I. Cmpul electricI.1. Cmpul electric n vid departe de conductori I.1. ntr-o sfer dielectric cu raza a densitatea volumetric de sarcin variaz cu raza conform relaiei, (r ) = 6 + 2 r 2 C/m3. Calculai valoarea medie a densitii de sarcin electric din sfer. Soluie Conform definiiei valorii medii, mediu =

1 V

dV

,

unde, n coordonate sferice, d V = r 2 sindrdd i V =

4 3 r . Astfel, 3

mediu =

3 6 + 2r 2 ) r 2sindrdd = 3 ( 4a

=

3 (6 + 2r 2 )r 2 dr sind d = 6 + 1,2a 2 C/m3. 4 a 3 0 0 0

a

2

I.2. Un conductor liniar de lungime a este ncrcat electric neuniform cu o

sarcin cu densitatea liniara a l = 0 1 cos x , pentru x . 2 2 a

Calculai: a). sarcina electric total de pe conductor; b) densitatea liniar medie a sarcinii electrice.

2

Soluie a). Conform definiiei, sarcina electric este egal cu

q=

lungimea conductorului

l d l = 0

2 1 cos x dx = 0 a 1 . a a 2

a 2

b). Conform definiiei valorii medii, mediu q 1 2 1 2 = = l d l = 0 a 1 = 0 1 . a a a 2 a a 2

I.3. Densitatea de sarcin electric superficial de pe un strat sferic de raz a

are expresia: = 0 sin , unde este coordonata unghiular uzual ( [ 0, ] ), iar

0 este o constant. Calculai sarcina electric total distribuit pe suprafaa stratului sferic.Soluie

Conform relaiei de definiie a densitii superficiale de sarcin electric,

q = dS = 0sin a 2sin d d = 0 a 2 d sin 2 d =0 0

2

= 0 a 2 0 .

2

1 1 1 (1 cos2 ) d = 0 a 2 2 sin 2 0 = 0 2 a 2 . 2 2 2 0

I.4. ntr-o sfer izolatoare cu raza R sarcina electric este distribuit izotrop.

Densitatea volumetric de sarcin variaz cu distana r fa de centrul sferei conform

relaiei,

r2 0 1 2 , pentru r < R R . = 0, pentru r R Calculai

3

a). sarcina electric total din sfer; b). valoarea medie a densitii volumetrice de sarcin electric din sfer. Soluie a). Conform definiiei, sarcina electric este egal cu q=R r2 8 dV = 0 1 2 4r 2dr = 0 R 3 . 15 R volumul 0

sferei

b). Conform definiiei valorii medii a densitii de sarcin electric,mediu = 1 V

dV = V

q

=

8 3 2 0 R 3 = 0 , 15 4R 3 5

unde V =

4 3 r . 3

I.5. n atomul de hidrogen sarcina electronic are o distribuie sferic

omogen, cu densitatea 2r , r (r )= C exp a0

unde a0 = 52,9 pm este o constant (prima raz Bohr), iar r este distana de la un punct oarecare din volumul sferei la centrul acesteia. Calculai constanta C astfel nct sarcina electronic s fie egal cu

q= - e.

SoluieConform relaiei de definiieR 2r dV = C exp 4r 2dr . a0 volumul 0

q = e =

sferei

Integrm prin pri,

4

a0 2 2r 2r e = 4C r exp + a0 exp rdr = a0 0 a0 2 0

2r = 4Ca0 exp rdr = a0 0 a 2r 2r a 3 = 4Ca0 r 0 exp + 0 exp dr = Ca0 , a0 0 2 0 a0 2

de unde C= e , 3 a0 2r e . exp 3 p a0 a0

iar

r (r )= -

I.6. Densitatea volumetric de sarcin electric a unui strat sferic de raz

R i grosime a are expresiaa a 0 , pentru R 2 < r < R + 2 . = 0, n rest a). Determinai expresia sarcinii electrice totale n funcie de raportul a ; R

b). n ce condiii distribuia de sarcin considerat este superficial i care este n acest caz densitatea superficial medie de sarcin? Soluie a). Conform relaiei de definiie a densitii volumetrice de sarcin electric,3 3 4 a a q = dV = 0 4r dr = 0 R + R = 3 2 2 volumul Ra 2

R+a 2

2

stratului sferic

a2 = 40 aR 2 1 + . 2 12 R

5

b). Distribuia de sarcin electric poate fi considerat superficial dac a a . b) Calculai vectorul for exercitat de distribuia de sarcin q0 asupra lui q. c) Artai c dac ra , modulul forei este aproximativ egal cu qq0 4 0 r 2

.

