Resumen de Análisis matemático I

Resumen de

matemático I

Autores: Juan Pablo Martí

U.T.N. F.R.M.Ingeniería Electrónica

Resumen de Análisis

matemático I

U.T.N. F.R.M. Ingeniería Electrónica

Resumen de Análisis

matemático I


UNIDAD I:

Entorno y Entorno Reducido

Entorno:

);( δaE (entorno de centro “a” y radio “

δδδ =+−= aaaE );();(

Entorno Reducido: );();(* δδ aEaE ′= (no incluye al punto a)

δδ ∪−= aaaE );();(*

Funciones Par e Impar

Función Par:

f: A→B será par ⇔ ∀x ∈Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y. Función Impar:

f: A→B será impar ⇔ ∀Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de

UNIDAD II:

Definición rigurosa de límite

ε >∀⇔=→

lxflímSiax

;0)(

Propiedad del Sándwich

xflímlxflímSiaxax

∧=→→

()( 21

Algunos límites especiales

lxflímx

=±∞→

)(

I. gr. P(x) = gr. Q(x)dos polinomios.

II. gr. P(x) < gr. Q(x)

III. gr. P(x) > gr. Q(x)

Infinitésimos

)(xf es un infinitésimo en

Funciones infinitésimas equivalentes

00=

→→

tgxlím

x

senxlím

xx

Definición de Continuidad

)(xf es continua en x

1. )(af∃

2. xflímax

=∃→

)(

Página 1 Resumen de Análisis matemático I

UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES

Entorno y Entorno Reducido

(entorno de centro “a” y radio “δ”)

δ<−= ax

(no incluye al punto a)

δδ <−<=+ axaa 0);(

∈ Domf ⇒ f(x) = f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y.

∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.

UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición rigurosa de límite

δεδ ⇒<−<∧∈∀>∃ axDomfxx )0:/(0)(;

xfxfxfaExlx ⇒≤≤∈∀∧= )()()(:);() 231δ

Algunos límites especiales

gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ =l Cociente entre los coeficientes principales de los dos polinomios.

gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ 0=l

gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ ∞=l

es un infinitésimo en ⇔= ax 0)( =→

xflímax

nciones infinitésimas equivalentes

0000====

→→→→ tgx

xlím

senx

xlím

senx

tgxlím

tgx

senxlím

x

tgx

xxxx

Definición de Continuidad

⇔= a en a cumple con las siguientes condiciones:

l (único y finito)

Resumen de Análisis matemático I

ε<−⇒ lxf )(

lxflímax

=⇒→

)(3

re los coeficientes principales de los

1=tgx

cumple con las siguientes condiciones:


3. )(afl =

Clasificación de Discontinuidad

Discontinuidad Evitable (aparente):

Cuando no existe )(af

función con varias reglas p Discontinuidad No Evitable (no removible):Cuando no existe )(af

valor se obtiene de dl −

Continuidad Lateral

Si )(xf tiene límites laterales distintos en

1. =∃−→

)(xflímax

2. =∃+→

)(xflímax

Álgebra de las funciones continuas

Funciones Continuas en x = a

)(xf y IRk ∈

)(xf y )(xg

)(xf y )(xg

)(xf y 0)( ≠xg

)(xf y )(xg (continua en (af


Clasificación de Discontinuidad

Discontinuidad Evitable (aparente):

pero lxflímax

=∃→

)( (único y finito). En ese caso se rearma la

función con varias reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.

Discontinuidad No Evitable (no removible): y no existe l único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo

il− , y puede ser finito o infinito.

tiene límites laterales distintos en ax = , pero:

∃⇒== )(afli Continuidad Lateral Izquierda

∃⇒== )(afld Continuidad Lateral Derecha

Álgebra de las funciones continuas

⇒⇒⇒⇒ Función continua en x = a

⇒ )(. xfk

⇒ )()( xgxf +

⇒ )().( xgxf

⇒

)(

)(

xg

xf

)a ) ⇒ ))(( xgof


(único y finito). En ese caso se rearma la

ara que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.

único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo

Continuidad Lateral Izquierda

ral Derecha

Función continua en x = a


UNIDAD III:

Recta secante y Recta tangente geométricas

Mtg (pendiente de la tangente) =

Incremento e incremento de la función

Incremento:

0xxx −=∆

Incremento de la funció

()()( 0 fxfxfy =−=∆

Razón de cambio promedio (cociente incremental)

x

y

∆

∆

Razón de cambio instantánea

X

Definición de derivada

dx

dyxfy == )(''

Función derivada

Es la función que nos permite calcular lapunto elegido.


UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES

Recta secante y Recta tangente geométricas

(pendiente de la tangente) = 0

0 )()(

xx

xfxflím

XoX −

−

→

Incremento e incremento de la función

Incremento de la función:

)()( 00 xfxx −∆+

Razón de cambio promedio (cociente incremental)

x

xfxxf

xx

xfxf

∆

−∆+=

−

−=

)()()()( 00

0

0

Razón de cambio instantánea

x

xfxxflím

x

ylím

xXoX ∆

−∆+=

∆

∆

→∆→

)()( 00

0

x

xfxxflím

x

ylímxDf

dx

dy

xXoX ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→

()()( 0

0

Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del


IFERENCIALES

x )0

derivada en un punto en base al valor del


Condición: DomfDomf ⊆'

Interpretación geométrica de la derivada

Es la pendiente de la recta tangente en el punto.

Mtg

Punto anguloso y cuspidal

Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede ocurrir es:

1. finitosll id (≠

Anguloso 2. ()( ∨+∞= ll

3. l 2∃⇒±∞=

−∞=Mtg ⇒

Derivabilidad y Continuidad

DerivabiliContinuida

Reglas de derivación (tabla de derivadas)

Función )/()( IRkkxf ∈=

xxf =)(

kxxf =)(

)/()( IRmxxf m ∈=

),/()( IRmnxxf n m ∈=

xxf ln)( =

xexf =)(

)10/()( ≠∧>= aaaxf x

)10/(log)( ≠∧>= aaxxf a

xxf sin)( =

xxf cos)( =

xxf tan)( =

xxf cot)( =

xxf sec)( =

xxf csc)( =

xxf arcsin)( =


Domf

Interpretación geométrica de la derivada

Es la pendiente de la recta tangente en el punto.

x

xfxxflímxfMtgx ∆

−∆+==

→∆

)()()(' 00

0

Punto anguloso y cuspidal

mental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede ocurrir es:

gtfinitosr

2) ∃⇒ ⇒ tiene dos derivadas laterales⇒

)−∞= ⇒ tiene derivada infinita

gtr

2 (coincidentes verticales), una con +∞=Mtg

⇒Existe Punto Cuspidal

Derivabilidad y Continuidad

dContinuidadadDerivabili ⇒ dadDerivabilidContinuida ⇒/ (no siempre)

No continua ⇒ No derivable

Reglas de derivación (tabla de derivadas)

Función Derivada 0)( =′ xf

1)( =′ xf

kxf =′ )( 1.)( −=′ mxmxf

1)(

−⋅=′ n

m

xn

mxf

xxf

1)( =′

xexf =′ )(

aaxf x ln.)( =′

axxf

ln.

