Resolução da Lista 7 de FF-207

01. Uma partícula pesada é colocada no topo de um aro circular

vertical. Calcule a reação do aro na partícula através dos

multiplicadores de Lagrange e das equações de Euler-Lagrange.

Encontre de que altura a partícula se desprende.

SOLUÇÃO:

Vamos escolher (r,θ) como coordenadas

generalizadas para o sistema. Temos,

então, duas coordenadas generalizadas,

mas apenas um grau de liberdade, pois a

partícula está vinculada a andar sobre a

superfície do aro. Assim, temos apenas

uma equação de vínculo, mostrada a

seguir:

É fácil ver que esse vínculo é holonômico e escleronômico.

Para usarmos o método dos Multiplicadores de Lagrange

devemos reescrever a equação de vínculo como:

Ou dividindo tudo por :

Onde varia sobre as coordenadas generalizadas e

varia sobre as equações de vínculo. Assim, temos

e .

Da equação de vínculo, temos:

Daí, tiramos que:

Assim, teremos apenas um multiplicador de Lagrange, .

A energia cinética e a energia potencial do sistema são dadas

por:

Então, o sistema tem a seguinte Lagrangeana:

Daí, temos que:

Com a inclusão dos multiplicadores de Lagrange, as equações de

movimento são dadas por:

Então, temos o seguinte sistema:

Como , temos:

Fazendo

, e substituindo na segunda equação, temos:

As condições iniciais são:

Então,

. Daí, temos:

Substituindo na primeira equação, encontramos:

Interpretando fisicamente, temos que o valor de é igual ao

valor da reação do aro sobre a partícula (fica fácil de ser

visualizado resolvendo por Newton).

De fato, esse resultado é coerente com a teoria, pois temos que:

Onde é a k-ésima força generalizada de vínculo, i.e., das

forças não conservativas.

Quando a partícula se desprender, . Então:

Assim, a altura com que ela se desprende é:

02. Para o pêndulo de comprimento L que se move no plano

vertical, vinculado a uma mola de constante elástica K, que se

move somente na vertical, obtenha as equações de Hamilton

para o movimento do sistema.

SOLUÇÃO:

Para esse problema, vamos

escolher as coordenadas

generalizadas (y,θ) , pois θ

descreve o movimento da massa

em relação ao ponto de apoio e y

descreve a variação desse ponto

de apoio, em relação ao teto, por exemplo, que é um referencial

inercial. Com isso, descrevemos a energia cinética e a potencial

como:

Assim, a Lagrangeana fica:

Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a

transformação de Legendre:

Fazendo as substituições necessárias para eliminar e

acrescentar , temos:

Sabemos que as equações de Hamilton são:

Logo, as equações de Hamilton para o sistema são:

03. Para o exercício da Lista 4: “Uma partícula move-se num plano

sobre a influência de uma força, atuando em direção a um

centro de força cuja magnitude é:

Onde r é a direção da partícula ao centro de força.

Encontre o potencial generalizado que resulta em tal força, e

dada a Lagrageana para o movimento no plano.”

Foi encontrado um potencial dependente da velocidade da

forma

, escreva a Lagrangeana e a Hamiltoniana

para uma partícula movendo-se sob a influência deste potencial.

SOLUÇÃO: A partícula se move no plano, então sua energia

cinética é:

Então, a Lagrangeana é:

Daí, temos:

Então, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a

transformação de Legendre:

Fazendo as substituições necessárias para eliminar e

acrescentar , temos: