Mecanica 1 Probleme Rezolvate(Itul+Haiduc)

TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC

MECANICA I

STATICA şi CINEMATICA

PROBLEME REZOLVATE

CLUJ-NAPOCA, 2012

O

ω2

ω11

R 2R

1

Reducerea forţelor Capitolul de reducerea forţelor este important deoarece stă la baza tuturor aspectelor care privesc echilibrul sistemelor materiale. Cu ajutorul cunoştinţelor din acest capitol se pot determina:

a) condiţiile în care un sistem material stă în echilibru; b) modul în care poate fi modificat sistemul de forţe ce acţionează asupra

unui sistem material astfel încât acesta să rămână în echilibru.

Exemple Asupra unui cub de latură a acţionează, conform figurii, un sistem de forţe având mărimile PFF == , 21 223 ⋅⋅= PF şi PF ⋅=3 . 4

1

Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. -------------------------------------------------------

În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:

∑=

=⋅+⋅+⋅=4

1iizyx FkRjRiRR ; ∑

=×=⋅+⋅+⋅=

4

1iiizyxO FrkMjMiMM ,

unde:

∑ ∑ ∑=i

; = =

===4

1

4

1

4

1;;

i iizziyyixx FRFRFR

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=4

1

4

1

4

1;;

i iixiiyiziziixiy

iiyiizix FyFxMFxFzMFzFyM .

Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: ixF iyF izF ix iy izi=1 0 0 P a 0 0 i=2 0 0 P 0 a 0 i=3 -2P 2P 0 a 0 0 i=4 0 -3P 0 0 0 a

Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O:

PRPRPR zyx ⋅=−=⋅−= 2;;2 ; PaMPaMPaM zyx ⋅⋅=⋅−=⋅⋅= 2;;4 .

kPjPiPR ⋅⋅+⋅−⋅⋅−= 22 ; kPajPaiPaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= 24 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de

calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.

Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: PRRRR zyx ⋅=++= 3222 ; 21222 ⋅⋅=++= PaMMMM zyxO .

F1

F2

F3 aa

a

F4

b) Momentul minim este dat de relaţia

R

RMM O ⋅

=min .

( ) ( )P

PPaPPaPPa

RRR

RMRMRMM

zyx

xzyyxx

⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅

=++

⋅+⋅+⋅=

32224

222min ;

F1

F2

F3

F4

A3(a,0,0)

aa

a

A4(0,0,a)

A2(0,a,0)

A1

PaM ⋅−=min . c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

RyRxM

R

RxRzM

R

RzRyM ⋅+⋅−=

⋅+⋅−=

⋅+⋅−.

( ) ( ) ( ) ( )P

PyPxPaP

PxPzPaP

PzPyPa⋅

⋅−⋅+−⋅−⋅⋅=

−⋅⋅+⋅−⋅−⋅−

=⋅−

−⋅+⋅⋅−⋅⋅2

2222224 .

Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală:

⎧

⎩⎨ +⋅=⋅−⋅−⋅

+⋅−=−⋅−⋅axza

azya2442

224⋅−⋅+⋅yxxz

244 ;

⎩⎨⎧

=⋅+⋅−⋅=⋅−⋅+⋅+⋅

04256524zyx

azyx 0 .

Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului în care axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei

fiind definită de rezultantă:

OP

M min

RR

OM

M minM x

M y

M z

R z

R y

R x

axacentrala

P

P0(2/3a, 5/3a, 0)

r

( )0,35,3

20 aaP ⋅⋅ .

Se consideră un cub de latură a asupra căruia acţionează forţele 221 ⋅== FFF şi momentul

22 ⋅⋅⋅= FaM C , orientate ca în figură.

2

Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. -------------------------------------------------------------- În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele

acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:

∑=1i

izyx FkRjRiRR =⋅+⋅+⋅=2

;

∑=

×+=⋅+⋅+⋅=2

1iiiCzyxO FrMkMjMiMM ,

unde:

∑ ∑ ∑=i

; = =

===2

1

2

1

2

1;;

i iizziyyixx FRFRFR

( ) ( )∑∑==

⋅−⋅+=⋅−⋅+=2

1

2

1;

iiziixiCyy

iiyiiziCxx FxFzMMFzFyMM ;

( )∑=

⋅−⋅+=2

1iixiiyiCzz FyFxMM .

jFaiFakMjMiMM CzCyCxC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=⋅+⋅+⋅= 22 . Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul:

ixF iyF izF ix iy izi=1 F 0 F 0 0 0 i=2 F F 0 0 0 a


FR FRFR zyx ==⋅=2 ;; ; 0;3;3 =⋅⋅=⋅⋅−= zyx MPaMFaM .

kFjFiFR ⋅+⋅+⋅⋅=2 ; jFaiFaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−= 33 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de

calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor,

adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.

F1

F2

aa

a

MC

Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: 6222 ⋅=++= FRRRR zyx ; 23222 ⋅⋅⋅=++= FaMMMM zyxO .


R

RMM O ⋅

=min .

60323

222min

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=

++

⋅ + ⋅ + ⋅=

FFFFaFFa

RRR

RMRMRMM

zyx

xzyyxx ;

F1

F2

MC

A2(0,0,a)

A1(0,0,0)

aa a

r2 63

minFaM ⋅ ⋅−= .

c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

RyRxMRxRzMRzRyM

RR

⋅=

⋅+⋅−=

⋅+⋅− +⋅−.

FFyFx

FFxFzFa

FFzFyFa ⋅⋅+⋅−

=⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅

⋅+⋅−⋅⋅− 20232

3 .

Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală:

⎧−

⎩⎨ +−=+⋅−⋅

⋅−⋅=+−⋅yxxza

xzazya223

2463⋅⋅+ ;

⎩⎨⎧

=⋅+⋅−⋅−⋅=⋅+⋅−+⋅

032220952

azyxazyx .

Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului P în care

axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: O

M min

R

ROM

M x

M y

R z

R y

R x

axacentrala

P

P0(-7/2a, 2a, 0)

r

M min

( )0,2,20 aaP ⋅⋅−7 .

Asupra prismei rigide din figură acţionează un sistem de cinci forţe PFFFF ==== 4321 şi

25 ⋅=PF .

3

Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. ------------------------------------------------------- În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei.

a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant:

∑=

=⋅+⋅+⋅=4

1iizyx FkRjRiRR ;

∑=

×=⋅+⋅+⋅=4

1iiizyx FrkMjMiMOM ,

unde:

∑ ∑ ∑=i

; = =

===4

1

4

1

4

1;;

i iizziyyixx FRFRFR

( ) ( ) ( )∑ ∑∑= ==

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=4

1

4

1

4

1;;

i iixiiyiziziixiy

iiyiizix FyFxMFxFzMFzFyM .

Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: ixF iyF izF ix iy izi=1 0 P 0 2a 0 0 i=2 0 0 P 2a 0 0 i=3 P 0 0 0 0 a i=4 0 0 P 0 0 0 i=5 0 P -P 0 0 a


PRPRPR zyx =⋅== ;2; ; PaMPaMPaM zyx ⋅⋅=⋅−=⋅−= 2;; .

kPjPiPR ⋅+⋅⋅+⋅= 2 ; kPajPaiPaM O ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−= 2 . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de

calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele

momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.

F1

F4

F2

2a

F3F5

a

a

Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: 6222 ⋅=++= PRRRR zyx ; 6222 ⋅⋅=++= PaMMMM zyxO .


R

RMM O ⋅

=min .

622

222min

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−=

++

⋅+⋅+⋅=

PPPaFPaPPa

RRR

RMRMRMM

zyx

xzyyxx ;

F1

F4

F2

A2(2a,0,0)A1

2a

A5(0,0,a)A3F3 F5

a

a

A4(0,0,0)

6min

PaM ⋅−= .

c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea:

z

xyz

y

zxy

x

yzx

R

RyRxM

R

RxRzM

R

RzRyM ⋅+⋅−=

⋅+⋅−=

⋅+⋅−.

PPyPxPa

PPxPzPa

PPzPyPa ⋅+⋅⋅−⋅⋅

=⋅

⋅+⋅−⋅−=⋅⋅+⋅−⋅− 22

22 .

Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa centrală: ⎧ ⋅⋅− Pa2

⎩⎨ ⋅=⋅+⋅−⋅−

⋅⋅+⋅⋅−PyPxPaPxPzPaPxPzPaPzPy

24442

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅−= ;

⎩⎨⎧

=⋅−−⋅−⋅=+⋅−⋅+

0525052

azyxazyx .

Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului în care

axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: OP

R yR x

R z

M xM y

M z

M min

axacentrala

M min

R

OM

R

P0(2/3a, -5/6a, 0)

( )0,652 ,30 aaP ⋅−⋅ .

Asupra unui paralelipiped având dimensiunile a, b, c acţionează, ca în figură, un sistem de forţe PFF == 21 şi PF ⋅=2 . 3

4

Să se găsească relaţia dintre lungimile a, b şi c pentru ca sistemul de forţe să se reducă la o rezultantă unică. ----------------------------------------------------- Condiţia ca un sistem de forţe să se reducă la o rezultantă unică este ca momentul minim să fie nul:

0min ==R

M O ⋅RM

adică 0=⋅+⋅ zzyy RMR+⋅=⋅ xxO MRMR

∑=

==n

iixx PFR

1

∑=

⋅==n

iizz PFR

12

Mn

ix =∑

=

M . Se observă ca, pentru a putea impune condiţia de rezultantă unică, este necesar să determinăm componentele torsorului de reducere în raport cu polul O.

Cu ajutorul tabelului centralizator de proiecţii şi coordonate puncte de aplicaţie ale forţelor din sistem, se obţin:

; ;

;

∑=

==n

iiyy PFR

1

( ) ( ) PcbFzFy iyiizi ⋅−⋅=⋅−⋅ 21

;

; . ( ) PaFxFzMn

iiziixiy ⋅⋅−=⋅−⋅=∑

=2

1( ) 0

1=⋅−⋅=∑

=

n

iixiiyiz FyFxM

Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului.

Înlocuind în condiţia de rezultantă unică, se obţine: ( ) 022 =⋅⋅⋅−⋅− ⋅⋅ PPaPPcb ,

deci relaţia între lungimi pentru ca sistemul de forţe să se reducă la o rezultantă unică este:

( )abc −⋅=2 .

F1

F2

F3 a

b

c

F1

F2

F3a

b

c

A3(a,b,0)

A2(0,0,c)

A1(0,0,0)

ixF iyF izF ix iy iz i=1 P 0 0 0 0 0 i=2 0 P 0 0 0 c i=3 0 0 2P a b 0

Determinarea analitică a poziţiei centrului de greutate Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor privind calculul poziţiei centrului de greutate sunt următoarele:

a) în funcţie de datele problemei, se alege formula de calcul;

b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) în cazul mediului discontinuu:

se împarte corpul în figuri geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale după caz;

pentru fiecare figură geometrică simplă componentă se calculează coordonatele centrului de greutate în raport cu acelaşi sistem de referinţă, precum şi masa, lungimea, aria sau volumul, după caz;

se aplică relaţiile scalare de calcul; d) în cazul mediului continuu:

se alege convenabil un element infinitesimal de masă, lungime, arie sau volum, după caz;

se aplică relaţiile scalare de calcul.

Proprietăţile şi forma corpului Omogen

Mediu

Neomogen Uni-dimensional

Bi-dimensional

Tri-dimensional

Discontinuu ∑

∑

=

=⋅

=n

ii

n

iii

C

m

mrr

1

1

∑

∑

=

=⋅

=n

ii

n

iii

C

l

lrr

1

1 ∑

∑

=

=⋅

=n

ii

n

iii

C

A

Arr

1

1

∑

∑

=

=⋅

=n

ii

n

iii

C

V

Vrr

1

1

Continuu

∫∫ ⋅

=dm

dmrrC

∫∫ ⋅

=dl

dlrrC

∫∫ ⋅

=dA

dArrC

∫∫ ⋅

=dV

dVrrC

5

Exemple

6

Să se determine poziţia centrului de greutate al conturului omogen din figură. ------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, spaţial, unidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma

∑

∑

=

=⋅

=4

1

4

1

ii

iii

C

l

lxx ;

∑

∑

=

=⋅

=4

1

4

1

ii

iii

C

l

lyy ;

∑

∑

=

=⋅

=4

1

4

1

ii

iii

C

l

lzz ,

unde reprezintă coordonatele, respectiv lungimea fgurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.

iiii lzyx ,,,

ix iy iz il

a 2a 0 a

2a a 0 a

0 o45cos33 ⋅− COa o45sin33 ⋅− COa 4

2 a⋅⋅π

o45cos4 ⋅OC 0 o45sin4 ⋅OC 4

2 a⋅⋅π

În cazul segmentelor de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţele C

R sinαα

R2α

=a

a

ππ22

4

45 ⋅⋅= aosin33 ⋅=aCO ,

ππ22

4

45 ⋅⋅= aosin4 ⋅=aOC .