Justificai de ce se obine acest rezultat. Soluie Considerm un element de lungime dx, aflat la distana x < a de origine, care este ncrcat cu sarcina d q = d x , unde este densitatea liniar de sarcin electric (fig. I.23a), adic= q0 q , de unde d q = 0 d x . a a

Sarcina infinitezimal dq se afl la distana d = a + r x de sarcina q i are o contribuie la intensitatea cmpului electric produs de distribuia de sarcin q0 n punctul de abscis x = a + r , egal cudE = dq 4 0 d2

=

q0 dx 4 0 a (a + r x )2

24

care este orientat pe direcia axei Ox.

Fig. I.23a Deci vectorul intensitate cmp electric produs de toat distribuia de sarcin q0 n punctul de abscis x = a + r , va fi egal cuE = ux q0 4 0 aa

(a + r x )20

dx

Pentru calculul integralei facem schimbarea de variabil u = a + r x , adic

du = d x .Limitele de integrare devin: la x = 0, u1 = a + r i la x = a, u2 = r . Deci

q0 du q 1 q E = ux r u 2 = ux 400a u = 40r (0a + r ) ux 40 a a+ a+rb) Fora exercitat de distribuia de sarcin q0 asupra lui q va fi egal cu

r

a

F=

qq0 ux = 40 r (a + r )

qq0 u a x 2 40 r 1 + r

c) Dac

a a a . 3 0 r 2 3 0 r

V 2 = E dr =

Pentru a determina cele dou constante punem condiia ca n r = 0 , V1 = 0 , astfel c C1 = 0 . Cele dou expresii trebuie s fie egale n r = a , adic

V1 (a ) = V2 (a ) , sau

a2 a3 a 2 = + C 2 , de unde C 2 = . 6 0 3 0 a 2 0

Prin urmare,

r2 , r a 6 . V (r ) = 2 0 a a 1 , r > a 0 3r 2

n figura I.41a este reprezentat dependena V (r ) .

41

Fig. I.41a

I.42. Trei sarcini electrice q , 2q i q sunt aezate n vrfurile unui

triunghi dreptunghic isoscel ca cel din figura I.42. a). Calculai potenialul electric produs de cele trei sarcini electrice n punctul P aflat la jumtatea ipotenuzei triunghiului dreptunghic isoscel. b). Calculai energia potenial nmagazinat n sistemul de sarcini electrice. Considerai c V ( ) = 0 . Care este semnificaia semnului rspunsului obinut? c). A patra sarcin electric egal cu +3q este adus de la infinit pn n punctul P. Calculai lucrul mecanic efectuat. Care este semnificaia semnului rspunsului obinut?

Fig. I.42

42

Soluiea). VP =

q40 a 2 2

+

2q 4 0 a 2 2

q4 0 a 2 2

=

q . 2 0 a

b). W =

1 q1q2 q1q3 q2 q3 + + , unde q1 = q , q2 = 2q , q3 = q , r12 = a , r13 r23 4 0 r12

r23 = a i r13 = a 2 . Astfel, W=1 2q 2 q2 2q 2 q2 . = a 4 0 a a 2 4 2 0 a

Semnul minus are semnificaia faptului c lucrul mecanic este efectuat asupra celui care formeaz ansamblul de sarcini electrice aducndu-le de la infinit pn n poziiile ocupate de acestea. c). L = 3qV = 3q 2 . 2 0 a

Semnul plus are semnificaia faptului c lucrul mecanic este efectuat asupra ansamblului de sarcini electrice de ctre cel care aduce sarcinile electrice de la infinit pn n poziiile ocupate de acestea.

I.43. n figura I.43 este reprezentat dependena potenialului electric produs

de un ansamblu de sarcini electrice de coordonata z .

Fig. I.43

43

Potenialul electric nu depinde de coordonatele x i y . n intervalul 1 z 1 , potenialul electric variaz conform relaiei, V ( z ) = 15 5 z 2 . n afara acestui interval potenialul variaz liniar cu z . a). Stabilii dependena de z a intensitii cmpului electric n domeniul 1 z 1 . b). Calculai componenta Ez pentru z > 1 . c). Calculai componenta Ez pentru z < 1 . d). Reprezentai grafic rezultatele obinute la punctele a, b i c.

