Lista de Exercício - Algebra Vetorial

LISTA DE EXERCÍCIOS

Eletromagnetismo 1 ELET0030 – Turma EB 1

CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL

1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o

ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2).

2. Se zyx âââA 235 ++=→

, zyx âââB 64 ++−=→

e yx ââC 28 +=→

, determine os

valores de α e β, tais que →→→

++ CBA βα seja paralelo ao eixo y.

3. Dados os vetores zyx âââT 362 +−=→

e zyx âââS ++=→

2 , determine:

a. A projeção escalar de →

T sobre →

S .

b. O vetor projeção de →

S sobre →

T .

c. O menor ângulo entre →

T e →

S .

4. Calcule os ângulos que o vetor zyx âââH 853 −+=→

faz com os

eixos x, y e z.

5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e

(-1,2,3), respectivamente. Determine:

a. A distância entre P e Q.

b. O vetor distância de P até R.

c. O ângulo entre QP e QR.

d. A área do triângulo PQR.



e. O perímetro do triângulo PQR.

6. Dado zyx âyzyzâyâxA22 +−=

→

, determine:

a. A magnitude de →

A no ponto T(2,-1,3).

b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6

unidades de distância afastado de T e com a mesma

orientação de →

A em T.

c. O vetor posição de S.



CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

1. Se

a. yzxyxzV +−= , expresse V em coordenadas cilíndricas.

b. 222 32 zyxU ++= , expresse U em coordenadas esféricas.

2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e

esférico

a. ( )zyx âyâxâ

zyxF 4

1

222++

++=

→

.

b. ( )zyx zâyâxâ

zyx

yxG ++

++

+=

→

222

22

.

3. Seja zâzâA φρθρ ρ sencos 2+=→

,

a. Transforme →

A para coordenadas retangulares e

determine sua magnitude no ponto (3,-4,0).

b. Transforme →

A para coordenadas esféricas e determine

sua magnitude no ponto (3,-4,0).

4. Dados os vetores zyx âââA 1042 ++=→

e zâââB 35 −+−=→

φρ ,

determine:

a. →→

+ BA em P(0,2,-5).



b. O ângulo entre →

A e →

B em P.

c. A componente escalar de →

A ao longo de →

B em P.

5. Seja ( )zâzâzâzA

222 cos1 ρφρρ φρ +−−=→

e φθφ ârârB r sen2cos2 +=→

,

calcule em T(-3,4,-1):

a. →

A e →

B .

b. A componente vetorial de →

A ao longo de →

B em T, em

coordenadas cilíndricas.

c. O vetor unitário perpendicular tanto a →

A quanto a →

B

em T, em coordenadas esféricas.

6. Um campo vetorial em um “misto” de variáveis

coordenadas é dado por zyx âx

âyz

âx

G

−++=

→

2

2

21

2cos

ρρρ

φ .

Expresse →

G , de maneira completa, em um sistema esférico.



CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL

1. Dado que yx âyâxH22 +=

→

, calcule ∫→→

⋅L

ldH , considere L ao longo

da curva 2xy = , de (0,0) a (1,1).

2. A temperatura em um auditório é dada por zyxT −+= 22 . Um

mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja

voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais

rápido possível. Em qual orientação ele deve voar?

3. Se 2222 zyyxxzU +−= , calcule

∇⋅∇→→

U .

4. Se ( )zyx âzâyâxF 1222 −++=

→

, encontre ∫→→

⋅S

SdF , onde S é definido

por 2=ρ , 20 << z e πφ 20 ≤≤ .

5. Encontre o fluxo do rotacional do campo

φθ θφθθ âârâr

T r coscossencos1

2++=

→

através do hemisfério 4=r e

0≤z .

6. Se o campo vetorial ( ) ( ) ( )zyx âyxzâzxâzxyT −+−++=

→223 33 γβα é

irrotacional, determine α, β e γ. Encontre →→

⋅∇ T em (2,-1,0).



CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS

LISTA A

1. Duas cargas pontuais Q1=5mC e Q2=-4mC estão localizadas

nos pontos (3,2,1) e (-4,0,6), respectivamente. Determine a

força sobre Q1.

2. Duas cargas pontuais Q1 e Q2 estão localizadas em (4,0,-3)

e (2,0,1), respectivamente. Se Q2=4nC, determine Q1 tal

que:

a. O campo →

E em (5,0,6) não tenha componente em z.

b. A força sobre uma carga de teste em (5,0,6) não tenha

componente em x.

