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Estruturas Isostáticas - Coordenadoria de Edificações - IFES - Campus Vitória Resolução da Lista Complementar de Exercícios - Esforços Internos 1. Reações de Apoio Supondo-se inicialmente as reações de apoio, Vertical ( ), Horizontal ( ) e Momento ( ), todas com sentido positivo: V A H A M A α atan 5 20 = α 14.04 deg =0 ΣF x H A 0 tonf =0 ΣF y =0 V A 2 tonf m 10 m cos α 1 tonf m 10 m cos α V A + 2 tonf m 10 m cos α 1 tonf m 10 m cos α = V A 30.92 tonf =0 ΣM A =0 M A 2 tonf m 10 m cos α 5 m 1 tonf m 10 m cos α 15 m M A + 2 tonf m 10 m cos α 5 m 1 tonf m 10 m cos α 15 m = M A 257.69 tonf m Esforços Internos

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Estruturas Isostáticas - Coordenadoria de Edificações - IFES - Campus VitóriaResolução da Lista Complementar de Exercícios - Esforços Internos

1.

Reações de Apoio

Supondo-se inicialmente as reações de apoio, Vertical ( ), Horizontal ( ) e Momento ( ), todas com sentido positivo:VA HA MA

≔α atan⎛⎜⎝―5

20

⎞⎟⎠

=α 14.04 deg

=0ΣFx

≔HA 0 tonf

=0ΣFy

=0−−VA ⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠⋅1 ――

tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠

≔VA +⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠⋅1 ――

tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠=VA 30.92 tonf

=0ΣMA

=0−−MA ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠5 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠15 m

≔MA +⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠5 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠15 m

=MA 257.69 ⋅tonf m

Esforços Internos

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Esforços Internos

S1

≔N1 −⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N1 6.50 tonf

≔Q1 −⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q1 26.00 tonf

≔M1 −+−MA ⋅VA 2 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝α⎞⎠1 m

=M1 −199.97 ⋅tonf m

S2

≔N2 −⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N2 5.00 tonf

≔Q2 −⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q2 20.00 tonf

≔M2 −+−MA ⋅VA 5 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠2.5 m

=M2 −128.85 ⋅tonf m

S3

≔N3 −⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N3 4.00 tonf

≔Q3 −⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q3 16.00 tonf

≔M2 −+−MA ⋅VA 7 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝α⎞⎠3.5 m

=M2 −91.74 ⋅tonf m

S4

≔N4 −⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N4 3.50 tonf

≔Q4 −⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q4 14.00 tonf

≔M4 −+−MA ⋅VA 8 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠4 m

=M4 −76.28 ⋅tonf m

S5

≔N5 −−⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N5 2.25 tonf

≔Q5 −−⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q5 9.00 tonf

≔M5 −−+−MA ⋅VA 11 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠6 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝α⎞⎠0.5 m

=M5 −41.75 ⋅tonf m

S6

≔N6 −−⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N6 1.25 tonf

≔Q6 −−⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q6 5.00 tonf

≔M6 −−+−MA ⋅VA 15 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠10 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝α⎞⎠2.5 m

=M6 −12.88 ⋅tonf m

S7

≔N7 −−⋅VA sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠sin ⎛⎝α⎞⎠

=N7 0.50 tonf

≔Q7 −−⋅VA cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠cos ⎛⎝α⎞⎠

=Q7 2.00 tonf

≔M7 −−+−MA ⋅VA 18 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――10 m

cos ⎛⎝α⎞⎠13 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝α⎞⎠4 m

=M7 −2.06 ⋅tonf m

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2.

Reações de Apoio

Supondo-se inicialmente as reações de apoio, Vertical ( e ) e Horizontal ( ), todas com sentido positivo:VA VB HA

≔β atan⎛⎜⎝――8.66

15

⎞⎟⎠

=β 30.00 deg

=0ΣFx

=0+⋅15 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ HA

≔HB ⋅−15 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠

*=HB −12.99 tonf

*uma vez que o valor obtido foi negativo, entende-se que o módulo de e o seu sentido é para a esquerda≔HB 12.99 tonf

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=0ΣFy

=0+−−−−+7.5 tonf VA 8 tonf ⋅15 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 5 tonf ⋅1.5 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝β⎞⎠VB

=V +VA VB

≔V ++++−7.5 tonf 8 tonf ⋅15 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 5 tonf ⋅1.5 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝β⎞⎠=V 26.86 tonf

=0ΣMA

=0++−−−−−⋅−7.5 tonf 3 m ⋅8 tonf 2 m ⋅⋅15 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠⎛⎜⎝――――

⋅4 m 8.66 m

15 m

⎞⎟⎠

⋅⋅15 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 4 m ⋅5 tonf 7 m ⋅⋅1.5 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝β⎞⎠8 m ⋅VB 12 m ⋅HB 6.95 m