Soluiea). n intervalul 1 z 1 , E z = V = 10 z . z

b). Pentru z > 1 , conform figurii I.43, V ( z ) = 20 10 z , n uniti S.I. Astfel,

Ez =

V V = 10 . z m c). Pentru z < 1 , conform figurii I.43, V ( z ) = 20 + 10 z , n uniti S.I.

Astfel, Ez =

V V = 10 . z m

d). n figura I.43a este reprezentat ntreaga dependen a lui Ez de z .

Fig. I.43a

44

I.44. a). Calculai potenialul cmpului electric generat de patru sarcini

identice q dispuse pe laturile unui ptrat de latur 2a (vezi figura I.44), n punctul M al planului xOy aflat n apropierea punctului O, astfel nct x y .Soluie a). Considerm un element dx din lungimea barei, aflat la distana x de mijlocul barei i care este ncrcat cu sarcina electric dq = dx , ca n figura I.48. Coordonatele elementului dx sunt ( x,0) , iar ale punctului P sunt (0, y ) , astfel c distana de la elementul dx la punctul P este egal cu dq contribuie la potenialul electric din punctul P cu dVP = dx dq = . 40 r 40 x 2 + y 2 x 2 + y 2 . Sarcina

Potenialul electric n punctul P generat de sarcina electric de pe toat bara va fi egal cu

49

VP ( y ) =

dx 2 2 2 x 2 + y 2 = 40 ln x + x + y 40 l l + 2 = ln 4 0 l + 2 2 l + y2 2 . 2 l 2 +y 2

l2

(

)

l2 l 2

=.

Fig. I.48

Fig. I.48a , n 40

b). n figura I.48a este reprezentat funcia V ( y ) V0 , unde V0 = funcie de y l . c). Dac l >> y , expresia potenialului electric n punctul P devine l+ 2 VP ( y ) = ln 40 l + 2 2 2 l 2 1+ 1+ 2y +y 2 l = ln 4 2 2 0 l 2 1 + 1 + 2 y +y 2 l

l l ln = ln , 4 0 y 2 0 y 2 2

2

unde am folosit dezvoltarea

1 2y 2 y2 2y 1 + 1 + = 1 + 2 i am considerat c 2 l l l

2+

2 y2 y 2 , deoarece > R i comparai cu rezultatul obinut n problema I.19.

Fig. I.49 Soluie a). Considerm un element de lungime de arc de cerc dl = Rd pe care se afl sarcina electric dq = dl = Rd . Contribuia acestei sarcini electrice la potenialul electric din punctul P este dVP = dq Rd = . 4 0 r 40 R 2 + z 2

Potenialul electric n punctul P generat de sarcina electric de pe ntregul inel va fi egal cu

51

VP ( y ) = unde q = 2R .

R 40 R + z2 2

2

d = 40

2R0

R +z2

2

=

q 40 R 2 + z 2

,

La limita z >> R , expresia potenialului electric n punctul P devine identic cu cea pentru o sarcin electric punctual, VP ( y ) q . 4 0 z

b). Vectorul intensitate cmp electric va avea component doar dup direcia z din cauza simetriei, astfel c Ez = VP q = z 4 0 z

(R

2

+z

2 3

)

.

I.50.

ntr-o

regiune

din32

spaiu

potenialul

electric

are

expresia

V ( x, y, z ) = V0 E0 z +

(x

2

+ y2 + z2 )

E0 a 3 z

, unde a este o constant cu dimensiunea

fizic de lungime. Calculai componentele x , y i z ale vectorului intensitate cmp electric. Soluie Cele trei componente ale vectorului intensitate cmp electric sunt Ex = V 3E0 a 3 xz , = x ( x 2 + y 2 + z 2 )5 2 V 3E0 a 3 yz = y ( x 2 + y 2 + z 2 )5 2

Ey =

i

E0 a 3 ( x 2 + y 2 2 z 2 ) V . Ez = = E0 52 z ( x2 + y 2 + z 2 )

52

I.51. ntr-un sistem de axe carteziene, se consider trei puncte de

coordonate: A (1, 2, 3), B (0, -1, 2) i C (1, 2, 4). n acest spaiu se manifest un cmp electrostatic cu intensitatea exprimat prin vectorul: E = 3u x + u y + 4u z . a) Calculai diferenele de potenial electric VAB, VBC, VAC; b) Calculai potenialele electrice ale punctelor A, B i C, considernd ca punct de referin cu potenial nul originea axelor de coordonate. Soluie Prin definiie:VAB = E d r i, n mod similar, se exprim i VBC i VAC. Condiia deB A

echilibru electrostatic a sistemului se scrie VAB + VBC + VAC = 0. a) Astfel, prin explicitarea relaiilor de definiie se obine, n situaia cmpului electric omogen:A