1)( =′

xxf cos)( =′

xxf sin)( −=′

xxf 2sec)( =′

xxf 2csc)( −=′

xxxf tan.sec)( =′

xxxf tan.csc)( −=′

21

1)(

xxf

−=′


mental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada

⇒Existe Punto

+∞ y la otra con


xxf arccos)( =

xxf arctan)( =

xarcxf cot)( =

xarcxf sec)( =

xarcxf csc)( =

xxf cosh)( =

xxf sinh)( =

xxf tanh)( =

xxf coth)( =

hxxf sec)( =

hxxf csc)( =

xxf sinharg)( =

xxf cosharg)( =

xxf tanharg)( =

xxf cotharg)( =

hxxf secarg)( =

hxxf cscarg)( =

Álgebra de la derivada

Derivada de la Suma:

Derivada del Producto:

[ f

Derivada del Cociente:

Derivada de una función compuesta

(


21

1)(

xxf

−−=′

21

1)(

xxf

+=′

21

1)(

xxf

+−=′

1.

1)(

2 −=′

xxxf

1.

1)(

2 −−=′

xxxf

xxf sinh)( =′

xxf cosh)( =′

xhxf 2sec)( =′

xhxf 2csc)( −=′

xhxxf tanh.sec)( −=′

xhxxf coth.csc)( −=′

21

1)(

xxf

+=′

1

1)(

2 −=′

xxf

21

1)(

xxf

−=′

1

1)(

2 −−=′

xxf

21

1)(

xxxf

−−=′

1

1)(

2 +=′

xxxf

[ ] )()()()( xgxfxgxf ′+′=′

+

] )().()().()().( xgxfxgxfxgxf ′+′=′

)(

)().()().(

)(

)(2

xg

xgxfxgxf

xg

xf ′−′=

′

Derivada de una función compuesta

[ ]dx

df

df

dgxfxfgxgof ⋅=′′=′ )(.)()()



gohof(

Derivada de una función en forma implícita

Ejemplos:

xy

yy

+

+=

cossin

.ln 2

Método logarítmico de derivación

Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.

[ ]

[=′

′=′

′=′

=

=

)(

(.

(·1

(ln

)(

xfy

gyy

gyy

xgy

xfy

Derivada de la función inversa

[ ]

[ ]

yyx

yyf

yfx

xxfy

′⇒′′=

′=

′=′

⇒=

−

−

.1

.)(1

)(

)(

1

1

Diferencial

El incremento de la función puede expresarse como

infinitésimo para 0→∆x . Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:

Reglas de diferenciación

Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.


dx

df

df

dh

dh

dgxgohof ⋅⋅=′ )() (regla de la cadena)

ción en forma implícita

yxysenxyyderivoxyx

xyyyy

derivox

+′=−′⇒⇒=

+′=′⋅⇒⇒+

..cos.

3.21 23

Método logarítmico de derivación


]

]

′+′

⇒

′+

′⇒′+

⇒

⇒

)(

)().()(ln).(.

)(

)().()(ln).(

)(·)(

1)·()(ln).

)(ln).

ln

)(

)(

xf

xfxgxfxg

yreemplazoxf

xfxgxfx

ydespejoxfxf

xgxfx

derivoxf

aplico

xg

xg

Derivada de la función inversa

x

reemplazoy

composiciounadederivadaaplico

derivoyfx

′=′

⇒′

⇒′

⇒= −

1

)(1

incremento de la función puede expresarse como xxfy +∆′=∆ ).(

. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:xxfdy ∆′= ).(

o dxydy .′= (expresión analítica)

Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de ∆reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.


y


ncomposicio

x∆+ .ω , siendo ω un

. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:

x∆ , las mismas


Interpretación geométrica de la diferencia

Aproximación lineal

Con: � =x punto a aproximar

� =0x punto cercano a x

� 0xxx −=∆

Álgebra de la Diferencial

� [ ] )()()( xdfxgxfd +=+

� [ ] )(.)().( xdfgxgxfd =

� )(

.)(.

)(

)(2

xg

fxdfg

xg

xfd

−=

Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones

)(xf

Cóncava hacia arriba

)(xf ′ Creciente

)(xf ′′ Positiva

UNIDAD IV:

Definición de Máximo relativo (Mr)

)(xfy = tiene un Mr f

Definición de mínimo relativo (mr)

)(xfy = tiene un mr f

Condición necesaria pero no suficiente

Para que exista extremo relativo en un punto

+

P

x


Interpretación geométrica de la diferencial

xxfxfxf ∆′+≅ ).()()( 00

x

)(gd+

)(. xdgf+

)

)(. xdg

Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones

Cóncava hacia

abajo

Creciente Decreciente

Decreciente

Positiva

Negativa

UNIDAD IV: APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

áximo relativo (Mr)

)( 0xf , siendo ;/);( 0

*

0 xxEDomfx ∀∃⇔∈ δ

Definición de mínimo relativo (mr)

)( 0xf , siendo ;/);( 0

*

0 xxEDomfx ∀∃⇔∈ δ

ecesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos

Para que exista extremo relativo en un punto Domfx ∈0 es necesario que:

-

+

P

Q

T

R

dy

x∆.ε

y∆

x∆

x xx ∆+


Decreciente

Negativa

ULO DIFERENCIAL

)()( 0xfxf ≤

)()( 0xfxf ≥

para la existencia de extremos relativos

-


Punto crítico

Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.� Puntos donde

� Puntos donde

Criterios para determinar Extremos relativos

Aplicando la definición

Si Domfx ∈0 es punto crítico y

),( 0xf ( 0 hxf −

� Si [ f (

� Si [ f (

� Si no se cumple ninguna de las anteriores, en

creciente o decreciente.

Método de la derivada primera

1. Derivo la función.2. Hallo los puntos críticos.

3. Si Domfx ∈0

)( 0 hxf −′ , f

� Si [ (f ′

� Si [ (f ′

Método de la derivada segunda

1. Derivo la función.2. Hallo los puntos críticos.3. Hallo la derivada segunda de la función en el punto.

� Si f ′′

� Si f ′′

� Si ′′f

Puntos de Inflexión

( ))(; 00 xfxPi es un Punto de Inflexión de

sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta. Condición necesaria pero no suficiente:

Si ( ))(; 00 xfxPi es un Punto de Inflexión de

Para hallar los Puntos de Inflexión:

1. Hallamos la derivada segunda de la función.

2. La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles

3. Analizamos el signo de

inflexión. Existe otro criterio:


0)( 0 =′∃ xf

Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.Puntos donde 0)( =′ xf

Puntos donde )(xf ′∃/ , siendo punto anguloso o cuspidal.

iterios para determinar Extremos relativos

Aplicando la definición

es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos

)h y )( 0 hxf + y los comparamos:

] [ ] xfhxfxfhxfx ⇒−>∧+> ()()()() 0000

] [ ] xfhxfxfhxfx ⇒−<∧+< ()()()() 0000

Si no se cumple ninguna de las anteriores, en 0x la función es

creciente o decreciente.

Método de la derivada primera

Derivo la función. Hallo los puntos críticos.

Domf es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos

)( 0 hxf +′ y concluimos:

] [ ] (0)(0)( 000 xfMrhxfhx =∃⇒<+′∧>−

] [ ] (0)(0)( 000 xfmrhxfhx =∃⇒>+′∧<−

Método de la derivada segunda

función. Hallo los puntos críticos. Hallo la derivada segunda de la función en el punto.

)(0)( 00 xfmrx =∃⇒>′

)(0)( 00 xfMrx =∃⇒<′

0)( 0 =′ x , aplico método de la derivada primera o definición.

es un Punto de Inflexión de )(xf , si y sólo si en dicho punto cambia el

sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.Condición necesaria pero no suficiente:

es un Punto de Inflexión de )(xf y ()( 0′′⇒′′∃ xfxf

Para hallar los Puntos de Inflexión: Hallamos la derivada segunda de la función.

La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles P

nalizamos el signo de )(xf ′′ a ambos lados del punto. Si éste cambia, hay


Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.

un número pequeño arbitrario, calculamos

Mrx =)0

mrx =)0

la función es

un número pequeño arbitrario, calculamos

)0

)0

, aplico método de la derivada primera o definición.

, si y sólo si en dicho punto cambia el

sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.

0)0 =x

iP .

a ambos lados del punto. Si éste cambia, hay


Si 0)( 0 =′′ xf , hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el

número de derivada es impar, el punto e

punto de inflexión en x

Extremos absolutos

Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un intervalo );( ba , con los valores de la función

� Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M).

� Si el valor de la funciómínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m).

Asíntotas

Definición: Diremos que una recta R es asíntota de una curva

desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la

se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende

Asíntotas Horizontales

La recta by = es una Asíntota Horizontal de

Si )(xf es una función racional, el valor de

siguiente regla:

1. gr. P(x) = gr. Q(x)

2. gr. P(x) < gr. Q(x)

3. gr. P(x) > gr. Q(x)

Asíntotas Verticales

La recta ax = es una Asíntota Vertical de

Para calcular el valor de anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores infinitos.

Asíntotas Oblicuas

La recta mxy +=

[ ()( +−∞→

mxxflímx

Para hallar el valor de

Para hallar el valor de


, hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el

número de derivada es impar, el punto es de inflexión. Si el número es par, no existe

0 .

Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un , con los valores de la función en los extremos del mismo:

Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M). Si el valor de la función en algún extremo es menor que el valor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m).

Diremos que una recta R es asíntota de una curva )(xf , si la distancia “d”

desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la )(xf , tiende a cero. Un punto

se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende

Asíntotas Horizontales

es una Asíntota Horizontal de xflímxfx

⇔∞→

()(

es una función racional, el valor de b se puede calcular mediante la

) = gr. Q(x) ⇒ )(..

)(..

xQppalcoef

xPppalcoefb =

gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ b = 0

gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ b∃/

es una Asíntota Vertical de =⇔→

)()( xflímxfax

el valor de a en funciones racionales, obtenemos las raíces que anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores

n+ es Asíntota Oblicua de [ cx

ylímxf −⇔∞→

)(

] 0) =+ n .

Para hallar el valor de m calculamos:

x

xflímmx

)(

∞→=

Para hallar el valor de n calculamos:

[ ]mxxflímnx

−=∞→

)(


, hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el

s de inflexión. Si el número es par, no existe

Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un

Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el

n en algún extremo es menor que el valor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el

, si la distancia “d”

, tiende a cero. Un punto

se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende a ∞ .

bx =)

se puede calcular mediante la

∞−

∞+

∞±

=

en funciones racionales, obtenemos las raíces que anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores

]ry o que


Teoremas del Valor Medio

Las funciones continuas en

teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres más importantes son:

Teorema de Rolle

Si )(xf es continua en [

Teorema de Lagrange

Si )(xf es continua en [

Teorema de Cauchy

Si )(xf y )(xg son continuas en

entonces:

Regla de L’Hôspital

Si 0

0

)(

)(=

→ xg

xflím

ax y

′

′∃

→ (

(

xg

xflím

ax

Si ∞

∞=

∞→

→ )(

)(

xg

xflím

x

ax y

′

′∃

∞→

→ (

(

g

flím

x

ax

Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)

Sea 0)( =xf una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si

un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz en ),( ba , y ponemos α

ecuación puede escribirse así:

(αf

donde la nueva incógnita exactamente la raíz =α

Naturalmente no podemos resolver la ecuación por tener pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el polinomio de primer grado.

f

Función Primitiva

)(xF es una primitiva de

funciones) )( fxF =′⇔


Teoremas del Valor Medio

ontinuas en [ ]ba; y derivables en );( ba cumplen con un conjunto de


[ ]ba; y derivable en );( ba y además )( fbf =

0)(/);( =′∈∃ cfbac

[ ]ba; y derivable en );( ba , entonces:

)()()(

/);( cfab

afbfbac ′=

−

−∈∃

son continuas en [ ]ba; y derivables en );( ba , y )(′ xg

)(

)(

)()(

)()(/);(

cg

cf

agbg

afbfbac

′

′=

−

−∈∃

⇒)

)

x

x

)(

)(

)(

)(

xg

xflím

xg

xflím

axax ′

′=

→→

⇒)(

)(

x

x

)(

)(

)(

)(

xg

xflím

xg

xflím

x

ax

x

ax ′

′=

∞→

→

∞→

→

de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)

una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si

un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz xa ′+= , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo

ecuación puede escribirse así:

0)(..2

1)(.)() 2 =′′′+′′+= ξα fxafxaf

donde la nueva incógnita x′ es el incremento que debe asignarse al valor xa ′+= .

Naturalmente no podemos resolver la ecuación por tener 2x′ en el segundo término,

pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el e primer grado.

0)(.)( =′′+ afxaf da: )(

)(

af

afx

′−=′

UNIDAD V: INTEGRALES

es una primitiva de )(xf Cx ∈∀ (conjunto común a los dominios de las dos

)(xf


cumplen con un conjunto de


)(af , entonces:

0) ≠ en el );( ba ,

una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si a es

un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz α y sólo una , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo );( αa , la

es el incremento que debe asignarse al valor a para tener

en el segundo término, pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el

(conjunto común a los dominios de las dos


Cálculo Integral

Conocida )(xf , para hallar

antepuesto al producto

Integral Indefinida

Si )(xF es una primitiva de

la )(xf a la expresión F

Tabla de Integrales Inmediatas

Función

dx.0∫

∫ dx

IRkdxk ∈∫ /.

)1(/. −≠∫ ndxx n

dxx.sin∫

dxx.cos∫

dxe x .∫

dxa x .∫

dxx

.1∫

dxax

.1

∫ −

dxax∫

.ln.

1

dxx.sec2

∫

dxx.csc2

∫−

dxxx .tan.sec∫

dxxx .tan.csc∫−

dxx

.1

1

2∫−

dxx

.1

1

2∫−

−

dxx

.1

12∫ +


, para hallar )(xF usamos el operador integral ∫ y será tal que

antepuesto al producto dxxf ).( nos dé como resultado )(xF

∫ =′⇒= )()()().( xfxFxFdxxf

es una primitiva de )(xf en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de

cxF +)( , donde IRc ∈ .

∫ += cxFdxxf )().(

Tabla de Integrales Inmediatas

Primitiva

IRkk ∈/

x

kx

cn

xn

++

+

1

1

cx +− cos

cx +sin

cex +

ca

ax

+ln

cx +ln

cax +−ln

cxa +log

cx +tan

cx +cot

cx +sec

cx +csc

cx +arcsin

cx +arccos

cx +arctan


y será tal que

en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de


dxx

.1

12∫ +

−

dxxx

.1.

1

2∫−

dxxx

.1.

1

2∫−

−

dxx.sinh∫

dxx.cosh∫

dxxh .sec 2

∫

dxxh .csc 2

∫−

dxxhx .tanh.sec∫−

dxxhx .coth.csc∫−

dxx

.1

1

2∫+

dxx

.1

1

2∫−

dxx

.1

12∫ −

dxx

.1

12∫ −

−

dxxx

.1

1

2∫−

−

dxxx

.1

1

2∫+

Propiedades de las Integrales Indefinidas

1. Integral de una suma: ∫2. Integral de una constante por una función:

Métodos Generales de Integración

Descomposición

Se aplica cuando la

Consiste en aplicar integral de una suma.