Rezultă

22

22

20

24321

44332211

ππ

ππ

π

⋅+⋅++

⋅⋅⋅+⋅⋅++⋅+⋅=

+++

⋅+⋅+⋅+⋅=

aaaa

aaaaaaa

lllllxlxlxlx

x C ;

a

y z x

Ca

1C2C

3C4C

O3

22

20

221

2

4321

44332211

ππ

πππ

⋅+⋅++

⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅+⋅

=+++

⋅+⋅+⋅+⋅=

aaaa

aaaaaaa

lllllylylyly

y C ;

22

2222100

4321

44332211

ππ

ππππ

⋅+⋅++

⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅+⋅

=+++

⋅+⋅+⋅+⋅=

aaaa

aaaaaa

lllllzlzlzlz

z C ;

( ) ax C ⋅+⋅

=π22

5 ; ( ) ay C ⋅+⋅+=π

π22

1 ; ( ) az C ⋅+⋅

=π

π22

.

Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru segmentul de cerc poate fi obţinută tratând conturul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă: a

∫∫ ⋅

=dl

dlxx C

C

x

sinα

dl

α

R2α

= ϕdϕ

R

;

a unde ϕ ; dRdl= ⋅

ϕ . cos=Rx ⋅

Rezultă a

∫

∫

−

−⋅

⋅=

⋅

α

α

α

α

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

d

dR

d cos

∫

∫

−

−

⋅

⋅⋅

=α

α

α

αϕ

dR

RRx C

cos

a

ααsin⋅=Rx C .

Să se determine poziţia centrului de greutate pentru placa omogenă din figură.

7

------------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

C

A

Axx ;

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

C

A

Ayy ,

unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.

iii Ayx ,,

ix iy i A

a a 24 a⋅

o45cos2 ⋅OC o45sin2 ⋅OC 2

41)( a⋅⋅− π

a⋅⋅232 aa ⋅+

32 ( ) aa⋅⋅⋅− 2

21

În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţa

ππ ⋅⋅⋅=⋅⋅=

324

4

45sin32

2aaOC

o

.

a

2a

2a

a

Rezultă

222

222

321

332211

414

34

41

344

aaa

aaaaaa

AAAAxAxAx

x C−⋅⋅−⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

=−−

⋅−⋅−⋅=

π

ππ ;

222

222

321

332211

414

35

41

344

aaa

aaaaaa

AAAAyAyAy

y C−⋅⋅−⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

=−−

⋅−⋅−⋅=

π

ππ ;

( ) ax C ⋅−⋅

=π123

28 ; ay C ⋅−

=π12

8 .

Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă:

∫∫ ⋅

=dA

dAxx C ;

unde ϕdRRdA ⋅⋅⋅=

21 ;

ϕcos32 ⋅⋅= Rx .

Rezultă

∫

∫

−

−⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

α

α

α

α

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

d

dR

dR

dRR cos

322

1

∫

∫

−

−

⋅

⋅⋅

=α

α

α

α

R

Rx C

21

cos32

ααsin

32 ⋅⋅= Rx C .

ay

x

2a

a

C1C

2C

3C

C

x

dA

R2α

= ϕdϕ

R sinαα

23

R23

2a

2a

2a

a

2a

a

C

R sinαα

R2α

=

23

R2

Să se determine poziţia centrului de greutate pentru placa omogenă din figură.

8

------------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu

discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

C

A

Axx ;

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

C

A

Ayy ,

unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.

iii Ayx ,,

ix iy iA

0 π⋅⋅

38 R ( )

22 2R⋅⋅π

R− π⋅

⋅−34 R

2

2R⋅π

R π⋅⋅

34 R ( )

2

2R⋅− π

În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se calculează distanţele

ππ ⋅⋅=⋅

3⋅⋅=

22

31RROC 890sin2 o

; ππ ⋅⋅=⋅⋅=

34

2

90sin32

3RRC

o

= 322 OCO

zult

.

Re ă

222

2220

222

222

321

332211

RRR

RRRRR

AAAAxAxAx

x C⋅−⋅+⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

−+

⋅−⋅+⋅=

πππ

πππ;

R

2R

R

222

234

2342

38

222

222

321

332211

RRR

RRRRRR

AAAAyAyAy

y C⋅−⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅

=−+

⋅−⋅+⋅=

πππ

ππ

ππ

ππ ;

R

R

2R

2C

3C

1CC

y

x

O3

O2 2Rx C −= ; Ry C ⋅=

π2 .

Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă:

∫∫ ⋅

=dA

dAxx C ;

unde ϕdRRdA ⋅⋅⋅=

21 ;

ϕcos32 ⋅⋅= Rx .

Rezultă

C

x

dA

R2α

= ϕdϕ

R sinαα

23

R23

2R

∫

∫

−

−⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

α

α

α

α

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

d

dR

dR

dRR cos

322

1

∫

∫

−

−

⋅

⋅⋅

=α

α

α

α

R

Rx C

21

cos32

R

ααsin

32 ⋅⋅= Rx C .

R

C

R sinαα

R2α

=

23

R2

Să se determine poziţia centrului de greutate al plăcii omogene din figură, mărginită de parabola de ecuaţie xpy ⋅⋅=22 .

9

------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele

pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma

∑

∑

=

=⋅

=2

1

1

ii

iii

C

A

Axx

2

; ∑

∑

=

=⋅

=2

1

2

1

ii

iii

C

A

Ayy ,

unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice

compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule.

iii Ayx ,,

ix iy iA

a⋅53 b⋅

83 ba⋅⋅

32

a⋅32 b⋅

31 ( )

2ba⋅−

Poziţia centrului de greutate pentru placa semiparabolică se obţine tratând figura ca un mediu continuu şi aplicând formulele în consecinţă:

∫=

dAx C1

∫ ⋅dAx;

∫∫ ⋅

=dA

dAyC1

y .

Se fracţionează placa într-o infinitate de fâşii verticale de înălţime y şi lăţime dx, de arie

dxydA ⋅= şi centru de greutate

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

,y

xC i ,

unde x şi y reprezintă coordonatele unui punct curent de pe parabolă. Pentru punctul A al parabolei se poate scrie relaţia

pb ⋅⋅=22

y =2px2

a

b a , de unde rezultă

abp⋅

=2

2,

cu care ecuaţia parabolei devine y =2px2

by

C

a

x

1C2C

x 2

x 1

y2 y1

xa

by ⋅=2

2 .

Prin diferenţiere se obţine

dxa

bdyy ⋅=⋅⋅2

2 , dyyb

adx ⋅⋅⋅=2

2

iar dyy

badA ⋅⋅⋅= 22

2 ; 22

ybax ⋅= .

Rezultă astfel:

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅

=b

b

A

AC

dyyb

a

dyyb

ayba

dA

dAx

x

0

22

0

22

22

2

2

1; ax C ⋅=

53

1 ; y =2px2

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

⋅

=b

b

A

AC

dyyb

a

dyyb

ay

dA

dAy

y

0

22

0

22

2

222

1 ; by C ⋅=

83

1 .

b

a

b

Aria semiparabolei este a

( )badyy

badAA

b

A⋅⋅=⋅⋅⋅== ∫∫ 3

220

221 .

Coordonatele centrului de greutate al plăcii compuse sunt deci:

x dx

y =2px2

a

by

x

A

B

iC

dA

1C

1

1 232

23223 ba⋅

3521

2211

baba

abaa

AAAxAx

x C ⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

−

⋅−⋅= ;

y

232

231

32

83

21

2211

baba

babbab

AAAyAy

y C ⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

−

⋅−⋅= ;

ax C ⋅=52 ; by C ⋅=

21 .

Să se determine înălţimea triunghiului isoscel ce trebuie decupat dintr-un patrat de latură a pentru ca vârful triunghiului să fie centrul de greutate al suprafeţei rămase şi să se calculeze momentele de inerţie geometrice axiale ale acestei suprafeţe în raport cu sistemul de referinţă xOy.

10

---------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia pentru calculul ordonatei centrului de greutate în cazul mediului discontinuu,

bidimensional şi omogen, căreia i se impune valoarea h:

∑

∑

=

=⋅

=2

1

2

1

ii

iii

C

A

Ayy

hhaa

hahaa

AAAyAy

y C =⋅−

⋅⋅−⋅=

−

⋅−⋅=

2

2322

2

21

2211

2 =⋅a

.

Se obţine astfel ecuaţia de gradul doi în h 62 2 +⋅⋅−⋅ hah 03

cu soluţiile

ah ⋅±

=2

33

dintre care convenabilă este

ah ⋅−

=2

33 .

Momentele de inerţie geometrice axiale ale suprafeţei compuse se obţin, de asemenea, prin însumarea momentelor de inerţie geometrice ale suprafeţelor simple care o compun:

∑=

+==2

1i

tringhix

patratxixx IIII ; ∑

=+==

2

1i

tringhiy

patratyiyy IIII .

Pentru fiecare suprafaţă simplă componentă se utilizează relaţiile de definiţie a momentelor de inerţie geometrice axiale în cazul mediului continuu:

( )∫ ⋅= dAyI 2

Ax ;

( )∫ ⋅= dAxI 2

Ay .

a) patratul de latură a: - se consideră un element de arie paralel cu axa Ox,

de mărime C

a

a

h

a2

. dyadA= ⋅

a

aa

2

ydy

x dxdA

⇒( )∫ ==

a

Ax dyayyI

0

2 ; ∫ ⋅⋅⋅dA23

2a3 1

4AaI x ⋅== .

Pentru calculul lui se consideră un element de arie paralel cu axa Oy având mărimea

dxadA

yI

⋅= .

⇒( )

∫−

⋅⋅∫ ==2

2

2

a

aAy dxaxxI ⋅2 dA ;

12

2a12 1

4AaI y ⋅== .

2C

C

a

h1C y2

y1

aa

2

b) triunghiul isoscel de dimensiuni axh: - pentru calculul lui aria elementară este

xI

dyxdA ⋅= unde, din asemănea triunghiurilor

a

h

a2

ydy

x

dA x dx

y

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−⋅=

hax 1

⇒

⎞⎛ y .

( )

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=⋅

h

A= dy

hy

aydAy0

22 1xI ;

6

2h⋅12 2

3AhaI x =⋅= .

Pentru calculul lui se consideră elementul de arie paralel cu axa Oy având mărimea

dA

yI

dxy ⋅= unde, din asemănea triunghiurilor

( )xahy ⋅−⋅= 22

.

⇒ ( )

( )∫∫−

⋅⋅−⋅⋅=⋅=2

2

22 22

a

aAy dxxahxdAxI ;

2448

2

2

3 aAhaI y ⋅=⋅= .

Pentru suprafaţa compusă, rezultatele sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

4333 h

aaI x ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

412

3 haaI y .

11

Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie. Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,

formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este

∑

∑

=

=⋅

=2

1

1

ii

iii

C

V

Vzz

2

.

Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, tridimensionale şi omogene, pentru care formula de calcul este de forma

∫∫ ⋅dVz

=dV

z C .

Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru:

a) Cilindru de rază R şi înălţime h dzrdV ⋅⋅= 2π ;

∫

∫ ⋅

=

⋅

⋅

h

h

dz

dzz

dz

dz

0

0

∫

∫

⋅

⋅⋅

=h

h

C

r

rzz

0

2

0

2

π

π⇒

2hz C = .

b) Con de raza bazei R şi înălţime h – volumul elementar este asimilat cu un cilindru

dzrdV i ⋅⋅= 2π unde ( )zh−⋅=hrri ;

( )

( )∫

∫

∫

∫

⋅−⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=h

i

hi

h

i

h

i

C

dzzhh

r

dzzhh

rz

dzr

dzrzz

0

22

20

22

2

0

2

0

2

π

π

π

π ⇒

4hz C = .

4r3r

2r

Cele douăcorpuri simple componente au volumele 32

1 44 rrrVV cil ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ ; 322 3

3 rrrVV con ⋅=⋅⋅⋅== ππ ;

Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus

33

33

21

21

44

34 rr ⎞⎛ ⋅⋅ 44221

rr

rrr

VV

VzVzz

CCC

⋅+⋅⋅

⋅⋅⎟⎠

⎜⎝

+⋅+⋅⋅⋅=

+

⋅+⋅=

ππ

ππ;

4r3r

2r

z1

z2C

1C

2C

z

rz C ⋅= 55,2 . Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente:

∑=

+==2

1i

conz

cilzizz JJJJ .