3. Seja yx âxxyâE2+=

→

determine:

a. O vetor densidade de fluxo elétrico.

b. A densidade volumétrica de cargas.

4. Dado que <<

=intervalodessefora;0

21;nC/m12 3 ρρρv , determine

→

D em

qualquer ponto.



5. Determine o trabalho realizado ao deslocar uma carga de

5C do ponto P(1,2,-4) até o ponto R(3,-5,6), na presença de

um campo elétrico dado por yzâzâyzâxE 22 ++=→

V/m.

6. Uma carga pontual Q está na origem. Calcule a energia

armazenada na região dada por r>a.



CAPÍTULO IV - CAMPOS ELETROSTÁTICOS

LISTA B

1. Determine →

E em (5,0,0) devido à distribuição de carga

referida por A na figura 1.

Figura 1

2. Um disco circular de raio a está carregado com uma

distribuição de carga dada por ρ

ρ1

=S C/m². Calcule o

potencial em (0,0,h).

3. A linha x=3 e z=-1 está carregada com 20nC/m, enquanto

o plano x=-2 está carregado com 4nC/m². Determine a

força sobre uma carga pontual de -5mC localizada na

origem.



4. Para uma distribuição esférica de cargas dada por

( )

>

<−=

a

arrav

r;0

;22

0ρρ

a. Determine →

E e V para ar ≥ .

b. Determine →

E e V para ar ≤ .

c. Determine a carga total.

d. Demonstre que →

E é máximo quando r=0,74a.

5. No espaço livre, ( )32 += zyxV V. Determine o vetor campo

elétrico em (3,4,-6).

6. Se φρ sen2 zV = , calcule a energia dentro da região definida

por 41 << ρ , 22 <<− z e 3

0π

φ << .



CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL

LISTA A

1. A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio

a é de

z

a âeJ

−−→

=

ρ1

10 A/m².

Determine a corrente através da seção reta do condutor.

2. Um condutor de 10m de comprimento consiste de núcleo

de aço de 1,5cm de raio e de uma camada externa de cobre

de 0,5cm de espessura.

a. Determine a resistência do condutor.

b. Se a corrente total no condutor é de 60A, qual a

corrente que flui em cada metal?

c. Determine a resistência de um condutor sólido de

cobre, de comprimento e área de seção reta iguais às

da camada externa. Considere as resistividades do

cobre e do aço iguais a 1,77x10-8 e 11,8x10-8Ωm,

respectivamente.

3. Uma esfera de raio a e constante dielétrica εr tem uma

densidade uniforme de carga de ρo.

a. No centro da esfera, demonstre que

( )126

2

+= r

ro

oaV ε

εε

ρ.



b. Determine o potencial na superfície da esfera.

4. Dado que r

tâe

rJ

41051 −

→

= A/m², em t=0,1ms, determine:

a. A corrente que passa através da superfície r=2m.

b. A densidade de carga ρv nessa superfície.

5. A região 1 (z<0) contém um dielétrico para o qual εr=2,5,

enquanto que a região 2 (z>0) é caracterizada por εr=4.

Considere o vetor campo elétrico na região 1 igual a

(-30,50,70)V/m e determine:

a. O vetor densidade de fluxo elétrico na região 2.

b. O vetor polarização na região 2.

c. O ângulo entre o vetor campo elétrico na região 1 e a

normal à superfície.

6. Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio

5cm, está carregada com uma carga total de 12nC,

uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:

a. O valor da densidade de fluxo elétrico sobre a

superfície da esfera.

b. O vetor densidade de fluxo elétrico externo à esfera.

c. A energia total armazenada no campo.



CAPÍTULO V - CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL

LISTA B

1. A uma determinada temperatura e pressão, o gás de hélio

contém 5x1025 átomos/m³. Um campo de 10kV/m aplicado

no gás provoca um deslocamento médio de10-18m na

nuvem eletrônica. Determine a constante dielétrica do

hélio.

2. Em uma placa de material dielétrico ε=2,4ε0 e V=300z²V,

determine:

a. O vetor densidade de fluxo elétrico e ρv.

b. O vetor polarização e ρρv.

3. Uma esfera condutora de raio 10cm está centrada na

origem e imersa em um material dielétrico com ε=2,5ε0. Se

a esfera está carregada com uma densidade superficial de

cargas de 4nC/m², determine o vetor campo elétrico em

(-3,4,12)cm.