≔VB

⎛⎜⎝

−+++++⋅7.5 tonf 3 m ⋅8 tonf 2 m ⋅⋅15 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠⎛⎜⎝―――――

⋅4 m 8.66 m

15 m

⎞⎟⎠

⋅15 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 4 m ⋅5 tonf 7 m ⋅⋅1.5 ――tonf

m―――

8 m

cos ⎛⎝β⎞⎠8 m ⋅HB 6.95 m

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝――

1

12 m

⎞⎟⎠

=VB 12.84 tonf

≔VA −V VB

=VA 14.02 tonf

Esforços Internos

S1≔N1 +−⋅−7.5 tonf sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VA sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅8 tonf sin ⎛⎝β⎞⎠

=N1 −6.76 tonf

≔Q1 −+⋅7.5 tonf cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VA cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅8 tonf cos ⎛⎝β⎞⎠

=Q1 11.71 tonf

≔M1 −+⋅7.5 tonf 6 m ⋅VA 3 m ⋅8 tonf 1 m

=M1 79.05 ⋅tonf m

S3

≔N3 +−⋅⋅−1.5 ――tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝β⎞⎠sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅HB cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VB sin ⎛⎝β⎞⎠

=N3 −7.43 tonf

≔Q3 −−⋅⋅1.5 ――tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝β⎞⎠cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅HB sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VB cos ⎛⎝β⎞⎠

=Q3 −13.11 tonf

S2

≔N2 +−+−⋅−7.5 tonf sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VA sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅8 tonf sin ⎛⎝β⎞⎠ ⋅15 tonf cos ⎛⎝ +30 deg β⎞⎠ ⋅⋅1.5 ――tonf

m―――1.5 m

cos ⎛⎝β⎞⎠sin ⎛⎝β⎞⎠

=N2 −12.96 tonf

≔Q2 −−−+⋅7.5 tonf cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅VA cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅8 tonf cos ⎛⎝β⎞⎠ ⋅15 tonf sin ⎛⎝ +30 deg β⎞⎠ ⋅⋅1.5 ――tonf

m―――1.5 m

cos ⎛⎝β⎞⎠cos ⎛⎝β⎞⎠

=Q2 −3.53 tonf

≔M2 −−−−+⋅7.5 tonf 8.5 m ⋅VA 5.5 m ⋅8 tonf 3.5 m ⋅⋅⋅15 tonf cos ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1.5 m tan ⎛⎝β⎞⎠ ⋅⋅15 tonf sin ⎛⎝30 deg⎞⎠ 1.5 m ⋅⋅1.5 ――tonf

m―――1.5 m

cos ⎛⎝β⎞⎠0.75 m

=M2 88.40 ⋅tonf m

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3.

Reações de Apoio

Supondo-se inicialmente as reações de apoio, Vertical ( e ) e VA VB

Horizontal ( ), todas com sentido positivo:HA

≔μ atan⎛⎜⎝――10 m

10 m

⎞⎟⎠

=μ 45.00 deg

=0ΣFx

=0+5 tonf HA

*≔HB −5.00 tonf

*uma vez que o valor obtido foi negativo, entende-se que o módulo dee o seu sentido é para a esquerda≔HB 5.00 tonf

=0ΣFy

=0+−−+−−VA ⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠10 tonf 7.5 tonf ⋅2 ――

tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠8 tonf VB

=+VA VB ++−+⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠10 tonf 7.5 tonf ⋅2 ――

tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠8 tonf

=V +VA VB

≔V ++−+⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠10 tonf 7.5 tonf ⋅2 ――

tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠8 tonf

=V 26.06 tonf

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=0ΣMA

=0++−−−+−⋅⋅−1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠2.5 m ⋅10 tonf 3 m ⋅7.5 tonf 5 m ⋅5 tonf 7 m ⋅⋅2 ――

tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠8.5 m ⋅8 tonf 9 m ⋅HB 10 m ⋅VB 10 m

≔VB ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

−+++−+⋅⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠2.5 m ⋅10 tonf 3 m ⋅7.5 tonf 5 m ⋅5 tonf 7 m ⋅⋅2 ――

tonf

m―――

3 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠8.5 m ⋅8 tonf 9 m ⋅HB 10 m

10 m=VB 13.93 tonf

≔VA −V VB

=VA 12.13 tonf

Esforços Internos

S1

≔N1 +⋅−VA sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠sin ⎛⎝μ⎞⎠

=N1 −6.57 tonf

≔Q1 −⋅VA cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠cos ⎛⎝μ⎞⎠

=Q1 6.57 tonf

≔M1 −⋅VA 2 m ⋅⋅1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠1 m

=M1 21.42 ⋅tonf m

S2

≔N2 −++⋅−VA sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅7.5 tonf sin ⎛⎝μ⎞⎠

=N2 −1.81 tonf

≔Q2 +−−⋅VA cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅7.5 tonf cos ⎛⎝μ⎞⎠