În cazul cilindrului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este

1M

2

2rdmdJ cilz

⋅= , ⇒( ) ( )( )

∫ ∫∫⋅

=⋅=⋅==1 11

222

2122

V VV

cilz

cilz

rMdmrdmrdJJ .

În cazul conului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este

2M

2

2icon

zrdm

dJ⋅

= ,

unde

( )zhhrri −⋅= şi ( ) dz

hz

hM

dzzhhr

hr

MdV

VM

dVdm V ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅=⋅=

22

2

2

2

2

2 13

3

ππ

ρ .

Momentul de inerţie al întregului con va fi

( ) ( )

22

24

0

22r

221031

23

2rMdzr

hz

hM

dmdJJV

hi

V

conz

conz ⋅⋅=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅

⋅=⋅== ∫ ∫∫ .

Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora:

2

2

1

1

21 VMM

VVVM ==+

, ⇒ MMVV

VM ⋅=⋅

+=

51

21

11 ; şi MM

VVV

M ⋅=⋅+

=54

21

22 .

Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de

h

2r

dV(dm)

zdz

ri

h

zdz

2r

dV(dm)

simetrie

∑=

⋅⋅⋅+⋅⋅=+==2

1

22

54

103

251

i

conz

cilzizz rMrMJJJJ

2

5023 rMJ z ⋅⋅=

Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie.

12

Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------- Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de

simetrie, formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este

∑

∑

=

=⋅

=2

1

1

ii

iii

C

V

Vzz

2

.

Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, tridimensionale şi omogene, pentru care formula de

calcul este de forma

∫∫ ⋅

=dV

dVzz C .

Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru:

a) Cilindru de rază R şi înălţime h dzrdV ⋅⋅= 2π ;

∫

∫ ⋅

=

⋅

h

h

dz

dzzdz

0

0

∫

∫

⋅⋅

⋅⋅

=h

h

C

dzr

rzz

0

2

0

2

π

π⇒

2hz C = .

b) Semisferă de rază R – volumul elementar este asimilat cu un cilindru

dzrdV 2i ⋅⋅=π 22 z−= unde ri ; 2 R

( )

( )∫

∫

∫

∫

⋅−⋅

⋅−⋅⋅

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=h

h

h

i

h

i

C

dzzR

dzzRz

dzr

dzrzz

0

22

0

22

0

2

0

2

π

π

π

π ⇒ Rz C ⋅=

83 .

4r2r

2r

Cele douăcorpuri simple componente au volumele 32

1 44 rrrVV cil ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ ; ( ) 332 3

16232 ; rrVV ssf ⋅⋅=⋅⋅⋅== ππ

Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus

33

33

21

21

3164

31634 r ⎞⎛⋅ 2

844

221

rr

rrrr

VV

VzVzz

CCC

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⎟⎠

⎜⎝

⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=

+

⋅+⋅=

ππ

ππ; rz C ⋅=

725 .

4r2r

2r

z1

z2C

1C

2C

z

Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente:

∑=

+==2

1i

ssfz

cilzizz JJJJ .

În cazul cilindrului de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este

1M

2

2rdmdJ cilz

⋅= , ⇒( ) ( )( )

∫ ∫∫⋅

=⋅=⋅==1 11

222

2122

V VV

cilz

cilz

rMdmrdmrdJJ .

În cazul semisferei de masă , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este

2M

2

2issf

zrdm

dJ⋅

=

unde 222 zRri −= şi ( ) dzzR

R

MdV

R

MdV

VM

dVdm V ⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=⋅=⋅= 22

32

3

2

2

2

2

3

32

πππ

ρ .

Momentul de inerţie al întregii semisfere va fi

( )( )

( )( )∫∫ ∫∫ ⋅−⋅

⋅

⋅=⋅−⋅

⋅

⋅R Mr 2 3⋅−=⋅==

R

V

i

V

ssfz

ssfz dzzR

R

MdzzR

RzRdmdJJ

0

2223222

32

0

22

4

3

22222

dV(dm)

zdz

R

ri

h

zdz

2r

dV(dm)

22

22 5

852 rMRMJ ssf

z ⋅⋅=⋅⋅= .

Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora:

2

2

1

1

21 VM

VM

VVM ==+

, ⇒ MMVV

VM ⋅=⋅

+=

73

21

11 ; şi MM

VVV

M ⋅=⋅+

=74

21

22 .

13

Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de simetrie

∑=

⋅⋅⋅+⋅⋅=+==2

1

22

74

58

273

i

ssfz

cilzizz rMrMJJJJ ; 2

7079 rMJ z ⋅⋅= .

Echilibrul solidului rigid În cazul solidului rigid, deoarece forţele care acţionează asupra lui nu sunt, în general, concurente, condiţia pentru echilibrul acestuia este torsorul sistemului de forţe ceacţionează asupra lui să fie nul. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor de echilibru al solidului rigid sunt următoarele:

a) se întocmeşte schema mecanică în care se marchează forţele exterioare (dacă s.r. este liber) şi de legătură (dacă s.r. este supus la legături);

b) se alege convenabil sistemul de referinţă; c) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru; d) se identifică necunoscutele problemei; e) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.

Exemple

Într-un vas semisferic luciu, de rază R, este aşezată o bară omogenă AB de lungime 2l şi greutate G. Să se determine unghiul ϕ şi reacţiunile din A şi D în poziţia de echilibru. ------------------------------------------------------- Asupra barei acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele A şi D.

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ OO MM L .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de

proiecţii şi una de momente: ⎧

=⋅⋅−⋅⋅⋅=+⋅−⋅

=⋅−⋅

0coscos20cossin

0sincos

ϕϕϕϕ

ϕϕ

lGRNNGN

GN

D

DA

A

. ⎪⎩

⎪⎨

Din ecuaţiile (1) şi (3) se obţin ϕtgGN A ⋅= ;

RlGN D ⋅

⋅=2

care, introduse în ecuaţia (2), conduc la

02

coscos

sin 2 ϕ=

⋅⋅+⋅−⋅

RlGGG ϕ

ϕ.

Deoarece 20 πϕ << , se obţine ecuaţia de gradul doi

021cos

4cos 2 =−⋅

⋅− ϕϕ

Rl

cu soluţiile

( )21

88cos

2

2,1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅±

⋅=

Rl

Rlϕ

Convine numai soluţia cu (+)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

⋅=

21

88arccos

2

Rl

Rlϕ .

Condiţia 20 πϕ << conduce la

RlR ⋅<< 2 .

G

2R

A

BO

D

G

2

R

ϕ

A

BO

2 R cosϕ

cosϕ

ϕ

ϕ

C

NA

ND

D

Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare μ necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă?

14

Cilindrul are greutatea G şi raza R. --------------------------------------------------------------- Asupra cilindrului acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de frecare de alunecare T , în punctul de contact cu pragul.

Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă, deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ L

OO MM . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅≤=⋅−⋅

=+⋅−⋅−=+⋅−⋅

NTRFRT

NGFTGF

μ

αααα

00cossin

0sincos

În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare μ , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă

FT = care introdusă în prima conduce la

αα

sincos1+⋅=TG .

Înlocuind în a doua ecuaţie se oţine relaţia NT ⋅

+=

αα

cos1sin ,

de unde

ααμ

cos1sin+

≥ sau 2αμ tg≥ .

Conform figurii ( )

RhhR

RhRR 222 2sin −⋅⋅

=−−

=α ; R

hR−=αcos

şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma

hRh−⋅

≥2

μ sau 2αμ tg≥ .

Forţa F care face posibilă rostogolitea este :

hRhGGTF−⋅

⋅=+

⋅==2cos1

sinα

α .

Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare μ poate fi obţinut direct observând că, pentru echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin B (cele trei forţe GLF ,, să fie concurente):

2αϕμ tgtg

NT === .

h

B F

G

O

D

R

(μ)

A

h

B

N

G

F

T

α

O

A

DR-h

R

hR

B

N

G

F

TL

α

ϕ

O

AD

Bara cotită OAB, articulată plan în O şi simplu rezemată în C, este încărcată ca în figură. Să se determine reacţiunile în O şi C.

15

--------------------------------------------------- Asupra cilindrului acţioneză:

1) un sistem de forţe şi momente exterioare format din forţele P şi

P2 şi din momentul ; aPM D ⋅=2) un sistem al forţelor de

legătură format din reacţiunea normală N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅−=+⋅−−

=+

032202

0

aPaNaPaPaPNPPV

PH.

Rezultă PH −= ; PV ⋅=

32 ; PN ⋅=

37 .

Obs. Semnul (-) al componentei orizontale a reacţiunii din O arată faptul că, în realitate, orientarea acesteia este opusă celei considerate iniţial. Reacţiunea din O este:

22 VHRlO += ; PRlO ⋅=313 .

MD

P 2PP

a a a a

a

O

B

D E CA

MD

P 2PP

a a a a

a

B

D E CA

H

N

V

16

Un corp omogen de greutate P, format dintr-o semisferă de rază R şi un con de înălţime h, având baza comună cu semisfera, se reazemă fără frecare pe un perete vertical şi este legat printr-un fir de lungime l de un punct D al planului. Punctul A de fixare a firului pe corp se găseşte pe cercul de bază comun al semisferei şi conului. Să se determine:

a) poziţia centrului de greutate al corpului; b) relaţia dintre unghiul α format de axa de

simetrie a corpului cu orizontala şi unghiul ϕ format de fir cu planul vertical;

c) ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de echilibru;

d) reacţiunea peretelui şi tensiunea din fir. ----------------------------------------------------------- a) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Oxyz şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui

mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,

∑

∑

=

=⋅

=2

1

1

ii

iii

C

V

Vzz

2

,

în care: hz C ⋅=

41

1; hRV ⋅⋅⋅= 2

1 31 π ; Rz C ⋅−=

83

2; 3

2 32 RV ⋅⋅= π .

Rezultă

32

32

32

31

32

83

31

41

RhR

RRhRh

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

ππ

ππz C ⇒

RR 2

hhz C ⋅+

⋅−⋅=23

41 2

.

b) Se consideră o secţiune după planul definit de fir şi de axa corpului. Conform figurii, se poate scrie relaţia:

αϕ sinsin . +⋅= RlR ⋅

Rezultă relaţia căutată ϕα sin1sin ⋅−=

Rl .

c), d) Asupra corpului acţioneză:

1) forţa exterioară (de greutate) P ;

ϕ

α

ϕ−α

N

P

S

C

D

P

Aϕ

R

h

C

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din tensiunea din fir S .

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: 0=+LR ; 0=+ L

OO MM . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

=⋅− 0sinϕSN

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅⋅+⋅⋅−=⋅+−

0sincos0cos

αϕαϕ

RSzPSP

C

.

Rezultă din primele două ecuaţii:

ϕcosPS = ; ϕtgPN ⋅= .

R

h

Din a treia ecuaţie se obţine ( ) 0cossincossin

coscos =⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅− ϕααϕ

αα RPzP C

în care de înlocuiesc

z1

z2

z

C1C

2Cϕα sin1sin ⋅−=

Rl şi

2sin11cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−−= ϕα

Rl

şi rezultă ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de echilibru

( )ϕϕ

ϕϕ

sin2sin

sin

⋅−⋅⋅⋅

⋅−−=

lRl

lRR

ztg C .