4. Para um meio anisotrópico

=

z

y

x

z

y

x

E

E

E

D

D

D

411

141

114

obtenha o vetor densidade de fluxo elétrico para:



a. Vetor campo elétrico igual a (10,10,0) V/m.

b. Vetor campo elétrico igual a (10,20,-30) V/m.

5. O excesso de cargas, em um determinado meio, decai a um

terço de seu valor inicial em 20µs,

a. Se a condutividade do meio é de 10-4S/m, qual é a

constante dielétrica desse meio?

b. Qual é o tempo de relaxação?

c. Após 30µs, qual a fração de carga que ainda

permanece?

6. Duas regiões dielétricas homogêneas 1 ( 4≤ρ cm) e 2

( 4≥ρ cm) têm constantes dielétricas 3,5 e 1,5,

respectivamente. Se zâââD 96122 +−=→

φρ nC/m², calcule:

a. →

1E e →

1D .

b. →

2P e 2vρρ .

c. A densidade de energia em cada região.



CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM

ELETROSTÁTICA

LISTA A

1. No espaço livre, 86 2 += zxyV . Determine →

E e vρ , no ponto

P(1,2,-5).

2. Seja ( )( )nyny DeCenxBnxAV −++= sencos , onde A, B, C e D são

constantes. Demonstre que V satisfaz a equação de

Laplace.

3. Considere as placas condutoras mostradas na figura 1. Se

( ) 00 ==zV e ( ) 50mm2 ==zV V, determine V , →

E e →

D no interior

do dielétrico (εr=1,5) entre as placas e Sρ sobre as placas.

Figura 1



4. Dois cilindros concêntricos, ρ=2cm e ρ=6cm, são mantidos

a V=60V e V=-20V, respectivamente. Calcule V , →

E e →

D em

ρ=4cm.

5. Duas placas condutoras estão posicionadas em z=-2cm e

z=2cm e são, respectivamente, mantidas nos potenciais 0V

e 200V. Assumindo que as placas estão separadas por

uma camada de polipropileno (εr=2,25), calcule:

a. O potencial em um ponto entre as placas e

eqüidistante delas.

b. As densidades superficiais em cada placa.

6. Uma esfera condutora de raio 2cm está circundada por

uma esfera condutora concêntrica de raio 5cm. Se o

espaço entre as esferas for preenchido com cloreto de sódio

(εr=5,9), calcule a capacitância do sistema.



CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM

ELETROSTÁTICA

LISTA B

1. A região entre x=0 e x=d tem d

dxv

−= 0ρρ . Se ( ) 00 ==xV e

( ) 0VdxV == , encontre:

a. V e →

E .

b. A densidade superficial de cargas em x=0 e x=d.

2. Um certo material ocupa o espaço entre dois blocos

condutores e está localizado em 2±=y cm. Quando

aquecido, o material emite elétrons de forma que essa

região adquire uma carga dada por ( )2150 yv −=ρ µC/m³. Se

ambos os blocos forem mantidos a 30kV, encontre a

distribuição de potencial entre eles. Considere ε=3ε0.

3. Resolva a equação de Laplace para o sistema eletrostático

bidimensional da figura 1 e encontre o potencial ( )yxV , .

Figura 1



4. Um hemisfério condutor ôco, de raio a, está enterrado com

sua face plana paralela à superfície da terra, servindo

como um eletrodo de aterramento. Se a condutividade da

terra é σ, demonstre que a condutância de perdas entre

eletrodo e terra é 2πaσ.

5. Um capacitor esférico tem um raio interno a e um raio

externo d. Concêntrica com os condutores esféricos e

posicionada entre eles existe uma casca esférica de raio

externo c e raio interno b. Se as regiões d<r<c, c<r<b e

b<r<a são preenchidas com materiais de permissividade ε1,

ε2 e ε3, respectivamente, determine a capacitância do

sistema.

6. Um capacitor esférico tem um raio interno a e um raio

externo b e é preenchido com um dielétrico não

homogêneo, tendo 2

0

r

kεε = . Demonstre que a capacitância do

capacitor é ab

kC

−= 04πε

.



CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS

LISTA A

1. Considere o trecho AB, na figura 1, como parte de um

circuito elétrico. Encontre o vetor campo magnético na

origem devido a AB.

Figura 1

2. Determine o vetor campo magnético no centro C de uma

espira na forma de um triângulo equilátero, de lado 4 m,

percorrido por uma corrente de 5 A, como mostrado na

figura 2.

