MA211 - Lista 04Regra da Cadeia, Derivadas

Direcionais e Vetor Gradiente

12 de setembro de 2016

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. F ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t,onde

z = sen θ cosφ, θ = st2, φ = s2t.

Solucao: Utilizando a Regra de Cadeia, obtemos

∂z

∂s=

∂z

∂θ

∂θ

∂s+∂z

∂φ

∂φ

∂s

= (cos θ cosφ)(t2) + (sen θ(− senφ))(2st)

= t2 cos(st2) cos(s2t)− 2st sen(st2) sen(s2t)

e

∂z

∂t=

∂z

∂θ

∂θ

∂t+∂z

∂φ

∂φ

∂t

= (cos θ cosφ)(2st) + (sen θ(− senφ))(s2)

= 2st cos(st2) cos(s2t)− s2 sen(st2) sen(s2t).

2. � (Prova, 2008) Seja g(x, y) = f(x2 + y2), onde f : R → R e uma funcaodiferenciavel. Mostre que

y∂g

∂x− x∂g

∂y= 0.

Solucao: Observe que f e uma funcao de uma variavel. Logo, utilizando aRegra da Cadeia para funcoes de uma variavel, obtemos

∂g

∂x(x, y) = f ′(x2 + y2)(2x)

e∂g

∂y(x, y) = f ′(x2 + y2)(2y).

Portanto

y∂g

∂x− x∂g

∂y= 0.

1

3. F (Prova, 2014) Considere a funcao

f(x, y) =

{x+ y, se xy = 0,

1, caso contrario.

Mostre que f nao possui derivada direcional em (0, 0) na direcao de um vetorv = (a, b) com a2 + b2 = 1 e ab 6= 0.

Solucao: Seja v = (a, b) um vetor unitario (isto e, a2 + b2 = 1), em queab 6= 0. A derivada direcional em (0, 0) na direcao do vetor unitario v existese o limite

limh→0

f(0 + ah, 0 + bh)− f(0, 0)

h

existir. Para h 6= 0, temos (ah)(bh) 6= 0. Logo f(ah, bh) = 1. Assim, o limiteem questao se reduz a

limh→0

1

h,

e esse limite nao existe. Como o vetor v satisfazendo as hipoteses foi tomadoarbitrariamente, concluımos que f nao possui derivada direcional em (0, 0)na direcao de nenhum vetor v = (a, b) que satisfaca a2 + b2 = 1 e ab 6= 0.

4. � ([1], secao 14.6) Suponha que em uma certa regiao do espaco o potencialeletrico V seja dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.

a) Determine a taxa de variacao do potencial em P = (3, 4, 5) na direcao dovetor v = i + j− k.

b) Em que direcao V varia mais rapidamente em P?

c) Qual a taxa maxima de variacao em P?

Solucao:

a) Queremos determinar o valor de Duf(P ), em que u e o vetor unitarioque tem mesma direcao de v, isto e, u = 1√

3(1, 1,−1). Como V e dife-

renciavel, segue que Duf(P ) = ∇V (P ) · u. Observe que∇V (x, y, z) = (10x−3y+yz,−3x+xz, xy). Logo ∇V (P ) = (38, 6, 12).Portanto,

Duf(P ) = ∇V (P ) · u = (38, 6, 12) · 1√3

(1, 1,−1) =32√

3

3.

b) A direcao em que V varia mais rapidamente no ponto P e a direcao dogradiente de V no ponto P , isto e, na direcao de ∇V (P ) = (38, 6, 12).Observe que aqui nao e necessario normalizar o vetor, pois o exercıciopede apenas a direcao.

c) A taxa de variacao maxima e |∇V (P )| = 2√

406.

2

EXERCICIOS PROPOSTOS

5. � ([1], secao 14.5) Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.

a) z = x2y + xy2, x = 2 + t2, y = 1− t3.b) z =

√x2 + y2, x = e2t, y = e−2t.

c) F z = senx cos y, x = πt, y =√t.

d) z = tg−1(x/y), x = et, y = 1− e−t.e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.

6. � ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t.

a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sen t.

b) z = arcsen(x− y), x = s2 + t2, y = 1− 2st.

d) z = ex+2y, x = s/t, y = t/s.

e) z = er cos θ, r = st, θ =√s2 + t2.

f) z = tg(u/v), u = 2s+ 3t, v = 3s− 2t.

7. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde f e diferenciavel, e

x = g(t)

g(3) = 2

g′(3) = 5

fx(2, 7) = 6

y = h(t)

h(3) = 7

h′(3) = −4

fy(2, 7) = −8,

determine dz/dt quando t = 3.

8. ([1], secao 14.5) Seja W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), onde F , u e v sao dife-renciaveis, e

u(1, 0) = 2

us(1, 0) = −2

ut(1, 0) = 6

Fu(2, 3) = −1

v(1, 0) = 3

vs(1, 0) = 5

vt(1, 0) = 4

Fv(2, 3) = 10.

Determine Ws(1, 0) e Wt(1, 0).

9. ([1], secao 14.5) Utilize um diagrama em arvore para escrever a Regra daCadeia para o caso dado. Suponha que todas as funcoes sejam diferenciaveis.

a) w = f(r, s, t), onde r = r(x, y), s = s(x, y), t = t(x, y).

b) t = f(u, v, w), onde u = u(p, q, r, s), v = v(p, q, r, s), w = w(p, q, r, s).

3

10. � ([1], secao 14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadasparciais indicadas.

a) F z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ uew;∂z

∂u,

∂z

∂v,

∂z

∂wquando u = 2, v = 1, w = 0.

b) u =√r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t;

∂u

∂x,

∂u

∂y,

∂u

∂tquando x = 1, y = 2, t = 0.

c) Y = w tg−1(uv), u = r + s, v = s+ t; w = t+ r∂Y

∂r,

∂Y

∂s,

∂Y

∂tquando r = 1, s = 0, t = 1.

11. ([1], secao 14.5) Utilize a Equacao 6 Secao 14.5 de [1] para determinar dy/dx.

a)√xy = 1 + x2y

b) cos(x− y) = xey

12. ([1], secao 14.5) Utilize as Equacoes 7 Secao 14.5 de [1] para determinar∂z/∂x e ∂z/∂y.

a) x2 + y2 + z2 = 3xyz

b) xyz = cos(x+ y + z)

c) yz = ln(x+ z)

13. ([1], secao 14.5) A temperatura em um ponto (x, y) e T (x, y), medida emgraus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posicao depois de t se-

gundos seja dada por x =√

1 + t e y = 2 +1

3t, onde x e y sao medidas

em centımetros. A funcao temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3.Quao rapido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de tressegundos?

14. F ([1], secao 14.5) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixavariam com o tempo. Em certo instante, as dimensoes da caixa sao l = 1 me w = h = 2 m. l e w aumentam a uma taxa de 2 m/s, ao passo que hdiminui a uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quaisas seguintes quantidades estao variando.

a) O volume.

b) A area da superfıcie.

c) O comprimento da diagonal.

15. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ,

a) Determine∂z

∂re∂z

∂θ.

b) Mostre que

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

=

(∂z

∂r

)2

+1

r2

(∂z

∂θ

)2

.

4

16. ([1], secao 14.5) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = es sen t, mostre que(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

= e−2s[(

∂u

∂s

)2

+

(∂u

∂t

)2].

17. ([1], secao 14.5) Se z = f(x− y), mostre que

∂z

∂x+∂z

∂y= 0.

18. � ([1], secao 14.5) Mostre que qualquer funcao da forma

z = f(x+ at) + g(x− at)

e uma solucao da equacao de onda

∂2z

∂t2= a2

∂2z

∂x2.

(Sugestao: Tome u = x+ at, v = x− at.)

19. ([1], secao 14.5) Se z = f(x, y), onde x = r2 + s2 e y = 2rs, determine∂2z/∂r∂s. (Compare com o Exemplo 7, Secao 14.5 de [1].)

20. ([1], secao 14.5) Suponha que a equacao F (x, y, z) = 0 defina implicitamentecada uma das tres variaveis x, y e z como funcao das outras duas: z = f(x, y),y = g(x, y) e x = h(y, z). Se F for diferenciavel e Fx, Fy e Fz forem todasnao nulas, mostre que

∂z

∂x

∂x

∂y

∂y

∂z= −1.

21. ([2], secao 12.1) Calcule dz/dt pelos dois processos descritos no Exemplo 2,Secao 12.1 de [2].

a) z = sen(xy), x = 3t e y = t2.

b) z = x2 + 3y2, x = sen t e y = cos t.

c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen 3t e y = cos 3t.

22. � ([2], secao 12.1) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).

a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .

b) Calcule g′(0) admitindo

∂f

∂x(0,−1) =

1

3.

5

23. ([2], secao 12.1) Expresse ∂z/∂t em termos das derivadas parciais de f , sendoz = f(x, y) e

a) x = t2 e y = 3t.

b) x = sen 3t e y = cos 2t.

24. ([2], secao 12.1) Suponha que, para todo t, f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que

∂f

∂x(1, 2) = −∂f

∂y(1, 2).

25. ([2], secao 12.1) Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctg(x).

a) Calcule∂f

∂x(3, 1) admitindo

∂f

∂y(3, 1) = 2.

b) Determine a equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)).

26. � ([2], secao 12.1) Admita que, para todo (x, y),

4y∂f

∂x(x, y)− x ∂f

∂y(x, y) = 2.

Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sen t).

27. � ([2], secao 12.1) Admita que, para todo (x, y),

4y∂f

∂x(x, y)− x ∂f

∂y(x, y) = 0.

Prove que f e constante sobre a elipsex2

4+ y2 = 1.

28. ([2], secao 12.1) Seja z = f(u + 2v, u2 − v). Expresse ∂z/∂u e ∂z/∂v emtermos das derivadas parciais de f .

29. ([2], secao 12.1) Seja z = f(u− v, v − u). Verifique que

∂z

∂u+∂z

∂v= 0.

30. ([2], secao 12.1) Considere a funcao F (x, y) = f

(x

y,y

x

). Mostre que

x∂F

∂x+ y

∂F

∂y= 0.

31. ([2], secao 12.1) f(t) e g(x, y) sao funcoes diferenciaveis tais que g(t, f(t)) = 0

para todo t. Suponha f(0) = 1,∂g

∂x(0, 1) = 2 e

∂g

∂y(0, 1) = 4. Determine a

equacao da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).

6

32. ([2], secao 12.1) f(x, y, z) e g(x, y) sao funcoes diferenciaveis tais que, paratodo (x, y) no domınio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0. Suponha g(1, 1) = 3,∂f

∂x(1, 1, 3) = 2,

∂f

∂y(1, 1, 3) = 5 e

∂f

∂z(1, 1, 3) = 10. Determine a equacao do

plano tangente ao grafico de g no ponto (1, 1, 3).

33. � ([2], secao 12.1) Seja g(t) = f(3t2, t3, e2t) e suponha∂f

∂z(0, 0, 1) = 4.

a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f.

b) Calcule g′(0).

34. � ([2], secao 12.2) Mostre que cada uma das equacoes a seguir define implici-tamente pelo menos uma funcao diferenciavel y = y(x). Expresse dy/dx emtermos de x e y.

a) x2y + sen(y) = x

b) y4 + x2y2 + x4 = 3

35. ([2], secao 12.2) Mostre que cada uma das equacoes a seguir define implici-tamente pelo menos uma funcao diferenciavel z = z(x, y). Expresse ∂z/∂x e∂z/∂y em termos de x, y e z.

a) ex+y+z + xyz = 1

b) x3 + y3 + z3 = x+ y + z

36. ([2], secao 12.2) A funcao diferenciavel z = z(x, y) e dada implicitamente pela

equacao f

(x

y, z

)= 0, onde f(u, v) e suposta diferenciavel e

∂f

∂v(u, v) 6= 0.

Verifique que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 0.

37. ([2], secao 12.2) A funcao diferenciavel z = z(x, y) e dada implicitamente

pela equacao f

(x

y,z

xλ

)= 0 (λ 6= 0 um numero real fixo), onde f(u, v) e

suposta diferenciavel e∂f

∂v(u, v) 6= 0. Verifique que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= λz.

7

38. ([3], secao 11.4) Nos itens abaixo: (i) expresse dw/dt como uma funcao det, usando a Regra da Cadeia, expressando w em termos de t e diferenciandoem relacao a t; (ii) calcule dw/dt no valor dado de t.

a) w = x2 + y2, x = cos t, y = sen t; t = π.

b) w = x2 + y2, x = cos t+ sen t, y = cos t− sen t; t = 0.

39. ([3], secao 11.4) Nos itens abaixo: (i) expresse ∂w/∂u e ∂w/∂v como funcoesde u e v, usando a Regra da Cadeia e tambem expressando w diretamenteem termos e u e v antes de diferenciar; (ii) calcule ∂w/∂u e ∂w/∂v no pontodado (u, v).

a) w = xy+yz+xz, x = u+v, y = u−v, z = uv; (u, v) = (1/2, 1).

b) w = ln(x2 + y2 + z2), x = uev senu, y = uev cosu, z = uev;(u, v) = (−2, 0).

40. � ([3], secao 11.4) Encontre os valores de ∂z/∂x e ∂z/∂y nos pontos indica-dos.

a) z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0, (1, 1, 1).

b)1

x+

1

y+

1

z− 1 = 0, (2, 3, 6).

41. ([3], secao 11.4) Encontre ∂w/∂r quando r = 1, s = −1 se w = (x+ y + z)2,x = r − s, y = cos(r + s), z = sen(r + s).

42. ([3], secao 11.4) Se f(u, v, w) e diferenciavel, u = x−y, v = y−z e w = z−x,mostre que

∂f

∂x+∂f

∂y+∂f

∂z= 0.

43. � ([3], secao 11.4) Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θe y = r sen θ em uma funcao diferenciavel w = f(x, y).

a) Mostre que∂w

∂r= fx cos θ + fy sen θ

e1

r

∂w

∂θ= −fx sen θ + fy cos θ.

b) Resolva as equacoes no item (a) para expressar fx e fy em termos de∂w/∂r e ∂w/∂θ.

c) Mostre que

(fx)2 + (fy)

2 =

(∂w

∂r

)2

+1

r2

(∂w

∂θ

)2

.

8

44. ([5], secao 16.5) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentama razao de 0, 01 cm/min e 0, 02 cm/min, respectivamente.

a) Ache a taxa de variacao do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm.

b) A que taxa a area da superfıcie curva esta variando nesse instante?

45. ([5], secao 16.5) Os lados iguais e o angulo correspondente de um trianguloisosceles estao aumentando a razao de 3 cm/h e 2◦/h, respectivamente. Achea taxa a qual a area do triangulo esta aumentando no instante em que o com-primento de cada um dos lados iguais e de 6 metros e o angulo correspondentee 60◦.

46. ([5], secao 16.5) Quando o tamanho das moleculas e suas forcas de atracaosao levadas em conta, a pressao P , o volume V e a temperatura T de ummol de gas confinado estao relacionados pela equacao de van der Waals(

P +a

V 2

)(V − b) = kT,

em que a, b e k sao constantes positivas. Se t e o tempo, estabeleca umaformula para dT/dt em termos de dP/dt, dV/dt, P e V .

47. ([5], secao 16.5) Suponha que u = f(x, y) e v = g(x, y) verifiquem as equacoesde Cauchy- Riemann ux = vy e uy = −vx. Se x = r cos θ e y = r sen θ, mostreque

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θe

∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ.

48. (Prova, 2010) Suponha que w = f(x, y) e diferenciavel e que exista umaconstante α tal que

x = u cos(α)− v sen(α)

y = u sen(α) + v cos(α).

Mostre que (∂w

∂u

)2

+

(∂w

∂v

)2

=

(∂w

∂x

)2

+

(∂w

∂y

)2

.

49. � (Teste, 2013) Se z = f(x, y) com x = u+ v e y = u− v, demonstre que

∂z

∂u+∂z

∂v= 2

∂f

∂x.

50. ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e nadirecao indicada pelo angulo θ.

a) f(x, y) = x2y3 − y4, (2, 1), θ = π/4.

b) f(x, y) = ye−x, (0, 4), θ = 2π/3.

9

51. � ([1], secao 14.6) Nos itens (a) - (d): (i) determine o gradiente de f ; (ii)calcule o gradiente no ponto P ; e (iii) determine a taxa de variacao de f emP na direcao do vetor u.

a) F f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), u =(

513, 1213

).

b) f(x, y) = y lnx, P = (1,−3), u =(−4

5, 35

).

c) f(x, y, z) = xe2yz, P = (1,−3), u =(23,−2

3, 13

).

d) f(x, y, z) =√x+ yz, P = (1, 3, 1), u =

(27, 37, 67

).

52. � ([2], secao 11.5) Calcule ∇f(x, y).

a) f(x, y) = x2y

c) f(x, y) =x

y

b) f(x, y) = ex2−y2

d) f(x, y) = arctgx

y

53. � ([2], secao 11.5) Defina gradiente de uma funcao de tres variaveis. Calcule∇f(x, y, z).

a) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2

c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + 1)z2

b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

d) f(x, y, z) = z arctgx

y

54. ([4], secao 14.8) Seja f uma funcao de tres variaveis independentes x, y e z.Mostre que Dif = fx, Djf = fy e Dkf = fz.

55. � ([2], secao 13.4) Calcule Duf(x0, y0), sendo dados

a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e u o versor de 2i + j.

b) f(x, y) = ex2−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e u o versor de (3, 4).

c) f(x, y) = arctgx

y, (x0, y0) = (3, 3) e u =

(1√2, 1√

2

).

d) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 1) e u o versor de i + j.

56. � ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional da funcao no ponto dadoe na direcao do vetor v.

a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), v = (4,−3) .

b) g(p, q) = p4 − p2q3, (2, 1), v = (−1, 2) .

c) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v = (5, 1,−2) .

d) f(x, y, z) =√xyz, (3, 2, 6), v = (−1,−2, 2) .

57. ([1], secao 14.6) Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xy+ yz+ zxem P = (1,−1, 3) na direcao de Q = (2, 4, 5).

10

58. (Prova, 2014) Considere o vetor unitario u = (√

3/2, 1/2) e a funcao

f(x, y) =

xy2

x2 + y4, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

a) Determine a derivada direcional Duf(0, 0).

b) Explique por que o produto escalar ∇f(0, 0) · u nao fornece a derivadadirecional de f em (0, 0) na direcao de u.

59. ([3], secao 11.5) Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x2+y2 na direcaodo versor tangente da curva

r(t) = (cos t+ t sen t)i + (sen t− t cos t)j, t > 0.

60. (Prova, 2010) Seja f : R → R uma funcao diferenciavel de uma variavel.Defina

g(x, y) = f(r), r =√x2 + y2.

Calcule a derivada direcional da funcao g no ponto (x, y) 6= (0, 0) e na direcaodo vetor (x, y).

61. � (Prova, 2006) Determine as direcoes em que a derivada direcional da funcaof(x, y) = x2 + senxy no ponto (1, 0) tem valor 1.

62. � ([1], secao 14.6) Determine a taxa de variacao maxima de f no ponto dadoe a direcao em que isso ocorre.

a) f(x, y) =y2

x, (2, 4).

b) f(x, y) = senxy, (1, 0).

c) f(x, y, z) =x+ y

z, (1, 1,−1).

d) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2, (3, 6,−2).

e) f(x, y, z) = tg (x+ 2y + 3z), (−5, 1, 1).

63. ([3], secao 11.5) Existe uma direcao u na qual a taxa de variacao de f(x, y) =x2 − 3xy + 4y2 em P = (1, 2) e igual a 14? Justifique sua resposta.

64. ([1], secao 14.6) Mostre que uma funcao diferenciavel f decresce mais rapi-damente em x na direcao oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direcao de−∇f(x).

11

65. ([2], secao 13.4) Em que direcao e sentido a funcao dada cresce mais rapi-damente no ponto dado? E em que direcao e sentido decresce mais rapida-mente?

a) f(x, y) = x2 + xy + y2 em (1, 1).

b) f(x, y) = ln ||(x, y)|| em (1,−1).

c) f(x, y) =√

4− x2 − 2y2 em

(1,

1

2

).

66. � (Prova, 2010) A superfıcie de um lago e representada por uma regiao Dno plano xy, tal que a profundidade (em pes) sob o ponto correspondente a(x, y) e dada por

f(x, y) = 300− 2x2 − 3y2.

Se um nadador esta no ponto (4, 9), em que direcao deve nadar para que aprofundidade sob ele decresca mais rapidamente?

67. ([2], secao 13.4) Seja f(x, y) = x arctgx

y. Calcule Duf(1, 1), em que u aponta

na direcao e sentido de maximo crescimento de f , no ponto (1, 1).

68. ([1], secao 14.6) Determine todos os pontos nos quais a direcao de maiorvariacao da funcao f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y e i + j.

69. (Prova, 2008) Seja

f(x, y) = x− y sen (π(x2 + y2)).

a) Calcule a derivada direcional de f no ponto (0, 0) na direcao dev = (1/2,

√3/2).

b) Em que direcao a taxa de variacao de f no ponto (0, 0) e maxima? Quale o valor da taxa maxima nesse ponto?

70. (Prova, 2014) Considere a funcao

f(x, y) = ln (x2 + y2).

a) Determine a taxa de variacao maxima de f em (1, 1) e a direcao em queisso ocorre.

b) Determine a derivada direcional de f em (1, 1) na direcao do vetorv = (3, 4).

71. ([1], secao 14.6) A temperatura T em uma bola de metal e inversamenteproporcional a distancia do centro da bola, que tomamos como a origem. Atemperatura no ponto (1, 2, 2) e de 120◦.

a) Determine a taxa de variacao de T em (1, 2, 2) em direcao ao ponto(2, 1, 3).

b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direcao de maior crescimentona temperatura e dada por um vetor que aponta para a origem.