=Q2 1.81 tonf

≔M2 +−−⋅VA 6 m ⋅⋅1 ――tonf

m―――

5 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠3.5 m ⋅10 tonf 3 m ⋅7.5 tonf 1 m

=M2 25.51 ⋅tonf m

S3

≔N3 −+−⋅⋅−2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅8 tonf sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅VB sin ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅HB cos ⎛⎝μ⎞⎠

=N3 −3.34 tonf

≔Q3 −−+⋅⋅2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅8 tonf cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅VB cos ⎛⎝μ⎞⎠ ⋅HB sin ⎛⎝μ⎞⎠

=Q3 −3.73 tonf

≔M3 ++−⋅⋅−2 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝μ⎞⎠1 m ⋅8 tonf 1 m ⋅VB 2 m ⋅HB 2 m

=M3 24.20 ⋅tonf m

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4.

Reações de Apoio

≔θ atan⎛⎜⎝――11.55

20

⎞⎟⎠

=θ 30.01 deg

Supondo-se inicialmente as reações de apoio, Vertical ( e ) e Horizontal ( ), todas com sentido positivo:VA VB HA

=0ΣFx

=0−HB 5 tonf

≔HB 5 tonf

=0ΣFy

=0+−−−−+⋅−2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠VA 10 tonf 4 tonf 7.5 tonf ⋅1 ――

tonf

m―――10.50 n

cos ⎛⎝θ⎞⎠VB

=+VA VB ++++⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠10 tonf 4 tonf 7.5 tonf ⋅1 ――

tonf

m―――10.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠=V +VA VB

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≔V ++++⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠10 tonf 4 tonf 7.5 tonf ⋅1 ――

tonf

m―――10.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠=V 49.79 tonf

=0ΣMA

=0−++−−−−⋅⋅−2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠0.50 m ⋅10 tonf 4 m ⋅4 tonf 10 m ⋅7.5 tonf 12 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――10.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠11.75 m ⋅VB 13 m ⋅HB 7.51 m ⋅5 tonf 9.82 m

≔VB ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

+−++++⋅⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠0.50 m ⋅10 tonf 4 m ⋅4 tonf 10 m ⋅7.5 tonf 12 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――10.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠11.75 m ⋅HB 7.51 m ⋅5 tonf 9.82 m

13 m=VB 25.55 tonf

≔VA −V VB

=VA 24.25 tonf

Esforços Internos

S1

≔N1 ⋅⋅−2 ――tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠sin ⎛⎝θ⎞⎠

=N1 −1.16 tonf

≔Q1 ⋅⋅−2 ――tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠cos ⎛⎝θ⎞⎠

=Q1 −2.00 tonf

≔M1 ⋅⋅−2 ――tonf

m―――

1 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠0.50 m

=M1 −1.15 ⋅tonf m

S2

≔N2 −−+⋅⋅−2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅VA sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅10 tonf sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――2.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠sin ⎛⎝θ⎞⎠

=N2 −2.40 tonf

≔Q2 −−+⋅⋅−2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅VA cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅10 tonf cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅⋅1 ――

tonf

m―――2.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠cos ⎛⎝θ⎞⎠

=Q2 −4.16 tonf

≔M2 −−−⋅VA 9 m ⋅⋅2 ――tonf

m―――

7 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠8.50 m ⋅10 tonf 5 m ⋅⋅1 ――

tonf

m―――2.50 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠1.25 m

=M2 27.18 ⋅tonf m

S3

≔N3 −−++⋅7.5 tonf sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

6 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅HB cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅VB sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅5 tonf cos ⎛⎝θ⎞⎠

=N3 −5.56 tonf

≔Q3 +−−+⋅7.5 tonf cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅⋅1 ――tonf

m―――

6 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅HB sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅VB cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅5 tonf sin ⎛⎝θ⎞⎠

=Q3 −9.63 tonf

≔M3 −++−⋅−7.5 tonf 1 m ⋅⋅1 ――tonf

m―――

6 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠3 m ⋅HB

⎛⎝ ⋅2 m tan ⎛⎝θ⎞⎠⎞⎠ ⋅VB 2 m ⋅5 tonf ⎛⎝ ⋅6 m tan ⎛⎝θ⎞⎠⎞⎠

=M3 11.26 ⋅tonf m

S4

≔N4 −⋅⋅1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠sin ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅5 tonf cos ⎛⎝θ⎞⎠

=N4 −3.17 tonf

≔Q4 +⋅⋅1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠cos ⎛⎝θ⎞⎠ ⋅5 tonf sin ⎛⎝θ⎞⎠

=Q4 4.50 tonf

≔M4 −⋅⋅−1 ――tonf

m―――

2 m

cos ⎛⎝θ⎞⎠1 m ⋅5 tonf ⎛⎝ ⋅2 m tan ⎛⎝θ⎞⎠⎞⎠

=M4 −8.08 ⋅tonf m