VAB = E d r = E ( rA rB ) =B

= ( x A x B ) E x ( y A y B ) E y ( z A z B ) E z = = (1 0) 3 ( 2 + 1) 1 (3 2) 4 = 10 (V)n mod similar se obine:VBC = E d r = +10 (V) i VAC = E d r = 0 (V) .C C

B

A

Rezult c vectorul E este perpendicular pe segmentul AC , iar punctele A i C se afl la acelai potenial electrostatic. b) Dac potenialul originii este zero, calculm potenialele punctelor A, B i C prin integrale de forma:A

VA = E d r = 17 V i, similar, rezult VB = - 7 V i VC = 17 V.0

53

I.52. O sarcin electric q1 = 5 C este localizat n originea axelor de

coordonate, iar alt sarcin electric q2 = - 3 C n punctul de coordonate (10,0). Calculai potenialul electric i vectorul intensitate cmp electric n punctul de coordonate (0,30). Coordonatele sunt exprimate n metri. Soluie n fig. I.52 sunt reprezentate poziiile celor dou sarcini electrice i punctul P(0,30) n care vom calcula potenialul electric creat de cele dou sarcini i vectorul intensitate cmp electric corespunztor. Vom calcula mai nti potenialul electric produs de cele dou sarcini electrice ntr-un punct oarecare A(x,y):

Fig. I.52

VA =

q1 4 0 x 2 + y 2

+

4 0

( x 10)2 + y 23

q2

=

5 = 9 10 3 x2 + y2 cmp electric,

= 646V , 2 2 ( x 10) + y

unde x = 0 i y = 30. Conform relaiei ntre potenialul electric i vectorul intensitate

E =adic: E x =

V V V uy , = ux x r y V 10 6 = x 4 0 5x 3( x 10) 2 2 32 ( x 10)2 + y 2 (x + y )

[

]

V = 8,5 , 32 m

54

iar E y =

V 10 6 5y 3y = 2 2 32 y 4 0 (x + y ) ( x 10)2 + y 2

[

]

32

V = 24,4 . m

Astfel,

V E = E x u x + E y u y = 8,5u x + 24,4u y . m

I.53. Dou sarcini electrice q1 = 3 C i q2 = 4 C se afl iniial la distanar0 = 2 cm. Sub aciunea unui cmp extern sarcinile electrice ajung la distana r1 = 5 cm. Calculai: a). lucrul mecanic efectuat de cmpul exterior pentru a

ndeprta cele dou sarcini electrice; b). energia sistemului de sarcini electrice n starea iniial cnd se afl la distana r0 ; c). variaia energiei poteniale electrice a sistemului de sarcini electrice la ndeprtarea acestora de la distana r0 la distana r1 . Soluie a). L = q1q2 1 1 = 3, 24 J. 40 r1 r0 q1q2 = 5, 4 J. 4 0 r0

b). W0 =

c). W p =

q1q2 1 1 = 3, 24 J. 40 r1 r0

I.2. Cmpul electric din jurul conductoarelor. Condensatori I.54. Un condensator plan are capacitatea egal cu 112 pF, aria suprafeei

unei armturi 96,5 cm2 i este umplut cu mic care are constanta dielectric egal cu 5,40. Condensatorul este alimentat la o tensiune continu egal cu 55 V. Calculai: a). intensitatea cmpului electric din condensator;

55

b). sarcina electric de pe armturile condensatorului; c). polarizaia electric indus n dielectricul dintre plcile condensatorului. Se cunoate 0 = 8,85 1012 F/m. Soluie a). Din E =U S CU = 13,35 kV/m. i C = 0 r , rezult E = l l 0r S

b). q = CU = 6,16 nC; c). Din D = 0 r E = 0 E + P , rezult P = 0 ( r 1) E = 520 nC/m2

I.55. Deducei expresia capacitii unui cablu coaxial utiliznd ecuaia lui

Laplace n coordonate cilindrice. Soluie Ecuaia lui Laplace n coordonate cilindrice se scrie sub forma 1 V 2V = r r r r2 2 1 V V + 2 2 + 2 =0. z r

Cablul coaxial avnd o simetrie cilindric, potenialul V nu depinde de direcii, adic depinde doar de coordonata r , astfel c ecuaia rmne 1 V r r r r sau 1 d dV r r dr dr =0. =0,