Figura 2



3. Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente

de 2 A ao longo de +z. Calcule:

a. O vetor densidade de fluxo magnético em (-3, 4, 7).

b. O fluxo através da espira quadrada descrita por

62 ≤≤ ρ , 40 ≤≤ z e o90=φ .

4. Considere o seguinte campo arbitrário:

( ) ( ) z

x

x âeyâaxyA−

→

++= cos . Determine se o campo pode

representar um campo eletrostático ou magnetostático no

espaço livre.

5. O potencial magnético vetorial devido a dois filamentos de

corrente retilíneos infinitos e paralelos no espaço livre,

percorridos por correntes iguais I e de sentidos contrários,

é zâdI

A

−=

→

ρ

ρ

π

µln

2 onde d é a distância que separa os dois

filamentos (com um dos filamentos disposto sobre o eixo z).

Determine o vetor densidade de fluxo magnético

correspondente.



6. Prove que o potencial magnético escalar em (0, 0, z) devido

à uma espira circular de raio a, mostrada na figura 3, é

+−=

221

2 az

zIVm .

Figura 3



CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS

LISTA B

1. Um condutor infinitamente longo é dobrado na forma de L,

como mostra a figura 1. Se uma corrente contínua de 5 A

flui no condutor, determine a intensidade do campo

magnético em:

a. (2, 2, 0).

b. (0, 0, 2).

Figura 1

2. Uma espira quadrada condutora de lado 2a está no plano

z=0 e é percorrida por uma corrente I no sentido anti-

horário. Demonstre que no centro da espira zâa

IH

π

2=

→

.

3. Considere a linha de transmissão a dois fios, cuja seção

reta é ilustrada na figura 2. Cada fio tem raio 2 cm e os

fios estão separados de 10 cm. O fio, centrado em (0, 0), é



percorrido por uma corrente de 5 A, enquanto o outro, que

está centrado em (10 cm, 0), é percorrido pela corrente de

retorno. Determine o vetor campo magnético em (5 cm, 0).

Figura 2

4. Considere o seguinte campo arbitrário: ρρ

âA20

=→

. Determine

se o campo pode representar um campo eletrostático ou

magnetostático no espaço livre.

5. Um condutor infinitamente longo, de raio a, está colocado

de tal modo que seu eixo está ao longo do eixo z. O

potencial magnético vetorial, devido à corrente contínua Io,

que flui ao longo de âz no interior do condutor, é dado por

( ) z

o âyxa

IA

22

024+−=

→

µπ

Wb/m. Determine o vetor campo

magnético correspondente. Confirme seu resultado

utilizando a lei circuital de Ampére.



6. Determine o vetor densidade de corrente para

zâAρ

10=

→

Wb/m no espaço livre.



CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS

LISTA A

1. Um elétron com uma velocidade

u = (3âx + 12ây – 4âz).105 m/s experimenta uma força

líquida nula em um ponto no qual o campo magnético é

B = 10âx + 20ây + 30âz mWb/m². Determine E nesse

ponto.

2. Dado que B = 6xâx - 9yây + 3zâz Wb/m², determine a força

total experimentada pela espira retangular

(sobre o plano z=0) ilustrada na figura 1.

Figura 1



3. Um condutor de 2 m de comprimento é percorrido por uma

corrente de 3 A e está colocado em paralelo ao eixo z a

uma distância ρo = 10 cm, como mostrado na figura 2. Se o

campo nessa região é de ρ

φâ

3cos Wb/m², quanto trabalho é

necessário para girar o condutor de uma espira em torno

do eixo z ?

Figura 2



4. Em um certo material, para o qual µ=6,5µo,

H = 10âx + 25ây - 40âz A/m. Determine:

a. A suscetibilidade magnética do material (χm).

b. A densidade de fluxo magnético (B).

c. A magnetização (M).

d. A densidade de energia magnética.

5. A interface 4x – 5z = 0 entre dois meios magnéticos é

percorrida por uma corrente de 35 ây A/m. Se

H1 = 25âx - 30ây + 45âz A/m na região 4x – 5z ≤ 0, onde

µ=5µo, calcule H2 na região 4x – 5z ≥ 0, onde µ=10µo.

6. Quando dois fios idênticos paralelos estão separados de

3 m, a indutância por unidade de comprimento é

2,5 µH/m. Calcule o diâmetro de cada fio.