12

72. � ([1], secao 14.6) A temperatura em um ponto (x, y, z) e dada por

T (x, y, z) = 200e−x2−3y2−9z2 ,

em que T e medido em ◦C e x, y e z em metros.

a) Determine a taxa de variacao da temperatura no ponto P = (2,−1, 2)em direcao ao ponto (3,−3, 3).

b) Qual e a direcao de maior crescimento da temperatura em P?

c) Encontre a taxa maxima de crescimento em P .

73. ([1], secao 14.6) Seja f uma funcao de duas variaveis que tenha derivadasparciais contınuas e considere os pontos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7)

e D = (6, 15). A derivada direcional em A na direcao do vetor−→AB e 3,

e a derivada direcional em A na direcao−→AC e 26. Determine a derivada

direcional de f em A na direcao do vetor−−→AD.

74. ([1], secao 14.6) Mostre que a operacao de calcular o gradiente de uma funcaotem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funcoes de x e y,diferenciaveis, e a e b sejam constantes.

a) ∇(au+ bv) = a∇u+ b∇v

c) ∇(uv

)=v∇u− u∇v

v2

b) ∇(uv) = u∇v + v∇ud) ∇un = nun−1∇u

75. ([2], secao 13.1) E dada uma curva γ que passa pelo ponto γ(t0) = (1, 3) ecuja imagem esta contida na curva de nıvel x2+y2 = 10. Suponha γ′(t0) 6= 0.

a) Determine a equacao da reta tangente a γ no ponto (1, 3).

b) Determine uma curva γ(t) satisfazendo as condicoes acima.

76. ([2], secao 13.1) Determine a equacao da reta tangente a curva γ no pontoγ(t0) = (2, 5) sabendo-se que γ′(t) 6= 0 e que sua imagem esta contida nacurva de nıvel xy = 10. Qual a equacao da reta normal a γ, neste ponto?

77. � ([2], secao 13.2) Determine as equacoes do plano tangente e da reta normala superfıcie dada, no ponto dado.

a) x2 + 3y2 + 4z2 = 8, em (1,−1, 1).

b) 2xyz = 3, em

(1

2, 1, 3

).

c) zex−y + z3 = 2 em (2, 2, 1).

d) ([1], secao 14.6) x2 − 2y2 + z2 + yz = 2 em (2, 1,−1).

78. F ([2], secao 13.2) A funcao diferenciavel z = f(x, y) e dada implicitamentepela equacao x3 + y3 + z3 = 10. Determine a equacao do plano tangente aografico de f no ponto (1, 1, f(1, 1)).

79. ([1], secao 14.6) Se g(x, y) = x2+y2−4x, encontre o vetor gradiente ∇g(1, 2)e use-o para encontrar a reta tangente a curva de nıvel g(x, y) = 1 no ponto(1, 2). Esboce a curva de nıvel, a reta tangente e o vetor gradiente.

13

80. ([2], secao 13.1) Determine a equacao da reta tangente a curva de nıvel dada,no ponto dado.

a) x2 + xy + y2 − 3y = 1, em (1, 2).

b) e2x−y + 2x+ 2y = 4, em

(1

2, 1

).

81. (Prova, 2013) Seja g(x, y) = f(x2+y2), em que f e uma funcao diferenciavel.Sabendo que f ′(2) = 1, determine a equacao da reta tangente a curva de nıvelde g que passa pelo ponto (1, 1).

82. � ([1], secao 14.6) Mostre que a equacao do plano tangente ao elipsoidex2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 no ponto (x0, y0, z0) pode ser escrita como

xx0a2

+yy0b2

+zz0c2

= 1.

83. ([2], secao 13.1) Determine uma reta que seja tangente a elipse 2x2 + y2 = 3e paralela a reta 2x+ y = 5.

84. ([2], secao 13.1) Determine uma reta que seja tangente a curva x2+xy+y2 = 7e paralela a reta 4x+ 5y = 17.

85. ([1], secao 14.6) Existem pontos no hiperboloide x2 − y2 − z2 = 1 nos quaiso plano tangente e paralelo ao plano z = x+ y?

86. � (Prova, 2013) Determine os pontos da superfıcie x2 + 2y2 + 3z2 = 1 nosquais o plano tangente e paralelo ao plano 3x− y + 3z = 1.

87. ([2], secao 13.2) Determine um plano que seja tangente a superfıcie x2+3y2+

2z2 =11

6e paralelo ao plano x+ y + z = 10.

88. ([1], secao 14.6) Determine as equacoes parametricas da reta tangente acurva formada pela interseccao do paraboloide z = x2 + y2 com o elipsoide4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2).

89. ([1], secao 14.6)

a) Duas superfıcies sao ditas ortogonais em um ponto de interseccao sesuas normais sao perpendiculares nesse ponto. Mostre que superfıciescom equacao F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 sao ortogonais em um pontoP , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0, se, e somente se, em P ,

FxGx + FyGy + FzGz = 0.

b) Use a parte (a) para mostrar que as superfıcies z2 = x2 + y2 ex2 + y2 + z2 = r2 sao ortogonais em todo ponto de interseccao. Vocepode ver isso sem fazer os calculos?

14

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS

5. a)dz

dt= 4(2xy + y2)3 − 3(x2 + 2xy)t2.

b)dz

dt=

2xe2t − 2ye2t√x2 + y2

.

c)dz

dt= π cos(x) cos(y)− 1

2√t

sen(x) sen(y).

d)dz

dt=xe−t − yet

x2 + y2.

e)dw

dt= e

yz

(2t− x

z− 2xy

z2

).