Multiplicm cu r i integrm, adicd dV r dr dr =0

i

r

dV dr = A sau, dup separarea variabilelor, dV = A dr r

Dup nc o integrare,

56

V = A ln r + B . Suprafeele echipoteniale sunt date de ecuaia r = constant i sunt suprafee cilindrice. Pentru condensatorul cilindric alegem o diferen de potenial egal cu V0 ntre cele dou suprafee cilindrice. Astfel, V = V0 n r = a i V = 0 n r = b , unde

b > a . Astfel, condiiile la limit se scriuV0 = A ln a + B i 0 = A ln b + B ,V0 V ln b i B = 0 , iar b b ln ln a aln

de unde A =

b V = V0 r . b ln a Atunci, intensitatea cmpului electric E= dV V = 0 ur . dr r ln b a V0 a ln

Sarcina electric este egal cu q = 2aLD urr =a

= 2aL

b a

.

Prin urmare, capacitatea C= q 2L = b V ln a

I.56. Considerm un strat sferic conductor cu raza interioar a i raza

exterioar c . Spaiul dintre cele dou suprafee este umplut cu doi izolatori diferii astfel nct constanta dielectric ntre a i b este r1 , iar ntre b i c este r 2 . (figura I.56). a). Calculai capacitatea sistemului.

57

b) Ce devine relaia de la punctul a) dac r1 , r 2 1 .

Fig.I.56 Soluie a). Sistemul poate fi considerat ca fiind format din doi condensatori legai n serie deoarece tensiunea electric aplicat pe sistem este egal cu suma dintre tensiunile electrice aplicate pe fiecare din cei doi condensatori. Pentru un condensator sferic cu razele interioar r1 i exterioar r2 , umplut cu un izolator cu constanta dielectric r , capacitatea este egal cu rr C = 40 r 1 2 , r2 r1 iar capacitatea a doi condensatori C1 i C2 , legai n serie este egal cu Cserie = Astfel, ab bc 40 r1 4 0 r 2 4 0 r1 r 2 abc ba cb = . = ab bc r 2c ( b a ) + r1a ( c b ) 4 0 r1 + 4 0 r 2 c b ba

C1C2 . C1 + C2

Cserie

b). Dac r1 , r 2 1 , Cserie = 4 0 abc 4 0 ac = . c (b a ) + a (c b) ca

58

I.57. Calculai capacitatea echivalent a sistemului de condensatori din

figura I.57.

Fig..I.57 Soluie C1 i C2 sunt legai n paralel astfel c C12 = C1 + C2 , iar C12 i C3 sunt legai n serie , Prin urmare, C123 =

( C + C2 ) C3 . C12C3 = 1 C12 + C3 C1 + C2 + C3

I.58. Calculai capacitatea echivalent a configuraiei de condensatoare din

figura I.58.

Fig. I.58 Soluie Condensatorii de pe fiecare ramur sunt legai n serie astfel c valoarea capacitii echivalente pe fiecare din acestea este cea din figura I.58a. Ramurile sunt legate n paralel i capacitatea echivalent total este egal cu

59

1 1 11 Cechiv = C 1 + + = C . 2 3 6

Fig. I.58a

I.59. O baterie cu tensiunea electromotoare de 12 V alimenteaz electric

patru condensatori legai ca n figura I.59. Se cunosc valorile: C1 = 1 F, C2 = 2 F,

C3 = 3 F i C4 = 4 F.a). Calculai capacitatea echivalent a condensatoarelor C1 i C2 dac ntreruptorul S este deschis; b). Calculai sarcina electric de pe fiecare condensator dac ntreruptorul S este deschis; c). Calculai sarcina electric de pe fiecare condensator dac ntreruptorul S este nchis.

Fig. I.59 Soluie a). Dac S este deschis, C1 i C2 sunt legate n serie i capacitatea echivalent este

60

C12 =

C1C2 2 = F; C1 + C2 3

b). q1 = q2 = EC12 = 8 C, iar q3 = q4 = EC34 = E

C3C4 = 20,57 C; C3 + C4

c). Dac S este nchis C1 i C3 , i respectiv C2 i C4 sunt legate n paralel, Din ecuaiile E = U1 + U 2 , U1 = q1 q3 = C1 C3 i U2 = q2 q4 = , C2 C4 iar

q1 + q3 = q2 + q4 , rezult3 U1 = U 2 2

i apoi U1 = 7, 2 V, iar U 2 = 4,8 V. Astfel,

q1 = 7, 2 C,

q2 = 9,6 C, q3 = 21,6 C i q4 = 19, 2 C.