ϕ

αϕ−αR

O

A

17

0

Se dă o placă compusă omogenă, de greutate G, situată într-un plan vertical, ale cărei dimensiuni sunt prezentate în figură. Placa este articulată plan în colţul A şi suspendată în colţul O de un arc cu constanta elastică k. Placa se află în echilibru cu faţa OA orizontală, când lungimea arcului în stare deformată este l. Să se determine:

a) coordonatele centrului de greutate al plăcii;

b) reacţiunile din legăturile O şi A; l a arculuc) lungimea i

nedeformat; 0

d) valorile reacţiunilor din O şi A şi lungimea iniţială l a arcului, dacă: NG 1000= , mNk /5000= , . ml 20,0=

------------------------------------------------------------------- a) Pentru calculul coordonatelor centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă Oxy şi se utilizează relaţiile corespunzătoare unui mediu discontinuu, bidimensional şi omogen:

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

C

A

Axx ;

∑

∑

=

=⋅

=3

1

3

1

ii

iii

A

Ay

Cy ,

unde reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice

compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul:

iii Ayx ,,

ix iy i A

π⋅⋅⋅−⋅

3242 rr

π324 r⋅⋅ ( )

42 2r⋅π

rr ⋅⋅+⋅ 4312 r⋅⋅2

31

224 rr ⋅⋅⋅

4r

r2

r⋅2 π⋅

⋅34 r ( )

2

2r⋅− π r

Rezultă

24

224

342

382

222

222

321

332211

rrr

rrrrrrrr

AAAAxAxAx

x C⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−⋅

=−+

⋅−⋅+⋅=

ππ

πππ ;

24

2344

32

38

222

222

321

332211

rrr

rrrrrr

AAAAyAyAy

y C⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅

=−+

⋅−⋅+⋅=

ππ

ππ

ππ ;

k4r

2r

rAO

0

( ) rx C ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

+=83

162π

; ( ) ry C ⋅+⋅

=83

28π

.

b) Asupra corpului acţioneză:

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1) un sistem al forţelor exterioare G (de greutate) şi S (elastică);

2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A

4r

2r

r

AO

1C

2C3C

C

y

x

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0=+LR ; 0=+M LOOM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

⎧ =0H

⎪⎩

⎪⎨

=⋅⋅−⋅=−+

060rVxG

GSVC

.

Rezultă:

0=H ; ( ) GGr

xV C ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

+=⋅⋅

=89

831

6 π; ( ) GS ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

−=89

832

π.

2r4

c) Alungirea arcului este

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+⋅

−⋅==Δ89

832

πkG

kSl ,

iar lungimea arcului nedeformat era

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+⋅

−⋅−=Δ−=89

832

0 πkg

llll .

d) Se obţin valorile: NGV 413413,0 =⋅= ; NGS 587587,0 =⋅= ; ml 117,0

5000587 ==Δ ;

ml 083,0117,020,00 =−= . Echilibrul sistemelor de solide rigide

În cazul sistemelor, asupra rigidelor acţionează trei categorii de forţe:

o un sistem al forţelor exterioare; o un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri;

18

o un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, care, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, sunt egale şi direct opuse.

Pentru rezolvarea problemelor de echilibru a sistemelor de corpuri se utilizează, de regulă, teorema echilibrului părţilor, etapele care se pargurg fiind următoarele:

a) se izolează corpurile după care procedura continuă ca la echilibrul rigidului, adică se impune condiţia de torsor nul pentru fiecare parte componentă a sistemului;

b) se întocmesc schemele mecanice în care se marchează forţele exterioare, de legătură exterioară şi de legătură interioară;

c) se alege convenabil sistemul de referinţă, independent pentru fiecare; d) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp; e) se identifică necunoscutele problemei; f) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.

Exemple

Se consideră sistemul de corpuri din figură alcătuit din discul (1) de greutate P şi rază R, articulat plan cu bara (2) de greutate P şi lungime l, simplu rezemată pe un perete vertical luciu. Neglijând frecările din O şi B, să se determine coeficienţii frecării de alunecare μ şi de rostogolire s

dintre discul (1) şi planul orizontal, astfel încât echilibrul să se producă în configuraţia din schiţă. --------------------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile P şi G ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,

format din componentele ,T N şi rM reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare de alunecare şi de rostogolire dintre disc şi planul orizontal, precum şi din reacţiunea normală BN reprezentând echivalentul mecanic al reazemului fără frecare din B;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.

În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0=+LR ; 0=+ LMM OO . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare

la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile:

GP R

α

B

A 2

1

N

TMr

HV

NB

V

H

cosα/2 sinα

- pentru disc: - pentru bară: ⎧ =+HT 0

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⋅≤⋅≤=−⋅=−+

NsMNT

MRTPVN

r

r

μ00

;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=−−=−−

0sin2

cos

00

αα lGlN

GVNH

B

B

.

Rezultă succesiv necunoscutele problemei μ şi s:

αtgGNHT B ⋅⋅==−=21 ; GV −= ; GPN += ; αtgGRM r ⋅⋅=

2;

( ) αGμ tgGP

⋅+⋅

≥2

; ( ) αtgGP

s ⋅+⋅GR⋅≥

2.

G

P R

(μ,s)A

α

B

2

1 C Obs. Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie, adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând din ecuaţiile scalare de echilibru;

Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.

Se consideră sistemul mecanic din figură la cere se cunosc dimensiunile geometrice şi greutăţile G şi Q. Există frecare de alunecare între troliu şi sabot, de coeficient μ . Se neglijează greutăţile sabotului şi a barei OC de lungime l, precum şi frecarea dintre fir şi scripetele mic din D.

19

Să se determine forţa P care menţine sistemul în echilibru, reacţiunile din punctele A, B, E, O, C şi tensiunea din fir. ------------------------------------------ Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutăţile G şi Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunile normale AN şi BN şi din componentele CH , CV şi CM

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele

reprezentând echivalentul mecanic al încastrării plane din C;

H , V ale reacţiunii din articulaţia O precum

şi din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu.

Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: - pentru bară:

⎧ =−NP 0

A B

OP

a bR

r(μ) G

D

Q

α2

31

CE

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅≤=⋅−+⋅

=+−

NTaNbaT

TNN

B

BA

μ0

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−⋅=−−⋅+=⋅++

00sin

0cos

rQRTGTQV

QHNα

α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−⋅=+−=−−

000

CC

C

C

MlVVVHH

; ; .

Rezultă succesiv necunoscutele problemei AN , BN , N , ,T H , V , CH , CV ,

CM :

RrQT ⋅= ; PN = ;

RrQP⋅

⋅≥μ

; a

baRrQN B

+⋅⋅= ; GRrQVV C +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅== αsin ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅−=−=R

rQHH C μαcos ; ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= G

RrQlM C αsin .

22 VHRlO += ; 22CClC VHR += .

Obs.2 Deoarece, conform enunţului, se neglijează fenomenele mai profunde (frecarea şi rigiditatea firului) care au loc în scripetele mic din D, tensiunea în ambele ramuri ale firului este egală cu greutatea atârnată la capătul lui.

A

BP

a b

r Gα

RT

NNB

NA

N

T

H

V

H

VQ

VC

MC

HC

3

21

CE E

20

Să se determine eforturile din barele unei cu zăbrele având dimensiunile şi încărcăturile din figură, precum şi reacţiunile exterioare. ------------------------------------------------ Grinzile cu zăbrele plane sunt sisteme de bare rectilinii şi rigide, legate între ele prin articulaţii numite noduri, situate în acelaşi plan.

Condiţia ca grinda cu zăbrele să formeze un ansamblu rigid, static determinat, este ca între numărul barelor b şi numărul nodurilor n să existe relaţia

32 −⋅= nb . Este evident că această condiţie este satisfăcută:

3527 −⋅= . Forţa de legătură pe care o transmite o

bară se numeşte efort şi poate fi de întindere dacă bara trage de nod, sau de compresiune dacă bara apasă nodul. Metoda izolării nodurilor pentru

determinarea eforturilor din bare se bazează pe

teorema echilibrului

părţilor. Ea constă în a izola fiecare nod şi a introduce

să acţioneze asupra lui forţele exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. Forţele fiind toate concurente în nod, pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi scrise câte două ecuaţii scalare: (A) (B) (C) ⎧ =⋅++ 0cosαSSN ⎧ =⋅+− 0cosαSH ⎧ −⋅−⋅ coscos αα SS

=⋅+ 0sin71

76

αSSA

=⋅−− 0sin21

2

αSSV B

B

=⋅−⋅−⋅+−=⋅

0sinsinsin0cos

7325

723

αααα

SSSSS

−0sin3

34

αSPS

=−=00

5

64

PS

; ; ; ⎩⎨

⎩⎨

⎩⎨

(D) (E) =⋅+ 0cosαS ⎧ −SS

⎩⎨⎧

=⋅+−; .

⎩⎨

a

B

AP

60°

P

60°

După rezolvarea sistemului de 10 ecuaţii rezultă: - eforturi de întindere

21PS = ; PS ⋅=32 ; PS ⋅=23 ; PS =5 ;

- eforturi de compresiune 34 ⋅−= PS ; 26 ⋅−= PS ; PS −=7 ;

- reacţiuni exterioare grinzii B

AD

C1

4

7

2

3

P6

5

60°

P a 3/2a 3/2

E

60°

PN A ⋅⋅

=2

33 ; PH B ⋅⋅

=2

33 ; PV B ⋅=2 ; 22BBlB VHR += .

Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării

conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare (date) şi a forţelor de legătură exterioară:

B

AD

P

HV

BB

NAPa 3/2a 3/2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

=−−=−

0232

23

00

aPaPaH

PPVHN

A

B

BA

⎧

.

Rezultă astfel acelaşi valori

PHN BA ⋅⋅

==2

33 ; PV B ⋅=2 .

Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1.

A

B

C

D

HV

S2

S1 S7

S6

S3

S2

S7

S3

S4

NA

B

B

P

S1

α

αα α

α

α

S5

PS4S6

S5E

Să se determine eforturile din barele unei cu zăbrele având dimensiunile şi încărcăturile din figură, utilizată pentru o copertină, precum şi reacţiunile exterioare.

21

⎪⎩

⎪⎨

=−⋅

=⋅+

045sin045cos

2

21

PS o

o

⇒

--------------------------------------------------------------- Condiţia ca grinda cu zăbrele să formeze un ansamblu

rigid, static determinat, este ca între numărul barelor b şi numărul nodurilor n să existe relaţia

32 −⋅= nb , condiţie evident satisfăcută: Pentru determinarea eforturilor din bare se utilizează metoda izolării nodurilor care constă în a izola fiecare nod şi a introduce să acţioneze asupra lui forţele exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a

grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. Acele eforturi care din calcule vor rezulta negative, semnifică solicitări de compresiune în barele respective. Forţele fiind toate concurente în nod, pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi scrise câte două ecuaţii scalare: - nodul I:

⎧ SS22

1

⋅=

−=

PSPS

;

- nodul II: ⎧ −S

⎩⎨ =

=0

0

3

51

SS

⇒ 03

5

=−=

SS P ;

- nodul III:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−⋅+⋅−⋅−

=⋅−⋅−⋅

0245sin45sin45sin

045cos45cos45cos

642

642

PSSS

SSSooo

ooo

⇒222

6

4

⋅⋅=

⋅−=

PSPS

;

- nodul IV:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+

=⋅++

045sin045cos

47

45o

o

SS

SSN⇒ PS

PN=⋅=

7

2 ;

- nodul V:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−−−

=⋅+−

045sin

045cos

67

6o

o

SSPV

SH⇒ PV

PH⋅=⋅=

42 .

2m

A

C

P

P

2P

B1m 1m

5222 ⋅⋅=+= PVHRlA .

Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare (date) şi a forţelor de legătură exterioară:

⎧ =− 0HN

⎪⎩

⎪⎨

=⋅−⋅⋅−⋅=−⋅−−2122

02PPHPPPV

0.

Rezultă astfel acelaşi valori PHN ⋅== 2 ; PV ⋅=4 .

Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1.

2m

A

C

P

P

2P

B1m 1m

IIIIV

III

V

15

7

34

6

2 2m

A

C

P

P

2P

H

V

N

S2

V

III

IIIIV

45°

45°

45°45°

45°

45°

S1S5

S7 S4

S6S7

S3

S4

S6

S2

P

P

2P

B

H

V

N1m 1m

Se consideră sistemul din figură, format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi un troliu de greutate G articulat în O. Asupra barei acţionează în B o forţă verticală P, iar asupra troliului acţionează, prin intermediul unui fir trecut peste un scripete mic, greutatea Q. Coeficientul de frecare dintre sabot şi troliu este μ .

22

Să se determine: a) valoarea minimă a forţei P, necesară

pentru păstrarea echilibrului sistemului; b) reacţiunile din O şi A;

Aplicaţie numerică: ma 1,0= , , mb 4,0= me 06,0= , kNG 8,1= , kNQ 15= , 25,0=μ

------------------------------------------------------------------------------ Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutăţile G şi Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din AH , AV şi H , V reprezentând componentele reacţiunilor din A şi O;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca

echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se

judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile:

Q

O2R

G

2R

e

Pa b

1

AB

C

- pentru sabot: - pentru troliu: ⎧ =−HT 0

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅==+⋅−⋅+⋅

=−+

NTbaPeTaN

PNV A

A

μ0

0

min

min

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−⋅⋅=−−=−−

0200

RQRTGNVQTH

; .

