Apostila de Geometria

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Apostila de Geometriarea de Figuras PlanasRETNGULO QUADRADO

TRINGULO

PARALELOGRAMO

TRAPZIO

LOSANGO

TRINGULO EQUILATERO

CIRCULO

A = R

QuadrilterosDEFINIO: quadrilteros so polgonos de quatro lados. Em um quadriltero, dois lados ou dois ngulos no-consecutivos so chamados opostos.

ELEMENTOS:

Na figura abaixo, temos: Vrtices: A, B, C, e D. Lados: Diagonais: . ngulos internos ou ngulos do quadriltero ABCD:

Observaes: Todo quadriltero tem duas diagonais. O permetro do quadriltero ABCD a soma das medidas dos seus lados.

CNCAVOS E CONVEXOS Os quadrilteros podem ser convexos ou cncavos. Um quadriltero convexo quando a reta que une dois vrtices consecutivos no encontra o lado formado pelos dois outros vrtices.

Convexo

Cncavo

SOMA DAS MEDIDAS DOS NGULOS INTERNOS DE UM QUADRILATERO CONVEXO A soma dos ngulos internos de um quadriltero convexo 360. Podemos provar tal afirmao decompondo o quadriltero ABCD nos tringulos ABD e BCD.

Do tringulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180. 1 Do tringulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180. 2 Adicionando 1 com 2 , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180 + 180 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360 a + b + c + d = 360 Observaes 1.Termos uma frmula geral para determinao da soma dos ngulos internos de qualquer polgono convexo: Si = (n - 2)180, onde n o nmero de lados do polgono. 2. A soma dos ngulos externos de um polgono convexo qualquer 360. Se = 360 QUADRILTEROS NOTVEIS Paralelogramo Paralelogramo o quadriltero que tem os lados opostos paralelos. Exemplo:

h a altura do paralelogramo.

O ponto de interseco das diagonais (E) chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos:

Retngulo Retngulo o paralelogramo em que os quatro ngulos so congruentes (retos). Exemplo:

Losango Losango o paralelogramo em que os quatro lados so congruentes. Exemplo:

Quadrado Quadrado o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ngulos so congruentes. Exemplo:

o nico quadriltero regular. , simultaneamente retngulo e losango.

Trapzio o quadriltero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases Exemplo:

Denominamos trapezide o quadriltero que no apresenta lados paralelos. Destacamos alguns trapzios: Trapzio retngulo aquele que apresenta dois ngulos retos. Exemplo:

Trapzio issceles aquele em que os lados no-paralelos so congruentes. Exemplo:

Trapzio escaleno aquele em que os lados no-paralelos no so congruentes. Exemplo:

Propriedades dos Paralelogramos 1 Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo so congruentes.

H: ABCD paralelogramo. T:

Demonstrao Afirmativa 1.

Justificativa Segmentos de paralelas entre paralelas.

2.

Segmentos de paralelas entre paralelas.

2 Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois tringulos congruentes.

H: ABCD paralelogramo. T:

Demonstrao Afirmativa 1. 2. 3. 4.

Justificativa Hiptese. Hiptese. Lado comum. Caso L.L.L.

3 Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD paralelogramo T:

Demonstrao Afirmativa 1. 2. 3. 4. 5.

Justificativa diagonal (2 propriedade) ngulos correspondentes em tringulos congruentes. ngulos correspondentes em tringulos congruentes.

4 Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD paralelogramo. T:

Demonstrao Afirmativa 1. 2. 3. 4. 5. Resumindo: Num paralelogramo:

Justificativa ngulos alternos internos. Lados opostos (1 propriedade). ngulos alternos internos. Caso A.L.A.. Lados correspondentes em tringulos congruentes.

os lados opostos so congruentes; cada diagonal o divide em dois tringulos congruentes; os ngulos opostos so congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto mdio.

Propriedade caracterstica do retngulo. As diagonais de um retngulo so congruentes.

T: ABCD retngulo. H: .

TringulosO tringulo considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois atravs dele podemos estabelecer vrias relaes fundamentais, como exemplo temos uma relao muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que o Teorema de Pitgoras. Podemos definir o tringulo como um polgono formado por trs segmentos de retas que se cruzam duas a duas, formando trs vrtices, trs ngulos e trs lados.

Os tringulos se classificam quanto ao tamanho da medida dos seus lados e quanto medida de seus ngulos. Classificao de um tringulo quanto medida de seus lados. Tringulo equiltero: possui os trs lados com medidas iguais. Tringulo issceles: possui dois lados com medidas iguais. Tringulo escaleno: possui os trs lados com medidas diferentes.

Classificao de um tringulo quanto medida de seus ngulos Tringulo acutngulo: possui todos os ngulos com medidas menores que 90. Tringulo retngulo: possui um ngulo com medida igual a 90. Tringulo obtusngulo: possui um ngulo obtuso, maior que 90.

acutn gulo retngulo obtusngulo

Condio de Existncia do trianguloSabemos que um tringulo formado por trs lados que possuem uma determinada medida, mas essas no podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retngulo, preciso seguir uma regra. S ir existir um tringulo se, somente se, os seus lados obedeceram seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (mdulo) da diferena dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo: |b-c|