Calculul Limitelor Cu Ajutorul Integralei-probleme-teorie
18
Calculul limitelor unor şiruri cu ajutorul integralei definite FUNCŢII INTEGRABILE Definiţie 1. Fie . Se numeşte diviziune a intervalului şi se notează cu un sistem de puncte asfel alese încât . Vom nota diviziunea . Numărul se numeşte norma diviziunii Δ. Obs 1: i) Diviziunea Δ se numeşte echidistantă dacă , adică a b n i a x i şi are loc . ii) Vom nota cu mulţimea tuturor diviziunilor intervalului . Def iniţie 2. Fixăm o diviziune b a D , .Se numeşte mulţime de puncte intermediare asociată lui Δ notată cu o familie de elemente din cu OBS. 2 .Vom nota cu ξ Δ = familia tuturor mulţimilor de puncte intermediare asociată lui Δ. 1
description
Lucrarea contine cateva aplicatii ale integralei definite.
Transcript of Calculul Limitelor Cu Ajutorul Integralei-probleme-teorie
Calculul limitelor unor iruri cu
Calculul limitelor unor iruri cu
ajutorul integralei definiteFUNCII INTEGRABILE
Definiie 1. Fie . Se numete diviziune a intervalului i se noteaz cu un sistem de puncte asfel alese nct .
Vom nota diviziunea .
Numrul se numete norma diviziunii .
Obs 1:
i) Diviziunea se numete echidistant dac , adic i are loc .
ii) Vom nota cu mulimea tuturor diviziunilor intervalului .
Def iniie 2. Fixm o diviziune .Se numete mulime de puncte intermediare asociat lui notat cu o familie de elemente din cu
OBS. 2.Vom nota cu = familia tuturor mulimilor de puncte intermediare asociat lui .
Definiia3.Dac i vom spune c 1 este mai fin dect 2 sau c 2 este mai fin dect 1.
Definiia 4. Considerm urmtoarele obiecte :
i) un interval compact
ii) o funcie
iii) o diviziune , .iv) un sistem de n puncte intermediare cu .
Atunci numrul real se numete suma Riemann asociat tripletului .
Definiie 5: vom spune c f este integrabil Riemann pe dac exist un numr real I cu proprietatea c are loc .Numrul real I se numete integrala definit a funciei f pe intervalul i se noteaz cu .
Obs 3: au loc urmtoarele rezultate :
i) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita .
ii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Solutie :
Voi folosi inegalitatea generala care scrisa pentru devine :
Avem utilizand aceasta inegalitate pentru numerele .
Din ultima inegalitate prin trecere la limita cand avem
11)
12)
13)
14) .
Solutie : notez cu .
Avem
15)
Solutie : fie . Voi logaritma sirul dat deci voi calcula .
Notam cu . Pentru a calcula aceasta primitiva vom atasa acesteia primitiva
.
Avem
Calculez acum I-J .
Deci
15)
16)
17)
18) .
19)
20) S se calculeze limita irului : .
21)
22)
23)
24)
25) Fie a fixat.S se calculeze limita irului dat de : .
26) Fie o funcie real monoton ntr-un interval .Notnd :
s se arate c .
27)
28)
29) S se calculeze limitele irurilor :
a)
EMBED Equation.3 b) Artai c au loc inegalitile :
c) Folosind eventual inegalitile de mai sus calculai
30) a) Artai c au loc inegalitile : .
b) Calculai :
c) Calculai
d) Artai c dac g este continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci:
31) a) Artai c au loc inegalitile : .
b) Calculai :.
c) Calculai :
d) Calculai :
e) Artai c dac g continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci :
32) a) Artai c au loc inegalitile : .
b) Calculai : .
c) Artai c dac g este continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci :
33) a) Artai c au loc inegalitile : .
b) Calculai : . c) Artai c dac g este integrabil pe i pstreaz semn constant pe atunci :
.34)
35)
36) a) Artai c au loc inegalitile:
b) Calculai:
c) Artai c dac f este integrabil pe i pstreaz semn constant pe atunci :
37)
38) Dac este o funcie continu care pstreaz semn constant pe [0,1] i p este un numr real pozitiv , atunci are loc :
39) Se consider fixat i irul , (1).
a) S se verifice c
b) s se deduc relaia
c) S se arate c
d) S se arate c
e) S se arate c
f) S se arate c
g) S se arate c
40)
41)
42) .43)
a>0,p natural.