Rezultă succesiv

QT ⋅=21 ; QN ⋅

⋅=

μ21 ; ( ) kNea

baQ

P 9,62min =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

+⋅=

μ;

kNQTH A 5,721 =⋅== ; kNkNNPV A 1,2315

25,0219,6min −=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−=−= ;

kNTQH 5,22=+= ; kNGNV 8,31=+= .

O2R

G

2

R

e

Pa b

1

AB

H

V

A

A

N

TC

N

T C

Q

VH

Se consideră frâna cu sabot din schiţă la care se cunoaşte coeficientul frecării de alunecare μ dintre sabot şi şaiba de frânare a troliului, precum şi dimensiunile geometrice. Se neglijează greutăţile troliului şi pârghiei şi frecarea din articulaţiile O şi . 1O

23

Se cere determinarea forţei minime P cu care trebuie acţionată pârghia OA pentru blocarea căderii greutăţii Q şi reacţiunile din articulaţii. --------------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutatea Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi 1H , 1V reprezentând componentele reacţiunilor din O şi O ; 1

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu.

Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se

judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu:

⎧ =−− HT 0

Q

OR

2r

h

Pa b

1

OA

B

1

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅==+⋅−⋅−⋅

=−+

NTbaPhTaN

PNV

μ0

0

min

min

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅=−−

=+

00

0

1

1

RTrQQNV

TH; .

Rezultă succesiv

RrQT ⋅= ;

RrQN⋅

⋅=μ

; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

+= ha

Rr

baQ

Pμmin ;

TH −= ; NPV −= min ; 22 VHRlO += ; TH −=1 ; QNV +=1 ; 2

1211

VHRlO += .

OR

2

r

h

Pa b

1

OA

H

V

N

T B

N

TB

Q

VH

111

Se consideră sistemul de bare omogene din figură de lungimi OA=2l, DE=l şi greutăţi 2G, respectivG. Bara DE este articulată fără frecare în E cu bara OA, iar în D cu culisa de greutate Q, care se poate deplasa fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O. De culisă este legat un arc cu constanta elastică k, care este nedeformat în poziţia sistemului cu 0=α . La capătul A al barei OA acţionează forţa orizontală P.

24

Să se determine: a) ecuaţia pentru calculul unghiului α care corespunde

poziţiei de echilibru a sistemului; b) forţele de legătură în poziţia de echilibru, considerând

unghiul α cunoscut. ----------------------------------------------------------------------

D În absenţa forţei orizontale P, capătul A coincide cu iar unghiul 0 0=α . Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P , din greutatăţile Q , G şi

G⋅2 , precum şi din forţa elastică eF2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a

sistemului de corpuri, format din reacţiunea normală

;

N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din O;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele

sistemului, format din componentele DH , DV , respectiv EH , EV ale reacţiunilor din D şi E.

P

1

2

3

O

AD

E

k

α


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru culisa din D: - pentru bara DE:

⎩⎨⎧

=−−=−

00

De

D

VQFNH ;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=−−=−

0sinsin2

cos

00

ααα lVlGlH

VGVHH

ED

ED

DE

⎧

;

- pentru bara OA: =−+ 0HHP

P

O

AD

E

k

α2 c

osα2

D0 . ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅=⋅−+

0cos2sin2cos02

ααα lPlGVlHGVV

EE

E

E

Rezultă succesiv necunoscutele problemei: - ecuaţia pentru calculul unghiului α

( ) 02272cos14 =⋅−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−⋅−−⋅⋅⋅ PtgGQlk αα ;

- reacţiunile din legături în poziţia de echilibru H , V , EH , N , DH , EV , DV

( ) PtgGQlkH −⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⋅⋅⋅= αα

2cos12 ; ( )αcos123 −⋅⋅⋅−+⋅= lkQGV ;

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

( ) αα tgGQlkHNH DE ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⋅⋅⋅===

2cos12 ;

( ) GQlkV E −−−⋅⋅⋅= αcos12 ; ( )αcos12 −⋅⋅⋅−= lkQV D .

VE V

H

N

HDVD

HD

VD

α

GQ

Fe

2G1α

(

25

Se consideră sistemul de corpuri omogene (1), (2) şi resortul elestic din figură, situat în planul vertical. Corpul (1) este o camă de greutate G, articulată plan în punctul fix O şi compusă dintr-o placă semicirculară de rază r şi o placă dreptunghiulară de dimensiuni 2rx4r. Corpul (2) este o placă semicirculară de rază R şi greutate Q. Corpul (1) se sprijină fără frecare în punctul A pe corpul(2). Placa (2) este aşezată pe un plan orizontal fix şi aspru, coeficientul frecării de alunecare fiind μ . În centrul de masă al plăcii (2) este fixat capătul unui resort elastic orizontal, de constantă elastică k. În configuraţia iniţială a sistemului mecanic, definită de distanţa d , resortul este nedeformat. Parametrul geometric ce defineşte configuraţia de echilibru este unghiul

0

α pe care axa de simetrie a plăcii (1) îl formează cu orizontala. Să se determine:

a) expresia deformaţiei dΔ a resortului elastic în funcţie de unghiul α ; b) centrele de masă C 1 şi ale corpurilor (1) şi (2); 2Cc) ecuaţia din care se poate calcula unghiul α din condiţia de echilibru

static a sistemului mecanic; d) reacţiunile din legăturile O şi A, respective dintre placa (2) şi planul

orizontal; e) Distanţa dintre suportul greutăţii Q şi suportul reacţiunii normale cu care

planul orizontal acţionează asupra plăcii (2). ---------------------------------------------------------------------- a) Cu notaţiile din figură se poate scrie relaţia

) αsin0 ⋅Δ+= ++ ddRrR

4r A

dd +

α

A

R

O 1O

rR

0

din care rezultă ( )

sinrRd −+

0dR+=Δα

.

b) Se ataşează corpului(1) sistemul de referinţă Oxy, convenabil ales şi se utilizează relaţia pentru calculul coordonatelor centrului de greutate în cazul mediului discontinuu, plan, bidimensional şi omogen, care admite o axă de simetrie ∑

∑

=

=⋅

=2

1

2

1

ii

iii

C

A

Axx

în care:

rx C ⋅=211

; ; 211 8 rA ⋅=

π⋅⋅−=

34

12x C

r ; 212rA ⋅= π

2.

Rezultă

2

234

22

22

rr

rrr

⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅−

π

ππ

8

82

1

rx C

⋅⋅⋅= ; ( ) r⋅

16x C +⋅

=3

92π

.

Pentru corpul (2) se alege sistemul de referinţă ca în figură şi se utilizează

1C

r

2r

2r

11C

12C

O

x 11

x 12x 1

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

α

R

Q

(μ)O

1O

relaţia de calcul pentru sectorul de cerc

ααsin2

3⋅⋅= Ry C

2CR

1O

y2

.

Rezultă

2α

2sin

32

2

π⋅=y C ⋅R ;

π⋅32C⋅= 4 Ry .

c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa elastică e şi din

greutatăţile F

Q , şi G2) un sistem al forţelor

de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele

;

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

α AA

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

H şi V ale reacţiunii din O, din reacţiunea

normală N şi din forţa de frecare de alunecare T dintre corpul (2) şi planul orizontal;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală AN dintre cele două corpuri.


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, dintre corpul (2) şi planul orizontal. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru corpul (1): - pentru corpul (2):

26

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅+⋅=⋅+−

=⋅−

00cos

0sin

1OCGctgrRNNGV

NH

A

A

A

αα

α;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⋅=

=⋅−⋅⋅⋅

=⋅−−

NT

aNRF

NQN

e

A

eA

μπ

α

034

0cos⎧ =−−⋅ FTN α 0sin

.

Din a treia ecuaţie

( )( )

( ) απ

α ctgrR

rG

ctgrROCG

N A ⋅+

⋅+⋅

⋅=

⋅+

⋅=

16392

1 .

Pe de altă parte, ( ) ( ) ( )

αα

αμ

αα

μ

α sinsin

cos

sinsin

sin

00 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅+⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅

=+

=dRrRkNQdRrRkNFT

NA

eA ,

de unde

( )

αμαα

μ

cossinsin 0

⋅−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅

=dRrRkQ

N A .

Egalând cele două expresii obţinute pentru , se găseşte ecuaţia pentru determinarea unghiului

ANα :

( )( )

( )

αμαα

μ

απ

cossinsin163

920

⋅−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⋅+⋅

=⋅+

⋅+⋅

⋅ dRrRkQ

ctgrR

rG.

d) După determinarea unghiului α se calculează reacţiunea cu una din cele două relaţii de mai sus şi apoi:

AN

αsin⋅= ANH ; αcos⋅−= ANGV ; αcos⋅+= ANQN ; NT ⋅=μ .

e) Din penultima ecuaţie rezultă

N

Rdka π⋅

⋅⋅Δ⋅= 3

4

; ⇒( )

απα

cos34

sin 0

⋅+⋅⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⋅

=ANQ

RdRrRka .

27

Se consideră frâna cu bandă din schiţă. În condiţiile neglijării greutăţilor elementelor din sistem şi a frecărilor din articulaţii, să se determine forţa minimă P necesară bocării greutăţii Q. Se dau: R, r, AC=BC=a, CD=b şi coeficientul frecării de alunecare μ dintre bandă şi troliu. -------------------------------------------- Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutatea Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi CH , CV reprezentând componentele reacţiunilor

din O şi C; 3) un sistem al forţelor

de legătură interioară, dintre

elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi

2S din ramurile curelei.


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare dintre bandă şi troliu. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru troliu: - pentru pârghie:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⋅=

=⋅−⋅+⋅=−+

⋅⋅2

3

21

12

2

1

00

πμeSS

RSRSrQQSV

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅+⋅=−−

=−

00

0

21

2

1

bPaSaSPSV

SH

C

C

⎧ =+ 0SH

; .

Rezultă succesiv:

1

1

232

−

⋅=⋅⋅ πμ

eRrQS ; ;

123

23

1S

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅

πμ

πμ

e

eRrQ ;

OR

2r

1

A

Q

B CP

D

M1

M2 1

1

23

23

−

+⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅

πμ

πμ

e

eba

RrQP ;

1SH = ; QV = ; 22 VHRlO += ;

1SH C = ; 2SPVC += ; 22CClC VHR += .

OR

2r

1

A

BC

P

DM1

M2

Q

S1

S2

S1

S2

H

VC

C

VH

a b

a

28

O

Să se determine forţa minimă de întindere aplicată unei benzi transportoare având rolele de rază r şi acţionată de un cuplu de moment M . Coeficientul frecării de alunecare dintre bandă şi role este μ . Se neglijează greutate benzii şi frecările din cele două lagăre. -------------------------------------------------- Se izolează rola condusă. Asupra acesteia acţionează:

1) un sistem de forţe şi momente exterioare (date) format din forţa de întindere F şi din momentul rezistent OM , egal şi de sens contrar cu momentul motor aplicat roţii conducătoare;

2) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi 2S din ramurile curelei.

În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru roata condusă:

0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Luând în considerare frecarea dintre bandă şi rolă, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

⋅=

⋅+⋅−=−−

⋅

00

21

21

21

OMeSS

rSrSSSF

πμ

.

Rezultă

11

2−

⋅=⋅πμer

MS O ;

11

−⋅=

⋅

⋅

πμ

πμ

ee

rM

S O ;

11

−+⋅=

⋅

⋅

πμ

πμ

ee

rM

F O

Se dă palanul diferenţial din figură alcătuit din doi scripeţi, unul fix şi altul mobil. Sripetele fix este format din două roţi dinţate de raze R şi r, solidare pe acelaşi ax. Scripetele mobil este o roată dinţată de rază R . În acest caz firul este un lanţ. 1

Se cere relaţia dintre forţa motoare şi forţa rezistentă , în condiţiile neglijării frecărilor.

mF

rF----------------------------------------------------- Din ecuaţiile de momente în raport cu centrele

celor doi scripeţi şi din ecuaţia de proiecţii pe verticală pentru scripetele mobil ⎧ ⋅RF

O

R r

Fr

Fm

R 1

FMO O1O

rolaconducatoare

rolacondusa

FO1

rolacondusa

MO

S2

S1

r

R r

Fr

Fm

S1

S2

R 1

⎪⎩

⎪⎨

=−+=⋅−⋅=⋅−⋅+

00

0

21

1112

21

r

m

FSSRSRS

RSrS

rezultă

rFSS ⋅==21

21 ;

rm FRrRF ⋅−=

2⋅.