6. a)∂z

∂s= 2xy3 cos(t) + 3x2y2 sen(t) e

∂z

∂t= −2sxy3 sen(t) + 3sx2y2 cos(t).

b)∂z

∂s=∂z

∂t=

2s+ 2t√1− (x− y)2

.

d)∂z

∂s= ex+st

(1

t− 2t

s2

)e∂z

∂t= ex+st

(2

s− s

t2

).

e)∂z

∂s= er

(t cos(θ)− s√

s2 + t2sen(θ)

)e∂z

∂t= er

(s cos(θ)− t√

s2 + t2sen(θ)

).

f)∂z

∂s=

2u− 3v

v2sec2

(uv

)e∂z

∂t=

2u+ 3v

v2sec2

(uv

).

7.dz

dt(3) = 62.

8. Ws(1, 0) = 52 e Wt(1, 0) = 34.

9. a) Do diagrama:w

r

x y

s

x y

t

x y

tem-se

∂w

∂x=∂w

∂r

∂r

∂x+∂w

∂s

∂s

∂x+∂w

∂t

∂t

∂xe∂w

∂y=∂w

∂r

∂r

∂y+∂w

∂s

∂s

∂y+∂w

∂t

∂t

∂y

b) Do diagrama:

t

u

p q r s

v

p q r s

w

p q r s

15

tem-se

∂t

∂p=∂t

∂u

∂u

∂p+∂t

∂v

∂v

∂p+∂t

∂w

∂w

∂p,∂t

∂q=∂t

∂u

∂u

∂q+∂t

∂v

∂v

∂q+∂t

∂w

∂w

∂q,

∂t

∂r=∂t

∂u

∂u

∂r+∂t

∂v

∂v

∂r+∂t

∂w

∂w

∂re∂t

∂s=∂t

∂u

∂u

∂s+∂t

∂v

∂v

∂s+∂t

∂w

∂w

∂s.

10. a)∂z

∂u= 85,

∂z

∂v= 178,

∂z

∂w= 54.

b)∂u

∂x=

4√10

,∂u

∂y=

3√10

,∂u

∂t=

2√10.

c)∂Y

∂r= 1 +

π

4,

∂Y

∂s= 2,

∂Y

∂t= 1 +

π

4.

11. a)dy

dx=

4(xy)3/2 − yx− 2x2

√xy.

b)dy

dx=

sen(x− y) + ey

sen(x− y)− xey.

12. a)dz

dx=

3yz − 2x

2z − 3xyedz

dy=

3xz − 2y

2z − 3xy.

b)dz

dx=yz + sen(x+ y + z)

xy + sen(x+ y + z)edz

dy=xz + sen(x+ y + z)

xy + sen(x+ y + z).

c)dz

dx=

1

y(x+ z)− 1edz

dy=

z(x+ z)

y(x+ z)− 1.

13. A temperatura aumenta a uma taxa de 2oC/s.

14. a) 6 m3/s.

b) 10 m2/s.

c) 0 m/s.

15. a)∂z

∂r= cos(θ)

∂z

∂x+ sen(θ)

∂z

∂ye∂z

∂θ= −r sen(θ)

∂z

∂x+ r cos(θ)

∂z

∂y.

b) Use (a) para calcular

(∂z

∂r

)2

+1

r2

(∂z

∂θ

)2

.

16. Note que∂u

∂s= es cos(t)

∂u

∂x+es sen(t)

∂u

∂ye

∂u

∂t= −es sen(t)

∂u

∂x+es cos(t)

∂u

∂y.

17. Note que se u = x− y, entao∂z

∂x=dz

due∂z

∂y= −dz

du.

18. Note que se u = x+ at e v = x− at, entao∂2z

∂t2= a2f ′′(u) + a2g′′(v) e

∂2z

∂x2= f ′′(u) + g′′(v).

19.∂2z

∂r∂s= 4rs

∂2z

∂x2+ 4rs

∂2z

∂y2+ (4r2 + 4s2)

∂2z

∂x∂y+ 2

∂z

∂y.

16

20. Note que∂z

∂x= −Fx

Fz,∂x

∂y= −Fy

Fxe∂y

∂z= −Fz

Fy.

21. a)dz

dt(t) = 9t2 cos(3t3).

b)dz

dt(t) = −4 sen(t) cos(t).

c)dz

dt(t) = 0.

22. a) g′(t) = 3∂f

∂x(3t, 2t2 − 1) + 4t

∂f

∂y(3t, 2t2 − 1).

b) g′(0) = 1.

23. a)dz

dt(t) = 2t

∂f

∂x(t2, 3t) + 3

∂f

∂y(t2, 3t).

b)dz

dt(t) = 3 cos(3t)

∂f

∂x(sen(3t), cos(2t))− 2 sen(2t)

∂f

∂y(sen(3t), cos(2t)).

24. Tome t = 1 emdf

dt(t2, 2t) = 2t

∂f

∂x(t2, 2t) + 2

∂f

∂y(t2, 2t) = 3t2 − 3.

25. a)∂f

∂x(3, 1) = −11

6.

b) z − π

4= −11

6(x− 3) + 2(y − 1).

26. g′(t) = −1.

27. Note quedz

dt(t) = 0, para z = f(x, y), x = t e y = ±

√1− t2

4.

28.∂z

∂u(u, v) =

∂f

∂x(u+ 2v, u2 − v) + 2u

∂f

∂y(u+ 2v, u2 − v) e

∂z

∂v(u, v) = 2

∂f

∂x(u+ 2v, u2 − v)− ∂f

∂y(u+ 2v, u2 − v).

29. Note que∂z

∂u(u, v) =

∂f

∂x(u− v, v − u)− ∂f

∂y(u− v, v − u) e

∂z

∂v(u, v) = −∂f

∂x(u− v, v − u) +

∂f

∂y(u− v, v − u).