Soluie : voi folosi faptul c i apoi definiia limitei unei funcii ntr-un punct : a.. dac
avem :
Pt. fiecare avem dac .
Atunci i avem :
de unde prin trecere la limit i innd seama c se obine :
De aici , dac facem obinem .
44) Dac funcia f ndeplinete condiiile :
i) f pstreaz semn constant pe intervalul ;ii) f este integrabil Riemann pe ;atnci are loc : .
Soluie : voi folosi faptul c i apoi definiia limitei unei funcii ntr-un punct : a.. dac
avem : .Deoarece funcia feste integrabil Riemann pe rezult c f este mrginit pe deci exist .Pt. fiecare avem dac .
Atunci i avem prin nmulirea relaiilor cu n ipoteza (i) avem :
de unde prin trecere la limit i innd seama c se obine :
Cum a fost arbitrar ales , dac facem obinem .45) Fie o funcie integrabil .Fie irurile (xn) i (yn)
; . S se calculeze :
a)
b) dac f e integrabil cu derivata integrabil calculai :
c) dac f e integrabil cu derivata integrabil i
EMBED Equation.3 calculai : .
46) Fie i .
a) S se calculeze I0i I1
b)S se arate c
c) S se arate c irul este monoton i mrginit.
d) S se calculeze
e) S se arate c
f) S se arate c g) S se calculeze Integrala Riemann-Stieltjes.Fie f i g dou funcii reale definite pe intervalul compact . Fie
un sistem de puncte asfel alese nct .
Vom nota diviziunea a intervalului .
Numrul se numete norma diviziunii .
Obs 1:
iii) Diviziunea se numete echidistant dac , adic i are loc .
iv) Vom nota cu mulimea tuturor diviziunilor intervalului .
Def iniie 2. Fixm o diviziune .Se numete mulime de puncte intermediare asociat lui notat cu o familie de elemente din cu
OBS. 2.Vom nota cu = familia tuturor mulimilor de puncte intermediare asociat lui .
Definiia 3. Considerm urmtoarele obiecte :
v) un interval compact
vi) dou funcii i
vii) o diviziune , .
viii) un sistem de n puncte intermediare cu .
Atunci numrul real se numete suma Riemann-Stieltjes asociat cuadruplului .
Definiie 4: vom spune c f este integrabil Riemann-Stieltjes n raport cu funcia g pe dac exist un numr real I cu proprietatea c are loc .
Numrul real I se numete integrala Riemann-Stieltjes a funciei f n raport cu g pe intervalul i se noteaz cu .
Obs 3: au loc urmtoarele rezultate :
i) integrala Riemann este un caz particular al integralei Riemann-Stieltjes adic cnd g este funcia identic a intervalului .
ii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita.
iii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita.Teorema 1 ( formula de reducere a integralei Riemann Stieltjes la o integral Riemann). Dac f este continu pe iar g este derivabil pe cu derivata continu pe atunci f este integrabil Riemann-Stieltjes n raport cu funcia g pe i avem .47) 48) 49)
50) GM5/1988.
51) Artai c
52) GM5/1988.