7. Considere a figura 3. Se a corrente na bobina é 0,5 A,

determine a fmm e a intensidade de campo magnético no

entreferro de ar. Assuma que µ=500µo e que todos os

trechos tenham a mesma área de seção reta igual a

10 cm².



Figura 3

8. O circuito magnético da figura 4 tem uma bobina de

2000 espiras percorrida por uma corrente igual a 10 A.

Assuma que todos os trechos têm a mesma área de seção

reta de 2 cm² e que o material do núcleo é ferro com

µ=1500µo. Calcule R, ℑ e Ψ para:

a. O núcleo.

b. O entreferro de ar.



Figura 4



CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS

LISTA B

1. Uma partícula com massa de 1 kg e carga 2 C,

inicialmente em repouso, parte do ponto (2, 3, -4) em uma

região onde E = - 4ây V/m e B = 5âx Wb/m². Determine:

a. A posição da partícula em t=1 s.

b. Sua velocidade e sua energia cinética nessa

posição.

2. Um elemento de corrente de 2 cm de comprimento está

localizado na origem no espaço livre e é percorrido por uma

corrente de 12 mA ao longo de âx. Uma corrente filamentar

de 15âz A está localizada ao longo de x=3 e y=4. Determine

a força sobre o filamento de corrente.

3. Uma linha de transmissão trifásica consiste de três

condutores que são suportados nos pontos A, B e C,

formando um triângulo equilátero, como mostrado na

figura 1. Em determinado instante, tanto o condutor A

quanto o B, são percorridos por uma corrente de 75 A,

enquanto o condutor C é percorrido pela corrente de

retorno de 150 A. Determine a força por metro sobre o

condutor C nesse instante.



Figura 1

4. A intensidade de campo magnético é H = 1200 A/m em um

material quando H é reduzido à 400 A/m, B=1,4 Wb/m².

Calcule a variação na magnetização M.

5. A região 0≤z≤2 m é preenchida com um bloco infinito de

material magnético (µ=2,5µo). Se as superfícies do bloco em

z=0 e z=2, respectivamente, são percorridas por correntes



de superfície de 30âx A/m e - 40âx A/m, como mostrado na

figura 2, calcule H e B para:

a. z<0.

b. 0<z<2.

c. z>2.

Figura 2

6. O núcleo de um toróide tem 12 cm² de área de seção reta e

é feito de um material com µ=200µo. Se o raio médio do

toróide é 50 cm, calcule o número de espiras necessário

para obter uma indutância de 2,5 H.



7. Considere o circuito magnético ilustrado na figura 3.

Assumindo que o núcleo (µ=1000µo) tem uma seção reta

uniforme de 4 cm², determine a densidade de fluxo no

entreferro de ar.

Figura 3



RESPOSTAS

• CAPÍTULO I – ÁLGEBRA VETORIAL

1. ± (-0,87; -0,35; -0,35).

2. α=-3/2 e β=1/2.

3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o.

4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o.

5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30.

6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89).

• CAPÍTULO II – SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

1. φρφφρφρ sencossencos 2 zzV +−= ; ( )[ ]θφφθ 22222 cos3sen2cossen ++= rU .

2.

++ 2222

4,0,

zz ρρ

ρ;

−+ 0,

4sencossen,

4cossen 2

rrθθθθθ ;

++ 22

2

22

3

,0,z

z

z ρ

ρ

ρ

ρ; ( )0,0,sen 22 θr .

3.

++++

2

222222,, yz

zyx

yz

zyx

xz; 0;

( ) ( )[ ]0,sencossenccossen,sencossencossen 222 φθθθθθφθθθθ rosrrr −+ ; 0.

4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79.

5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82).

6. ( ) ( )

+−

−−+−++

θ

θφφφφ

φθθ

φθφθφφθφθ

sen

cossencos2cossen

,cos1sensen

sencos2cosc,cossen1coscossen

2

222

3223os

• CAPÍTULO III – CÁLCULO VETORIAL

1. 0,67.

2. (0,67; 0,67; -0,33).



RESPOSTAS

3. ( )222 zx −− .

4. 50,26.

5. 0.

6. 6; 1; 1; -6.

• CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA A

1. (-1,83; -0,52; 1,31) kN.

2. 24,97 nC; -11,64 nC.

3. (ε0xy; ε0x2; 0); ε0y.

4. 0 (ρ<1); ( )

ρ

ρ 14 3 − (1<ρ<2);

ρ

28 (ρ>2).