30. Note que∂F

∂x=

1

y

∂f

∂x

(x

y,y

x

)− y

x2∂f

∂y

(x

y,y

x

)e

∂F

∂y= − x

y2∂f

∂x

(x

y,y

x

)+

1

x

∂f

∂y

(x

y,y

x

).

31. (x, y) = (0, 1) + λ

(1,−1

2

), λ ∈ R.

32. z − 3 = −1

5(x− 1)− 1

2(y − 1).

17

33. a) g′(t) = 6t

∂f

∂x(3t2, t3, e2t) + 3t2

∂f

∂y(3t2, t3, e2t) + 2e2t

∂f

∂z(3t2, t3, e2t).

b) g′(0) = 8.

34. a)dy

dx= − 2xy − 1

x2 + cos(y).

b)dy

dx= −2xy2 + 4x3

4y3 + 2x2y.

35. a)∂z

∂x= −e

x+y+z + yz

ex+y+z + xye

∂z

∂y= −e

x+y+z + xz

ex+y+z + xy.

b)∂z

∂x= −3x2 − 1

3z2 − 1e

∂z

∂y= −3y2 − 1

3z2 − 1.

36. Note que∂z

∂x= −1

y

∂f

∂u

(x

y, z

)(∂f

∂v

(x

y, z

))−1e

∂z

∂y=

x

y2∂f

∂u

(x

y, z

)(∂f

∂v

(x

y, z

))−1.

37. Note que∂z

∂x=λz

x− xλ

y

∂f

∂u

(x

y,z

xλ

)(∂f

∂v

(x

y,z

xλ

))−1e

∂z

∂y=xλ+1

y2∂f

∂u

(x

y,z

xλ

)(∂f

∂v

(x

y,z

xλ

))−1.

38. a) (i)dw

dt(t) = 0.

(ii)dw

dt(π) = 0.

b) (i)dw

dt(t) = 0.

(ii)dw

dt(0) = 0.

39. a) (i) w(u, v) = u2 − v2 + 2u2v,∂w

∂u(u, v) = 2u+ 4uv e

∂w

∂v(u, v) = −2v + 2u2.

(ii)∂w

∂u(−2, 0) = 3 e

∂w

∂v(−2, 0) = −3

2.

b) (i) w(u, v) = ln(2) + 2 ln(u) + 2v,∂w

∂u(u, v) =

2

ue∂w

∂v(u, v) = 2.

(ii)∂w

∂u(−2, 0) = −1 e

∂w

∂v(−2, 0) = 2.

40. a)∂z

∂x(1, 1, 1) =

1

4e∂z

∂x(1, 1, 1) = −3

4.

b)∂z

∂x(2, 3, 6) = −9 e

∂z

∂x(2, 3, 6) = −4.

18

41.∂w

∂r(x(1,−1), y(1,−1), z(−1, 1)) = 12.

42. Note que∂f

∂x=∂f

∂u− ∂f

∂w,∂f

∂y= −∂f

∂u+∂f

∂ve∂f

∂z= −∂f

∂v+∂f

∂w.

43. b) fx = cos(θ)∂w

∂r− sen(θ)

r

∂w

∂θe fy = sen(θ)

∂w

∂r+

cos(θ)

r

∂w

∂θ.

44. a) 0, 88π cm3/min.

b) 0, 3π cm2/min.

45. ≈ 181559 cm2/h.

46.dT

dt=

1

k

((dP

dt− 2a

V 3

dV

dt

)(V − b) +

(P +

a

V 2

) dVdt

).

47. Note que∂u

∂r= cos(θ)ux + sen(θ)uy,

∂v

∂r= cos(θ)vx + sen(θ)vy,

∂u

∂θ= −r sen(θ)ux + r cos(θ)uy e

∂v

∂θ= −r sen(θ)vx + r cos(θ)vy.

48. Note que∂w

∂u= cos(α)

∂w

∂x+ sen(α)

∂w

∂ye∂w

∂v= − sen(α)

∂w

∂x+ cos(α)

∂w

∂y.

49. Note que∂z

∂u=∂f

∂x+∂f

∂ye∂z

∂v=∂f

∂x− ∂f

∂y.

50. a) 6√

2.

b) 2 +√32.

51. a) (i) ∇f(x, y) = (5y2 − 12x2y, 10xy − 4x3).

(ii) ∇f(1, 2) = (−4, 16).

(iii)172

13.

b) (i) ∇f(x, y) = (y/x, ln(x)).

(ii) ∇f(1,−3) = (−3, 0).

(iii)12

5.

c) (i) ∇f(x, y, z) = (eyz, 2xze2yz, 2xye2yz).

(ii) ∇f(3, 0, 2) = (1, 12, 0).

(iii) −22

3.

d) (i) ∇f(x, y, z) =

(1

2√x+ yz

,z

2√x+ yz

,y

2√x+ yz

).

(ii) ∇f(1, 3, 1) =

(1

4,1

4,3

4

).

(iii)23

28.

52. a) ∇f(x, y) = (2xy, x2).

19

b) ∇f(x, y) = ex2−y2(2x,−2y).

c) ∇f(x, y) =

(1

y,− x

y2

).

d) ∇f(x, y) =

(y

x2 + y2,− x

x2 + y2

).

53. a) ∇f(x, y, z) =1√

x2 + y2 + z2(x, y, z).

b) ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z).

c) ∇f(x, y, z) = (x2+y2+1)z2−1 (2xz2, 2yz2, 2z(x2 + y2 + 1) ln(x2 + y2 + 1)

).

d) ∇f(x, y, z) =

(yz

x2 + y2,− xz

x2 + y2, arctan

(x

y

)).