29

Fr

Fm

Să se determine relaţia dintre forţa motoare şi forţa rezistentă în cazul palanului exponenţial din figură, dacă se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor.

mF

rF

--------------------------------------------------------------------- Izolând fiecare scripete, se pot scrie relaţiile:

1SkFm ⋅= ; 11 SkS ′⋅= ;

112 SSS ′+= ; 22 SkS ′⋅= ;

223 SSS ′+= ; 33 SkS ′⋅= ;

33 SSFr ′+= ; ( ) ( ) ( )

mr Fk

kS

k

kS

k

kS

kkF ⋅

+=⋅

+=⋅

+=⋅+=

4

3

13

3

22

2

31111 .

Generalizând pentru n scripeţi mobili rezultă

( ) rn

n+1

m Fk

kF ⋅+

=1

.

Dacă se neglijează frecările şi rigiditatea firelor, 1=k şi relaţia devine

rnm FF ⋅=210 .

Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m

m

FF 0

=η .

Să se determine relaţia dintre forţa motoare F şi forţa rezistentă în cazul palanului factorial din figură, când se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor.

m

1m

rF

SAU

Fm

Fr

Fr

Fm

muf

la in

ferio

ara

muf

la su

perio

ara

---------------------------------------

Fr

Fm

S3

S1

S2

S1

S2

S3

Fm

Fr

S1

S3

S4

S6

S2

S5

S3

S1

S4

S2

Considerând că în fiecare muflă se află câte n scripeţi, se pot scrie relaţiile:

SkF ⋅= ; 21 SkS ⋅= ;............ . nSn k 212 ⋅=−SRezultă

kF

S m=1 ; 2m

2k

FS = ;............

nm

nk

F22 =S .

Presupunând tensiunile din fire aproximativ verticale,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅=+++=

nmnrkkk

FSSSF222211...........11.......... .

Paranteza reprezintă o progresie geometrică şi, însumând după formula

cunoscută ∑−−

⋅=n

n

qq

a1

11 , unde şi q reprezintă primul termen, respectiv raţia

progresiei, rezultă

1a

m

n

r F

k

kk

F ⋅−

−⋅=

11

111 2

; ⇒( )

rn

n

m Fk

kkF ⋅

−

−⋅=

1

12

2

.

Pentru (frecări şi rigidităţi nule) se aplică regula lui l’Hospital 1=k( )

rn

nn

km F

kn

kkknF ⋅

⋅⋅

+−⋅⋅⋅=

−

−

→ 12

212

1 2

12lim ; ⇒ rm F

nF ⋅

⋅=

210 .

Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m

m

FF 0

=η .

Se consideră sistemul de corpuri plane omogene alcătuit din manivela OA de lungime r şi greutate G, biela AB de lungime l şi greutate P şi din discul de rază R şi greutate Q. Discul se sprijină pe o cale de rulare aspră nerigidă, paralelă cu direcţia orizontală OB. Articulaţiile plane din O, A şi B sunt fără frecare. Se notează unghiurile ϕ şi ψ ca în figură. Să se determine:

30

a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ , ţinând seama că sistemul mecanic are un singur grad de libertate;

b) expresiile reacţiunilor din legăturile O,A,B şi D corespunzătoare unei configuraţii de echilibru definită de unghiurile ϕ şi ψ (discul nu alunecă şi nu se rostogoleşte). Se presupune că ( )πϕ ,0

c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare la alunecare ∈ ;

μ şi la rostogolire s pentru ca sistemul să rămână în echilibru în condiţiile:

, PQ =2P , G = 3⋅= rl , , o90=+ψϕ mR 05,0= .

------------------------------------------ a) Din relaţiile

ψϕ sinsin ⋅=⋅=′ lrAA

⇒

;

ϕsinsin ⋅ψ =lr .

b) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P şi Q2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,

format din componentele

;

H şi V ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi momentul frecării de rostogolire rM reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare din D;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH , BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.


0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare şi de rostogolire din D. Se obţin astfel ecuaţiile:

O

ϕ

AHA

VA

r

V

H

C1

G

1

( )( )( )32!

;

0cos2

cos

00

=⋅⋅−⋅⋅+

=−+=−

ϕϕϕ rGrV

GVVHH

A

A

A

sin⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅rH A

O

ϕ12

3

R

B

A

ψ

r

(μ,s) D

( )( )( )654

;

0cos2

sin

00

=⋅⋅−⋅⋅

=−−=−

ψψ lPlH

PVHH

A

AB

BA

cos⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−⋅⋅ ψlV

V

B

PVV BA

C2

B

VB

HB

HA

VA

A

ψP

2

.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅≤⋅≤=⋅−=−−

=−

NsMNTrTM

VQNTH

r

r

B

B

μ00

0 ( )( )( )( )( )1110987

Din (5) se obţine −=

O

ϕ

B

A

ψ

r

A

NT

B

DM r

Q R

VB

HB

3

cu care (3) şi (6) devin

ϕψ

ϕψ

ψψψ

ϕϕϕϕ

coscos

sinsin

cos2

cossin

cos2

coscossin

−⋅⋅

⋅⋅

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⋅+⋅−

⋅+⋅=⋅+⋅

PVH

GPVH

BA

BA.

Rezultă

( )ψϕψϕ

+⋅

⋅++=sin

sincos22

GPPV B ; ( )

31

ψϕψϕ

+⋅

⋅+−=sin

sincos22

GPPV A ;

( )ψϕψϕ

+⋅

⋅+====sin

coscos2

GPHHTH BA ; ( )ψϕψϕ

+⋅

⋅+−+=sin

sincos22

GPPGV ;

( )ψϕψϕ

+⋅

⋅+++=sin

sincos22

GPPQN ; ( )ψϕψϕ

+⋅

⋅+⋅=sin

coscos2

GPRM r ;

( )( ) ( ) ( ) ψϕψϕ

ψϕμ

sincossin2coscos

⋅⋅+++⋅+⋅⋅⋅+

≥GPPQ

GP ;

( )( ) ( ) ( ) ψϕψϕ

ψϕcoscossin2

coscos⋅⋅+++⋅+⋅

⋅⋅+⋅≥

GPPQGP

Rs ;

22 VHRlO += ; 22AAlA VHR += ; 22

BBlB VHR += ; 22 NTRlD += . c)

Dacă 2⋅=OAAB o

o60=ϕ =ψ

şi , 90−=∠OABrezultă că

şi o30pentru care

93

21

21

23

21

=⋅⋅⋅

⋅

P233

23

min+⋅

⋅⋅=

P

Pμ ; 192,0min ≅μ ;

9305,0min ⋅=s ; mmms 6,90096.0min =≅ .

O B

A =r 3

ϕ

ψ

r

32

Se consideră mecanismul bielă-manivelă OAB din figură, alcătuit din bare omogene. Se cunosc: rOA= , lAB= şi excentricitarea e. Greutăţile elementelor mecanismului sunt G – pentru manivelă, P – pentru bielă şi Q – pentru culisor. Se neglijează frecările din cuple. Pentru o configuraţie a mecanismului dată de unghiul ϕ , să se determine:

a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ ; b) expresia forţei F care

echilibrează momentul motor M , în funcţie de unghiurile 0 ϕ şi ψ ;

c) reacţiunile din O, A, B şi reacţiunea ghidajului asupra culisorului.

-------------------------------------------------------- a) Din relaţia

erl +⋅=⋅ ϕψ sinsin ⇒le

lr +⋅= ϕψ sinsin .

b), c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P , Q şi

forţa F ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,

format din componentele OH şi OV ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N ;



0=+LR ; 0=+ LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile:

ϕ

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⋅⋅− cos2rGM O

( )( )( )321

⎧

=⋅⋅−⋅⋅−

=−−=−

0sincos

00

ϕϕϕ rHrV

GVVHH

AA

AO

OA

;

B

A

ψ

2HA

VA

PVB

F

HB

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅+⋅⋅

+−

cos2

sinψ lPlH

VVH

A

BA

B ( )(( )654

87

=⋅⋅−

=−=

0cos

00

ψψ lV

PH

A

A

; )

O

ϕ

B

A

ψr

e

MO

3

21

F

VB

HB

N

Q

F

3

B

. ) ⎩⎨⎧

=−−=−

00

QVNHF

B

B ( )(

Din (1), (4) şi (7) rezultă FHHH BOA === ,

iar din (6) ψtgFPV A ⋅+=

2.

Înlocuind în (3), rezultă

ϕψϕ

ϕ

cossin

cos2⋅+

⋅+−=

tg

PGr

M

F

O

.

Din (5) şi (2) se găsesc

ψtgFPV B ⋅+=2

; ψtgFPGVO ⋅++=2

.

Astfel, 22

OOlO VHR += ; 22AAlA VHR += ; 22

BBlB VHR += .

33

Din (8) rezultă QtgFPN +⋅+= ψ

2.

Sistemul mecanic din figură, situat în planul vertical, este compus din corpul (1), bara (2), culisa (3) şi resortul elastic (4). Corpul (1), articulat cilindric în punctul fix O, este un corp omogen de greutate 3G, constituit din semisfera plină de rază R şi din conul circular drept, plin, de înălţime 4R. Bara omogenă (2), de lungime 4R şi greutate G, este articulată cilindric în punctele A şi B. Culisa (3), de greutate Q, se poate deplasa pe ghidajul vertical Oy, contactul fiind cu frecare de alunecare de coeficient μ . Arcul elastic (4) are constanta de elasticitate k şi, în poziţia iniţială a sistemului mecanic definită prin unghiul 0α , este nedeformat. Poziţia de echilibru a sistemului mecanic este dată de unghiul α , necunoscut. Se cer:

a) relaţia dintre unghiul α şi deformaţia yΔ a resortului elastic;

b) centrul de masă pentru corpul volumetric (1); c) ecuaţia din care se poate determina unghiul α în

configuraţia de echilibru; d) reacţiunile din legăturile

O, A şi B. ------------------------------------------------------------- a) αα cos8cos8 0 ⋅⋅−⋅⋅==Δ rrBBOy ;

b) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu zyOx şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,

111

∑

∑

=

=⋅

=2

1

2

1

ii

iii

C

V

Vzz ,

în care: RRz C =⋅⋅= 4

41

11 ; 321 3

4431 RRRV ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ππ ;

Rz C ⋅−=83

21 ; 32 3

2 RV ⋅⋅= π .

Rezultă

33

33

1

32

34

32

83

34

RR

RRRROCz C

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==

ππ

ππ ⇒ Rz C ⋅=

2413

1 .

c), d) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , G⋅3 , Q şi

forţa elastică eF2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri,

format din componentele

;

OH şi OV ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală BN respectiv forţa de frecare de alunecare BT ,

introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare de alunecare din B;

3B

k

4R

4R

R

y

α

α02

1

0B4

0A A

Rα

4R

3G

α

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNBQ

Fe

TB

1

3

2

A

B

A

B



( )αα cos0cos8 −⋅⋅=Δ ry .

0=+LR ; 0=+ LOMOM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, al culisorului din

R

4R

z1

z2

z

C1C

2C

11

1

B. Se obţin astfel ecuaţiile:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−−

=−

0sin3sin4cos403

0

ααα OCGRVRHGVV

HH

AA

AO

AO

; ( )( )( )321

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=−−=−

0cos4sin4sin2

40

0

ααα RHRVRG

GVVHH

BB

BA

BA

; ( )( )( )654

. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅==−++

=−

BB

BBe

BB

NTQTVF

NH

μ0

0 ( )( )( )987

Forţa elastică este: ( )αα coscos8 0 −⋅⋅⋅=Δ⋅= rkykFe .

Din (8), tinând seama de (9) şi (7), se obţine BeB HFQV ⋅−−= μ

care, înlocuită în (6), conduce la

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−⋅= eB FQGN

2cossinsin

ααμα .

Exprimând şi din ecuaţia (3), având în vedere (4), (7) şi (5), se obţine BN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅+−+⋅

+⋅ eC

e FQGRzG

FQG2cossin

sin4

3cossin

sin 1

ααμα

ααμα ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅+−+⋅

+⋅−⋅

eC

e FQGRzG

FQG24

3cossincossin 1

ααμααμ

.

Urmează, din (1), (4), (7) şi din (8), (5), (2) ţinând seama de (9), BBAO NHHH === ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−⋅⋅

−−= eeB FQGFQV2cossin

sinααμ

αμ ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−⋅⋅

−−+= eeA FQGFQGV2cossin

sinααμ

αμ ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−⋅⋅

−−+⋅= eeO FQGFQGV2cossin

sin4

ααμαμ .

22OOlO VHR += ; 22

AAlA VHR += ; 22BBlB VHR += ; BB NT ⋅=μ .

