Camp Electromagnetic Cvasistationar

Click here to load reader

  • date post

    04-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    142
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar

1

PARTEA I C^MPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTA| IONAR1. Ecua\iile c@mpului electromagnetic cvasista\ionarFie un domeniu [n care dorim s` studiem c@mpul electromagnetic. Legea induc\iei electromagnetice, [n forma local` este:rot E =

B t

(1.1)

Regimul cvasista\ionar rezult` prin neglijarea curentului herzian [n legea circuitului magnetic, care cap`t` astfel forma Teoremei lui Ampre. Forma ei local` este: rot H = J (1.2) Aceast` aproximare privind legea circuitului magnetic este pe deplin justificat` pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii conductoare. {ntr-adev`r, forma complet` a legii circuitului magnetic este D rot H = J + . S` presupunem acum c`, [ntr-un punct t oarecare din domeniul conductor, induc\ia electric` D este orientat` pe o direc\ie u ]i este func\ie sinusoidal` de timp: D = uDmax sin( t ) . Atunci avem:

Partea I. Regimul cvasista\ionarD = uDmax cos( t ) t J = E = D = uDmax sin( t )

2

unde este conductivitatea mediului conductor. Raport@nd valorile maxime ale celor doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic, avem: D = t max = = 2f J max

unde f este frecven\a, iar este rezistivitatea. In cazul cuprului, de exemplu, valoarea acestui raport este = D 1 f . Este evident faptul c` 0 18 termenul trebuie t neglijat. Pentru mediile conductoare, ponderea acestui termen devine important` dac` rezistivitatea este foarte mare ]i frecven\a c@mpului electromagnetic este foarte ridicat`. Un exemplu poate fi p`truderea c@mpului electromagnetic [n corpul omenesc, [n procedurile de investigare bazate pe rezonan\` magnetic` nuclear`. D Termenul poate fi neglijat ]i [n regiunile cu aer t ale domeniului dac` frecven\a este suficient de mic` , (viteza de varia\ie [n timp a c@mpului electromagnetic este suficient de mic`). {ntr-adev`r, s` presupunem c` intensitatea c@mpului electric este limitat` superior la valoarea 10MV/m. Atunci, pentru densit`ti de curent uzuale, de cca. 106A/m2, rezult` =10-9f. Vom vedea (Cap.5) c` ad@ncimea de p`trundere a c@mpului electromagnetic [n corpurile conductoare este cu at@t mai mic` cu c@t frecven\a este mai mare. De exemplu, [n cazul cuprului, pentru f>1MHz ad@ncimea de p`trundere este sub 0,1mm. {n acest caz, suprafa\a

Partea I. Regimul cvasista\ionar

3

corpului conductor poate fi privit` ca o frontier` cu condi\ii de frontier` speciale, privind c@mpul electromagnetic din regiunile cu aer. Analiza c@mpului electromagnetic se face altfel dec@t [n modelul cvasistationar (unde electromagnetice [n regiunile cu aer ]i frontiere cu pierderi la suprafa\a corpurilor conductoare). Deci, [n ipoteza c` admitem utilitatea analizei c@mpului electromagtnetic [n volumul corpurilor conductoare, frecven\a este, [n general, sub valoarea de 1MHz ]i [n acest caz 0 ]i J 0 =0, iar [n mediile izolante = 0 . Domeniile (bobinele) cu densitate de curent impus` J 0 fac parte din mediile izolante. Pentru simplitate, consider`m c` rela\ia B-H este: B=H (1.4)

{n /2/, /3/, /4/ sunt luate [n considerare ]i alte rela\ii B-H ce descriu mediile neliniare sau magne\ii permanen\i. Rela\iile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) pot fi privite ca un sistem de 4 ecua\ii cu 4 necunoscute B, H, E, J. Vom vedea (Cap.2) c`, [n condi\ii de frontier` corect formulte, sitemul acestor ecua\ii asigura unicitatea celor 4 necunoscute.