Sustitución

Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable

En general son del tipo

Ejemplo:


cxarc +cot

cxarc +sec

cxarc +csc

cx +cosh

cx +sinh

cx +tanh

cx +coth

chx +sec

chx +csc

cx +sinharg

cx +cosharg

cx +tanharg

cx +cotharg

chx +secarg

chx +cscarg

Propiedades de las Integrales Indefinidas

[ ] cxGxFdxxgxf +±=±∫ )()(.)()(

Integral de una constante por una función: ∫ = kxFkdxxfk /)(.).(.

de Integración

Se aplica cuando la )(xf es una suma de funciones, o se puede convertir en tal.

Consiste en aplicar integral de una suma.

Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable

En general son del tipo [ ] dxxfxfg ).(.)( ′∫


∈ IR

es una suma de funciones, o se puede convertir en tal.

Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable x .


[

duu

+

∫

∫

3 ..2

1

sin(1

Integración por partes

Surge de integrar la diferencial de un producto.

∫

∫=

=

=

duvvu

vud

vud

..

).(

).(

Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder reso

Ejemplo:

xx

dxxx

−

∫

cos.

.sin.

Integrales trigonométricas

1. Primer caso: Potencia impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediaser resueltas por los tres métodos.

2. Segundo caso: Potencia par:Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los métodos.

3. Tercer caso: Producto de potencias de seno y coseDescompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resultres métodos.

4. Cuarto caso: Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de

a integrales de sin

identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposición.

5. Quinto caso: Producto de senos y cosenos:Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:

� cos.sin qp =


]

[ ]xcucu

du

dxxdu

dxxdu

xu

dxxx

++=+=++

=

=

=

=

+=

=

+44

13

3

)2sin(18

1

8

1

)13.(2

).2cos(2

).2cos(2

)2sin(1

).2cos(.)2sin(

Integración por partes

Surge de integrar la diferencial de un producto.

∫

∫∫+

+=

+

dvudu

dvuduv

dvuduv

.

..

..

∫∫ −= duvvudvu ...

Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder resolverla inmediatamente o por otro método.

cxxxdxx

xvdxxdv

dxduxudx

++−=−−

=−==

===

∫ sincos..)cos(

cos.sin

Integrales trigonométricas

Potencia impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los tres métodos.

Potencia par: Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los métodos.

Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los

Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de sólo senos o sólo cosenos. De esta manera logro llegar

x2sin o x

2cos , y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposición.

Producto de senos y cosenos: Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:

2

)cos()sin( qpqp −++=


c

Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar lverla inmediatamente o por otro método.

Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con tas o susceptibles de

Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser

no con un exponente impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para

ten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los

Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares: Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me

sólo senos o sólo cosenos. De esta manera logro llegar

, y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por

Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:


(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la resta)

� cos.cos qp =

(deducida de una suma m.la resta)

� sin.sin qp =

(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de la resta)

Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas

⇒+=

⇒=+

−=+

)2cos(1cos.2

cossin)2cos(

sincos.cos)cos(

2

)1(22

xx

xxx

xxxxx

por

cos2x =

Método de descomposición en fracciones simples

Consiste en descomponer una función racional en la cual

)(xQ , en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por

descomposición. Existen cuatro casos:

1. Primer caso: Raíces simples

()()(

)(

1 xx

B

xx

A

xQ

xP

−+

−=

nxxx ,...,, 21 raíces simples de

2. Segundo caso: Raíces múltiples:

()()(

)(

1

nxxx

A

xQ

xP

−+

−=

NDCBA ,...,,,, coeficientes incógnita,

simples de )(xQ .

3. Tercer caso: Raíces complejas simples:

)(

)(

21 Q

DCx

Q

BAx

xQ

xP ++

+=

coeficientes incógnita, Q

de )(xQ y nxxx ,...,, 21 raíces simples de

Integral Definida

Si una función )(xf es continua en un intervalo

región R, en dicho intervalo existe un ú)(xf .


(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la

2

)cos()cos( qpqp −++=

(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de

2

)cos()cos( qpqp +−−



1cossin 22 =+ xx (1)

+⇒−+=

⇒−=⇒

coscoscos1)2cos(cos

sincos)2cos(sin.

2222

22

xxxx

xxxxx

2

)2cos(1 x+= (2) y

2

)2cos(1sin 2 x

x−

= (3)

Método de descomposición en fracciones simples

Consiste en descomponer una función racional en la cual )(xP es de menor grado que

, en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por

descomposición. Existen cuatro casos:

Raíces simples:

)(...

)2 nxx

N

x −++ con NBA ,...,, coeficientes incógnita y

simples de )(xQ .

Raíces múltiples:

)()(...

)() 21

2

1

1

1

nn xx

E

xx

D

xx

C

x

B

−+

−++

−+

− −−

coeficientes incógnita, 1x raíz múltiple de )(xQ y x

Raíces complejas simples:

)(...

)()( 21 nxx

N

xx

F

xx

ED

−++

−+

−+ con A,

21 ,QQ polinomios irreducibles que contengan raíces complejas

raíces simples de )(xQ

es continua en un intervalo [ ]ba; y determina con el eje

región R, en dicho intervalo existe un único valor real que es la integral definida de


(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la

a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de



⇒+= 1)2cos(2xx

es de menor grado que

, en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por

coeficientes incógnita y

)(...

nxx

N

−++ con

nxx ,...,2 raíces

NFEDCB ,...,,,,,,

polinomios irreducibles que contengan raíces complejas

y determina con el eje x una

nico valor real que es la integral definida de


∫ xfb

a)(

Propiedades de la Integral Definida

I. 0.)( =∫ dxxfa

a

II. dxxfdxxfa

b

b

a.)(.)( ∫∫ −=

III. Si )(xf es integrable en

IV. Si )(xf y )(xg son integrables en

dxxgdxxfb

a

b

a.)(.)( ∫∫ ≥

V. Si )(xf y )(xg son integrables en

VI. Si )(xf es integrable en

VII. Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no cambia.

VIII. Si kkxf ∈= /)(

IX. Si )(xf es integrable en

Teorema del valor medio del cálculo integral

Si )(xf es continua en

Para demostrarlo partimos de que si

absoluto) y un M (máximo absoluto). Luego integramos estas 3 func

my = y My = ). Aplicamos propiedades y despejamos.

Función integral

Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces

va a ser una función del extremo variable y la llamamos

De allí se puede deducir que

Regla de Barrow

Si )(xF es una primitiva de

UNIDAD VI:

Cálculo de áreas

Si una función )(xf es continua en un intervalo

gráfica con el eje de las abscisas es la integral definida de


=dx.) Integral definida de )(xf en [ ]ba;

Propiedades de la Integral Definida

dx

es integrable en [ ]ba; y 0)( ≥xf en [ ]⇒ba; 0.)( ≥∫ dxxfb

a

son integrables en [ ]ba; y [ ]bax ;∈∀ es ≥ ()( xgxf

son integrables en [ ]⇒ba; [ ] fdxxgxfb

a

b

a.)()( ∫∫ =+

es integrable en [ ]ba; y ⇒∈ IRk ∫∫ =b

a

b

adxxfkdxxfk ).(.).(.

Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no

IR en [ ]⇒ba; ).(. abkdxkb

a−=∫

le en [ ]ba; y ⇒∈ );( bac dxxfdxxfc

a

b

a.)(.)( ∫∫ =

Teorema del valor medio del cálculo integral

[ ]ba; , entonces existe al menos un punto c ∈

)).((.)( abcfdxxfb

a−=∫

Para demostrarlo partimos de que si )(xf es continua en [ ]ba; , tiene un

(máximo absoluto). Luego integramos estas 3 func

). Aplicamos propiedades y despejamos.

Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces

ción del extremo variable y la llamamos )(xF .

De allí se puede deducir que cxFdttfx

a+=∫ )(.)( (integral indefinida).

es una primitiva de )(xf en [ ]ba; , entonces:

b

a

b

axFaFbFdxxf )()()(.)( =−=∫

UNIDAD VI: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

es continua en un intervalo [ ]ba; , el área A , que determina su

de las abscisas es la integral definida de )(xf entre


0

⇒)x

dxxgdxxfb

a.)(.)( ∫+

dx

Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no

dxxfdxb

c.)(∫+

);( ba∈ tal que:

, tiene un m (mínimo

(máximo absoluto). Luego integramos estas 3 funciones ( )(xf ,

Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces dttfx

a.)(∫

(integral indefinida).

NTEGRAL

, que determina su

entre ax =1 y bx =2 .


(Área de la región comprendida entre

� Si )(xf mantiene el signo en

recinto.

� Si )(xf no mantiene su signo en

integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es:

Si )(xf , definida en [a;

área dxxfAb

c

c

a.)( ∫∫ +=

Área entre dos curvas

Si )(xf y )(xg son integrables en

calcular el área entre f

AAA RRR 1 −=

Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son

averiguarlos resolviendo el sistema

a


Adxxfb

a=∫ .)(

ón comprendida entre )(xf , el eje xr

y las rectas

mantiene el signo en [ ]ba; , la integral definida se interpreta como el área del

no mantiene su signo en [ ]ba; , el área del recinto se calcula sumando las

integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es:

]b; es [ ] 0)(:; ≥∈∀ xfcax y [ ] (:;∈∀ xfbcx

dxxfb

.)(

son integrables en [ ]ba; , y )()( xgxf > dentro del intervalo, podemos

),(xf ),(xg ax = y bx =

[ ]xgxfdxxgdxxfb

a

b

a

b

aR )()(.)(.)(2 ∫∫∫ −=−=

Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son datos del problema, debemos

averiguarlos resolviendo el sistema

=

=

)(

)(

xgy

xfy.

A

)(xf

)(xg

a b


y las rectas ax = y bx = )

, la integral definida se interpreta como el área del

, el área del recinto se calcula sumando las

integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las

0) ≤x , entonces el

del intervalo, podemos

]dx.

datos del problema, debemos


Sólidos de revolución

Llamamos así a los cuerpos engendrados por la rotación de un arco una curva C , cuando ésta rota alrededor de un eje de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje

continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución, utilizando el cálculo integral.

Área Lateral:

Volumen:

Rectificaciones de arcos de curvas

Se llama así al cálculo de la longitud de un arco C . Su fórmula es:

Integración Numérica Aproximada

Cuando la función es empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para hallar el valor de la integral.

Método de los trapecios

� Se realiza una partición regular del

igual amplitud ∆

� Si se lo descompone en

� Para cada subintervalo obtengo un trapecio de área

� ∑∑ == AtA iR

� Mientras mayor sea

Área debajo de un arco de parábola


Llamamos así a los cuerpos engendrados por la rotación de un arco ndo ésta rota alrededor de un eje e . A la curva que recorre cada uno

de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje e . Si la

continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución, utilizando el cálculo integral.

∫ ′+=b

aL dxxfxfA .)(1).(.2 2π

dxxfVb

a.)(2

∫= π

ones de arcos de curvas planas

Se llama así al cálculo de la longitud de un arco AB correspondiente a una curva plana

dxxfLb

a.1)(2

∫ +′=

Integración Numérica Aproximada

empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para hallar el valor de la integral.

Método de los trapecios

Se realiza una partición regular del [ ]ba; , que lo descompone en los

hxi =∆ .

Si se lo descompone en n subintervalos n

abh

−=⇒ .

Para cada subintervalo obtengo un trapecio de área f

At i =

∑

+− hxfxf ii ·

2

)()( 1

++= ∑

−

=

1

1

0 2)(2

n

i

inR yyyh

A

Mientras mayor sea n , menor será el error del cálculo.

Área debajo de un arco de parábola

)4(3

210 yyyh

A ++=


AB (generatriz), de . A la curva que recorre cada uno

de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una . Si la )(xf es

continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución,

correspondiente a una curva plana

empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para

, que lo descompone en los [ ]ii xx ;1− , de

hxfxf ii ·

2

)()( 1 +− .


Donde 0x es la abscisa del primer extremo

medio y 2x es la abscisa del extremo final. Entonces

)( 22 xfy = y 2

2 xxh

−=

Fórmula de Simpson

� Se realiza una partición regular del

par) de subintervalos

� Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar unentonces, calculando el área de cada arco y sumándola:

4(3

10 yyh

A ++≅

(3

0yh

A

+≅

� Ésta fórmula es más exacta que la de los trapecios.

Integrales Impropias o Generalizadas

Cuando el intervalo [ ba;

finito y )(xf no es continua y no está

se llama Impropia o Generalizada.

(I). · )(xf es continua en

Integral Impropia:

· )(xf es continua en

Integral Impropia:

Para ambos casos: a. Si el límite existe, entonces la integral es b. Si el límite no existe, entonces la integral es

(II). )(xf es discontinua con salto infinito en

a. Cuando el salto está en

b. Cuando el salto está en

UNIDAD VII:

Sucesiones

Definición:


es la abscisa del primer extremo del intervalo, 1x es la abscisa del punto

es la abscisa del extremo final. Entonces ),( 00 xfy = 1y

0x.

e realiza una partición regular del [ ]ba; , que lo descompone en

par) de subintervalos [ ]ii xx ;1− , de igual amplitud b

hxi ==∆

Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar un arco de parábola, entonces, calculando el área de cada arco y sumándola:

4(3

...)4(3

) 124322 nn yyh

yyyh

y +++++++ −−

)24(3

24)2

1

2

2

1

212 PIEh

yyy

n

i

n

i

iin ++=

+++ ∑ ∑=

−

=+

Ésta fórmula es más exacta que la de los trapecios.

Integrales Impropias o Generalizadas

]b es infinito y )(xf es continua, o cuando el intervalo

no es continua y no está acotada, o sea, presenta salto infinito, la integral

se llama Impropia o Generalizada.

es continua en );[ ∞a y dxxfabb

a.)(: ∫∃>∀ (o sea es integrable):

dxxflímdxxfb

aba.)(.)( ∫∫ ∞→

∞

=

es continua en ]b;(−∞ y dxxfbab

a.)(: ∫∃<∀ (o sea es integrable

dxxflímdxxfb

aa

b

.)(.)( ∫∫ −∞→∞−=

Si el límite existe, entonces la integral es Convergente. Si el límite no existe, entonces la integral es Divergente.

es discontinua con salto infinito en [ ]ba; . ae > y be >

Cuando el salto está en bx = , entonces límdxxfbe

b

a.)(∫ −→

=

Cuando el salto está en ax = , entonces límdxxfae

b

a.)(∫ +→

=

UNIDAD VII: SERIES Y SUCESIONES


es la abscisa del punto

),( 11 xf=

, que lo descompone en n (número

n

ab −.

arco de parábola,

)1 ny+

)

es continua, o cuando el intervalo [ ]ba; es

, o sea, presenta salto infinito, la integral

(o sea es integrable):

(o sea es integrable):

dxxflíme

a.)(∫−

dxxflímb

e.)(∫+


Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos con sucesiones numéricas.