34

Cinematica punctului Problemele privind cinematica punctului urmăresc, în esenţă, determinări de traiectorii, viteze şi acceleraţii. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea lor sunt următoarele:

a) imaginar, se priveşte punctul în mişcare; b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) se înregistreză poziţia punctului în acest sistem; d) se exprimă ecuaţiile parametrice de mişcare, reprezentând coordonatele

punctului ca funcţii de timp; e) dacă se solicită determinarea traiectoriei, se elimină timpul între

ecuaţiile de mişcare; f) pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei se utilizează expresiile

componentelor acestora, în funcţie de sistemul de referinţă ales:

1

Exemple Se dă o mişcare a unui punct material definită de ecuaţiile parametrice în coordonate carteziene 12 −⋅= tex şi 12 +⋅= tey . Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului. ----------------------------------------------------------------------------------------- Traiectoria de mişcare se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Rezultă astfel funcţia

2+= xy reprezentând o dreaptă ( )Δ în planul xOy.

Viteza ⎧

⎪⎩

⎪⎨

⋅==

⋅==

y

x

yv

xv

2

2&

&⇒t

t

e

e ax,y(M )

1,3(M )

22yx vv +v= ; tev ⋅⋅= 22 .

Acceleraţia ⎧ t

⎪⎩

⎪⎨

⋅==

⋅==

y

x

eya

exa

2

2&&

&&⇒t 2

y2x aaa += ; tea ⋅⋅= 22 .

Sistem de referinţă plan

Cartezian Cilindric (polar) Intrinsec

Ecuaţii parametrice ⎩

⎨⎧

==

)()(

tyytxx

⎩⎨⎧

==

)()(

ttrr

ϕϕ )( tss=

Traiectorie ( ) 0, =yxf ( ) 0, =ϕrf cunoscută

Viteză

;xv x &= ;yv y &=

22yx vvv +=

;rv R &= ;ϕ&⋅=rv N 22NR vvv +=

;sv &=τ ;0=ϑv svv &== τ

Acceleraţie

;xa x &&= ;ya y &&=

22yx aaa +=

;2ϕ&&& ⋅−= rra R ;2 ϕϕ &&&& ⋅+⋅⋅= rra N

22NR aaa +=

;vsa &&& ==τ

;22

ρρϑvsa == &

22ϑτ aaa +=

M (s)

τ

ν

s

ρMM (r,ϕ)

RN

ϕ

r

Mx

y

x,y(M )

Să se determine raza de curbură iniţială a traiectoriei unui punct, dacă ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene sunt tx ⋅=2 şi 2ty = .

2

------------------------------------------------------------------ Raza de curbură a traiectoriei unui punct material apare explicit în expresia componentei normale de acceleraţie în coordonate intrinseci:

ρϑ

2va = ⇒ϑ

ρav 2

= .

Dar 222ϑτ aaa += ⇒ 2222 vaaaa &−=−= τϑ .

Astfel, raza de curbură poate fi exprimată în funcţie de viteză şi acceleraţie

22

2

va

v

&−=ρ ,

care pot fi calculate având la dispoziţie ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene:

⎩⎨⎧

⋅====

tyvxv

y

x

22

&

& ⇒ 222 12 tvvv yx +⋅=+= şi

21

2212

t

tv+

⋅⋅⋅=& ;

⎩⎨⎧

====

20

yaxa

y

x&&

&& ⇒ 222 =+= yx aaa .

Rezultă astfel ( )

2

2

2

144

14

tt

t

+⋅−

+⋅=ρ ;

( ) 23

212 t+⋅=ρ .

Un punct material M descrie o traiectorie plană cu componenta de viteză în

coordonate polare bv R = constantă şi viteza areolară ra , unde a=constant

şi r reprezintă mărimea razei vectoare a punctului M faţă de originea sistemului de coordonate polare.

⋅=Ω2

Fiind cunoscute condiţiile iniţiale la 0=t , 0rr = , 0=ϕ , să se determine ecuaţia traiectoriei. ----------------------------------------------------------------------------- În coordonate polare, ecuaţia traiectoriei este o funcţie de forma

( )ϕrr= în care r reprezintă raza polară iar ϕ reprezintă unghiul polar.

Raza polară se poate determina cunoscând că brv R == & 1; ⇒ Ctbr +⋅= .

R

N r R

N

ϕ

M

t(M )

t=0( )r0

Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte , prin urmare

0r

tbrr

1C =

⋅+= 0 . Unghiul polar se obţine din expresia vitezei areolare

ϕ&⋅⋅ 2

21=⋅⋅=Ω

2rvr N ⇒1 ;

tbra

rr ⋅+===

02

ϕ& aΩ⋅2 .

Sau dt

tbrad ⋅

⋅+=

0ϕ ; ⇒ ( ) 20ln Ctbr

ba +⋅+⋅=ϕ .

Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte 02 lnrbaC ⋅−= , prin urmare

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅= t

rb

ba

01lnϕ .

Eliminând timpul între cele două ecuaţii parametrice de mişcare se obţine ecuaţia traiectoriei în coordonate polare:

0ln

rr

ba ⋅=ϕ ; ⇒

ϕ⋅⋅= a

b

err 0 .

În mişcarea unui punct material M, modulul vitezei este o mărime constantă (v=c), iar viteza unghiulară de rotaţie a razei vectoare este de asemenea constantă şi egală cu 0ω .

3

Să se determine ecuaţiile de mişcare în coordonate polare şi traiectoria punctului, dacă la momentul 0=t , 0=r şi 0=ϕ . ---------------------------------------------------------------------------------- Ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt:

( )( )⎩

⎨⎧

==

ttrr

ϕϕ.

Traiectoria este o funcţie de forma ( )ϕrr=

care se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Componentele vitezei în coordonate polare sunt

⎩⎨⎧

⋅=⋅==

0ωϕ rrvrv

N

R&

& , ⇒ 222NR vvv +=

adică ( )2

022 ω⋅+= rrc & . ⇒ 2

022 ω⋅−= rcr& sau dt

rc

dr =⋅− 2

022 ω

.

Se efectuează schimbarea de variabilă ucr sin

0⋅=

ω; duucdr ⋅⋅= cos

0ω.

Rezultă

dtuc

duuc

=−⋅

⋅⋅

2

0

sin1

cosω ⇒ dtdu ⋅= 0ω ⇒ Ctu +⋅= 0ω ;

( )Ctu +⋅= 0sinsin ω ⇒ ( )Ctcr +⋅⋅= 00

sin ωω

.

Constanta de integrare se determină din condiţiile iniţiale şi rezultă C=0. Prin urmare, ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅=r

0

00

sin

ωϕ

ωω

⋅

⋅

t

tc şi traiectoria ⇒ ϕ

ωsin

0⋅= cr .

În coordonate carteziene

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=

ϕω

ϕ

ϕϕω

ϕ

2

0

0

sinsin

cossincos

cry

rx⇒

⎧ c

; 2

0

2

0 22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=⎟⎟⎠

⎞

Manivela motoare OC se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul articulaţiei O, antrenând în mişcare biela AD ale cărei puncte A şi E culisează pe axele Ox, respectiv Oy. Cunoscând dimensiunile geometrice ale mecanismului, să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului D în funcţie de unghiul ϕ al mecanismului.

2

⋅−

ωωccx ⎜⎜

⎝

⎛+ y .

---------------------------------------------------------- În coordonate carteziene, ecuaţiile parametrice de mişcare sunt:

⎧ = cosax

C

D

A

a

a

a

ω

ϕ

a

E

⎩⎨ ⋅⋅= ϕ

ϕsin3 ay D

D ,

ϕ

C

D

A

a

a

a

y

x

a ω

aE

unde t⋅=ωϕ şi ⇒ ct==ωϕ& . Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă elipsa de ecuaţie

( )1

3 2

2

2

2

=⋅

+a

y

a

x DD .

Viteza

⎩⎨⎧

⋅⋅⋅==⋅⋅−==

ϕωϕω

cos3sin

ayvaxv

DyD

DxD&

&; ⇒ 22

yDxDD vvv += ;

ϕϕω 22 cos9sin ⋅+⋅=av D . Acceleraţia

⎧

⋅⋅⋅−==

⋅⋅−==

ϕω

ϕω

sin3

cos2

2

aya

axa

DyD

DxD

&&

&& ⇒ 22

yDxDD aaa += ; ⎪⎩

⎪⎨

ϕϕω 222 sin9cos ⋅+⋅⋅=aa D .

πϕ

r3π2

π2

O

RM

r

ϕ

Un disc de rază R se roteşte cu vitezaunghiulară constantă ω în jurul unei axe ce trece prin centrul său şi este perpendiculară pe centrul discului. Pe diametrul AB se mişcă, plecând din O, un punct material după legea

tRa ωsin⋅= .

4

Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului. ------------------------------------------------------------- a) Varianta I- coordonate carteziene Se consideră un sistem de referinţă cartezian fix, se înregistreză poziţia

punctului în acest sistem şi se exprimă coordonatele sale ca funcţii de timp. Conform enunţului, discul se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul centrului O. Prin urmare, unghiul de mişcare este

t⋅=ωϕ , de unde

ct==ωϕ& . Rezultă astfel ecuaţiile parametrice de mişcare în

coordonate carteziene

⎩⎨⎧

⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=

tRayttRax

ωϕωωϕ

2sinsincossincos .

Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă

yRyx ⋅=+ 22 sau 22

2

22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ RRyx

reprezentând un cerc de rază R/2 cu centrul în . 1O Viteza

⎧

⎩⎨ ⋅⋅==

⋅⋅==tRyvtRxv

y

x

ωωωω

2sin2cos

&

& ⇒ 22

yx vvv += ⇒ ω⋅=Rv .

Acceleraţia ⎧

⎪⎩

⎪⎨

⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅−==

tRya

tRxa

y

x

ωω

ωω

2cos2

2sin22

2

&&

&& ⇒ 22

yx aaa += ⇒ 22 ω⋅⋅= Ra .

b) Varianta II- coordonate cilindrice Se consideră un sistem de referinţă cilindric (polar). În acest sistem ecuaţiile parametrice de mişcare sunt

⎩⎨⎧

⋅=⋅==

ttRar

ωϕωsin .

Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă ecuaţia polară a traiectoriei

a ϕ

t(M )

A

B

O

R

ω

ϕsin⋅=Rr . Viteza

==rvr=a ϕ

M

A

B

R

a

O

R

N

O1

(r,ϕ)

ω

⎩⎨⎧

tRrvtR

N

R

ωωϕωω

sincos

&

&⇒

⋅⋅=⋅=⋅⋅ 22

NR vv +v=

⇒

ω⋅=Rv . Acceleraţia

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

&&&&

&&&⇒

⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅=

⋅⋅⋅−=⋅−=

tRrratRrra

N

R

ωωϕϕ

ωωϕ

cos22sin2

2

2

22NR aa +=a

⇒ 22 ⋅⋅Ra ϕ

x,y(M )

A

B

R x

ya

O1ω

ω=a . Obs. Sistemul de coordonate intrinseci se poate utiliza numai în ipoteza că se

cunoaşte ecuaţia orară a traiectoriei )( tss= .

ϕM

A

B

R a

O O1

(s)

ωτ

ν

s2ϕ

Considerând cunoscută traiectoria, ecuaţia sa orară este

ϕϕ ⋅=⋅⋅= RRs 22

svv &

.

Viteza == τ ⇒ ω⋅=Rv .

Acceleraţia

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅=⋅===

===

22222

2

2

0

ωωρρϑ

τ

RR

Rvsa

vsa&

&&&

⇒ ϑaa= ⇒ 22 ω⋅⋅= Ra .

α Un con circular drept, de unghi la vârf 2 , se roteşte în jurul axei sale de simetrie cu viteza unghiulară constantă ω . Punctul material M pleacă din vârful O al conului şi se deplasează pe generatoarea OA cu viteza constantă u.

5

Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului după t secunde de la momentul pornirii. -----------------------------------------------------------------

t⋅= Unghiul de mişcare este ωϕ şi ⇒ ct==ωϕ& . a) Varianta I- coordonate carteziene

Ecuaţiile parametrice de mişcare ⎧ ⋅⋅⋅=⋅⋅= αϕα sincossin tuOMx

⎪⎩

⎪⎨

⋅=⋅⋅=

ααωαϕαω

coscossinsinsinsincos

tuOMzttuOMyt

⎪⎩

⎪⎨ ⋅==

⋅==αα

sinsin

vuyvux

z

y

x

&

&

&

⇒

⋅⋅=⋅⋅⋅= .