53) S se calculeze limita :
54) . 55) Se consider funcia continu . Calculai
EMBED Equation.DSMT4
PAGE 15
_1256373041.unknown
_1256395860.unknown
_1256976860.unknown
_1431324019.unknown
_1431403754.unknown
_1431406715.unknown
_1431407771.unknown
_1431408044.unknown
_1431408043.unknown
_1431406760.unknown
_1431407315.unknown
_1431406451.unknown
_1431406461.unknown
_1431403991.unknown
_1431324511.unknown
_1431403682.unknown
_1431403739.unknown
_1431403659.unknown
_1431324169.unknown
_1431324473.unknown
_1431324033.unknown
_1256981468.unknown
_1431269818.unknown
_1431323816.unknown
_1431323942.unknown
_1431269957.unknown
_1431270334.unknown
_1431269927.unknown
_1257399536.unknown
_1259069234.unknown
_1261285754.unknown
_1257399572.unknown
_1256993721.unknown
_1257399530.unknown
_1256981557.unknown
_1256980596.unknown
_1256980789.unknown
_1256980976.unknown
_1256981235.unknown
_1256981227.unknown
_1256980869.unknown
_1256980685.unknown
_1256980338.unknown
_1256980554.unknown
_1256978940.unknown
_1256980218.unknown
_1256978371.unknown
_1256974592.unknown
_1256976099.unknown
_1256976315.unknown
_1256976485.unknown
_1256976523.unknown
_1256976574.unknown
_1256976492.unknown
_1256976390.unknown
_1256976221.unknown
_1256976275.unknown
_1256976116.unknown
_1256974850.unknown
_1256976014.unknown
_1256976078.unknown
_1256975935.unknown
_1256974644.unknown
_1256396259.unknown
_1256974499.unknown
_1256974547.unknown
_1256565461.unknown
_1256485251.unknown
_1256396240.unknown
_1256396100.unknown
_1256396229.unknown
_1256395925.unknown
_1256396080.unknown
_1256373100.unknown
_1256395751.unknown
_1256395796.unknown
_1256395851.unknown
_1256373149.unknown
_1256392423.unknown
_1256392755.unknown
_1256395316.unknown
_1256392473.unknown
_1256390177.unknown
_1256390942.unknown
_1256374914.unknown
_1256373123.unknown
_1256373139.unknown
_1256373116.unknown
_1256373110.unknown
_1256373076.unknown
_1256373088.unknown
_1256373093.unknown
_1256373081.unknown
_1256373064.unknown
_1256373070.unknown
_1256373056.unknown
_1232729737.unknown
_1249226627.unknown
_1256368375.unknown
_1256369615.unknown
_1256371775.unknown
_1256372037.unknown
_1256372673.unknown
_1256372855.unknown
_1256371836.unknown
_1256371882.unknown
_1256371667.unknown
_1256371719.unknown
_1256371609.unknown
_1256369537.unknown
_1256369552.unknown
_1256368485.unknown
_1249226994.unknown
_1249227020.unknown
_1249227212.unknown
_1249226672.unknown
_1249226725.unknown
_1249226859.unknown
_1249226239.unknown
_1249226372.unknown
_1249226463.unknown
_1249226568.unknown
_1249226497.unknown
_1249226436.unknown
_1249226087.unknown
_1249226134.unknown
_1249226203.unknown
_1249226069.unknown
_1249226027.unknown
_1216515387.unknown
_1232470453.unknown
_1232728323.unknown
_1232728544.unknown
_1232728822.unknown
_1232728879.unknown
_1232728750.unknown
_1232728428.unknown
_1232727952.unknown
_1232728267.unknown
_1232470631.unknown
_1232470706.unknown
_1232727916.unknown
_1232470662.unknown
_1232470564.unknown
_1217719492.unknown
_1217748483.unknown
_1232470408.unknown
_1217719629.unknown
_1217719654.unknown
_1217719556.unknown
_1217719401.unknown
_1217719448.unknown
_1217719325.unknown
_1214691604.unknown
_1215970526.unknown
_1215970907.unknown
_1215970956.unknown
_1215971123.unknown
_1216231054.unknown
_1215971086.unknown
_1215970707.unknown
_1215970793.unknown
_1215970869.unknown
_1215970264.unknown
_1215970512.unknown
_1215970463.unknown
_1215970484.unknown
_1215970357.unknown
_1215970010.unknown
_1215970150.unknown
_1215970254.unknown
_1215970089.unknown
_1215924672.unknown
_1206715452.unknown
_1206817339.unknown
_1214275173.unknown
_1214418041.unknown
_1214275054.unknown
_1206795851.unknown
_1206796376.unknown
_1206807414.unknown
_1206724903.unknown
_1206710528.unknown
_1206710697.unknown
_1196513673.unknown
_1204818928.unknown
_1206710508.unknown
_1204811525.unknown
_1196513528.unknown