En toda sucesión hay un primer elemento

que se lo designa na , y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada

término de la sucesión.

La sucesión suele representarse

suspensivos después de

Una sucesión numérica infinita es una función cuyo Dominio es

incluida en IR , entonces es una función del tipo

Sucesión Constante:

Si ==∈∀ kaINn n: constante

Igualdad de sucesiones:

Las sucesiones )( na y (b

imágenes implica igualdad de suc Sucesiones acotadas: Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.

Límite de una sucesión

ε ∃>∀⇔=∞→

lalím nn

:0

Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes

1. Si la sucesión tiene límite 2. Si el límite es infinito o no existe, es 3. En algunos casos, si el límite no existe, decimos que es

Propiedades del límite de una sucesión

1. El límite de una sucesión numérica es único.

2. Si )( na y )( nb son sucesiones convergentes, entonces

( )n

nnn

límbalím→∞→

=±

3. ( )n

nnn

límbalím∞→∞→

=.

4.

n

n

n

n

n blím

alím

b

alím

∞→

∞→

∞→=

5. Si )( na y )( nc convergen al mismo límite

lblím nn

=∞→

.

6. Si lalím nn

=∞→

y l

Si

<⇒<

>⇒>

akl

akl

n

n


Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos con sucesiones numéricas.

En toda sucesión hay un primer elemento 1a , un segundo, etc. y un término general

, y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada

La sucesión suele representarse ,...),...,,,,()( 4321 nn aaaaaa = , donde los puntos

suspensivos después de na indican que tiene infinitos términos.

Una sucesión numérica infinita es una función cuyo Dominio es IN

, entonces es una función del tipo nIRINS ∈∀→ /:

constante )( na⇒ es una sucesión constante.

Igualdad de sucesiones:

)nb serán iguales si nn baINn =∈∀ : . No siempre igualdad de

imágenes implica igualdad de sucesiones.

Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.

( εε <−⇒>∧∈∀> lannINnnn n00 :/0)(

Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes

Si la sucesión tiene límite l finito, es CONVERGENTE. Si el límite es infinito o no existe, es DIVERGENTE. En algunos casos, si el límite no existe, decimos que es OSCILANTE

Propiedades del límite de una sucesión

El límite de una sucesión numérica es único.

son sucesiones convergentes, entonces

nn

n blímalím∞→∞→

± .

nn

n blíma∞→∞

.

n

n

b

a, si 0≠

∞→n

nblím

convergen al mismo límite l y ≤∈∀ naINn :

k≠ /0n∃⇒ si kann n ≠⇒> 0 . En síntesis:

<

>

k

k


Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos

, un segundo, etc. y un término general

, y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada

, donde los puntos

y la Imagen está

nanSIN =∈ )(: .

. No siempre igualdad de

Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.

)ε

OSCILANTE.

⇒≤ nn cb


Sucesiones monótonas

1. Una sucesión será

sentido estricto).

2. Una sucesión será

sentido estricto).

Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:

1. ⇒≤+

11n

n

a

a es Creciente

2. ⇒≥+

11n

n

a

a es Decreciente

Criterios de convergencia y divergencia

Series Numéricas

Definición

Llamaremos SERIE NUMÉRICA asociada a la expresión:

1

==∑∑∞

nn aa

Propiedades de las series infinitas

I. Si las series ∑a

IRc ∈ , entonces las series convergen a las sumas que se ind

1. ∑ =ac n.

2. (an +∑3. ( ban −∑

II. Si suprimimos los primeros

(convergente o divergente). Y si

h

h

n AAa −=∑∞

+1

.

Monótona

No monótona

Acotada

Convergente


Una sucesión será CRECIENTE, cuando 1: +≤∈∀ nn aaINn (< para que sea en

sentido estricto).

Una sucesión será DECRECIENTE, cuando 1: +≥∈∀ nn aaINn

sentido estricto).


es Creciente

es Decreciente

de convergencia y divergencia

Llamaremos SERIE NUMÉRICA asociada a la expresión:

......321 +++++ naaaa

las series infinitas

na y ∑ nb convergen respectivamente a los números

, entonces las series convergen a las sumas que se ind

= Ac.

) BAbn +=

) BAbn −=

Si suprimimos los primeros h términos de una serie, no varía su naturaleza

(convergente o divergente). Y si Aan =∑ y ∑ =h

hn Aa1

, entonces

No monótona

Acotada No acotada

No Convergente

Puede converger o no

Monótona

Acotada

Implica


(< para que sea en

1 (> para que sea en


convergen respectivamente a los números A y B , y

, entonces las series convergen a las sumas que se indican:

términos de una serie, no varía su naturaleza

, entonces

No acotada


Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia

Si la serie ∑ na es convergente, entonces

cumple, pero la contra recíproca sí, y es muy

Criterio para la divergencia:

Serie Geométrica

La serie dada por .∑ ra

Serie Geométrica de razón

Criterio de convergencia para series geométricas

Serie Geométrica de razón r diverge si

Definición de P-Series

La serie dada por 1

∑ pn

Cuando 1=p , la P-Serie correspondiente se llama Serie Armónica.

Convergencia de P-Series

1. Converge si

2. Diverge si

Series de términos positivos

Una serie ∑ na que tiene

la sucesión de sumas parciales es está acotada, será convergente. Para determinar su convergencia conviene usar el criterio de comparación directa.

Criterio de comparación directa

Dadas las series

1. Si ∑ nb converge, entonces

número

2. Si ∑ na

Criterio de D’Lambert para serie de términos

Sea ∑ na una Serie de Términos Positivos y

1. ∑⇒<l 1

2. ∑⇒>l 1

3. ⇒= 1l , nada se puede afirmar.

Criterio de la Raíz o de Cauchy


1. ∑⇒<l 1


Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia

es convergente, entonces 0=∞→

nn

alím . La recíproca no siempre se

cumple, pero la contra recíproca sí, y es muy importante:

Criterio para la divergencia: si 0≠∞→

nn

alím , entonces ∑ na es divergente.

......... 121 +++++= −− nnrararaar , con ≠a

Serie Geométrica de razón r .

Criterio de convergencia para series geométricas

diverge si 1≥r y converge si 10 << r con suma

...1

...3

1

2

1

1

1+++++=

pppppn

, con 0>p se llama P

Serie correspondiente se llama Serie Armónica.

Converge si 1>p

Diverge si 10 ≤< p

eries de términos positivos

que tiene 0>na se denomina Serie de Términos Positivos. En tal caso,

la sucesión de sumas parciales es monótona creciente, entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el

criterio de comparación directa.

Criterio de comparación directa

Dadas las series ∑ na y ∑ nb , y sean nn baINn ≤≤∈∀ 0: , entonces:

converge, entonces ∑ na converge. Y si ∑B , entonces ∑ na converge al número A ≤

diverge, entonces ∑ nb diverge.

Criterio de D’Lambert para serie de términos

una Serie de Términos Positivos y la

alím

n

n

n=+

∞→

1 , y es:

∑ na es convergente.

∑ na es divergente.

, nada se puede afirmar.

Criterio de la Raíz o de Cauchy

una Serie de Términos Positivos y lalím nn

n=

∞→, y es:



. La recíproca no siempre se

es divergente.

0 se denomina

con suma r

aS

−=

1.

se llama P-Serie.

se denomina Serie de Términos Positivos. En tal caso,

, entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el

, entonces:

nb converge al

B≤ .