Viteza ⎧ v

⋅==

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅

αωαωωωαωω

coscossinsinsinsincos

uzttutttut

;

222zyx vvv ++=v ⇒

α2sin⋅ω 221 ⋅+⋅= tuv . Acceleraţia

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==

0sinsincossin2

cossinsinsin22

2

zattutuya

ttutuxa

z

y

x

&&

&&

&&

ωαωωαω

ωαωωαω

;

⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 224sin tua ⋅+⋅⋅⋅= ωαω .

b) Varianta II- coordonate cilindrice Ecuaţiile parametrice de mişcare

αα sinsin ⋅⋅=⋅= tuOMr ; t⋅=ωϕ ; αα coscos ⋅⋅=⋅= tuOMz . Viteza

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅==⋅⋅⋅=⋅=

⋅==

ααωϕ

α

cossin

sin

uzvturv

urv

z

N

R

&

&

&

⇒ 222zNR vvvv ++=

⇒

αω 222 sin1 ⋅⋅+⋅= tuv . Acceleraţia

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅−=⋅−=

0sin22sin22

zaurra

turra

z

N

R

&&

&&&&

&&&

αωϕϕαωϕ

⇒ 222zyx aaaa ++=

⇒

224sin tua ⋅+⋅⋅⋅= ωαω .

u

O

A

t(M )ω

2α

Un cilindru de rază R se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară constantă ω . Pe generatoarea sa se deplasează un punct material M, placând din M fără

viteză iniţială, cu acceleraţia constantă a .

0

0

Să se determine viteza şi acceleraţia punctului m, ştiind că la momentul iniţial 0=t unghiul 0=ϕ .

t(M )ωa0

M0

R

----------------------------------------------------------------- Unghiul de mişcare este t⋅=ωϕ şi

ct⇒ ==ωϕ& . a) Varianta I- coordonate carteziene

Ecuaţiile parametrice de mişcare

tRx ωcos⋅= ; tRy ωsin⋅= ; 2

20 ta

z . ⋅=

Viteza

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅==

⋅⋅==⋅⋅−==

tazvtRyvtRxv

z

y

x

0

cossin

&

&

&

ωωωω

⇒ 222zyx vvvv ++=

⇒ 220

22 taRv ⋅+⋅= ω . Acceleraţia

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==

⋅⋅−==

⋅⋅−==

0

2

2

sin

cos

azatRya

tRxa

z

y

x

&&

&&

&&

ωω

ωω

⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 2

042 aRa +⋅= ω .

b) Varianta II- coordonate cilindrice

u

O

A

t(M )ω

RN

ϕ

2α

x

z

y r O

t(M )ω

R

N

ϕ

x

z

y r

a0

M0

R

Ecuaţiile parametrice de mişcare

Rr= ; t⋅=ωϕ ; 2

20 ta

z⋅

= .

Viteza

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅==⋅=⋅=

==

tazvRrv

rv

z

N

R

0

0

&

&

&

ωϕ ⇒ 222zNR vvvv ++= ⇒ 22

022 taRv ⋅+⋅= ω .

Acceleraţia

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===⋅+⋅⋅=⋅−=⋅−=

0

22

02azarra

Rrra

z

N

R

&&

&&&&

&&&

ϕϕωϕ

⇒ 222zyx aaaa ++= ⇒ 2

042 aRa +⋅= ω .

Cinematica mişcării de translaţie

Se consideră o camă triunghiulară care alunecă pe un ghidaj orizontal cu acceleraţia constantă

6

0a . Cama pune în mişcare un tachet care alunecă într-un ghidaj vertical.

Cunoscând unghiul α de înclinare al suprafeţei de contact a camei, să se determine acceleraţia tachetului.

-------------------------------------------------------------------------

Acceleraţia unui punct A al tachetului se reduce la componenta verticală

AA ya &&= .

Cu notaţiile din figură,

αtgxy BA ⋅= ⇒ αtgxy BA ⋅= &&&& ,

unde

0ax B =&& .

Rezultă

αtgaa A ⋅= 0 .

a0

α

a0

α

aA

A 0,y ( )A

y

x

a B

B x ,0 ( )

7

Cinematica mişcării plan-paralele Inelul interior al unui rulment cu role se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω , iar inelul exterior are viteza unghiulară 2ω , de asemenea constantă. Cele două inele au razele , respectiv . 1R 2R

Presupunând că între role şi inele nu există alunecări, să se determine:

a) viteza unghiulară instantanee ω a unei role; b) viteza centrului O al rolei şi perioada ei de revoluţie;

/c) raportul 21 ωω astfel ca mişcarea rolei să fie de translaţie; d) numărul de rotaţii efectuate de rolă în intervalul de timp în care inelele

fac o rotaţie completă cu aceeaşi viteză unghiulară 21 ωω = . --------------------------------------------------------------------

Inelele execută mişcări de rotaţie cu vitezele unghiulare 1ω şi 2ω , iar rola execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω . După determinarea centrului instantaneu de rotaţie, se exprimă vitezele punctelor A şi B ca puncte comune pieselor în contact.

a) IARv A ⋅=⋅= ωω 11 ; IBRv B ⋅=⋅= ωω 22 .

( )IAIBRRvv AB −⋅=⋅−⋅=− ωωω 1122 ;

b) 2

BAO

vvv

+= ; ⇒ ct

RRv O =

⋅+⋅=

22211 ωω

.

Ov

RR

T 22 21 +⋅⋅

=π

; ⇒( )

2211

212RR

RRT

⋅+⋅

+⋅⋅=

ωωπ

.

c) condiţia este ca

0=ω , ⇒ 01122 =⋅−⋅ RR ωω ⇒1

22

1R

R=ωω .

d) dacă 12 ωω = ⇒ 21 ωωω == , deci rola execută 1 rotaţie.

Bara AB de lungime 2l execută o mişcare cardanică, capetele A şi B deplasându-se respectiv pe axele fixe

şi . 11 xO 11 yO

Să se determine centroidele mişcării barei. Cunoscând viteza capătului A, vv A = , să se determine viteza capătului B. O1

ϕ

B

A

2

O

ω2

ω11

---------------------------------------------------------------------- R1

Centroidele mişcării plane a barei reprezintă locurile geometrice, adică traiectoriile centrului instantaneu de rotaţie I, înregistrate în raport cu un sistem

de referinţă fix, respectiv în raport cu un sistem mobil solidar cu bara. Prin urmare se procedează ca la cinematică de punct:

⇒12

2

R−−ω 112

RRR ⋅⋅

=ω

ω .

- se determină CIR;

- se aleg convenabil sistemele de referinţă;

- se determină ecuaţiile parametrice de mişcare;

- se elimină timpul între acestea.

BAZA ; ⎩⎨⎧

⋅⋅=⋅⋅=

ϕϕ

cos2sin2

1

1

lylx

I

I ⇒ ( )221

21 2 lyx II ⋅=+ ;

- un cerc de rază 2l cu centrul în originea sistemului fix considerat.

R 2

ωO1 I

AB

O

R2

R1 R -R2 1

A

I

O1

O

B

P

ω

a0

aA

aB

ω1

O1

baza

rostogolitoarea

ϕ

B I

A

ω

C

x1I

y 1I

=

2ϕ

yI

x I

ROSTOGOLITOAREA ; ⎩⎨⎧

⋅=⋅=

ϕϕ

2cos2sin

lylx

I

I ⇒ 222 lyx II =+ ;

- un cerc de rază l cu centrul în originea sistemului mobil considerat.

Pentru a calcula viteza punctului B se determină mai întâi viteza unghiulară instantanee a barei:

IAv A ⋅=ω de unde ϕ

ωcos2 ⋅⋅

==l

vIAv A .

Rezultă ϕϕ

ω sin2cos2

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅= ll

vIBv B ; ϕtgvv B ⋅= .

Manivela rOO ⋅=21 a mecanismului planetar din figură se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω . Ea conduce în mişcare plană un disc de rază r care se rostogoleşte fără alunecare în interiorul coroanei cilindrice de rază rR ⋅=3 .

8

Să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor A şi B ale discului.

Vitezele Se exprimă viteza punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară

1ω , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω :

⎭⎬⎫

⋅=⋅⋅=

rvrv

O

O

ωω 21 2 ⇒ 1ωω ⋅= .

Astfel, se pot obţine:

rIAv A ⋅⋅⋅=⋅= 2 1 2ωω ; rv A ⋅⋅= 14 ω ;

22 1 rIBv B ⋅⋅=⋅= ωω ; rv B ⋅⋅= 122 ω .

Acceleraţiile Se exprimă acceleraţia punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară constantă 1ω , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω , de asemenea constantă:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅=

⋅⋅=⋅=

POa

rOOa

O

O2

211

21 2

ω

ωω ⇒24

221

21

2rra

PO O =⋅

⋅⋅==

ω

ω

ω.

Polul acceleraţiilor P este situat pe direcţia dată de Oa Cunoscând polul acceleraţiilor, se pot calcula:

24 2

12 rPAa A ⋅⋅=⋅= ωω ; OA ara =⋅⋅= 2

12 ω ;

222

12

24 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅=⋅= rrPBa B ωω ; ra B ⋅⋅⋅= 2

152 ω .

A

O1

O

B

ω1

r

R=3r

Rotorul unei maşini electrice are o turaţie de regim de n=1000 rot/min când i se întrerupe alimentarea cu curent electric. Ca urmare a rezistenţelor pe care le întâmpină, după 7001 =N rotaţii, din momentul întreruperii alimentării, rotorul se opreşte. Cunoscând raza r=20 cm a rotorului şi considerând mişcarea de rotaţie ca fiind uniform încetinită, să se determine:

a) timpul după care s-a oprit; 1tb) viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferia rotoruluidupă ce acesta a

făcut 200 de rotaţii din momentul întreruperii alimentării.

A

I

O1

O

B

P

ω

a0

aA

aB

ω1

-----------------------------------------------------------------

a) Viteza unghiulară iniţială este 300

n⋅=πω ;` 10 72,104 −= sω .

Mişcarea fiind uniform încetinită, se pot scrie relaţiile

2

20

0t

t⋅

−⋅=ε

ωϕ ; t⋅−= 00 εωω .

Pentru , acestea sunt 1tt =20

22

1

100

210

101 tt

ttN

⋅⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅−⋅=⋅⋅

εω

εωπ ,

de unde rezultă timpul al opririi, precum şi acceleraţia unghiulară 1t 0ε :

nN

nN

Nt 1

10

11

1203044 ⋅

=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅

=π

πωπ ; st 841 = ;

1

2

11

00 360012030 N

nN

nnt ⋅

⋅=⋅

⋅⋅== ππωε ; 2

0 2467,1 −= sε .

b) Se notează cu timpul corespunzător celor 2t 2002 =N rotaţii. Astfel, există

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅−⋅=⋅⋅

2002

220

202 22

t

ttN

εωω

εωπ ,

de unde se obţine viteza unghiulară a rotorului la momentul 2t

02202 4 επωω ⋅⋅⋅−= N ; 1

2 5,88 −= sω .

Rezultă viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferie, după 200 de rotaţii:

smrv /7,1722 =⋅=ω ; 242

202 /45,1566 smra =+⋅= ωε .

Cinematica mişcării de roto-translaţie

Două puncte A şi B ale unui cilindru sunt situate pe acelaşi diametru, la distanţele d şi d de axa lui. Cilindrul execută o mişcare de rototranslaţie cu viteza unghiulară

1 2

ω şi cu viteza de translaţie v . 0

9

Ce relaţie trebuie să existe între distanţele şi , dacă vitezele celor două puncte sunt perpendiculare între ele?

1 2d d

--------------------------------------------------------------

Condiţia de ortogonalitate a celor două viteze este ca

0=⋅ BA vv ,

unde:

1d×ω00 vrvv AA +=×+= ω ,

2d×ω00 vrvv BB +=×+= ω .

Conform enunţului, există relaţia

12 dd ⋅−= λ ,

în care

1

2

dd

=λ .

Urmează

( ) ( ) 02010 =×+⋅×+ dvdv ωω ,

( ) ( ) ( ) ( ) 021012020 =×⋅×+⋅×+×⋅+ ddvddvv ωωωω ,

( ) ( ) 011

21

20 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×⋅−⋅×+ d

dd

dv ωω ,

02

11

220 =×⋅− d

dd

v ω ,

021

2

1

220 =⋅⋅− d

dd

v ω ⇒2

20

21ω

vdd =⋅ .

ABω

d1 d2

d1

d2

B

A

O

ω

rA

rB

d2

d1

Mecanica 1 Probleme Rezolvate(Itul+Haiduc)

Documents

Transcript of Mecanica 1 Probleme Rezolvate(Itul+Haiduc)