I.60. Un condensator plan cu armturi circulare paralele, de raz R = 6 cm,

aflate la o distan x1 = 1 mm, dielectric fiind aerul, este conectat la tensiunea V = 3000 V. Calculai: a) fora de atracie dintre armturile condensatorului; b) variaia energiei electrice din condensator la deplasarea armturilor condensatorului la distana x2 = 5 mm una fa de cealalt, meninnd constant tensiunea electric aplicat. Soluie Lucrul mecanic dLmec ce trebuie efectuat n cmp electrostatic pentru deplasarea uneia dintre armturi cu distana elementar dx (fig. I.60), la aplicarea forei Fmec, este o msur a variaiei energiei electrostatice dW a ansamblului celor dou armturi ale condensatorului:d Lmec = Fmec d x d Lmec = d W

61

Energia electrostatic a unui condensator de capacitate C cu sarcina q pe fiecare dintre armturi, ntre care este aplicat diferena de potenial V, are expresia: W= 1 1 1 q2 q V = C (V )2 = ; 2 2 2 C C= 0 S x1 , unde x1 este distana

iniial dintre armturi, iar S = R 2 este aria suprafeei fiecrei armturi.

Fig. I.60 La deplasarea relativ infinitezimal a armturilor, meninnd constant diferena de potenial dintre armturi, energia electrostatic a condensatorului variaz prin modificarea infinitezimal a capacitii electrice: Fmec d x = 1 (V )2 d C 2

a) Fora de atracie electrostatic Fel ce se opune deplasrii mecanice relative din exterior a armturilor are expresia: Fmec = Fel = 1 (V )2 d C = 1 (V )2 02S = 0,45 N 2 dx 2 x1

de unde rezult lucrul mecanic necesar deplasrii relative a armturilor: b) Lmec = Fmecx1 x2

( V ) dx=

2

0 R 2 2

x2

2 d x ( V ) 0 R 1 1 . x2 = 2 x2 x1 x1 2

Prin efectuarea acestui lucru mecanic are loc o variaie a energiei cmpului

62

electrostatic al condensatorului, Wel = Lmec = 3,6104 J.

I.61. Patru condensatori, cu capacitatea de 1 F fiecare, sunt legai n

paralel, ncrcai la 200 V i descrcai printr-un fir de cupru cu lungimea de 5 mm. Firul are rezistena de 4 pe metru i masa egal cu 0,045 g pe metru. Ce se ntmpl cu firul? Se topete? De ce ? Temperatura de topire a cuprului este egal cu 1356C, cldura specific c = 380 J/kgK, iar temperatura mediului ambiant este de 25C. Soluie Capacitatea echivalent a condensatorilor este egal cu C p = nC = 4 F, astfel c energia electric nmagazinat n acetia este egal cu 1 W = CV 2 = 0,08 J. 2 Rezistena electric a firului este R = 0,02 i masa sa m = 0,0225 106 kg. Cldura necesar pentru atingerea temperaturii de topire este egal cu Q = mc ( ttopire tmediu ) = 0,11 J. Deoarece Q > W rezult c firul nu se va topi.

I.62. Calculai energia nmagazinat n jurul unui strat sferic metalic de raz

a ncrcat cu sarcina electric q .

Soluie Intensitatea cmpului electric generat de o sarcin electric q , distribuit pe un strat sferic metalic de raz a , este egal cu

63

q ur , r > a E = 40 r 2 . 0, r < a Densitatea de energie nmagazinat n sistem este egal cu 1 q2 wel = 0 E 2 = , 2 322 0 r 4 n exteriorul sferei i zero n interiorul sferei. Energia nmagazinat n spaiul din jurul stratului sferic este egal cu q2 q 2 dr q2 1 = Wel = wel 4r dr = 4r 2dr = 2 4 r 2 80a = 2 qV , 32 0 r 80 a a a2

unde 4r 2dr este elementul de volum, iar V =

q este potenialul electric pe 4 0 a

suprafaa stratului sferic. Am inut cont c V ( ) = 0 . De fapt, energia sistemului calculat este egal cu lucrul mecanic efectuat pentru a ncrca sistemul cu sarcina electric q , adic W = Vdq = q

q q2 dq = . 4 0 a 80 a 0

64