

b b

a

a

d

D

A

A

A

A

A

A

A

n

6 5

4

3

21

n

n

1

3

5

2

4

6

6

5

4

3

2

1

R

C

R RO

R

r

ngulos em um crculo

ngulo central ( ) e ngulo inscrito ( )

( )2 med AB = =

ngulo excntrico interior

2AB CD+

=

ngulo excntrico exterior

2AB CD

=

Potncia de um ponto P em relao a uma circunferncia

P interno

( )( ) ( )( )PA PB PC PD=

P externo

( )( ) ( )( )PA PB PC PD=

Conseqncia importante

a c b d+ = +

Geometria Espacial 1. Prisma

Em um prisma qualquer:

* o volume ( ) ( )V rea da base altura= * a rea lateral ( )A a soma das reas das faces laterais * a rea da base ( )BA a rea de apenas uma base * a rea total 2T BA A A= +

Prismas particulares Cubo * rea da base: 2aAB =

* rea lateral: 24aA =

* rea total: 26aAT = * Diagonal de uma face: 2ad = * Diagonal do cubo: 3aD = * Volume: 3aV =

Paraleleppedo reto-retngulo * Soma das dimenses: cba ++ * Soma das arestas: cba 444 ++ * rea total: ( )bcacabAT ++= 2 * Diagonal: 222 cbaD ++= * Volume: abcV = * Relao importante: ( )2 2 Ta b c D A+ + = +

2. Cilindro circular reto

r

g=h

* rea da base: 2rAB =

* rea total: ( )hrrAT += 2 * Volume: hrhAV B

2==

A B

P

O

A

BC

DA

B

C

D

P

A

D B

C

P

BA

P

C

D

a

b

c

d

base

base

aresta da base

aresta lateral

a

a

a

aa

aad

D

ab b

c

ba

bc

D

A 2 rh= h g=

2 r

2 r

r

r

* rea lateral: rhA = 2

3. Pirmide

Em uma pirmide qualquer:

* o volume 13 B

V A h=

* a rea lateral ( )A a soma das reas das faces laterais * a rea total ( )TA T BA A A= +

Slidos importantes

Tetraedro regular

* rea da base: 4

32aAB =

* rea lateral: 4

33 2aA =

* rea total: 32aAT =

* Altura: 3

6aH =

* Volume: 12

23aV =

Octaedro regular * rea total: 32 2= aAT

* Volume: 3

23aV =

* Diagonal: 2ad =

4. Cone circular reto

r

g gh

Em qualquer cone circular reto:

* 222 rhg += * a rea da base 2rAB =

* a rea lateral rgA = * a rea total ( )grrAT +=

* o volume hrV 231

=

5. Esfera

* rea da superfcie esfrica: 24 RA =

* Volume da esfera: 334 RV =

Partes da esfera

altura aptema da pirmide

aptema da basearesta da base

arestalateral

V

a a

aa

H

aa

a

a a

gg

A rg=

2r

r

raio do setor circular

raio dabase

OR

Cunha esfrica

( )

3 342 23

3volume da cunha

R RVS

=

,

em radianos

Fuso esfrico

( )

222 4 2

rea dofusoR

S RS

=

,

em radianos Segmento esfrico de duas bases

* Volume (V): ( )[ ]2222136 hrrhV ++=

* rea (S): 2 21 22S Rh r r= + +

Segmento esfrico de uma base

* Volume (V): ( )2236

hrhV +=

* rea (S): 22S Rh r= +

Calota esfrica Zona esfrica

* rea (S): RhS = 2

* rea (S): RhS = 2

6. Razo de semelhana de dois slidos

Quando dois slidos 1S e 2S (como os da figura) so semelhantes de razo linear k

* a razo entre dois elementos lineares quaisquer k

* a razo entre as reas correspondentes 2k

* a razo entre os volumes 3k 7. Tronco de pirmide de bases paralelas

Sendo bA a rea da base menor, BA a rea da base maior, A a rea lateral, h a altura e V o volume do tronco, tem-se que:

* a rea lateral A a soma das reas das faces laterais

* a rea total AAAA bBT ++=

* o volume ( )bBbB AAAAhV ++= 3

A

Cunha esfrica

B

R

R

O

A

Fuso esfrico

B

R

R

O

e

r1

r2

hO O

e e

h

h

r

r

O

e

hr

R

Calota esfrica s a superfcie

RO hZona esfrica s a superfcie

e

VV'

D C

A

A' B'

B( )S1

( )S2

C'D'

O

O'~

base menor

aresta lateral

haltura

base maior

8. Tronco cone de revoluo de bases paralelas

Sendo bA a rea da base menor, BA a rea da base maior, A a rea lateral, g a geratriz, h a altura e V o volume do tronco, tem-se que: * 2rAb = * 2RAB =

* ( )rRgA += * AAAA bBT ++=

* ( ) ( )RrrRhAAAAhV bBbB ++=++= 2233

9. Princpio de Cavalieri Princpio de Cavalieri para reas

"Sejam 1F e 2F duas figuras planas apoiadas sobre uma mesma reta r. Se toda reta s, paralela a r, determina em

1F e 2F segmentos 1d e 2d congruentes (os segmentos 1d e 2d so as interseces da reta s como as figuras

1F e 2F ), ento as figuras 1F e 2F so equivalentes (tm reas iguais).

O princpio de Cavalieri

"Sejam 1S e 2S dois slidos apoiados sobre um mesmo plano . Se todo plano , paralelo a , secciona 1S e

2S segundo figuras planas equivalentes ( )21 AA = , ento os slidos 1S e 2S tm volumes iguais."

10. Teorema de Pappus-Guldin

Seja S a rea de uma figura plana. Ao girar essa figura plana (de 360o) em torno do eixo e, obtm-se um slido de revoluo. Demonstra-se que o volume desse slido pode ser calculado pela frmula dSV = 2 . Sendo G o centro de gravidade da figura, d a distncia do ponto G reta e.

* vantagem aplicar a frmula dSV = 2 quando o centro de

gravidade da figura de fcil determinao.

* Em qualquer tringulo, o centro de gravidade o seu baricentro.

* Em qualquer quadrado, losango ou paralelogramo, o centro de gravidade a interseco das suas diagonais.

* Em qualquer polgono regular, o centro de gravidade o centro da circunferncia inscrita (ou circunscrita).

11. Poliedros

Poliedro convexo Em um poliedro convexo com F faces, V vrtices e A arestas:

* 2V A F + = * ( )2 360S V= , em que S a soma dos ngulos das faces de um poliedro convexo

Classificao

Poliedros de Plato (h apenas 5 poliedros de Plato):

* tetraedros * hexaedros * octaedros * dodecaedros * icosaedros

Um poliedro de Plato somente se:

1o) todas as suas faces so polgonos com o mesmo nmero de lados;

2o) em cada um de seus vrtices concorre o mesmo nmero de arestas;

3o) Euleriano.

h

r

g

geratrizaltura

R

r

R

g

g2r2R

Superfcie desenvolvidado tronco

s

r

d2

F2

d1

F1

S1

A1 A2

S2

e

G

Figura planade rea S

Poliedros Regulares

Tetraedro regular Hexaedro regular

Octaedro regular Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Um poliedro regular somente se:

1o) todas as suas faces so polgonos regulares e congruentes 2o) possui todos os ngulos polidricos congruentes

Observaes importantes

* So os poliedros de Plato com todas as faces formadas por polgonos regulares

* "Todo poliedro regular de Plato, mas nem todo poliedro de Plato regular."