Partea I. Regimul cvasista\ionar

4

{n plus, c@mpul electromagnetic verific` legea fluxului magnetic: div B = 0 (1.5) ]i legea transform`rii puterii din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie: p = E J (1.6) Observa\ii. 1) Rela\ia (1.2) rezult` prin neglijarea D densit`\ii curentului de deplasare [n legea t circuitului magnetic. Este echivalent cu a considera c` D este constant [n timp. Cum D = E ]i E este variabil [n timp, rezult` c` =0. Deci D=0. Din legea fluxului electric, rezult` c` sarcina electric` este nul`. 2) |innd cont de observa\ia anterioar` ]i de teorema conserv`rii sarcinii electrice, rezult` c`, [n vecin`tatea suprafe\elor, componenta normal` a densit`\ii de curent se conserv`. {n particular, [n vecin`tatea corpurilor izolante, componenta normal` a densit`\ii de curent este nul`.

2. Teorem` de unicitatePentru a dovedi c` regimul cvasista\ionar este bine definit de ecua\iile (1.1) (1.4), este necesar s` dovedim c` aceste ecua\ii asigur` unicitatea solu\iei de c@mp. Condi\iile ini\iale (CI) Deoarece ecua\iile (1.1) (1.4) descriu un proces evolutiv, este necesar s` avem informa\ii privitoare la momentul [nceperii acestui proces. Deoarece [n ecua\ia (1.1) apare derivata [n raport cu timpul a induc\iei magnetice, la t=0 trebuie cunoscut` valoarea ei: B t =0 = Bi

Partea I. Regimul cvasista\ionar

5

. Evident, se impune divBi = 0. Aplicnd operatorul div rela\iei (1.1), rezult` c` la orice moment este verificat` legea fluxului magnetic. Condi\iile de frontier`(CF) Domeniul analizat este doar o subregiune a spa\iului [n care avem c@mp electromagnetic. Interac\iunea dintre c@mpul electromagnetic exterior domeniului ]i cel interior acestui domeniu este pus [n eviden\a de comportarea m`rimilor c@mpului pe frontiera . Se pot impune mai multe tipuri de condi\ii de frontier`. Toate au proprietatea c`, [n cazul valorilor nule, expresia de forma ( E H ) ndS se anuleaz`. Vom vedea (Partea II) c` aceast` expresie are natura schimbului de putere de natur` electromagnetic` ce se produce pe frontier`. Condi\ie de frontier` de tip electric. Cea mai simpl` condi\ie de frontier`, pe care o [ntalnim cel mai frecvent [n literatura de specialitate, este (Fig.1.1): () Pe o parte S a frontierei, se S S d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=f; () Pe restul frontierei S'=-S, se d` componenta tangen\ial` a lui E: Et=g; Fig.1.1.Domeniul Observa\ii. 1) Din punct de vedere tehnic, condi\ia de frontier` (), sub form` omogen` (nul`) este realizat` [n vecin`tatea corpurilor perfect conductoare magnetic ( = ). 2) Condi\ia () sub form` omogen` este realizat` [n vecin`tatea corpurilor perfect conductoare.