, y es:

, y es:


2. ∑⇒>l 1

3. ⇒= 1l , nada se puede afirmar.

Criterio de Rabe


1. ∑⇒>l 1

2. ∑⇒<l 1

3. ⇒= 1l , nada se

Series alternadas

Si 0>na a la serie ∑ −(

Las series ∑ +− n

na.)1( 1

siguientes condiciones.

1. na es monótona decreciente

2. 0=∞→

nn

alím

Convergencia absoluta

Si ∑ na es una serie de Términos Cualesquiera, formamos

convergente, entonces diremos que

demostrar que:

Si

Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie

convergerá al mismo número que

Convergencia condicional

Si ∑ na es una serie de Términos Cualesquiera que converge y

entonces decimos que

Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie no convergerá al mismo número.




una Serie de Términos Positivos y a

anlím

n

n

n

− +

∞→

11.




+− n

na.)1 1 la llamamos Serie Alternada.

y ∑ −− n

na.)1( 1 serán convergentes si y sólo si cumplen las

monótona decreciente.

es una serie de Términos Cualesquiera, formamos ∑ na . Si

convergente, entonces diremos que ∑ na es absolutamente convergente

∑ na converge, entonces ∑ na converge.


mo número que ∑ na .

es una serie de Términos Cualesquiera que converge y

entonces decimos que ∑ na es condicionalmente convergente

i en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie convergerá al mismo número.


l= , y es:

si y sólo si cumplen las

. Si ∑ na es

absolutamente convergente. Y se puede


es una serie de Términos Cualesquiera que converge y ∑ na diverge,

condicionalmente convergente.

i en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie


Convergencia

Definición de Serie de Potencias

Es la serie de expresión

También está la Serie de potencias controlada en la constante

.().( 10

0

+=−∑∞

n

n aacxa

Por cada valor que se le asigne a ser convergente. Por cada valor de número Sxf =)( , que es su suma, es decir que la serie sería una Función de

dominio es el conjunto de valores de Toda serie de potencias es convergente en su centro (

Convergencia de una serie de potencias

Para toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas:1. Que converja sólo en su centro2. Que converja para todo3. Que exista un número

diverja en );( ∪−−∞ Rc

correspondiente se llama Inter

Para calcular R hacemos: =nlímR

La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.

Propiedades de una función definida por una serie de potencias

Las funciones definidas por una ser

Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio)

Podemos aproximar una función con un polinomio:

xfxfxPxf ).(()()()( 00′+=≅

nn

alím∞→

Si la serie es de términos

D’Alambert Cauchy


de Potencias

Es la serie de expresión .......... 2

210

0

+++++=∑∞

n

n

n

n xaxaxaaxa .

de potencias controlada en la constante c a la expresión

...).(...).().( 2

2 +−++−+− n

n cxacxacx .

Por cada valor que se le asigne a x obtendremos una serie numérica, que puede o no ser convergente. Por cada valor de x que hace a la serie convergente se obtiene un

, que es su suma, es decir que la serie sería una Función de

dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la serie se hace convergente.Toda serie de potencias es convergente en su centro ( c ).

Convergencia de una serie de potencias

Para toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas: Que converja sólo en su centro Que converja para todo x Que exista un número R , tal que la serie converja en el intervalo

);( ∞+∪ Rc . A R se lo llama radio de convergencia y el dominio

correspondiente se llama Intervalo de Convergencia.

1+∞→

n

n

n a

alím


edades de una función definida por una serie de potencias

Las funciones definidas por una serie de potencias son derivables e integrables en su intervalo de convergencia.

(aproximación de una función con un polinomio)

Podemos aproximar una función con un polinomio: n

xn

xfxx

xfxx .(

!

)(...).(

!2

)()).( 0

)(2

00

0 ++−′′

+−

Si es ⇒≠ 0 Diverge

Si es 0=

Criterios

Si la serie es de términos Si la serie es Alternada

Rabe Comparación Directa

Convergencia Absoluta


a la expresión

obtendremos una serie numérica, que puede o no que hace a la serie convergente se obtiene un

, que es su suma, es decir que la serie sería una Función de x cuyo

a serie se hace convergente.

, tal que la serie converja en el intervalo );( RcRc +− y

se lo llama radio de convergencia y el dominio


edades de una función definida por una serie de potencias

ie de potencias son derivables e integrables en su

(aproximación de una función con un polinomio)

nx )0− .

Si la serie es Alternada

Convergencia


Pero esta expresión es aproximada. Paracomplementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma

);(/·)!1(

)(0

1)1(

xxcxn

cfT

nn

n ∈+

= ++

, entonces, la función queda determinada por:

00 ).(()()( −′+= xxxfxfxf

Fórmula de Mc Laurin

Cuando 00 =x , reemplazamos en la fórmula de Taylor y obtenemos:

)0()( += ffxf

Serie de Taylor

Serie de Mc Laurin

Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean igualescumplirse dos condiciones:

1. Que la Serie sea convergente

2. Que el 0=∞→

nn

Tlím

Esas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son:

� ...!3!2

132

++++=xx

xex

� !7!5!3

sin753

−+−=xxx

xx

� !6!4!2

1cos642

−+−=xxx

x

� 7!5!3

sinh53

+++=xxx

xx

� !4!2

1cosh42

+++=xxx

x


Pero esta expresión es aproximada. Para que sea exacta, se debe agregar al final un término complementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma


nTxPxf += )()(

00

)(2

00

0 ).(!

)(...).(

!2

)() −++−

′′+

n

xxn

xfxx

xfx

, reemplazamos en la fórmula de Taylor y obtenemos:

)1()(2

)!1(

)(.

!

)0(....

!2

)0().0(

+

++++

′′+′

nn

n

n

cfx

n

fx

fxf

∑ − n

n

xxn

xf).(

!

)(0

0

)(

∑ nn

xn

f.

!

)0()(

Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean iguales a la función que representan tienen que

Que la Serie sea convergente

Esas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son:

...!

... ++n

xn

...)!12(

.)1(...!

127

++

−+++

n

xn

n

...)!2(

.)1(...!8!

286

+−+−+n

xxn

n

...)!12(

...!7

127

++

+++

n

xxn

...)!2(

...!8!6

286

++++n

xxxn


que sea exacta, se debe agregar al final un término complementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma


1)1(

·)!1(

)() +

+

++ n

nn

xn

cf

1·

) +nx

a la función que representan tienen que


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UNIDAD I: Relaciones y funcionesEntorno y Entorno Reducido................................Funciones Par e Impar ................................

UNIDAD II: Límites y continuidadDefinición rigurosa de límite ................................Propiedad del Sándwich ................................Algunos límites especiales ................................Infinitésimos ................................Funciones infinitésimas equivalentesDefinición de Continuidad ................................Clasificación de Discontinuidad Continuidad Lateral ................................Álgebra de las funciones continuas

UNIDAD III: Derivadas y diferencialesRecta secante y Recta tangente geométricasIncremento e incremento de la funciónRazón de cambio promedio (cociente incremental)Razón de cambio instantánea ................................Definición de derivada ................................Función derivada ................................Interpretación geométrica de la derivadaPunto anguloso y cuspidal ................................Derivabilidad y Continuidad................................Reglas de derivación (tabla de derivadas)Álgebra de la derivada ................................Derivada de una función compuestaDerivada de una función en forma implícitaMétodo logarítmico de derivaciónDerivada de la función inversa ................................Diferencial ................................................................Reglas de diferenciación ................................Interpretación geométrica de la diferencialAproximación lineal ................................Álgebra de la Diferencial ................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones

UNIDAD IV: Aplicaciones del cálculo diferencialDefinición de Máximo relativo (Mr)Definición de mínimo relativo (mr)Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativosPunto crítico ................................Criterios para determinar Extremos relativos

Aplicando la definición ................................Método de la derivada primeraMétodo de la derivada segunda

Puntos de Inflexión ................................Extremos absolutos ................................Asíntotas ................................................................