5. 1050 J.

6. a

Q

0

2

8πε.

• CAPÍTULO IV – CAMPOS ELETROSTÁTICOS – LISTA B

1. (4,86; 0,27; 0) MV/m.

2.

+−

+=

h

a

h

haV 1ln

2

1 22

0ε.

3. (-0,59; 0; -0,18).

4. râr

a2

0

5

0

15

2

ε

ρ;

r

a

0

5

0

15

2

ε

ρ; ( ) râra

r 25

0

0 3515

−ε

ρ;

−−−

4206

4422

0

0 arar

ε

ρ;

15

8 5

0aπρ;

Demonstração.

5. (72; 27; -36).

6. 9,44 nJ.

• CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA A

1. 23,11a² A.



RESPOSTAS

2. 0,27 mΩ; 50,35 A e 9,65 A; 0,32 mΩ.

3.

+=

r

aVεε

ρ

2

11

3

2

0

0 ; 2

0

0

3aV

ε

ρ= .

4. 46,23A; 46 µC/m³.

5. (-1,06; 1,77; 1,55) nC/m²; (-0,80; 1,33; 1,16) nC/m²; 39,79o.

6. 12,95 µJ.

• CAPÍTULO V – CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL – LISTA B

1. 1,000184.

2. (0; 0; -12,74) nC/m²; -12,74 nC/m³; (0; 0; -7,43z) nC/m²;

7,43 nC/m³.

3. (-24,71; 32,95; 98,86).

4. ε0(50; 50; 20). ε0(30; 60; -90).

5. 205,70; 18,20µs; 0,1924ρvo.

6. (12, -14, 21) nC/m²; (387,41; -451,98; 677,97) V/m;

(4; -2; 3) nC/m²; 0; 12,61 µJ/m²; 9,83 µJ/m².

• CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA –

LISTA A

1. 5,31x10-10 C/m³; (120, 120, -24) V/m.

2. Demonstração.

3. 25000z V; -25000 V/m zâ ; -331,88 nC/m² zâ ; 331,88 nC/m².

4. 9,53 V; 1,82 kV/m ρâ ; 16,11 nC/m² ρâ .

5. 100V; 100 nC/m²; -100 nC/m².

6. 21,87 pF.



RESPOSTAS

• CAPÍTULO VI – PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA –

LISTA B

1. xd

d

Vdxx

d

−+

−−

0

00

23

0

0

626 ε

ρ

ε

ρ; xâ

d

d

Vdx

x

d

+−

−

0

00

2

0

0

62 ε

ρ

ε

ρ;

+−−

0

000

6ε

ρε

d

d

V;

+−

0

000

3ε

ρε

d

d

V.

2. ( )38,3094,15662,941 42 ++− yy kV.

3.

−

∑

∞

≠= b

yn

b

yn

b

an

b

xn

b

ann

V

parnn

ππππ

ππ

senhcoshtghsen

tgh

4

1

0 .

4. Demonstração.

5. ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )cdabcdbcbcab

cdbcab

−−+−−+−−

−−−

312132

3214

εεεεεε

εεπε.

6. Demonstração.

• CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA A

1. zâ95,0 H/m.

2. xâ77,1− H/m.

3. a) φâ80 nT; b) 76,1 µWb.

4. Não pode ser nem campo eletrostático e nem magnetostático.

5. ( ) φ

ρπρ

µâ

d

Id

−2.

6. Demonstração.

• CAPÍTULO VII – CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS – LISTA B

1. a) zâ18,0 ; b) yx ââ 20,020,0 −− .

2. Demonstração.

3. φâ83,31 .



RESPOSTAS

4. Pode ser apenas um campo eletrostático para o caso de não haver

densidade de cargas livres ( 0=vρ ).

5. φπ

ρµâ

a

I oo

22.

6. z

o

â3

10

ρµ− .

• CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA A

1. (-44, 13, 6) kV/m.

2. (0, 0, 30) N.

3. -1,56 J.

4. 9,50 mJ/m³.

5. (3,63; -30,00; 15,43) A/m.

6. 22,36 µm.

7. 200 A-espiras; 19,083 kA/m.

8. a) 1151,23 kA-espiras/Wb; 920,98 A-espiras; 0,8 mWb.

b) 23873,24 kA-espiras/Wb; 19098,59 A-espiras; 0,8 mWb.

• CAPÍTULO VIII – FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS – LISTA B

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Lista de Exercício - Algebra Vetorial

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