Partea I. Regimul cvasista\ionar

6

3) Deoarece, [n condi\ia (), intervine intensitatea c@mpului electric, spunem c` avem condi\ie de frontiera de tip electric. Condi\ie de frontier` de tip magnetic. Un alt tip de condi\ie de frontier`, asem`n`toare cu cea de la cmpurile sta\ionare, este mult mai complicat`, dar mai apropiat` de realitatea tehnic` (Fig.2.1). Condi\ia respectiv` poate fi numit` condi\ie de frontier` de tip magnetic, con\innd doar componente ale cmpului magnetic. {n cazul simplu al domeniului simplu conex, aceste conditii de frontiera sunt: () Pe o parte S' a frontierei, se d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=h ; () Pe restul frontierei S"= -S', se dau componentele normale a lui B: Bn=f ]i a lui J: Jn=g Dac` S' este format` din n suprafe\e disjuncte Si, atunci condi\iile de frontier` se complic` prin impunerea unor fluxuri magnetice sau a unor tensiuni magnetice (vezi Anexa A). Dac` este multiplu conex, cum ar fi [n cazul unor spire perfect conductoare, atunci se impun alte condi\ii de frontier` suplimentare privind curen\ii sau fluxurile magnetice ale spirelor perfect conductoare (Anexa A). Observa\ii. 1. La suprafa\a corpurilor supraconductoare, avem condi\ia () omogen`: Bn = 0. 2. Dac` S se afl` [ntr-un mediu izolant, atunci, evident, Jn=0. Condi\ie de frontier` de tip element de circuit. Este o condi\ie de frontier` care permite definirea domeniului ca un element de circuit. Condi\ia de frontier` permite definirea bornelor, a tensiunilor ]i curen\ilor bornelor, a puterii transferate la borne (Partea IV). {n regimul cvasista\ionar, elementul de circuit este de tip inductiv.

Partea I. Regimul cvasista\ionar

7

Teorema 1.1. Ecua\iile (1.1) (1.4), [mpreun` cu condi\iile de frontier` de (CF) ]i condi\iile ini\iale (CI), definesc unic componentele (B,H,J) [n domeniul ]i componenta E [n domeniul conductor c . Demonstra\ie. Vom prezenta demonstra\ia pentru cazul simplu al condi\iilor de frontier` de tip electric, procedur` care va fi util` ]i pentru alte demonstra\ii. Celelalte condi\ii de frontier` sunt tratate [n Anexa A. Presupunem c` dou` c@mpuri electromagnetice distincte [ndeplinesc condi\iile enun\ul teoremei ]i fie (Bd, Hd, Ed, Jd) c@mpul diferen\`. Acest c@mp verific` rela\iile (1.1), (1.2) ]i are condi\ii de frontier` ]i condi\ii ini\iale nule. Not`m:E = E d d 0 t

Atunci, datorit` condi\iilor ini\iale, electromagnetice (1.1) devine:rot E = B d

legea

induc\iei (1.7)E dt = 0 ,

Din condi\ia de frontier` (), rezult` c`, pe S, din condi\ia (), H dt = 0 pe S. Atunci:

iar

( E H d ) ndS =0E dv E rot H d dv

(1.8)

Mai avem:

( EH d ) ndS = H d rot

Conform (1.7), (1.2) ]i (1.8), rezult`:

Partea I. Regimul cvasista\ionar H d B d dv + E J dv =0

8

t

(1.9)

unde am notat:J = J d d 0 t

Din rela\ia (1.3), rezult` c` J=E [n domeniile conductoare c , [n rest fiind nul`. Atunci, (1.9) devine: H d B d dv + 2 dt E 2 dv =0c

1 d

Dup` integrare [n timp, avem:t

0

H d

B d dv dt

+ 2 Ec

1

2

dv

=0

(1.10)

|in@nd cont de (1.4), rela\ia (1.10) devine:1 2 B d dv dt + 2 Ect

1

2

dv

0

=0

(1.11)

Membrul stng al rela\iei (1.11) poate fi nul doar dac` B d ]i, prin urmare, H d sunt nule [n iar E ]i, prin , urmare, E d ]i J d sunt nule [n c . Observatii. 1) Din rela\ia (1.10), rezult` c` teorema de unicitate este valbil` ]i pentru medii neliniare [n care rela\ia constitutiv` H = F ( B ) este coercitiv`:

Partea I. Regimul cvasista\ionar( B1 B 2 ) ( F ( B1 ) F ( B 2 )) > 0 , B1 B 2

9

2) Intensitatea cmpului electric nu