Asíntotas Horizontales ................................Asíntotas Verticales ................................Asíntotas Oblicuas ................................


BIBLIOGRAFÍA

No hay ninguna fuente en el documento actual.

ÍNDICE

UNIDAD I: Relaciones y funciones ................................................................................................................................................................

................................................................................................................................

Límites y continuidad ................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Funciones infinitésimas equivalentes ................................................................................................

................................................................................................ ................................................................................................

................................................................................................................................Álgebra de las funciones continuas ................................................................................................

UNIDAD III: Derivadas y diferenciales ................................................................Recta secante y Recta tangente geométricas ................................................................Incremento e incremento de la función ................................................................................................Razón de cambio promedio (cociente incremental) ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................ción geométrica de la derivada ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

Reglas de derivación (tabla de derivadas) ................................................................................................................................................................................................................................

Derivada de una función compuesta ................................................................................................Derivada de una función en forma implícita ................................................................................................Método logarítmico de derivación ................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

Interpretación geométrica de la diferencial ................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones ................................................................

UNIDAD IV: Aplicaciones del cálculo diferencial ................................................................imo relativo (Mr) ................................................................................................

Definición de mínimo relativo (mr) ................................................................................................Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos ................................

................................................................................................................................Criterios para determinar Extremos relativos ................................................................

................................................................................................Método de la derivada primera ................................................................................................Método de la derivada segunda ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................


......................................................... 1 ............................................................... 1

........................................ 1

.......................................................... 1 ............................................................... 1

..................................................................... 1 .................................................................. 1

....................................................... 1 ................................................. 1

.................................................................. 1 .......................................................... 2

............................................ 2 .................................................... 2

.................................................... 3 ..................................................................... 3

............................................. 3 ........................................................... 3

............................................................. 3 ........................................ 3

................................................ 3 .......................................... 4

.................................................................. 4 ................................................................ 4

.......................................... 4 ........................................ 5

.................................................. 5 ...................................... 6

..................................................... 6 ........................................................... 6 ........................................................... 6

..................................................................... 6 ....................................... 7

............................................ 7 ..................................................................... 7

.............................................. 7

.................................... 7 ................................................... 7

..................................................... 7 ............................................. 7

........................................................ 8 .................................................................... 8 ................................................................... 8

..................................................... 8 .................................................... 8

............................................. 8 ............................................ 9

............................................................. 9 ................................................................... 9

........................................ 9 .......................................... 9


Teoremas del Valor Medio ................................Teorema de Rolle ................................Teorema de Lagrange ................................Teorema de Cauchy ................................Regla de L’Hôspital................................Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)

UNIDAD V: Integrales ................................Función Primitiva ................................Cálculo Integral ................................Integral Indefinida ................................Tabla de Integrales Inmediatas ................................Propiedades de las Integrales IndefinidasMétodos Generales de Integración

Descomposición ................................Sustitución ................................Integración por partes ................................

Integrales trigonométricas ................................Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas

Método de descomposición en fracciones simplesIntegral Definida ................................Propiedades de la Integral DefinidaTeorema del valor medio del cálculo integraFunción integral ................................Regla de Barrow ................................

UNIDAD VI: Aplicaciones del cálculo integralCálculo de áreas ................................Área entre dos curvas ................................Sólidos de revolución ................................Rectificaciones de arcos de curvas planasIntegración Numérica Aproximada

Método de los trapecios ................................Área debajo de un arco de parábola

Fórmula de Simpson ................................Integrales Impropias o Generalizadas

UNIDAD VII: Series y sucesionesSucesiones ................................Límite de una sucesión ................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantesPropiedades del límite de una sucesiónSucesiones monótonas ................................Criterios de convergencia y divergenciaSeries Numéricas ................................

Definición ................................Propiedades de las series infinitasCondición necesaria pero no suficiente para la convergenciaSerie Geométrica ................................Criterio de convergencia para series geométricasDefinición de P-Series ................................Convergencia de P-Series ................................Series de términos positivos ................................Criterio de comparación directaCriterio de D’Lambert para serie de términosCriterio de la Raíz o de Cauchy ................................Criterio de Rabe ................................Series alternadas ................................Convergencia absoluta ................................Convergencia condicional ................................


................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones) ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................Propiedades de las Integrales Indefinidas ................................................................................................Métodos Generales de Integración ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas ................................Método de descomposición en fracciones simples ................................................................

................................................................................................................................Propiedades de la Integral Definida ................................................................................................Teorema del valor medio del cálculo integral ................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

UNIDAD VI: Aplicaciones del cálculo integral ................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

Rectificaciones de arcos de curvas planas ................................................................................................Integración Numérica Aproximada ................................................................................................

................................................................................................Área debajo de un arco de parábola ................................................................................................

................................................................................................................................Integrales Impropias o Generalizadas................................................................................................

siones ................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes ................................................................Propiedades del límite de una sucesión ................................................................................................

................................................................................................................................Criterios de convergencia y divergencia ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

las series infinitas ................................................................................................Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia ................................................................

................................................................................................................................Criterio de convergencia para series geométricas ................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................Criterio de comparación directa ................................................................................................

ara serie de términos ................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................


............................................................... 10 .............................................. 10

....................................... 10 .......................................... 10

............................................ 10 ............................................... 10

......................................... 10 .............................................. 10

................................................. 11 ............................................ 11

......................................................... 11 ........................................ 12

.................................................. 12 ........................................... 12

................................................... 12 ................................................................. 13 ................................................................ 13

.............................................................. 14 .......................................................... 14

............................................... 14 .................................................. 15

.................................................................. 15 ................................................ 15 ................................................ 15

....................................... 15 ................................................ 15

....................................... 16 ........................................ 17 ........................................ 17

................................................... 17 .............................................................. 17

............................................ 17 ......................................... 18

............................................... 18

.......................................................... 18 ........................................................ 18

..................................... 19 ......................................................... 19

........................................... 19 ..................................... 20

........................................... 20 .............................................. 20

..................................................... 20 .................................................... 20

......................................... 21 .............................................. 21

............................................................ 21 ....................................... 21

................................................................. 21 ............................................................. 21

....................................................... 21 .................................................................. 21

......................................................... 21 ................................................ 22 ............................................... 22

..................................... 22 ................................................................. 22


Convergencia ................................Definición de Serie de Potencias

Convergencia de una serie de potenciasPropiedades de una función definida por una serie de potencias

Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio)Fórmula de Mc Laurin ................................Serie de Taylor ................................Serie de Mc Laurin ................................

Bibliografía ................................ÍNDICE ................................................................


................................................................................................................................Definición de Serie de Potencias ................................................................................................

Convergencia de una serie de potencias ................................................................................................edades de una función definida por una serie de potencias ................................

Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio) ................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

FECHA DE ÚLTIMA EDICIÓN: 13 de agosto de 2010


.................................................... 23 .................................................. 23

.......................................... 23 ............................................................... 23 .............................................................. 23

....................................... 24 .................................................. 24

............................................ 24

......................................................... 25

................................ 25

13 de agosto de 2010

Resumen de Análisis matemático I

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