54. Lembre que i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) e Duf = ∇f · u.

55. a) D(2,1)f(1, 2) = −8

5.

b) D(3,4)f(1, 1) = −2

5.

c) D(1√2, 1√

2

)f(3, 3) = 0.

d) D(1,1)f(1, 1) =√

2.

56. a)23

10.

b) −4√

10

5.

c)4√30.

d) −1.

57.22√30.

58. a)

√3

6.

b) Pois f nao e diferenciavel em (0, 0), ja que nao e contınua nesse ponto.

59. Versor tangente a r(t) : u = cos(t)i + (sen(t))j; Duf = 2.

60. (f ′(r))2.

61. As direcoes sao dadas pelos vetores (1, 0) e

(4

5,−3

5

).

62. a) 4√

2.

b) 1.

c)√

6.

20

d) 1.

e)√

14.

63. Nao, ja que |∇f(1, 2)| =√

185 < 14.

64. Se u e um versor e θ e o angulo entre ∇f e u, entao

Duf = ∇f · u = |∇f ||u| cos(θ) = |∇f | cos(θ).

O valor mnimo de cos(θ) e −1 e isto ocorre quando θ = π. Portanto o valormınimo de Duf e −|∇f | e ocorre quando θ = π, ou seja, quando u tem adirecao oposta a de ∇f.

65. a) Cresce: (3, 3); descresce: (−3,−3).

b) Cresce: (1,−1); descresce: (−1, 1).

c) Cresce: (−1,−1); descresce: (1, 1).

66. Na direcao dada pelo vetor (16, 54).

67. Duf(1, 1) =

√(π

4+

1

2

)2

+1

4.

68. {(x, y) ∈ R2; y = x+ 1} .

69. a)1

2.

b) Na direcao do vetor (1, 0). O valor da taxa maxima e 1.

70. a) Na direcao do vetor (1, 1). O valor da taxa maxima e√

2.

b)7

5.

71. a) − 40

3√

3.

b) Note que ∇T = −360(x2 + y2 + z2)−3/2(x, y, z) sempre aponta para aorigem.

72. a)5200√

6

3e43oC/m.

b) 400e−43(−2, 3,−18).

c) 400e−43√

337 oC/m.

73.327

13.

74. Pelas propriedades analogas para derivadas parciais e a linearidade de veto-res, os quatro itens sao validos.

75. a) (x, y) = (1, 3) + λ(−6, 2), λ ∈ R.b) γ(t) = (

√10 cos(t),

√10 sen(t)).

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76. Reta tangente: (x, y) = (2, 5) + λ(−2, 5), λ ∈ R,Reta normal: (x, y) = (2, 5) + λ(5, 2), λ ∈ R.

77. a) Plano tangente: x− 3y + 4z = 8,Reta normal: (x, y, z) = (1,−1, 1) + λ(2,−6, 8), λ ∈ R.

b) Plano tangente: 6x+ 3y + z = 9,Reta normal: (x, y, z) =

(12, 1, 3

)+ λ(6, 3, 1), λ ∈ R.

c) Plano tangente: x− y + 4z = 4,Reta normal: (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1,−1, 4), λ ∈ R.

d) Plano tangente: 4x− 5y − z = 4,Reta normal: (x, y, z) = (2, 1,−1) + λ(4,−5,−1), λ ∈ R.

78. x+ y + 4z = 10.

79. ∇g(1, 2) = (1, 2) = (−2, 4); reta tangente a curva de nıvel g(x, y) = 1 em(1, 2): −x+ 2y = 3.

80. a) y − 2 = −2(x− 1).

b) y = −4x+ 3.

81. x+ y = 2.

82. Note que se F (x, y, z) = x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 − 1, entao

∇F (x0, y0, z0) = 2(x0a2,y0b2,z0c2

)e a equacao do plano tangente em (x0, y0, z0) e

∇F (x0, y0, z0) · (x, y, z) = ∇F (x0, y0, z0) · (x0, y0, z0) = 2.

83. y = −2x+ 3 ou y = −2x− 3.

84. y − 2 = −4

5(x− 1) ou y + 2 = −4

5(x+ 1).

85. Nao.

86.

(3√

2

5,− 1

5√

2,

√2

5

)e

(−3√

2

5,

1

5√

2,−√

2

5

).

87. x+ y + z =11

6ou x+ y + z = −11

6.

22

88. (x, y, z) = (−1, 1, 2) + λ(−10,−16,−12), λ ∈ R.

89. a) Note que a direcao da normal de F e dada por ∇F, a de G por ∇G e queduas normais em P sao perpendiculares se ∇F · ∇G = 0.

b) Tome F = x2 + y2− z2, G = x2 + y2 + z2− r2 e verifique (a). Para “ver”isso sem calcular, note que F = 0 e a equacao de um cone circularcom vertice na origem e G = 0 e a equacao de uma esfera centrada naorigem.

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Referencias

[1] J. Stewart. Calculo, Volume 2, 6a Edicao, Sao Paulo, Pioneira/ Thomson Le-arning.

[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Calculo, Volume 2, 5a Edicao, Rio de Janeiro,2002.

[3] G. B. Thomas. Calculo, Volume 2, 10a edicao, Sao Paulo, Addison-Wesley/Pearson, 2002.

[4] C. H. Edwards Jr; D. E. Penney. Calculo com Geometria Analıtica, Volumes 2e 3, Prentice Hall do Brasil, 1997.

[5] E. W. Swokowski, Calculo com Geometria Analıtica, Volume 2, 2a Edicao,Markron Books, 1995.

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